2。2线性变换的基本性质

§2.2线性变换的基本性质

教学目标:

一、知识与技能：

会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝

βλαλA A 21+

二、方法与过程

分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。

三、情感、态度与价值观

感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。

教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念

（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a 称为二阶矩阵。特别地，

称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换

在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dy

cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性

变换。

（2）旋转变换

坐标公式为⎩⎨⎧+=-=α

αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-αα

αα

cos sin sin cos （3）反射变换

①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==y

y x x ``对应的二阶矩阵为⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y y x ``对应的二阶矩阵为⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛0110； （4）伸缩变换

坐标公式为⎩⎨⎧==y

k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛21

0k k ； （5）投影变换

①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==y

y x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1000 （6）切变变换

①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛101s 二、新课讲解

定理1 设A ＝⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X

证明：（1）A （t 1X ）＝⎪⎪⎭⎫

⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11ty tx ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11

11dty ctx bty atx ＝⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++1111dy cx by ax t ＝t （A 1X ） （2）A 1X ＋A 2X ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11y x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛22y x ＝⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++1111dy cx by ax ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22

22dy cx by ax ＝⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++++++22112211dy cx dy cx by ax by ax ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++)()()()(2121

2121y y d x x c y y b x x a ＝⎪⎪⎭⎫

⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++2121y y x x ＝A （1X ＋2X ） （3）A （t 1X ＋k 2X ）＝A （t 1X ）＋A （k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X 由定理1还得出：

A （2X 1X -）＝A 2X ＋A （1X -）＝A 2X - A 1X 由定理1还可翻译为线性变换在向量上作用的等式

βαβαA A A +=+)(；ααtA t A =)(；)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+

定理2 可逆的线性变换具有如下性质：

（1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形

证明：设可逆线性变换A 的矩阵为A 。

设0P ，1P ，2P 为平面三个不同的点，P 为平面上任意一点，

点0P ，1P ，2P ，P ，分别初恋换A 变到点`0P ，`1P ，`2P ，`

P 如图所示。设0OP ，1OP

，2OP ，OP ，`0OP ，`1OP ，`2OP ，`OP 的坐标分别是0X ，1X ，2X ，X ，`

0X ，`1X ，`2X ，`X

则`

0X ＝A 0X ，`1X ＝A 1X ，`2X ＝A 2X ，`

X ＝A X

设0P ，1P 不重合，决定一条直线0P 1P 和一条线段0P 1P

由于A 是可逆变换，`0P ，`

1P 也不重合，也决定一条直线`0P `

1P 和一条线段`0P `

1P

（1）点P 在直线0P 1P 上⇔存在实数t 使P 0＝t 10P P

⇔X -0X =t (1X -0X )⇔A(X -0X )=A t (1X -0X

)