数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)
一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D 2．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-3．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-4．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭6．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝2，则有( ) A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c7．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．2020πB ．1010π C ．505π D ．4040π 8．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．8310．若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13C ．13-或1D ．13或1- 11．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．1312．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________. 17．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 18．已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______.19．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.22．设函数()2cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.23．（1）若角α的终边上有一点()1,3P ，求值：()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒.24．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.25．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫⎪⎝⎭，求()sin αβ-的值. 26．已知函数()2sin 22cos 1f x a x x =+-，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）()f x 的最小正周期； （Ⅱ）()f x 的单调递增区间. 条件①：()f x 图像的对称轴为8x π=；条件②：14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件③：a =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭， 所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 3．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.【详解】解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.4．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得61cos (,0)152β-=-，从而得解. 【详解】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈. 又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()3αβ+==-. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.因为6127015230--+=>，所以1cos (,0)2β∈-所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.6．A解析：A 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简a ,利用二倍角的余弦公式及诱导公式化简b ,再利用特殊角的三角函数值化简c ,根据正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，甶角度的大小，得到正弦值的大小,进而得到,a b 及c 的大小关系.【详解】化简得()17cos45cos1745174562a sin sin sin sin =+=+=，()22cos 131cos26cos 906464b sin =-==-=，60c sin ==，正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 606264sin sin sin ∴<<，即c a b <<，故选A. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数，正弦函数的单调性，属于中档题. 比较大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.7．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos 1αα+=可化简得方程23(sin cos )2sin cos 10αααα--=，解出1sin cos 3αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，得出1sin cos 3αα=-.【详解】由11sin cos sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得22(sin cos )(sin cos )αααα+222sin cos 2sin cos (sin cos )αααααα++=212sin cos 3(sin cos )αααα+==23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，1sin cos 3αα∴=-或1，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，1sin cos 3αα∴=-.故选：A. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.11．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】把已知等式两边平方求出的值再利用完全平方公式求出的值联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值【详解】已知平方得得解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系齐次方程的求解属解析：43-【分析】把已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，再利用完全平方公式求出sin cos θθ-的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan θ的值． 【详解】 已知1sin cos 5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos 2sin cos 25θθθθθθ+=++=，得12sin cos 25θθ=-， ∴()222sin cos sin cos 2sin cos 125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin 0,cos 0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题．14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】 化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】 由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.17．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断； ③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确； ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立， 证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.18．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入53tan 11β=-可求得3tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 23αβ-=根据3tan 19α=<及53tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】 因为()3tan 3αβ-=,3tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan 23tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入53tan 11β=-53tan 23113531tan 11αα=⎛⎫+⋅-⎪⎝⎭化简可求得tan 9α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<<则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.19．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()g x 2sin23x π=-（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.（2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法. 22．（1）π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值；（2）()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对()f x 化简，再利用三角函数性质即可求解；（2）由（1）知()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈即可求解.【详解】（1）()1cos 221cos 222f x x x x =-+-sin 216x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即2262x k πππ+=-，k Z ∈，即π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值.（2）由（1）知，()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 要求其单调单增区间，只需求sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得：263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.23．（1）47-；（2）0. 【分析】（1）由三角函数定义求得tan α，用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子，代入tan α可得．（2）由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算． 【详解】解：（1）由已知3tan 31α，原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+；（2）原式()242320lg log 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角间的三角函数关系，考查对数的运算法则．在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式，一般利用商数关系化为tan α的代数式，代入tan α求值．当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题．24．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2）1144m <<【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 222x x x =++-1cos 212cos 2222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π=+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在2内有两个零点，所以22144016020m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<<⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即222316043160m m m <<⎪⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数m的取值范是1144m <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 25．3365- 【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-． 【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x. 26．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.【分析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得())f x x ϕ=+ ，根据对称轴求得ϕ的值，进而求得a 的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；（Ⅱ） 根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+，根据选择的条件求得a 的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得()f x 的最小正周期； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6x π=+ 然后求得()f x 的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.【详解】选① （()f x 图像的一条对称轴为8x π=）解：(Ⅰ) ()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+22x x ⎛⎫=+⎪⎭)x ϕ=+（其中1tan aϕ=） 因为()f x 图像的一条对称轴为8x π=所以()1sin()84f ππϕ=+=即有,42k k Z ππϕπ+=+∈ 所以,4k k Z πϕπ=+∈ 所以1tan tan()tan 144k aππϕπ=+=== 1a故())4f x x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ， 选② (()1)4f π= 解：(Ⅰ)()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+()sin cos 1422f a πππ∴=+= 1a ()sin 2cos 2f x x x =+2(22)22x x =+)4x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ，选③（a =解：（I ）()222cos 1f x x x =+-2cos2x x =+ 312(sin 2cos 2)22x x 2sin(2)6x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,262k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 2+22+2,33k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36k Z ππππ-∈+k ， 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简.。
(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ） A ．21-B ．1C ．22D ．212-2．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．12B 3C ．1225D ．24255．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 6．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 7．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） A ．433+ B ．433- C ．334+ D ．334- 9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（ ）A ．31250B ．17250C ．7225D ．1222511．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13二、填空题13．已知10cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.15．已知函数1()sin 2222f x x x =-+，对于任意的0,2a ⎡∈⎢⎣⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，则m 的最大值为__________．16．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．17．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 18．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 三、解答题21．已知函数()1cos 2sin cos 2f x x x x =+⋅，其中x ∈R . （1）求使()12f x ≥的x 的取值范围； （2）若函数()3sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.22．已知02πα<<，4sin 5α． （1）求tan2α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）若02πβ<<且1cos()3αβ+=-，求sin β的值．23．已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值； （2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值． 24．已知300cos 25παβπα<<<<=，，． （1）分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）若1sin()3αβ+=，求cos β． 25．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.26．在①2sin 3sin 2αα=，②cos2α=，③tan α=个，补充在下面问题中，并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为1． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】 ∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得：222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案． 【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25， 边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长， 设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，所以()2222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去， 所以4b =，∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.5．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A =1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.7．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可.【详解】 ∵cos （α6π+）3=5（α为锐角）， ∴α6π+为锐角， ∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α． 【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7224231225225250=⨯+⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．11．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．12．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1.本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．【分析】化简原题等价于函数与函数的图象的交点个数为1做出图像数形结合即可得答案【详解】利用辅助角公式化简可得方程仅有一个实数根等价于函数与函数的图象的交点个数为1结合图象可知当时m 的最大值为故答案为 解析：23π 【分析】化简()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，原题等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，做出图像，数形结合，即可得答案. 【详解】利用辅助角公式，化简可得()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，结合图象可知，当30,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，m 的最大值为23π．故答案为：23π. 【点睛】本题考查辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.16．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题 3先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．17．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.18．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则12=平方得22131424a a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断； ③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确；④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立， 证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.三、解答题21．（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】 （1）化简2())4f x x π=+，根据正弦函数的图象解不等式2sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭可得结果；（2）构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，将题意转化为当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，根据[0,][,]22t ππ⊆-可解得结果.【详解】（1）()1112cos 2sin cos cos 2sin 2222224f x x x x x x x π=+⋅=+=+（）， ()12f x ≥，即2sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以3222444k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，， 解得4k x k k Z πππ≤≤+∈，，即使()12f x ≥的x 的取值范围是4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，.（2）令()()()32sin 22424F x f x g x x x ππ=-=+-+（）（）22sin 244x x x ππ=++=（）（）， 因为对任意的120x x t ≤≤＜，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立， 所以当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，所以[0,][,]22t ππ⊆-，所以22t π≤，解得4t π≤， 所以实数t 的最大值为4π.