上海市复旦附中高一期中数学试卷(2017.11)

复旦附中高一期中试卷

2017.11

一. 填空题

1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B =

2.命题 “如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是

命题（填“真”或“假”）

3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B =

4.已知“1

2

a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是

5.设{,}M a b =，则满足{,,}M

N a b c ⊆的集合N 的个数为

6.

函数()f x =[2,1]-，则a 的值为

7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为

8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为

9.给出下列四个命题：① 若a b >，c d >，则a d b c ->-；② 若22a x a y >，则x y >； ③ 若a b >，则

11a b a >-；④ 若11

0a b

<<，则2ab b <. 其中正确命题是 （填所有正确命题的序号）

10.若(,2)x ∈-∞，则2

542x x x

-+-的最小值为

11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)||()|f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的

取值范围是

12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 领域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二.选择题

13.设实数1a 、2a 、1b 、2b 均不为0，则“

11

22

a b a b =成立”是“关于x 的不等式110a x b +>与220a x b +>的解集相同”的（ ）条件 A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要14.解析式为221y x =+，值域为{5,19}的函数有（）个

A.4

B.6

C.8

D.9

15.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出 2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.

其中真命题的个数为（ ）个

A.1

B.2

C.3

D.4

16. 设a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合

{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，若||S 、||T 分别为集合S 、T 的元素

个数，则下列结论不可能是（ ） A.||1S =且||0T = B.||1S =且||1T =C.||2S =且||2T =

D.||2S =且||3T =

三.解答题

17. 已知集合2{|(1)320}A x m x x =-+-=，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.

18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？

19. 已知a ∈R ，集合26{|0}1

x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.

（1）求集合A 与集合B ； （2）若A

B B =，求实数a 的取值范围.

20. 已知函数2|1|

()4

x m f x x +-=

-，0m >，满足(2)2f =-.

（1）求实数m 的值；

（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程

()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）

21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函 数()f x 的定义域），均有1212|()()|||f x f x x x -≤-成立.

（1）已知函数2()1f x x =+，11

[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；

（2）是否存在实数a ，使得()2

a

p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值

范围，若不存在，请说明理由；

（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.

定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分： 011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，

和式11|()()|n

i i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝 对差上确界”，符号

121

n

i

n i t

t t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差

有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.