分组与分配问题(整理他人所得)
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C CC =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ?=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ?=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
分组分配问题
解：① ③ ⑤
C92C73C44 1260 ②
C93C63C33 1680 ④
C62C42C22 A33
C33
1260
C92C73C44A337560
C
93C
3 6
C
3 3
280
A33
整理课件
12
练习4：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份 4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有 多少种分法?
分组分配问题
平均分组与不平均分组
整理课件
1
1、将四个小球分成两组，每组两个，有多
少分法？
3种
整理课件
2
2、将四个小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
整理课件
3
3、将四个小球分成两组，一组三个，一组
一个，有多少分法？ 4种
整理课件
4
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
甲 乙甲 乙
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5
分组分配问题主要有分组后有分配对象(即组 本身有序)的均分与不均分问题及分组后无分配 对象(即组本身无序)的均分与不均分问题四种类 型，常见的情形有以下几种:
(1)均匀、无序分组:
把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，
则共有 CnrCnrrCnr2r Amm
(2)均匀、有序分组:
C C r1
r2
n(m11)r1
nmr
1
A A m1 m2 m1 m2
Amk mk
Crk rk
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(解析版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以nn A ；如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以m m A .【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】选项A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有22264290C C C =种分配方法，故该选项错误；选项B ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有411362132290C C C A A =种分配方法，故该选项错误；选项C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有22A 种方法，所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故该选项错误；选项D ，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有221146421422221080C C C C A A A =种方法，故该选项正确.故选：D.例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A ．240种B ．360种C ．450种D ．540种【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种分法，再分配给3所学校，可得3390A 540⨯=种.故选：D.例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种.所以不同的安排方法共有36090450+=种，故选：A .例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A ，B 两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A ．36种B ．14种C ．22种D ．8种【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：3412238C C A ⋅⋅=；两个车间都安排两名工人的方案有：422222226C C A A ⋅⋅=.所以，不同的安排方案有8614+=.故选：B.例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A ．540种B ．300种C ．210种D ．150种【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有1,2,2和3,1,1两种分组方案，当按1,2,2分组时，有22353322C C A 90A =种方法，当按按3,1,1分组时，有3353C A 60=种方法，所以不同的选择方式有9060150+=种.故选：D.例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（）A ．42种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B 企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有22242222C C A 6A ⨯=种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有1143C C 种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B 企业，乙不去C 企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有1143C C 112⨯=种；所以不同的派遣方案共有61218+=种，故选：D .例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案；故选：C ．例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A ．36B ．81C ．120D ．180【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有15C 5=种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有2343C A 6636=⨯=种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有123543C C A 536180=⨯=种.故选：D .例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．340【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A ．1880种B ．2940种C ．3740种D ．5640种【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有3353C A 60=，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60；对于1:2:2型，女老师的分配情况有2213531322C C C A 90A =，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有242232252532A +C A C C A 32+=，即总分配情况为32902880⨯=；综上所述，2880602940+=.故选：B.例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A ．96种B ．124种C ．150种D ．130种【答案】C【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有35C 10=种分组方法；当按照1,2,2来分时共有225322C C15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种，故选：C .例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种【答案】A【解析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案，第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案，所以共3609090540++=（种）选派方案，故选：A.例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A ．240B ．180C ．690D ．150【答案】A【解析】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有322632C C A 120=种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，222642C C C 90=种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有4262C A 30=种，所以不同的分配方法种数是1209030240++=.故选：A例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A ．28种B ．32种C ．36种D ．42种【答案】C【解析】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【答案】C【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.故选：C.