【点睛】关键点点睛：构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，根据函数()sin 2F x x =在[0,]t 上为增函数求解是解题关键.22．（1）247-，（2）50-，（3）415【分析】（1）由02πα<<，4sin 5α，可求出35cos α=，从而可求出4tan 3α=，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sin()αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】解：（1）因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α===，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===， 所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos 2sin 2)2αα=-2(12sin 2sin cos )2ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-， （3）因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，因为1cos()3αβ+=-，所以sin()3αβ+===， 所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+3144()353515=⨯--⨯=【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题 23．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin （2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值； （2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值． 【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x -+=sin 222sin(2)3x x x π==+∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π， 1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1． （2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=，∴A ＝3π． ∵b +c＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC 面积1sin 24S bc A ==≤故△ABC 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题.24．（1）724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-==；（2）415- ． 【分析】 （1）先由30cos 25παα<<=，，求出sin α，然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值； （2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解． 【详解】 （1）因为30,cos 25παα<<=，所以24sin 1cos 5αα．所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 2αααααα=-=-====；（2）因为0,02παβπ<<<<，所以302παβ<+<， 因为14sin()sin 35αβα+=<=，所以αβ+不可能是锐角，所以cos()3αβ+==-，所以4cos cos[()]cos()cos sin()sin 15βαβααβααβα-=+-=+++=． 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 25．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．26．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α==因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=， 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()4αβ+=， 所以cos cos[()]βαβα=+- cos()cos sin()sin αβααβα=+++1143=-⨯=若选条件②因为cos 2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=.因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α= 以下同①的解法.若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 31cos 3αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法.【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知23cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59C ．536D ．518-2．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．353．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ） A ．135± B ．135+ C ．153± D ．35+ 4．函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．24135．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-6．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．137．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)228．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．359．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 10．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．1312．已知A 是函数()333sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ）A ．2020π B ．1010π C ．32020πD ．2020二、填空题13．给出下列命题：①()72cos 22f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是奇函数；②若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像的一条对称轴；④已知函数()23sin12xf x π=+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______. 14．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.15．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10sin α=，()cos 5αβ+=，则()cos 2αβ+=______.16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 17．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 18．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,c =则a ,b ,c 的大小关系是______.20．设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,；③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.三、解答题21．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.23．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，23()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.25．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin cos 22αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 26．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期. （3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C. 【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.3．B解析：B 【分析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据两角和的正弦即可得出结果.【详解】 ∵02πα<<，∴336πππα-<-<，又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 3πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴11sin sin 3342ππαα⎛⎫=-+=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】先根据对数函数性质得()3,2A -，进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】解：根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ==， 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C. 【点睛】本题考查对数函数性质，三角函数定义，正弦的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.5．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.6．C解析：C 【解析】因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=， 所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 7．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．A解析：A 【详解】由tan tan 12B C =-可得sin sin (12)cos cos B C B C =-， 进而得cos 2cos cos A C B =-，由于sin 2cos cos A B C =-， 所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.10．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．11．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 2020x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．二、填空题13．①③④【分析】对①化简得可判断；对②取特殊值可说明；对③代入求值可判断；对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确；对②如但故②错误；对③当时取得最大值故③正确；对④则的最小正周期解析：①③④ 【分析】 对①，化简得()()2sin 2f x x =可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入38x π=-求值可判断；对④，化简()f x ，求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①，()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭是奇函数，故①正确； 对②，如7,33ππαβ==，但tan tan αβ=，故②错误； 对③，当38x π=-时，333sin 2384y ππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，取得最大值，故③正确； 对④，()()2353sin1cos 222xf x x ππ=+=-+，则()f x 的最小正周期为22ππ=，则c 的最小值是2，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.14．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.15．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin，()cos αβ+=cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.17．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.18．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④. 【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④. 【详解】()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确； 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确； 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+， 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误； 图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确.故答案为：①②④. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）()2cos f x x =；（2）4.【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值 【详解】（1）原函数化简得到2sin 2coscos 2sin2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x = 所以()2cos f x x =. （2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=解得sin sin αβ=2cos cos sin )(sin cos cos sin )()cos x x x x g x xααββ++=.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos 326cos x x x x x⎤⎛⋅+⋅+⋅-⎥⎥⎝⎭⎣⎦=22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-，则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题22．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ（2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可.【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 23．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-， 令()()()h x f x g x =-，则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=，∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.24．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．25．（1）3；（2433-. 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sin cos 222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-， 所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．26．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（341+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可； （3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可； （4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 （1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1sin2cos21cos222x x x =-+-3cos212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， 函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()3πα-= 因为(0,)2πα∈，所以cos()3πα-=， 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3sin 221cos 2222βββ=-++211β=+=+1=+1= 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ） A1-B ．1C．2D．12-2．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）A ．16B ．116C ．512D ．7123．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A．10 B． CD．-4．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）.A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 5．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．角α的终边与单位圆的交点坐标为1,)22，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ） ABCD ．07．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．18D ．988．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ） A ．429-B ．429C ．79-D ．799．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．1310．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2211．求sin10°sin50°sin70°的值（ ） A ．12B ．32C ．18D ．33812．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.14．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______.15．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________． 16．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____.17．已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为______. 18．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+=____________.19．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．20．在ABC 中,已知tansin 2A BC +=,给出以下四个论断: ①tan tan A B =,②1sin sin 2A B <+≤22sin cos 1A B +=,④222cos cos sin A B C +=,其中正确的是__________.三、解答题21．已知cos α5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值．22．设函数()2cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.23．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-. （1）求函数()()3sin 2h x x f x =+的最大值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围. 24．已知函数()2133sin cos 1224f x x x x =-+-(x ∈R ) （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值. 25．已知02πα<<，02πβ-<<，310cos 10α=，3cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．26．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-． （附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期， 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根， 所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下： （1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.3．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.4．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b aϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π4f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.5．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 6．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98， 故选:D. 【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.8．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．C解析：C 【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 10．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．二、填空题13．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两 解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin316f xxπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，然后将0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，转化为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()23sin cos2cos222x x xf xωωω=+，3sin cos1x xωω=++，2sin16xπω⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为函数()f x的周期为，所以2323πωπ==，()2sin316f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，所以0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象如图所示：由图象可知：23k≤-<，即2k-3<≤-，所以实数k的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时∵在区间上单调递增∴得即m 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题 解析：6π【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：()1cos 212sin 22262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤，得6m π≤，即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.15．