勾股定理的应用(1)小蚂蚁问题
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B
A
B
B
10
A
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
B
A
2 1
A
3
C B 1 C
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了4 ________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步） 4 C B 5 3 “路” A
几何画板演示
补充：1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口 O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小 时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船 相距多远？
B
B 2
A
A 1
3
C
AB＝ AC 2 BC 2 ＝
4 2
2
2
＝
20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
及时练
如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米， 盒内可放的棍子最长是多少米？
Fra Baidu bibliotek
18
24
30
小结：勾股定理在生活中的应用 十分广泛，利用勾股定理解决问 题，关键是找出问题中隐藏的直 角三角形或自己构造合适的直角 三角形，尝试把立体图形转换为 平面图形。
北 甲(A)
西
O
东
南
乙(B)
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相 对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
B
B
0.2 0.3
2
A
(0.2×3＋0.3×3)m
A
2m
C
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡 车，其外形高 2.5 米， 宽 1.6 米，要开进厂门 形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门 ? 说明理
由。
A 2.3米
B
D
2米
C
分析
由于厂门宽度足够,所 以卡车能否通过,只要看当 卡车位于厂门正中间时其 高度是否小于CH．如图 所示,点D在离厂门中线0.8 米处,且CD⊥AB, 与地面 交于H．
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为
a，b，斜边为c，那么a² +b² =c² 。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
A
c
b
C
B
a
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a² + b² =c² ，那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
∠C=90º (△ABC是直角三角形) A.
c
b
C
B
a
例1 两军舰同时从港口O出发执行任务，甲 舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙 舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问 北 1小时后两舰相距多远？
甲(A)
西
O
东
乙(B)
南
例1：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，
高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂 蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C， 试求出爬行的最短路程.（精确到 0.01cm 注意 :展开）
B
C
1
2
B
A
A
小 结： 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 把几何体适当展开成平面图形，再利用 故需把正方体展开成平面图形（如图）. “两点之间线段最短”性质来解决问题。
（3） 如图,长方体的高为3cm,底面 是边长为2cm的正方形.现有一小虫从 顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C, 小虫走的路程最短为____厘米.
D C
B
A
B E F 6
A
3
C
5 D
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A E
┏
C
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
图中的BC=?
10cm ? cm
B
4cm
A
(1) 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高
ＡＢ为6cm，一只蚂蚁从距底面1cm的点A出发， 沿着圆柱的表面爬行到点B，试求出爬行的最 短路程.
C
B
C
5cm
12cm
B
A
?
A
(2)如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁 从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B的最短距离是（ B ）. （ A） 3 （B )√ 5 （C）2 （D 1
A
C
B
例2 如图所示，有一个高为12cm，底面半 径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对 的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要 爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)
B
A
B
C
B
A
A
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方 体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
3
2
2
A
A 1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2 1
A
3
C
A
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
3 3
2
2
＝
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B 1 C
A
A
3
2
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
5 1
2
2
＝
26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路 程为
C
A 2.3米 ┏ O
D
B
N
2米
H
M
解 在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝
OC 2 OD2
＝
12 0.82
＝0.6米，
C
┏ O
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米). 因此高度上有0.4米的余量， 所以卡车能通过厂门． A
2.3米
D
B
N
2米
H
M
本节课你有哪些收获？
P60
1、 2、 3
A
B
B
10
A
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
B
A
2 1
A
3
C B 1 C
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了4 ________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步） 4 C B 5 3 “路” A
几何画板演示
补充：1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口 O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小 时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船 相距多远？
B
B 2
A
A 1
3
C
AB＝ AC 2 BC 2 ＝
4 2
2
2
＝
20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
及时练
如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米， 盒内可放的棍子最长是多少米？
Fra Baidu bibliotek
18
24
30
小结：勾股定理在生活中的应用 十分广泛，利用勾股定理解决问 题，关键是找出问题中隐藏的直 角三角形或自己构造合适的直角 三角形，尝试把立体图形转换为 平面图形。
北 甲(A)
西
O
东
南
乙(B)
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相 对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食 物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
B
B
0.2 0.3
2
A
(0.2×3＋0.3×3)m
A
2m
C
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡 车，其外形高 2.5 米， 宽 1.6 米，要开进厂门 形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门 ? 说明理
由。
A 2.3米
B
D
2米
C
分析
由于厂门宽度足够,所 以卡车能否通过,只要看当 卡车位于厂门正中间时其 高度是否小于CH．如图 所示,点D在离厂门中线0.8 米处,且CD⊥AB, 与地面 交于H．
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为
a，b，斜边为c，那么a² +b² =c² 。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
A
c
b
C
B
a
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a² + b² =c² ，那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
∠C=90º (△ABC是直角三角形) A.
c
b
C
B
a
例1 两军舰同时从港口O出发执行任务，甲 舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙 舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问 北 1小时后两舰相距多远？
甲(A)
西
O
东
乙(B)
南
例1：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，
高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂 蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C， 试求出爬行的最短路程.（精确到 0.01cm 注意 :展开）
B
C
1
2
B
A
A
小 结： 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 把几何体适当展开成平面图形，再利用 故需把正方体展开成平面图形（如图）. “两点之间线段最短”性质来解决问题。
（3） 如图,长方体的高为3cm,底面 是边长为2cm的正方形.现有一小虫从 顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C, 小虫走的路程最短为____厘米.
D C
B
A
B E F 6
A
3
C
5 D
2.如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
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A E
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C
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ： ☞ 如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
图中的BC=?
10cm ? cm
B
4cm
A
(1) 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高
ＡＢ为6cm，一只蚂蚁从距底面1cm的点A出发， 沿着圆柱的表面爬行到点B，试求出爬行的最 短路程.
C
B
C
5cm
12cm
B
A
?
A
(2)如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁 从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B的最短距离是（ B ）. （ A） 3 （B )√ 5 （C）2 （D 1
A
C
B
例2 如图所示，有一个高为12cm，底面半 径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对 的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要 爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)
B
A
B
C
B
A
A
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方 体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
3
2
2
A
A 1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2 1
A
3
C
A
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
3 3
2
2
＝
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B 1 C
A
A
3
2
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
5 1
2
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26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路 程为
C
A 2.3米 ┏ O
D
B
N
2米
H
M
解 在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝
OC 2 OD2
＝
12 0.82
＝0.6米，
C
┏ O
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米). 因此高度上有0.4米的余量， 所以卡车能通过厂门． A
2.3米
D
B
N
2米
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M
本节课你有哪些收获？
P60
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