例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】BD【解析】对于A ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各2本，共有226415690C C =⨯=种分法，A 错误；对于B ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人4本，另两人各1本，共有1136532215690C C A A ⋅=⨯=种分法，B正确；对于C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1本，共有221642180C C C =种分法，C 错误；对于D ，6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有22146424222245241080C C C A A A ⋅=⨯=种分法，D 正确；故选：BD.例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A ．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B ．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C ．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D ．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法【答案】ABC【解析】对于A ，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有28C 28=种不同的分法，故A 正确；对于B ，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有9319683=种不同的分法，故B 正确；对于C ，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有211C 55=种不同的分法，故C 正确；对于D ，可以分11类情况：①“1，2，6型”有126986C C C 41008⨯=；②“1，3，5型”135985C C C 42016⨯=；③“1，4，4型”144984C C C 21260⨯=；④“1，7，1型”171981C C C 72=；⑤“1，8，0型”1898C C 9=；⑥“2，2，5型”225975C C C 32268⨯=；⑦“2，3，4型”234974C C C 67560⨯=；⑧“2，7，0型”2797C C 272⨯=；⑨“3，3，3型”333963C C C 1680=；⑩“3，6，0型”3696C C 2168⨯=；⑪“4，5，0型”4595C C 2252⨯=，所以有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365种不同的分法，故D 错误．故选：ABC ．例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．【答案】150【解析】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法.故答案为：150.例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.【答案】684【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有23441C C 72+=种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有234C 12=种分组方法；则护士有71219+=种分组方法；第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有3333A A 6636=⨯=种安排方法；根据分步乘法计数原理得19136684⨯⨯=种分配方法.故答案为：684.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】315【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为2222864244C C C C A ，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为224222C C A ，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【解析】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有24C 种分法，再将四组老师分到4个班级共有44A 种分法；即甲乙同队共又2444C A 144=种；②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有44A 种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有24A 种分法；即甲、乙不同队共有4244A A 288=；综上可知，不同的带队方案共有144288432+=种.故答案为：432例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．【答案】150【解析】当分成三组，分别为1，1，3时有31152122C C C P ⋅⋅种；当分成三组，分别为2，2，1时有22153122C C C P ⋅⋅种再将分好的三组对应到三所学校共有311221352153132222C C C C C C P 150P P ⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪⎝⎭故答案为：150.例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：60例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．【答案】130【解析】当恰好有2只能配成一双有：12115422C C C C 120⨯⨯⨯=；当恰好有4只能配成两双有：25C 10=；故共有12010130+=种不同的取法.故答案为：130例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【答案】36【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例26．（2023·全国·高三专题练习）A 、B 、C 、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【解析】根据题意，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343C A 36=种情况，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A 和B 参加同一科的有2323C A 6=种情况；所以，满足题意的情况共有23234323C A C A 30-=种.故答案为：30.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有26C 种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有2242C C 种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有342C 种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有()22236424C C C 2C 210+=．故答案为：210例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【解析】（1）根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；（3）先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有25C 种选法;最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有12365360C C C =(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有12336533360C C C A =.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是222642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则222642C C C 种分法中还有(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有2226423315C C C A =.（4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式222364233390C C C A A ⋅=(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有4116212215C C C A =(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式411362132290C C C A A ⋅=(种).（7）直接分配问题.甲选1本有16C 种选法,乙从余下5本中选1本有15C 种选法,余下4本留给丙有44C 种选法,共有11465430C C C =(种)选法.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【解析】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有16C 种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有26C 种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有26A 种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有1265C C ⋅种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有46C 种分法．故共有122124666656C C A C C C 126+++⋅+=（种）分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为44A 24=（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344C A 144=（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）；（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为234C 12=（种）.例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有25C 10=种，再将4组排到4个盒子，有45A 120=种投放法．∴共计101201200⨯=种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有55A 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有55A 1119-=种．（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：25C 10=种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：252C 20=种．所以满足条件的放法数为：1102031++=种．。