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98.故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件解得φ的值【详解】因为f(x)=sin2x+cos2x=sin 所以y=fsin 则有φ++kπ因此φ=+kπ(k ∈Z)当k解析：π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力.17．【分析】由三角形内角的性质结合可得由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值注意基本不等式的使用条件一正二定三相等其中为锐角【详解】为△的三内角为锐角∴故有即可得∴当且仅当时等号成立∴的最小值为故解析：23【分析】由三角形内角的性质结合tan 2tan B A =，可得23tan tan tan 2BC B =-，由目标函数式11tan tan B C+并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中A 为锐角，tan 2tan 0B A => 【详解】A 、B 、C 为△ABC 的三内角，A 为锐角，tan 2tan 0B A => ∴tan 2tan[()]2tan()B B C B C π=-+=-+故有2(tan tan )tan tan tan 1B C B B C +=-，即可得23tan tan tan 2BC B =-∴2111tan 2tan 12tan tan tan 3tan 33tan 3B B BC B B B -+=+=+≥=，当且仅当tan 1B =时等号成立 ∴11tan tan B C +的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用18．2020【分析】由条件求出化简待求式为的形式即可求解【详解】因为解得所以故答案为：2020【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系考查了运算能力属于中档题解析：2020 【分析】由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解. 【详解】 因为1tan 20201tan αα+=-，解得2019tan 2021α=， 所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα+++=+=+---- 2220191(1tan )1tan 2021=202020191tan 1tan 12021αααα+++===---， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.19．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-，因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB ∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.20．②④【分析】已知式子变形可得逐个选项判定即可【详解】解：因为所以整理得所以①中：因为所以不一定等于故①不正确；②中：因为又因为所以所以故②正确；③中：不一定成立故③不正确；④中：所以故④正确【点睛】解析：②④ 【分析】已知式子变形可得2A B π+=，逐个选项判定即可.【详解】 解：因为tansin 2A BC += 所以sin22sin cos 22cos 2A BA B A B A B +++=+整理得()cos 0A B += . 所以2A B π+=.①中：因为2A B π+=，所以tan A 不一定等于tan B ，故①不正确；②中：因为sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭又因为3444A πππ<+<，所以sin 124A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以1sin sin A B <+≤故②正确；③中：22222sin cos sin si n 12n si A B A A A ==+=+，不一定成立，故③不正确； ④中：2222cos cos cos sin 1A A B A +==+,22sin si 1n 2C π==,所以222cos cos sin A B C +=.故④正确. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题.三、解答题21．（Ⅰ）10；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵cos α=，()sin αβ-=∴sin α==cos （α﹣β）==， ∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α=-=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α cos （α﹣β）+ sinα sin （α﹣β）=+=又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键. 22．（1）π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值；（2）()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对()f x 化简，再利用三角函数性质即可求解；（2）由（1）知()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈即可求解.【详解】（1）()1cos 221cos 222f x x x x =-+-sin 216x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即2262x k πππ+=-，k Z ∈，即π3x k π=-，k Z ∈时，()f x 取得最大值.（2）由（1）知，()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 要求其单调单增区间，只需求sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得：263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.23．（1）-1；（2）()4-+∞ 【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立， 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+-当02a≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解； 当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.24．（1）π；（2）当3x π=时，()max14f x =-；当12x π=-时，()min 32f x =-.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.. （2）根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）()21sin cos 12f x x x x =+，1sin 2214x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当233x ππ-=，即3x π=，()max14f x =-， 当232x ππ-=-，12x π=-时，()()min 131122f x =⨯--=-. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．25．（1；（2. 【分析】（1）根据02πα<<，cos 10α=sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()45+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos 10α=所以10sin α=， 所以cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-，22==. （2）因为02πα<<， 所以3444πππα<+<，所以sin()45+=πα， 因为02πβ-<<， 所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=， 所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα， sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，== 【点睛】 方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．26．（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-， 即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立． 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立； （2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-. 即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。
(压轴题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-3．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C D ． 4．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B C ．D 5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π6．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．837．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)228．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．359．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（ ）A．50B．50C．25D．2510．在斜三角形ABC 中，sin Acos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( )A ．4πB ．3π C ．2πD ．34π 11．已知A 是函数()3sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．32020πD12．若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．3-BC． D二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______. 14．关于x的方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，则sin cos 11tan 1tan θθθθ+=--______． 15．已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为______. 16．2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______. 17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 18．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____.20．已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号） ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=. 三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =. （1）求0x <时，函数()f x 的解析式； （2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.22．已知函数()1cos 2sin cos 2f x x x x =+⋅，其中x ∈R . （1）求使()12f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数()3sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的120x x t ≤<≤，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.23．已知2()sin cos 222x x x f x =-. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，求实数t 的取值范围. 24．已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求方程()1g x =在[]0,x π∈上的解集.25．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．26．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-. （1）求函数()()2h x x f x =+的最大值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+. 【详解】解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++，故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.2．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355=-+= 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.3．C解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 44αα===cos 所以sin sin sin cos cos sin 444444224απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.5．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =， ∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.6．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦72425225250=⨯+⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．10．A解析：A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =，所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.11．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))263f x x x ππ=+-，392020cos 2020cos 202020204444x x x x =+-+，320220cos 20202x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cosβ=，sin β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论． 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=，设cos β=，sin β=，且β为锐角，cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】利用方程的根得到的关系化简所求式代入求值即可【详解】因为方程的两个根为和所以因此故答案为：【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值属于基础题解析：【分析】利用方程的根得到sin ,cos θθ的关系，化简所求式，代入求值即可. 【详解】因为方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，所以sin cos θθ+=，sin cos 2m θθ=，因此，2222sin cos sin cos sin cos sin cos 11tan sin cos cos sin sin cos 1tan 12θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+=------故答案为： 【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值，属于基础题.15．【分析】由三角形内角的性质结合可得由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值注意基本不等式的使用条件一正二定三相等其中为锐角【详解】为△的三内角为锐角∴故有即可得∴当且仅当时等号成立∴的最小值为故解析：23【分析】由三角形内角的性质结合tan 2tan B A =，可得23tan tan tan 2BC B =-，由目标函数式11tan tan B C+并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中A 为锐角，tan 2tan 0B A =>【详解】A 、B 、C 为△ABC 的三内角，A 为锐角，tan 2tan 0B A => ∴tan 2tan[()]2tan()B B C B C π=-+=-+故有2(tan tan )tan tan tan 1B C B B C +=-，即可得23tan tan tan 2BC B =-∴2111tan 2tan 12tan tan tan 3tan 33tan 3B B BC B B B -+=+=+≥=，当且仅当tan 1B =时等号成立 ∴11tan tan B C +的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用16．【分析】观察角之间的特殊关系：运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填：【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系：103020=-，709020=-，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=-()2cos30cos 20sin30sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭====.【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.17．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6 【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >， A B ∴>，31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．18．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()23sin 2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈ 所以()23sin 2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞） 【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求． 【详解】 ∵222A Bsin+=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A Bsin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1， 即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1，整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0， ∵cosC ≠﹣1， ∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜，由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），2sinB sinB +=，12=+， ∵06B π＜＜，∴03tanB ＜∴1tanB 122tanB+＞2， 故ab的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．20．①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解：的单调增区间为当增区间为∴①正确；∴②不正确；函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确；若解析：①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解：1()sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴①正确； 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②不正确；函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由题意得32m k πππ+=+，6m k ππ=+，则m 的最小值是6π，∴③正确；若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，结合这两个函数图像可知，必有10x =，32x π=，此时()2sin 3f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，另一个解为23x π=，12373x x x π∴++=，∴④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算． 【详解】解：（1）设0x <，则0x ->， 故()2sin()2sin f x x x -=-=-， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负．22．（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】（1）化简())24f x x π=+，根据正弦函数的图象解不等式sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭可得结果；（2）构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，将题意转化为当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，根据[0,][,]22t ππ⊆-可解得结果.【详解】（1）()111cos 2sin cos cos 2sin 222224f x x x x x x x π=+⋅=+=+（），()12f x ≥，即sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以3222444k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，， 解得4k x k k Z πππ≤≤+∈，，即使()12f x ≥的x 的取值范围是4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，.（2）令()()()32sin 22424F x f x g x x x ππ=-=+-+（）（）22sin 22424x x x ππ=+-+=（）（）， 因为对任意的120x x t ≤≤＜，恒有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立， 所以当[0,]x t ∈时，()sin 2F x x =为增函数，所以[0,][,]22t ππ⊆-，所以22t π≤，解得4t π≤， 所以实数t 的最大值为4π.【点睛】关键点点睛：构造函数()()()sin 2F x f x g x x =-=，根据函数()sin 2F x x =在[0,]t 上为增函数求解是解题关键. 23．（1）对称轴方程6x k ππ=-+，k ∈Z ；（2）3t ≥-.【分析】（1）先运用降幂公式、辅助角公式，将原函数的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的形式，然后运用整体法求解对称轴；（2）根据题目条件，只需使min ()2f x t ≤+成立即可，然后三角函数的图象及性质求解()f x 的最小值，然后解得t 的取值范围.【详解】解：（1）2()sin cos 222x x x f x =-1sin 2x x =-cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令6x k ππ+=，得6x k ππ=-+，k ∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为6x k ππ=-+，k ∈Z ．