分组与分配问题(整理他人所得)

分组与分配问题（整理他人所得）

一、分组与分配的概念

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。

二、分组问题

例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？

(1)每组2本（均分三堆）；

(2)一组1本，一组2本，一组3本；

(3)一组4本，另外两组各1本；

分析：

(1) 每组2本（均分三堆）；

分组与顺序无关，是组合问题。可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里

出现了重复。不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，

第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642

C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，C

D ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这3

3A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数

是：22264233

C C C A ⨯⨯=15(种)。 (2) 一组1本，一组2本，一组3本；

分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本

数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。或

231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯

(3) 一组4本，另外两组各1本；

分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本

数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是4116212215C C C A ⨯⨯= (种)，或11465422

15C C C A ⨯⨯= (种)。 小结：分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，常见的分组问题有：

（1）完全均分的分组：每组元素个数相等，不管它们的顺序如何，都是一种情况，应该除序，即除以相等组数的阶乘；一般地，k m 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同的分法种数为：(1)m m m km k m m

k k C C C A -⨯⨯⋅⋅⋅⨯

（2）全非均分的分组：各组元素个数均不等，无需考虑重复现象；一般地， 把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，且123,,,k m m m m ⋅⋅⋅互不相等，123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，则不同分法种数为：

312112()k k m m m m n n m n m m m C C C C --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯

（3）部分均分的分组：部分组元素个数相等，应除以部分相等组数的阶乘；一般地，把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，

且123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，如果123,,,k m m m m ⋅⋅⋅中有且仅有i 个相等，则不同的分法种数为：

312112()k k m m m m n n m n m m m i i C C C C A --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯

三、分配问题 １、定向分配问题

例2、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1) 甲2本、乙2本、丙2本；

(2) 甲1本、乙2本、丙3本；

(3) 甲4本、乙1本、丙1本；

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，这是分配问题中的定向分配问题，由分步计数原理不难解出：

（１）22264290C C C ⋅⋅=(种)

（２）12365360C C C ⋅⋅=(种)，或231641C C C ⋅⋅或312632C C C ⋅⋅或321631C C C ⋅⋅

（３）41162130C C C ⋅⋅=(种)，或114654C C C ⋅⋅或141651C C C ⋅⋅

小结：定向分配问题可用分步计数原理计算。

２、不定向分配问题

例3、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

(1) 每人2本；

(2) 一人1本，一人2本，一人3本；

(3) 一人4本、一人1本、一人1本；

分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是分配问题中比较困难的问题。

由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作

“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以33A 即可。（33A 可理解为三人分别有3种、2种、1种选择法）

（１）2223642333

90C C C A A ⨯⨯⨯=(种) （２）12336533360C C C A ⨯⨯⨯=(种)，或23136413C C C A ⨯⨯⨯或31236323C C C A ⨯⨯⨯

或32136313C C C A ⨯⨯⨯

（３）411362132290C C C A A ⨯⨯⨯=(种)，或1143654322C C C A A ⨯⨯⨯或1413651322

C C C A A ⨯⨯⨯ 小结：不定向分配问题的解决办法是先分组后分配。

例4、12支笔按3：3：2：2：2分给A 、B 、C 、D 、E 五个人有多少种不同的分法？

分析：问题可转化为先分组后分配。 先分组：分组法数有332221296422323

C C C C C A A ⨯⨯⨯⨯⨯ 后分配：将这五组(即五个不同元素)分配给五个人(不同对象)，分配方法数有55A 。 根据分步计数原理共有33222512964252323

C C C C C A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的分法。 例5、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。于是问题可转化为先分组后分配。

先分组：四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法数