数学中的分组分配问题
分配中的最优化问题
总结词
分配中的最优化问题是指通过优化分配方式，使得某 个特定的目标函数达到最优值。
详细描述
在分配中的最优化问题中，需要找到一种最优的分配 方式，使得某个特定的目标函数达到最优值。这个目 标函数可以是总和最大、总和最小、平均值最大等。 例如，将一定数量的苹果分给若干个孩子，目标是使 得所有孩子获得的苹果数量之和最大，同时还要满足 每个孩子至少获得一个苹果的条件。这个问题可以通 过引入约束条件和目标函数进行求解。
解决这些冲突需要综合考虑各种因素 ，如资源的可用性、需求的紧迫性、 公平性等，通过协调各方利益，寻找 最优的解决方案。
分组与分配的解决方案
分组与分配问题的解决方案通常 需要运用数学方法和逻辑推理，
如线性规划、整数规划等。
解决方案需要满足一定的条件， 如资源的有限性、需求的合理性 等，同时还需要考虑方案的可行
总结词
固定数量的分配问题是指每个组分得固定数量的物品或资源，目标是使所有组的总和达到最大或最小 。
详细描述
在固定数量的分配问题中，每个组分得的物品或资源数量是固定的，目标是寻找一种分配方式，使得 所有组的总和达到最大或最小。例如，将一定数量的苹果平均分给若干个孩子，使得每个孩子获得的 苹果数量相等。
04
分组与分配的结合问 题
分组与分配的关联性
01
分组与分配在数学中常常是相互 关联的，分组是为了更好地进行 分配，而分配则需要在分组的基 础上进行。
02
分组与分配的关联性体现在它们 的目标上，即通过合理的分组和 分配，使得每个对象都能得到满 足其需求的资源或服务。
分组与分配的冲突与协调
在分组与分配的过程中，可能会出现 各种冲突，如资源不足、需求不均等 问题。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。
研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。
排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。
在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。
我们来讨论固定分组数量的分配问题。
在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。
通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。
假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。
我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。
然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。
根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。
举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。
这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。
一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。
对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。
排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
排列组合中的分组与分配问题
排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmm m m nn m n m m m k kC CCC A---⋯。
(完整版)分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(1)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】 三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(1)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合中的分组、分配问题
学习目标：体会分组、分配问题地联系与区别体会算两次思想在平均分组问题中地应用学习过程:例：把本不同地书平均分给个人，有几种分法？把本不同地书平均分成堆，有几种分法？分析：（）从人地角度：第人有24C 种，第人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆有种223A N ⋅=把书平均分成堆有种，注意：不是24C ，而是2224A C 例：（）把本不同地书平均分给个人，有几种分法？（）把本不同地书平均分成堆，有几种分法？（）把本不同地书分给个人，其中一人本，一人本，一人本，有几种分法？（）把本不同地书分成堆，其中一堆本，一堆本，一堆本，有几种分法？分析：地本质是平均分配问题地本质是平均分组地本质是不平均分配地本质是不平均分组从人地角度去分析（）：第人有26C 种，第人有24C 种，第人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅=从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆地方法数可用列举法，但数字大时要找好方法.现设把本书平均分成堆得方法数为x ，把堆书排队地方法数为33A .根据算两次得到结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅文档收集自网络，仅用于个人学习33222426A C C C x ⋅⋅= “平均分组”对学生来说是难点.练习：现有本不同地书，求下列情况下各有多少种不同地分法？分成组，一组本，一组本，一组本（）分给个人，一人本，一人本，一人本（）平均分成组（）练习个不同地球，个不同地盒子，把球全部放入盒内恰有个盒子不放球，共有几种方法？恰有一个盒子放球，共有几种方法？恰有个盒子不放球，共有几种方法？。
排列组合中的分组分配问题
如果先跨2个台阶还剩3个台阶3种方法再上去，5+3=8种。 登上6个台阶，… … 8+5=13种。 登上7个台阶，… … 13+8=21种。 … … … 21+13=34种 … … … 34+21=55种。 登上10个台阶， 55+34=89种。
分析：
（1）矩形 C82C52 280；即： （7 6 5 4 3 2 1）（ 4 3 2 1） 280
若求正方形个数，则： ①只由一个小正方形组成的有7 * 4； ②由2 * 2小正方形组成的有6 *3； ③由3*3小正方形组成的有5* 2 ； ④ 由4 * 4小正方形组成的有4 *1。 故7 * 4＋6 *3＋5* 2＋4 *1 60 。
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
引旧育新:
1 把abcd分成平均两组共 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
ad
bc
bc
ad
这两个在分组时只能算一个
bd
ac
cd
ab
2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m表示组数。
5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120 - C42 +1
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A ，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C C A =15(种)。
大招3分组分配问题
①将原本没有顺序的 n 个元素，变成一个有顺序的 n 个元素，需要乘 Ann ； ②反之将原本有顺序的 n 个元素，变成一个没有顺序的 n 个元素，需要除以 Ann ．
3．如何获得元素的主体间的顺序：
①若主体间获得元素个数不同，则主体之间有差异，因此主体之间是有顺序的； ②若主体间获得元素个数相同，则主体之间没有差异，因此主体之间是没有顺序的．
大招 3 分组分配问题
将不同元素分组，分组后根据需要分配的问题我们称为分组分配问题．
1．分组分配问题的基本模型
①无主体分组：如将 4 本不同的书分成两堆，每堆 2 本或将 4 本不同的书分成两堆， 一堆 3 本、一堆 1 本．（只是进行分组，不分配） ②有主体等分配：如将 4 本不同的书分给甲、乙两人，每人 2 本．（分组后分配，存在 元素数量相同的组） ③有主体不等分配：如将 4 本不同的书分给甲、乙两人，一人 3 本、一人 1 本．（分组 后分配，每组元素数量不同）
{#{QQABB44twmiQ8hzwia4aQ2dwyQkR0JTwrg5OEQYG6AVJf1lADIA=}#}
2 本，作为一堆，有 C24 种取法，最后从余下的 4 本书中取 2 本作为一堆，有 C22 种取法，
65 43
所以不同的分堆方法的种数为
C62C24C22
=
× 21
×1 21 =15 .