（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，则min ()2f x t ≤+， 由[0,]x π∈得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的性质可得，当6x ππ+=， 即56x π=时，函数取得最小值1-， 所以12t -≤+，故3t ≥-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用，解答的一般思路如下： （1）利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时，先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简，将原函数解析式化简为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等；（2）解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时，要注意参数分离、整体思想的运用，将问题转化为处理函数最值问题来解决. 24．（1）()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数()g x 的解析式，令()1g x =，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值． 【详解】 （1）()1cos 2sin 222x x f x +⨯=+221214x x x ⎫π⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由()222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得：3)88k x k k Z ππππ-≤≤+∈（， ∴()f x 的单调递增区间是()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由已知得()214g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()1g x =，得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()()2428k x k k x k ππππ∈-==+∈Z Z ，， ∵[]0,x π∈，∴8x π=或58π， ∴方程的解集为5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题考查了二倍角的正弦、两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，属于中档题. 25．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域.【详解】（1）由题意函数2())2cos 12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭， 所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ， 当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-；当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.26．（1）-1；（2）()4-+∞【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求 ()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立， 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解； 当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<； 当12a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B C ．3D 3．已知矩形ABCD 中，AB AD >.设点B 关于AC 的对称点为B '，AB '与CD 交于点P ，若3CP PD =，则tan BCB '∠=（ ）A ．-B ．C ．2-D ．4-4．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-5．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 7．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B的坐标为43,,, 55AOCα⎛⎫-∠=⎪⎝⎭若1BC=，则233cos sin cos222ααα--的值为（）A．45B．35C．45-D．358．已知cos25π2)4αα=+1tantanαα+等于（）A．92B．29C．9-2D．2-99．若tan2θ=，则cos2(θ=)A．45B．45-C．35D．35-10．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则1sin22α=A．310B．35C．−310D．11011．已知直线524xπ=是函数213()3sin(08)222xf x xωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知()4cos5αβ+=，()1cos5αβ-=，则tan tanαβ⋅的值为（）A．12B．35C．310-D．35二、填空题13．函数2cos siny x x=+的最大值为____________．14．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1010sinα=，()5cos5αβ+=，则()cos 2αβ+=______.15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______.17．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________．18．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 19．函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________. 20．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 三、解答题21．已知3sin()(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求cos(2)6x π+的值.22．设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域.23．已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值；（2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值． 24．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.25．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值.26．已知函数()22sin cos ,06f x x x x πωωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭． （1）若函数()f x 的最小正周期为π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，求ω的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．D解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴=故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.3．A解析：A 【分析】根据对称性可得BAC CAP ACP ∠=∠=∠，设1PD =，可计算出AB 的长，利用勾股定理可得BC 的长，在Rt ABC 中，由ABBC可得tan BCA ∠，再利用正切函数的二倍角公式可得答案. 【详解】如图，由题意得BAC CAP ACP ∠=∠=∠. 不妨设1PD =，则3AP CP ==，4AB CD ==， 在Rt APD 中，223122AD =-=，即22BC AD ==. 在Rt ABC 中，tan 222AB BCA BC ∠===. 则22tan 22tan tan 2221tan 12BCA BCB BCA BCA ∠'∠=∠===--∠-， 故选：A.【点睛】本题考查了利用三角函数解决几何图形问题，关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.4．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos 23sin 2232xf x x x x x ωωωωω-=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=， 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.5．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.6．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x xϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b aϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π4f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 222222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫--=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.8．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=， 所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.9．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．11．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，12．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin，()cos αβ+=cos α==()sin 5αβ+==， 所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析：π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为：π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题.17．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析：1 【分析】本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可.【详解】解：∵ tan 2α=，sin tan cos ααα=，22sin cos 1αα+=， ∴sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①当sin α=cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛+=⋅+=⨯+= ⎝⎭； ②当sin α=且cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21555ααααα⎛⎫⎛⎛⎫+=⋅+=⨯-⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.18．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6 【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >， A B ∴>，31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==，由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．19．4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图：显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查诱导解析：4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数，再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭，令cos t x =[]11t ,∈-，则原函数等价于()2231f t t t =+-，对称轴为34t =-，画出大致图像，如图：显然在1t =时取到最大值，()max 4f t =，所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为：4 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题20．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断；③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则2tan 20001a︒=<-，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确；④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立， 证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.三、解答题21．（1）45；（2）24350-. 【分析】（1）)先求出cos()4x π-，再由两角和的正弦公式计算；（2）根据同角关系求得cos x ，二倍角公式得sin 2,cos 2x x ，再由两角和的余弦公式求值． 【详解】 解：（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以442x πππ<-<，所以2cos 1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10=， 所以sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 4444x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102102=+ 4.5= （2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）知4sin 5x =， 所以3cos 5x =-， 所以24sin 22sin cos 25x x x ==-2167cos 212sin 122525x x =-=-⨯=-， 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666x x x πππ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭7241252252⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪⎝⎭=【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是选用恰当的公式进行计算．解题时先观察“已知角”和“未知角”的关系，然后确定选用的公式及顺序进行计算求值．在应用平方关系求值时还要注意角的范围，以便确定函数值的正负．22．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域． 【详解】解：（1）()23()22sin 12f x x x =+-=32cos22x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．23．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin （2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值； （2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值． 【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x -+=sin 222sin(2)3x x x π==+∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π，1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1． （2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=，∴A ＝3π． ∵b +c＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC 面积1sin 24S bc A ==≤故△ABC 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题.24．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2）410. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 222f x x x x =-+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力. 25．（Ⅰ）12；（Ⅱ）最小值为12-，最大值为1；（Ⅲ）3π 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入6x π=可求；（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，在利用正弦函数的性质即可求解； （Ⅲ）求出平移后的解析式，可得22,62m k k Z πππ-=+∈，即可解出m ，得出最小值.【详解】（Ⅰ）()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos sin 2sin33x x x ππ=-++12cos 222x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 26662f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当266x ππ-=-，()f x 取得最小值为12-， 当226x ππ-=，()f x 取得最大值为1； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则sin 226y x m π⎛⎫=+-⎪⎝⎭和cos 2y x =的图象重合， 22,62m k k Z πππ∴-=+∈，解得,3m k k Z ππ=+∈，0m >，则当0k =时，m 取得最小值为3π. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 26．（1）最大值为1，最小值为12；（2）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简整理成()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合周期公式求得ω得到解析式，根据04x π≤≤得到52336x πππ≤+≤，寻找正弦的最大值与最小值即可.（2）由(,2)x ππ∈，得到22,4333x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，再利用该区间不包含正弦函数的零点列不等式计算ω取值范围即可. 【详解】解： 依题意()sin 2cos cos 2sin sin 266f x x x x ππωωω⎫=+-⎪⎭1cos 2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. （1）由于函数()f x 的最小正周期为π，所以21T πω==，∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为04x π≤≤，所以52336x πππ≤+≤， 所以1sin 2123x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，且当5236x ππ+=，即4x π=时()f x 最小，为142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当232x ππ+=，即12x π=时()f x 最大，为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为1，最小值为12；（2）当(,2)x ππ∈时，22,4333x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， 由()f x 在区间(),2ππ内没有零点，区间2,433ππωπωπ⎛⎫++⎪⎝⎭不包含正弦函数的零点，而正弦函数的零点是,x k k Z π=∈， 故2,4(2,2)33k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭或2,4(2,2)33k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆- ⎪⎝⎭，k Z ∈，即223423k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩或223423k k πωππππωππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，k Z ∈，故11626k k ω-≤≤+或213212k k ω-≤≤-，k Z ∈， 因为0>ω，所以1k ≤-，且k Z ∈时，区间端点均小于0，不符合题意；0k =时1166ω-≤≤或21312ω-≤≤-，故106ω<≤满足题意； 1k =时5466ω≤≤或15312ω≤≤，故15312ω≤≤满足题意；2k ≥且k Z ∈时，111062623k k k ⎛⎫⎛⎫--+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11626k k ->+，即()11,626k k k Z ω-≤≤+∈无解，21703212212k k k ⎛⎫⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故213212k k ->-，即()21,3212k k k Z ω-≤≤-∈无解. 综上，ω的取值范围是1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦． 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于根据区间2,433ππωπωπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭不包含正弦函数的零点，得到11626k k ω-≤≤+或213212k k ω-≤≤-，k Z ∈之后，根据k 的取值情况找出满足0>ω的取值范围，才能突破难点.。
(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．若160,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．53B ．3- C ．53- D ．3 2．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ） A ．()f x 的最小值为2- B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C ．函数()y f x =的图象可由函数2sin y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称. 3．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15164．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A 125- B 35+ C 15+ D 45+ 5．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） ABCD7．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．17188．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．18D ．989．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ） A ．15BC．-D10．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3511．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D二、填空题13．将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______. 14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．15．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论：①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号）16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____. 19．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 20．设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.三、解答题21．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值. 22．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域； （2）若004()524f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．23．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 24．已知函数2()2sin sin 26f x x x.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 25．已知14cos ,sin()435πββα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，其中π0π2αβ<<<<． （1）求tan β的值； （2）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 26．已知函数3()sin (cos 3)2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.3．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.4．C解析：C 【分析】 计算出5cos 72=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.7．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98， 故选:D.【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-， 因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题10．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅- sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=， 所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题 解析：π2sin(2)16x -+ 【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解.【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+ 故答案为：π2sin(2)16x -+【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题. 14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是 解析：12- 【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍）， 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值． 15．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减 解析：①【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可.【详解】(),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误； 因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误；()f x，④错误．故答案为:①．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.16．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【 解析：6【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >，A B ∴>， 31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A A B B A B B A B B∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】 由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-， 则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+ 232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.18．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求．【详解】∵222A B sin +=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A B sin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1，即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1， 整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0，∵cosC ≠﹣1，∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜， 由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），=，12=+， ∵06B π＜＜，∴0tanB ＜∴1tanB122， 故a b的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 19．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系 解析：12【分析】 由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】 因为2tan 3tan 5πα=所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan 5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 20．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④.【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④.【详解】 ()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确； 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确； 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+， 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误；图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）45A =︒；（2）1BC BD = 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】（1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒ 又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos B B ==；cos C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55b ac a == 又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-， 即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-2214a BD ⎫⋅=-⎪⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC a BD a== 【点睛】 关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．22．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sincos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．23．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈， 又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈．【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.24．（1）最小正周期T π=；（2）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域． 【详解】 由已知2()2sin sin 26f x x x11cos 22cos 22x x x =-+12cos 212x x =-+ sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）函数()f x 的最小正周期T π=；（2）因为,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,066x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对()f x 的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.25．（1）97+-2）315； 【分析】由已知函数值以及角的范围得3444πππβ<-<，322ππαβ<+<，且()44ππββ=-+，()()44ππαβαβ+=+--，结合两角和差公式即可求值. 【详解】（1）2πβπ<<知：3444πππβ<-<， ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()43πβ-=，∴tan 4πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan tan[()]44ππββ=-+，∴tan()tan 944tan 71tan()tan 44ππββππβ-++===--- （2）由cos cos[()()]44ππαβαβ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭， ∴cos cos()cos()sin()sin()444πππαβαββαβ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭， 由π0π2αβ<<<<知：322ππαβ<+<， ∴由题意，得3cos()5βα+=-，结合（1）有sin()43πβ-=，∴3143cos 4535315πα⎛⎫+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：根据已知确定4πβ-，αβ+范围，并确定β，4πα+与已知角的关系，进而求函数值.26．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 3332f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知3sin cosx x+=，则1tantanxx+=（）A．6-B．7-C．8-D．9-2．设等差数列{}n a满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin1sina a a a a aa a-+-=+，公差()1,0d∈-．若当且仅当11n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是（）A．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭3．如下图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点,C B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为43,,,55AOCα⎛⎫-∠=⎪⎝⎭若1BC=，则233cos sin cos2222ααα--的值为（）A．45B．35C．45-D．354．函数12log(sin cos)y x x=的单调增区间是（）A．(,)()44k k k Zππππ-+∈B．3(,)()44k k k Zππππ++∈C．(,)()4k k k Zπππ+∈D．(,)()42k k k Zππππ++∈5．已知,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，1cos63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sinα=（）A126-B223-C．261+D261-6．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sinα的值等于（）A ．6B ．6C ．16D ．16-7．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．838．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ）A B C D 9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③11．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A B C ．D ．12．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．BC ．9-D ．9二、填空题13．有下列5个关于三角函数的命题：①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称；③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥； ④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-； ⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =. 其中是真命题的是______.14．222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.15．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 16．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.17．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 18．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,c =则a ,b ,c 的大小关系是______.20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =. （1）求0x <时，函数()f x 的解析式； （2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.22．已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 23．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.24．已知函数()212sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的对称中心和最小正周期；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合． 25．已知函数()2sin 22cos 1f x a x x =+-，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）()f x 的最小正周期； （Ⅱ）()f x 的单调递增区间.条件①：()f x 图像的对称轴为8x π=；条件②：14f π⎛⎫=⎪⎝⎭；条件③：a =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将等式sin cos x x +=sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，因此，221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选：C. 【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二．2．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 3．B解析：B【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 222222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫--=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.4．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质， 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.5．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=. 故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.6．C解析：C 【分析】求出sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．7．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π431552=-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||αα⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．12．A解析：A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos αα+=两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①：则①错误；②：关于轴对称②正确解析：②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误，然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确，再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误，=cos02x 判断出④正确，最后通过将函数转化为()()f x x p =+，根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 262x x x x x π+⎫⎛⎫+=+=≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，00cos 3x x +≠，①错误；②：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-，关于y 轴对称，②正确；③：因为sin x 可以为负值，所以1sin 2sin x x+≥错误，③错误； ④：因为[]π,2πx ∈，所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ，cos2x ===-，④正确； ⑤：()2sin cos sin cos 55f x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎭()x p =+，（注：5sin 5p，25cos 5p ）， 当函数()f x 取最大值时，22x p k ππ+=+，即()22x p k k Z ππ=-++∈，此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭，故⑤正确， 故答案为：②④⑤. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.14．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题 解析：2-【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案. 【详解】原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒. ()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.15．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.16．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.17．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力解析：0 【分析】 计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.18．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅=当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算． 【详解】解：（1）设0x <，则0x ->， 故()2sin()2sin f x x x -=-=-， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负．22．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间； （2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根， 只需找出()g x 有两个点相等的区间即可， 当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.23．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2）410. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 22f x x x x =+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭3414sin 2sin 266525210ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=⨯-⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.24．（1）最小正周期T π=；对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，；（2）()max 1f x =，自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）先利用两角和与差的余弦公式及辅助角公式将函数化成标准形式11()sin 2262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式计算周期，整体代入法计算对称中心即可；（2）利用整体代入法，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，根据正弦函数最值的特征得到何时取最值即可. 【详解】解：（1）()212sin 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭31cos 21cos 22442xx x -=-+-11112cos 2sin 242262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 故最小正周期22T ππ==，令2,6x k k π-=π∈Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，故对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，； （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，当226x ππ-=时，max sin 216πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()max 111122f x =⨯+=，此时3x π=，即自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【点睛】 方法点睛：求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质.25．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得())f x x ϕ=+ ，根据对称轴求得ϕ的值，进而求得a 的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；（Ⅱ） 根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+，根据选择的条件求得a 的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得()f x 的最小正周期； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6x π=+然后求得()f x 的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间. 【详解】选① （()f x 图像的一条对称轴为8x π=）解：(Ⅰ) ()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+22x x ⎛⎫=+⎪⎭)x ϕ=+（其中1tan aϕ=） 因为()f x 图像的一条对称轴为8x π=所以()1sin()84f ππϕ=+=即有,42k k Z ππϕπ+=+∈所以,4k k Z πϕπ=+∈所以1tan tan()tan 144k aππϕπ=+===1a故())4f x x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ， 选② (()1)4f π=解：(Ⅰ)()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+()sin cos 1422f a πππ∴=+=1a()sin 2cos 2f x x x =+22)x x =)4x π=+所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ，选③（a =解：（I ）()222cos 1f x x x =+-2cos2x x =+ 312(sin 2cos 2)2x x 2sin(2)6x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,262k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 2+22+2,33k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36k Z ππππ-∈+k ， 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=， 由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(答案解析)