【典例 1】已知有 6 本不同的书.分成三堆，每堆 2 本，有________种不同的分堆方法？ 【大招指引】先利用组合知识和分步乘法计数原理得到有区别的三堆，再除以 A33 . 【解析】先从 6 本书中任取 2 本，作为一堆，有 C62 种取法，再从余下的 4 本书中任取
试卷第 1 页，共 4 页
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。
在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。
分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。
在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。
我们需要了解一下排列组合中的基本概念。
排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。
在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。
在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。
我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。
如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。
在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。
对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。
贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。
在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。
分组分配问题
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
CCCCCC 2 2 2 642
111 3 21
C62C42C22 A33
、
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2kCkk
结论
二、非平均分组与分配问题
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
谢Байду номын сангаас！
谢谢大家！
分组分配问题
引言
“分组分配”问题是一种典型的排 列组合问题，解决这类问题的关键 在于分组，重复计数是常见错误
一、平均分组与平均分配问题
1、平均分组问题：n个不同元素平均分成m组，每组
k个元素，则分组的方法:
例1.有两本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有三本不同的书，平均分成三组有几种不同分法？ 有四本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有六本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？
分组分配问题上课用
练习题
10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
C 有多少装法？ 4 9
1
应用：
A3 3
应用：
谢谢
Thank You ! 不尽之处，恳请指正！
引旧育新
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
记住：
平均分成的组，不管 它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分 组后要除以m!，其中m
表示组数。
平均分组
1、平均分组问题：n个不同元素平均分成m组，每组
（1）甲两本、乙两本、丙两本. （2）甲一本、乙两本、丙三本. （3）甲四本、乙一本、丙一本. 分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，
由分布计数原理不难解出：
(1)C62C42C2290
(2)C16C52C3360
(3)C64C12C1130
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少 种不同的分配方法？
二、基本的分组问题
• 例1 六本Biblioteka 同的书，分为三组，求在下列 条件下各有多少种不同的分配方法？
• (1)每组两本. • (2)一组一本，一组二本，一组三本. • (3)一组四本，另外两组各一本.
(1)
C
62C
42C
2 2
15
A33
(2)C16C52C3360
(3) C64C12C11 15 A22
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分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是4116212215C C C A ⨯⨯= (种)，或1146542215C C C A ⨯⨯= (种)。
小结：分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，常见的分组问题有：（1）完全均分的分组：每组元素个数相等，不管它们的顺序如何，都是一种情况，应该除序，即除以相等组数的阶乘；一般地，k m 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同的分法种数为：(1)m m m km k m mk k C C C A -⨯⨯⋅⋅⋅⨯（2）全非均分的分组：各组元素个数均不等，无需考虑重复现象；一般地， 把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，且123,,,k m m m m ⋅⋅⋅互不相等，123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，则不同分法种数为：312112()k k m m m m n n m n m m m C C C C --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯（3）部分均分的分组：部分组元素个数相等，应除以部分相等组数的阶乘；一般地，把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，且123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，如果123,,,k m m m m ⋅⋅⋅中有且仅有i 个相等，则不同的分法种数为：312112()k k m m m m n n m n m m m i i C C C C A --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯三、分配问题 １、定向分配问题例2、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 甲2本、乙2本、丙2本；(2) 甲1本、乙2本、丙3本；(3) 甲4本、乙1本、丙1本；分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，这是分配问题中的定向分配问题，由分步计数原理不难解出：（１）22264290C C C ⋅⋅=(种)（２）12365360C C C ⋅⋅=(种)，或231641C C C ⋅⋅或312632C C C ⋅⋅或321631C C C ⋅⋅（３）41162130C C C ⋅⋅=(种)，或114654C C C ⋅⋅或141651C C C ⋅⋅小结：定向分配问题可用分步计数原理计算。