一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ） A ．()f x的最小值为 B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C ．函数()y f x =的图象可由函数y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称. 4．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形5．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h，且3h =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A．B．C ．4D ．67．若11sin cos αα+=，则sin cos αα=（ ）A ．13- B ．13C ．13-或1D ．13或1- 8．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③9．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0．618是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒（ ）A ．4B 1C ．2D 110．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．9-11．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜2π）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）A ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．若2cos()πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．15．化简tan 20tan 25tan 20?tan 25︒+︒+︒︒=_____. 16．已知α满足1sin 3α=，那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________.17．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．18．tan 25tan 35325tan 35+︒︒︒︒的值为________.19．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 20．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,)2παβ∈，则当α最大时，tan2α=________.三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =. （1）求0x <时，函数()f x 的解析式； （2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.22．已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 23．已知向量()21,cos 1a x =-，(sin 231,23b x =+，()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的对称中心及单调减区间； （2）若,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 24．已知函数()22cos 7cos f x a x x x a =-，其中x ∈R ，a 为常数. （1）当1a =时，若函数()()cos 2f x A x θ=+，求A 与tan θ的值；（2）若函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方，求a 的取值范围25．已知02πα<<，02πβ-<<，cos α=cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．26．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=，因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.3．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.4．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 5．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 6．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．7．A解析：A 【分析】将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos 1αα+=可化简得方程23(sin cos )2sin cos 10αααα--=，解出1sin cos 3αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，得出1sin cos 3αα=-.【详解】由11sin cos sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得22(sin cos )(sin cos )αααα+ 222sin cos 2sin cos (sin cos )αααααα++=212sin cos 3(sin cos )αααα+==23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，1sin cos 3αα∴=-或1，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，1sin cos 3αα∴=-.故选：A. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.8．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin sin ,sin 2sin 362ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||αα⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据2cos72m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解. 【详解】根据题意，可得2cos72m ︒=，则2sin144cos54︒==︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．B解析：B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.11．A解析：A 【分析】由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得ω、ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以2ππω=，且+4πϕ=,2k k Z ππ+∈，解得ω=2，ϕ=,4k k Z ππ+∈，又||ϕ<2π，所以ϕ=4π，所以()f x =2+2x π⎛⎫⎪⎝⎭2x ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析： 【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan ααα=====．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．1【详解】分析：首先从式子中分析得出角的大小借助于两角和的正切公式得到与之间的关系借助于角的正切值求得结果详解：因为所以所以有故答案为：1点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题在解题的过程中涉及解析：1 【详解】分析：首先从式子中分析得出2025︒︒+角的大小，借助于两角和的正切公式，得到tan 20tan 25︒︒+与tan 20tan 25︒︒⋅之间的关系，借助于45︒角的正切值，求得结果. 详解：因为tan 20tan 25tan(2025)1tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒++=-，所以1tan 20tan 25tan 20tan 25︒︒︒︒-=+， 所以有tan 20tan 25tan 20tan 251︒︒︒︒++=， 故答案为：1.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意45︒角的正切值的大小.16．【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为：【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：718【分析】 化简原式为21(12sin )2α-，即得解. 【详解】 由题得cos()cos()sin )+sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=. 故答案为：718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB ∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.18．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒，展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.19．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.20．【分析】根据正切的和角公式将用的函数表示出来利用均值不等式求最值求得取得最大值的再用倍角公式即可求解【详解】故可得则当且仅当即时此时有故答案为：【点睛】本题考查正切的和角公式以及倍角公式涉及均值不等解析：7【分析】根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 0,tan 0αβ∴>> tan()2tan αββ+=故可得tantan 2tan 1tan tanαββαβ+=- 则2tan 1tan 112tan 42tan tan βαβββ==≤=++当且仅当12tan tan ββ=，即tan 2β=时，max tan α=此时有222tan 4tan 221tan 7116ααα===--故答案为：7. 【点睛】本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.三、解答题21．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算． 【详解】解：（1）设0x <，则0x ->， 故()2sin()2sin f x x x -=-=-， 又()f x 是定义在R 上的偶函数， 当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负． 22．（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,1-【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递减区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,36x ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，[]2sin 211,16x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭ 所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，()sin y A x ωϕ=+的性质：（1）周期2π.T ω=（2）由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴，由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.（3）由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 23．（1）对称中心为,126k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，；（2）[]0,3. 【分析】（1）由()f x a b =⋅可得()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后由正弦函数的对称中心和单调递减区间可得答案； （2）根据x 的范围得到23x π+的范围，可以得sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，从而得到答案. 【详解】（1）∵()21,cos 1a x =-，(sin 21,b x =，∴()f x a b =⋅22sin 21sin 21x x x x =++-=+)2sin 22cos 11sin 2212sin 213x x x x x π⎛⎫=+-+=+=++ ⎪⎝⎭.∴()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由2,3x k k Z ππ+=∈得,26k x k Z ππ=-∈， ∴对称中心为,126k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈， 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，则71212k x k ππππ+≤≤+，即函数()f x 单调递减区间是71212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， （2）∵()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵43x ππ-≤≤， ∴2223x ππ-≤≤，∴263x πππ-≤+≤，∴当236x ππ+=-，即4πx =-时，min 1()2102f x ⎛⎫=⋅-+= ⎪⎝⎭， ∴当232x ππ+=，即12x π=时，max ()213f x =+=，∴当43x ππ-≤≤时，()f x 的值域为[]0,3.【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是化简为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.24．（1）A，tan θ=；（2）a . 【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将()y f x =()()2cos 2x A x ϕθ-=+，进而可得答案；（2）问题等价于()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos22a x x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可得sin 211cos2tan x a x x ≤-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立，从而可得答案 【详解】 （1）当1a =时，()22cos 1cos cos 2222f x x x x x x x x ⎫=-=+=+⎪⎪⎭)()()cos cos2sin sin 22cos 222x x x A x ϕϕϕθ=+=-=+∴A =，sin tan tan tan cos ϕθϕϕϕ=-=-=-==（）（2）由函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方可知，()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立故cos22a x x a +≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立即2sin 22sin cos 11cos 22sin tan x x x a x x x ≤==-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立.∵min11tan tan 3x π⎫==⎪⎪⎝⎭∴a ≤【点睛】方法点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.25．（1；（2）15. 【分析】（1）根据02πα<<，cos 10α=10sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()4+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos α=所以sin α= 所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，1021025=⋅-=. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()45+=πα， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，535315=-=. 【点睛】方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．【详解】（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。
(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=+()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=2．已知函数2()2sin cos 23sin (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13--C ．0D ．23-3．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．7210 B ．7210-C ．210D ．210-5．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．12B ．32C ．1225D ．24256．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A 223- B 223+ C 261- D ．261- 7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ） A ．45-B ．44125C ．44125-D ．458．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．171810．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．17B ．7C ．17-D ．-711．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．⎡⎤⎣⎦B ．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡-⎣D ．94⎤⎥⎦12．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．35二、填空题13．已知10cos ,0,42ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15．已知()2cos (sin cos )f x x x x =+，若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.16．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论： ①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号）17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 18．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．19．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.20．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈． （I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值．22．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒； （2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<<⎪⎝⎭，求22cos sin 2x x +的值.23．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()22611f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）当(]0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->； ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭； 问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=α的值．25．已知函数()22sin cos 1444x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ （2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()g x ，若()04g x =，05,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求0sin x 的值.26．已知函数()21sin cos 12f x x x x =+-(x ∈R ) （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.2．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.5．D解析：D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案． 【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25， 边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长， 设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，所以()2222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去， 所以4b =，∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.6．C解析：C 【分析】求出sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-=⨯-⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．7．B解析：B 【分析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.11．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点， 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当0t =时，y 取得最大值1，当t =y取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤.故选：A.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.12．B解析：B【分析】 根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】 由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=， 联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 二、填空题13．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】依题意πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角 解析：17【分析】 由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值解析：[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型，然后根据x 取值范围求出()f x 最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 21)14f x x x x x x x π+++=++， 当[0,]2x π∈时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴0)114x π≤++≤，2()m f x m -≤≤+恒成立，02212m m，解得12m ≤≤.故答案为：[1,2]【点睛】 本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.16．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减 解析：① 【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可.【详解】 (),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误； 因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误； ()f x，④错误．故答案为:①．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.17．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【 解析：6【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >，A B ∴>， 31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．18．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公 解析：4π 【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-，因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+,在ABP △中，tan BP BAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQ DAQ y AD ∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x y BAP DAQ DAQ BAP xy ∠+∠+∠+∠===-∠∠-， 又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠ 故答案为：4π 【点睛】 本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.19．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】 化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可. 【详解】 由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.20．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最 解析：22122x y -=. 【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案.【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >, 由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan a BPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a a a a m m APB APF BPF a a b b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立, 此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=. 故答案为:22122x y -=. 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题21．（I ）2π.（Ⅱ） 8π. 【分析】（I ）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值； （Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++4204x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2T π=，当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x 的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，即()()()()1122f x g x f x g x -<-，记()()()h x f x g x =-，即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()42428844g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 44x x π==， 令24222k x k ππππ-≤≤+， 求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈， 所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】 关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）2）825. 【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】（1）4sin 220tan320-︒︒ ()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒sin 440tan 40︒+=-︒sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒ sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒ sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒== （2）344x ππ-<<， 422x πππ∴-<+<，则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又2cos 22cos 1x x =-，cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 则22412cos cos 2112525x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以21782cos sin 2252525x x +=+=； 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.23．（1）7；（2）()2f x x x =+，单调递增；（3）-1. 【分析】（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解.（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【详解】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+，又()2323631111f =⨯-⨯+=， 因为411a +=，所以7a =；（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，所以()2222(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++， 又()()227f x f x +=+，代入解得：()2f x x x =+； 显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数，又()26f =，而当2x +→时，7y →，因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增；（3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增，且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥且由条件知，()12f =；再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭， 由420031x x +>⇒>-，即定义域为(0,)+∞， 且4231x y =+-在(0,)+∞上单减， 所以()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在(0,)+∞上单减， 又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设cos [0,1]x t =∈，则不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立， ①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾； ③当0m <时，只需(1)01122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎩⎩，综上，实数m 的值为-1． 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想. 24．（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=【分析】分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间； （Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果. 【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=， 选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+， 因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =， 所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，所以6k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6f x x π=+， 选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-=14cos cos 12x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x x ωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππk πk π-++，k Z ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)62πα+=， 因为02πα<<，所以72666πππα<+<， 所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.25．（1）最小正周期为4π，单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）. 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简()f x ，再求最小正周期及()f x 的单调递减区间；（2）求出()f x 的图象变换后的解析式，再求出04x π-的正余弦值利用凑角可得答案.【详解】()22sin cos 112sin cos 1cos 1444442x x x x x x f x ⎛⎫⎫=+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin 2sin 2sin 22222223x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）()f x 的最小正周期为4T π=， 由3222232x k k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，得到函数62sin 2sin 2324x x y πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再将其横坐标缩小为原来的12， 纵坐标不变得到函数()2sin 4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，据题意有0sin 48x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且03,44x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则0cos 48x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则0000sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦==. 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.26．（1）π；（2）当3x π=时，()max1f x =-；当12x π=-时，()min32f x =-. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.. （2）根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解.【详解】 （1）()21sin cos 12f x x x x =+，1sin 2cos 2144x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当233x ππ-=，即3x π=，()max14f x =-， 当232x ππ-=-，12x π=-时，()()min 131122f x =⨯--=-. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
人教A版数学必修四习题：第三章三角恒等变换单元质量评估含答案
单元质量评估(120 分钟150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每题 5 分, 共 60 分, 在每题给出的四个选项中 , 只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 设 sin( π- θ)= , 则 cos 2θ= ( B )A. ±B.C.-D.-2. 已知 sin= ,- <α<0, 则 cos的值是( C )A. B. C.- D.13.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°的值是 ( B )A. B. C.- D.-4.-= ( D)A.4B.2C.-2D.-45. 若 sin( π- α)= -且α∈, 则 sin= ( A )A.-B.-C.D.6.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位 , 所得图象对于 y 轴对称 , 则φ的最小正当是( C )A. B. C. D.7.(2018 ·中原名校高三检测 )cos 375°+sin375°的值为( A )A. B. C.- D.-8.(2018 ·淮南高三检测 ) 为了获得函数 y=2cos2的图象,只要把函数 y=-sin 2x的图象上全部的点( C )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C.向上平移 1 个单位D.向下平移 1 个单位9. 已知 cos 2α= , 则 tan 2α=( D )A. B.2 C. D.10. 在△ ABC中, 若 cos A= ,cos B=, 则 cos C= ( C )A. B. C. D.11.cos·cos·cos= ( A )A.-B.-C.D.12.(2018 ·洛阳高三检测 ) 设 a=cos 50°cos 127°+cos 40°·cos 37°,b= (sin 56°-cos 56°),c=, 则 a,b,c的大小关系是( D )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分, 将答案填在题中的横线上 )13. 已知 tanα=3,则cos 2α=-.14. 函数 f(x)=sin-2sin 2x 的最小正周期是π.15.(2018 ·广东珠海六校联考 ) 已知 tan( α+β)= ,tanβ= ,则tan的值为.16. 已知 cos 4α-sin 4α= , 且α∈, 则cos=.三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 70 分. 解答时应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 )17.( 本小题满分 10 分) 设向量 a=(sin x,sin x), b=(cos x,sin x),x∈.(1)若| a|=| b|, 求 x 的值 .(2)设函数 f(x)= a·b, 求 f(x) 的最大值 .【分析】 (1) 由|a| 2 =(sin x) 2 +(sin x)2=4sin2x,|b| 2=(cos x)2+(sin x)2=1,|a|=|b|,得4sin2x=1,又 x ∈,进而 sin x= ,因此 x= .(2)f(x)=a·b=sin x ·cos x+sin 2 x=sin 2x- cos 2x+ =sin+ ,当 x=∈时,sin取最大值 1.因此 f(x) 的最大值为.18.( 本小题满分 12 分)(2017 ·北京高考 ) 已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求 f(x) 的最小正周期 .(2) 求证 : 当 x∈时,f(x)≥-.【分析】 (1)f(x)=cos 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x+cos 2x=sin,因此 f(x) 的最小正周期 T== π.(2)由于 - ≤x ≤ ,因此 - ≤2x+ ≤ ,因此 sin≥sin=- ,因此当 x ∈时,f(x)≥-.19.( 本小题满分 12 分) 已知 cos α=- , α∈.(1) 求 cos的值.(2) 求 tan 2α的值 .【分析】 (1) 由于 cosα=-,α∈,因此 sinα== ,因此 cos=cosαcos+sinαsin=-×+×=.(2) 由于 tanα===- ,因此 tan 2 α===.20.( 本小题满分 12 分) 已知α∈, 且 sin+cos = .(1)求 cos α的值 .(2) 若 sin( α- β)=- , β∈, 求 cos β的值 .【分析】 (1) 将 sin+cos=两边同时平方,得 1+sinα=,则 sinα=.又< α< π,因此 cosα=-=-.(2) 由于< α< π, < β< π,因此 - < α-β< .因此由 sin( α-β)=-得cos(α-β)=,因此 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-×+×=-.21.( 本小题满分 12 分)(2018 ·济南高三检测 ) 已知函数f(x)=-2cos2 + .(1)求 f(x) 的单一区间 .(2)求 f(x) 在[0, π] 上的值域 .【分析】 (1)f(x)=1+sin x-cos x=1+2sin.由 2k π-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x) 的单一递加区间为,k ∈Z,由 2k π+≤x-≤2kπ+,k ∈Z, 得f(x) 的单一递减区间为,k ∈Z.(2)x ∈[0, π], 则 x-∈,sin∈,2sin∈[-,2],因此 f(x) 在[0, π] 上的值域为 [1-,3].22.( 本小题满分 12 分) 已知向量 m=, n=, 此中α∈, 且 m⊥n.(1) 求 sin 2α和 cos 2α的值 .(2) 若 sin=, 且β∈, 求角β.【分析】 (1) 由于 m ⊥ n, 因此 2cosα-sinα=0,即 sin α=2cos α.代入 cos 2α+sin 2α=1, 得 5cos 2α=1,又α∈,则 cosα=,sinα=.则 sin 2 α=2sinαcosα=2××= .cos 2 α=2cos 2α-1=2 × -1=- .(2) 由于α∈,β∈,因此α-β∈.又 sin( α- β)=,因此 cos( α- β)=.因此 sinβ=sin[α-(α-β)]=sin αcos( α- β)-cosαsin(α-β)=×-×=.由β∈,得β= .封闭 Word 文档返回原板块。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)
一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D 2．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-3．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10 B ．10-C ．10D ．10-4．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（ ） A ．5665-B ．3365-C ．5665 D ．3365 5．若tan 2θ=，则cos2(θ= ) A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17187．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．9-B ．9C ．79-D ．798．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．139．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且h =2c a b c c b b ++的最大值是（ ）A ．B ．C ．4D ．610．求sin10°sin50°sin70°的值（ ） A ．12BC ．18D11．若()tan 804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（ ）A．5-B．5C．19D．712．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0．618是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒（ ） A ．4B1C ．2D1二、填空题13．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ，且4cos 5A =，则cos C ________．14．已知函数2()cos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.15．关于x的方程)2210x x m ++=的两个根为sin θ和cos θ，则sin cos 11tan 1tan θθθθ+=--______． 16．已知(0,)θπ∈，且sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=__________． 17．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．18．已知sin 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 19．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 20．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21．已知函数21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.22．已知02πα<<，4sin 5α． （1）求tan2α的值； （2）求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）若02πβ<<且1cos()3αβ+=-，求sin β的值．23．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域；（2）若004()54f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．24．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13；③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.25．已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若(,)123A ππ∈，1()3f A =，求5cos(2)6A π-的值.26．