２、不定向分配问题例3、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每人2本；(2) 一人1本，一人2本，一人3本；(3) 一人4本、一人1本、一人1本；分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是分配问题中比较困难的问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以33A 即可。
（33A 可理解为三人分别有3种、2种、1种选择法）（１）222364233390C C C A A ⨯⨯⨯=(种) （２）12336533360C C C A ⨯⨯⨯=(种)，或23136413C C C A ⨯⨯⨯或31236323C C C A ⨯⨯⨯或32136313C C C A ⨯⨯⨯（３）411362132290C C C A A ⨯⨯⨯=(种)，或1143654322C C C A A ⨯⨯⨯或1413651322C C C A A ⨯⨯⨯ 小结：不定向分配问题的解决办法是先分组后分配。
例4、12支笔按3：3：2：2：2分给A 、B 、C 、D 、E 五个人有多少种不同的分法？分析：问题可转化为先分组后分配。
先分组：分组法数有332221296422323C C C C C A A ⨯⨯⨯⨯⨯ 后分配：将这五组(即五个不同元素)分配给五个人(不同对象)，分配方法数有55A 。
根据分步计数原理共有33222512964252323C C C C C A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的分法。
例5、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
于是问题可转化为先分组后分配。
先分组：四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法数有11243222C C CA⨯⨯。
后分配：将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)，分配方法数有34A。
根据分步计数原理共有1123432422144 C C CAA⨯⨯⨯=例6、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中4人承担这三项任务，不同的选派法有多少种？分析：问题可转化为先分组后分配。
先分组：第一步从10人中选4人，选法有410C，第二步分为三组，其中两组各1人，另一组2人，分组方法数有11243222C C CA⨯⨯，共有11244321022C C CCA⨯⨯⨯；后分配：第一步分配甲任务，分配法只有1种，第二步分配乙、丙任务，分配法有22A。
根据分步计数原理共有11242432102222520C C CC AA⨯⨯⨯⨯=种不同的选派法。
例7、设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以问题可转化为先分组后分配。
先分组：集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有11243222C C CA⨯⨯种。
后分配：将这三组(看作三个不同元素)分配给B中的三个不同元素，分配方法数有33A 种。
根据分步计数原理共有112343232236C C C A A ⨯⨯⨯=个不同的函数。
例8、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。
因此，先分组，后分配。
先分组：六本书怎么分为三组呢？有三类分法：每组2本，有22264233C C C A ⨯⨯＝15种；三组分别有1本、2本、3本，有123653C C C ⨯⨯＝60种；两组各1本，另一组4本，有4116212215C C C A ⨯⨯=种。
所以根据加法原理，分组法有15+60+15=90种。
后分配：将这三组(即三个不同元素)分配给三个人(不同对象)，分配方法数有336A =(种)。
根据分步计数原理共有906540⨯=种不同的分法。
四、元素相同问题的等效转化——隔板分割法例9、5本相同的书全部分给3个人，每人至少1本，有多少种分法？分析：5本相同的书没有差别，可把它们排成一排，相邻两书之间形成4个空隙，在4个空隙中选2个空隙，每个空隙插入1个隔板，可把5本相同的书分成3部分，对应地分给3个人，每一种插板方法对应一种分法。
因为两个隔板无顺序，所以共有24C 种分法。
例10、5本相同的书分给3个人，有多少种分法?分析1：把5本相同的书排成一排，相邻两书之间有4个空隙及两端有2个空隙，在这6个空隙位置插2个隔板，这样第2个人至少能分到1本，为了让第2个人可能分到0本，我们在这6个空隙位置上再增加一个位置，形成7个位置2个隔板进行分割，所以共有27C 种分法。
分析2：以第2个人为标准，问题可分为两类，第一类：第2人至少分到1本，相当于在4个空隙位置及两端共6个空隙位置插2个隔板，有26C 种插种法；第一类：第2个人分到0本，在上述的6个空隙位置同时插2个隔板，有16C 种插法；于是共有26C +16C 种。
下列问题用隔板分割法如何解释？有待高人帮助。
例11、3本相同的书全部分给5个人，每人至多1本，有多少种分法？分析：从5人中选3人来分书，因为分给的书相同，所以无顺序，有35C 种分法。
例12、3本相同的书全部分给5个人，有多少种分法？分析：问题可分为三类，第一类：把3本相同的书分给1人，可从5人中选1人，有15C 种；第二类：3本相同的书分给2人，可从5人中选2人，有2252C A 种（先选人，后分配）；第三类：3本相同的书分给3人，可从5人中选3人，有35C 种；共有1223552535C C A C ++=。
最后，相同元素分配给相同对象的问题很简单，这里不再赘述。
如5个相同的小球放入2个相同的盒子里，有0+5，1+4，2+3三种分法。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。