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.【详解】解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.3．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.4．A解析：A 【分析】 由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8．C【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 9．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．10．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 806071tan 80tan6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+. 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.12．C解析：C 【分析】根据2cos72m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解. 【详解】根据题意，可得2cos72m ︒=，则22cos722sin1442cos 271cos54cos54︒==︒-︒︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算 解析：410利用2A+C =B 及A B C π++=易得3B π=，由同角三角函数的关系易得sinA 的值，然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】因为2A+C =B ，又A B C π++=， 所以3B π=，因为4cos 5A =，所以3sin 5A ===，()4134cos cos cos cos sin sin 525210C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯=.. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两 解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数2()cos2cos 222xxxf x ωωω=+，cos 1x x ωω=++， 2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的周期为，所以23 23πωπ==，()2sin316f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，所以0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象如图所示：由图象可知：23k≤-<，即2k-3<≤-，所以实数k的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．15．【分析】利用方程的根得到的关系化简所求式代入求值即可【详解】因为方程的两个根为和所以因此故答案为：【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值属于基础题解析：31+【分析】利用方程的根得到sin,cosθθ的关系，化简所求式，代入求值即可.【详解】因为方程)22310x x m++=的两个根为sinθ和cosθ，所以31sin cos2θθ+=-，sin cos2mθθ=，因此，2222sin cos sin cos sin cos sin cos 11tan sin cos cos sin sin cos 1tan 12θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=+==+=------故答案为： 【点睛】本题考查了韦达定理和三角函数正余弦和正切化简求值，属于基础题.16．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：2425【分析】根据sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.17．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析：3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除cos cos8πα，即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为：3 【点睛】 本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.18．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.19．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题 22．（1）247-，（2），（3【分析】（1）由02πα<<，4sin 5α，可求出35cos α=，从而可求出4tan 3α=，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sin()3αβ+=，再利用sin sin[()]βαβα=+-展开代值可求得结果 【详解】解：（1）因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α===， 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===， 所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）cos 2cos 2cos sin 2sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2sin 2)αα=-2(12sin 2sin cos )2ααα=--1643(122)2255550=-⨯-⨯⨯=-， （3）因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，因为1cos()3αβ+=-，所以sin()3αβ+===，所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+314()535=--⨯=【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，考查同角三角函数的关系的应用，角的变换公是解题的关键，属于中档题23．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 332x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 24．答案见解析 【分析】选条件①，则根据三角函数定义得cosα=，sin α=，进而根据二倍角公式得3cos25α=-，4sin 25α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin 3α=，进而根据二倍角公式得7cos 29α=-，sin 2α=，再结合余弦的和角公式求解即可； 选条件③，由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--，并结合题意得1tan 22α=，故cos 2α=，sin 2α=【详解】解：方案一：选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3145252=-⨯-⨯= 方案二：选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13，所以1cos 3α=，sin 3α==.所以27cos 22cos 19αα=-=-，sin 22sin cos ααα==所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7192=-⨯-718+=-. 方案三：选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---， 结合2α为锐角，解得1tan 22α=， 所以cos 2α=，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭122=10=. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题.25．（1）(,)()63k k k ππππ-++∈Z ；（2 【分析】（1）先把21()cos sin 2f x x x x =+-化为“一角一名一次”结构，利用“同增异减”讨论单调区间；（2）由1()3f A =，得到1sin(2)cos(2)6363A A ππ-=-=，，利用两角差公式求5cos(2)6A π-的值. 【详解】解：（1）21cos 1()2sin(2)2226x f x x x π-=+-=-，令222262k x k πππππ-+<-<+，解得,63k x k k Z ππππ-+<<+∈.所以()f x 的单调增区间为(,)()63k k k ππππ-++∈Z .（2）1()sin(2)63f A A π=-=，令26A πθ=-，则02πθ<<，所以1sin 3θ=，cos 3θ=， 则5222cos(2)cos()cos cos sin sin 6333A πθπθπθπ-=-=+11()323=⨯-+=. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断； (2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值； 选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值． 【详解】（1）∵函数1cos 1()sin sin()12226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；<选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。
高考数学必修4第三章三角恒等变形综合检测题及答案
高一数学必修四第三章三角恒等变形综合检测题及答案解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于( )A.0B.12C.32D.1【解析】sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin(15°+75°)=sin 90°=1.【答案】 D2.在锐角△ABC中，设x=sin A•sin B，y=c os A•cos B，则x、y的大小关系为( )A.x≤yB.x>yC.x【解析】y-x=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C，∵C为锐角，∴-cos C<0，∴y-x<0，即x>y.【答案】 B3.若sin α+cos α=tan α(0<α<π2)，则α的取值范围是( )A.(0，π6)B.(π6，π4)C.(π4，π3)D.(π3，π2)【解析】因为sin α+cos α=2sin(α+π4)，当0<α<π2时，此式的取值范围是(1，2]，而tan α在(0，π4)上小于1，故可排除A，B;在(π3，π2)上sin α+cos α与tan α不可能相等，所以D不正确，故选C.【答案】 C4.在△ABC中，若sin C=2cos Asin B，则此三角形必是( )A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)，∴sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B.∴sin(A-B)=0，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形.【答案】 A5.(2012•陕西高考)设向量a=(1，cos θ)与b=(-1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C.0D.-1【解析】a=(1，cos θ)，b=(-1,2cos θ).∵a⊥b，∴a•b=-1+2cos2θ=0，∴cos2θ=12，∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0.【答案】 C6.当0<x<π2时，函数f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x的最小值为( )A.2B.23C.4D.43【解析】f(x)=1+cos 2x+8sin2xsin 2x=2cos2x+8sin2x2sin xcosx=cot x+4tan x≥24=4.当且仅当cot x=4tan x，即tan x=12时取得等号.故选C.【答案】 C7.(2013•江西高考)若sin α2=33，则cos α=()A.-23B.-13C.13D.23【解析】cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.【答案】 C8.(2013•重庆高考)4cos 50°-tan 40°=()A.2B.2+32C.3D.22-1【解析】4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-sin 40°cos 40°=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°=sin 80°+sin60°+20°-sin60°-20°cos 40°=sin 80°+2cos 60°sin 20°cos 40°=sin 80°+sin 20°cos 40°=sin50°+30°+sin50°-30°cos 40°=2sin 50°cos 30°cos 40°=3•cos 40°cos 40°=3.【答案】 C9.已知f(x)=sin2(x+π4)，若a=f(lg 5)，b=f(lg 15)，则( )A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1【解析】由题意知f(x)=sin2(x+π4)=1-cos2x+π22=1+sin 2x2，令g(x)=12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)=g(x)+12，a=f(lg5)=g(lg 5)+12，b=f(lg 15)=g(lg 15)+12，则a+b=g(lg 5)+g(lg 15)+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1，故a+b=1.【答案】 C10.对于函数f(x)=2sin xcos x，下列选项中正确的是( )A.f(x)在(π4，π2)上是递增的B.f(x)的图像关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为2【解析】f(x)=2sin xcos x=sin 2x，∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称.【答案】 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11.(2012•江西高考)若sin α+cos αsin α-cos α=12，则tan2α=________.【解析】由sin α+cos αsin α-cos α=12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α+1tan α-1=12，解得tan α=-3，则tan 2α=2tan α1-tan2α=34.【答案】3412.知α，β∈(0，π4)，tan α21-tan2α2=14，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β=________.【解析】由tan α21-tan2α2=14，得tan α=12.由3sinβ=sin(2α+β)，得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，化简得tan(α+β)=2tan α=1.由于α，β∈(0，π4)，故α+β∈(0，π2)，所以α+β=π4.【答案】π413.若θ是第二象限角，cos θ2-sin θ2=1-sin θ，则角θ2所在的象限是________.【解析】∵1-sin θ= sin θ2-cos θ2 2=|sin θ2-cos θ2|=cos θ2-sin θ2，∴sin θ2<cos θ2.∵θ是第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z.则π4+kπ<θ2<π2+kπ.k∈Z.由上可得54π+2kπ<θ2<32π+2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角.【答案】第三象限角14.函数f(x)=sin2(2x-π4)的最小正周期是________.【解析】f(x)=1-cos22x-π4 2=1-cos4x-π22=1-sin 4x2，∴最小正周期T=2π4=π2.【答案】π215.(2012•江苏高考)设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为________.【解析】∵α为锐角且cos(α+π6)=45，∴sin(α+π6)=35.∴sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]=sin 2(α+π6)cos π4-cos 2(α+π6)sin π4=2sin(α+π6)cos(α+π6)-22[2cos2(α+π6)-1]=2×35×45-22[2×(45)2-1]=12225-7250=17250.【答案】17250三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)(2013•辽宁高考)设向量a=(3sin x，sin x)，b=(cos x，sin x)，x∈0，π2.(1)若|a|=|b|，求x的值;(2)设函数f(x)=a•b，求f(x)的最大值.【解】(1)由|a|2=(3sin x)2+sin2 x=4sin2x，|b|2=cos2x+sin2x=1，及|a|=|b|，得4sin2x=1.又x∈0，π2，从而sin x=12，所以x=π6.(2)f(x)=a•b=3sin x•cos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12，当x=π3∈0，π2时，sin2x-π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.17.(本小题满分12分)若2sin(π4+α)=sin θ+cos θ，2sin2β=sin 2θ，求证：sin 2α+12cos 2β=0.【证明】由2sin(π4+α)=sin θ+cos θ得2cos α+2sin α=sin θ+cos θ，两边平方得2(1+sin 2α)=1+sin 2θ，即sin 2α=12(sin 2θ-1)，①由2sin2β=sin 2θ得，1-cos 2β=sin 2θ. ②将②代入①得sin 2α=12[(1-cos 2β)-1]得sin 2α=-12cos 2β，即sin 2α+12cos 2β=0.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cos ωx•sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性.【解】(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω=π，故ω=1.(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π4)+2.若0≤x≤π2，则π4≤2x+π4≤5π4.当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增;当π2<2x+π4≤5π4，即π8综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x)，x∈(a，a+π]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y=f(x)，x∈R的单调增区间.【解】(1)f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2=2sin ωxcos π6-cos ωx-1=2sin(ωx-π6)-1，∵x∈R，∴f(x)的值域为[-3,1].(2)由题意得函数f(x)的周期为π.∴2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2s in(2x-π6)-1.令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z.得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z.∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z.图120.(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(-35，45).(1)求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值;(2)若OP→•OQ→=0，求sin(α+β).【解】(1)由三角函数定义得cos α=-35，sin α=45，则原式=2sin αcos α+2cos2α1+sin αcos α=2cos αsin α+cos αsin α+cos αcos α=2cos2α=2×(-35)2=1825.(2)∵OP→•OQ→=0，∴α-β=π2.∴β=α-π2.∴sin β=sin(α-π2)=-cos α=35，cos β=cos(α-π2)=sin α=45.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×45+(-35)×35=725.21.(本小题满分13分)(2012•湖北高考)设函数f(x)=sin2ωx+23sinωx•cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图像关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域.【解】(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωx•cos ωx+λ=-cos 2ωx+3sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-π6)+λ，由直线x=π是y=f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ-π6)=±1，所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z).又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k=1，故ω=56.所以函数f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y=f(x)的图像过点(π4，0)，得f(π4)=0，即λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin π4=-2，即λ=-2.。
高一数学 高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)
第三章测试一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为() A. 2 B.22 C.32 D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，3sin A －cos(B ＋C )＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2.答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45 C.45 D.65 解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°，∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c .答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0.又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0， 易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1.答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C 11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确． 又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin2αsin α－cos α的值． 解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79. ∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立． 19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0， 则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3， 则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。
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第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．sin=sin= cos或cos三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41． 又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。