数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案

第三章 三角恒等变换

一、选择题.

1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.2

3

-

B.2

1 -

C.2

1

D.2

3

2. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．

A.4

3

B.

83 C.8

1

D.4

1

3. 函数y =⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．

A.

4

π B.

2

π C. π D. 2π

4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+

B.12-

C.2

D. 2

5. 化简2

cot 2tan

2cos 1ααα-+，其结果是( )．

A.2

1-sin 2α B.2

1sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α

6. 若sin (α + β)=2

1，sin (α - β)=31，则β

αtan tan 为( )．

A. 5

B. - 1

C. 6

D.6

1

7. 设tan θ和tan ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-θ4

π

是方程x 2

+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．

A. p + q + 1 = 0

B. p - q + 1 = 0

C. p + q - 1 = 0

D. p - q - 1 = 0

8. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．

A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5

B. -4≤a ≤4

C. -3≤a ≤3

D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4

9. 若α∈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2π3 ,π，则α

αααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2

tan α

B. 2

sin α

C. 2

cot α

D. 2

cos α

二、填空题.

1.︒

+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．

2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．

3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =3

2，则 cos (α - β)= ___________．

4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+

23π2

θ＞21，则2

sin

2cos sin 1θθθ

--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=2

1

，tan β=5

1

，tan γ=8

1，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2

tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．

三、解答题．

1. 已知α，β为锐角，cos α =54

，tan (α - β)= -3

1，求cos β的值．

2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-2

1

，cos α + cos β =2

7

，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．

3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭

⎫

⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．

4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -4

1sin 4α sin 2α．

参考答案

一、选择题．

1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -2

1

． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21

sin 150°sin 30°=8

1． 3. C 【解析】y =

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21

sin 2 x -21cos 2 x = -2

1cos 2x . ∴ T =

π2

2π

=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )

= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x

= 1 +⎪⎭

⎫

⎝

⎛-4π2sin 2x ．

∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】

α

ααααααααααα2sin 21

cos sin cos 2

sin

2

cos

2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =2

1，

sin αcos β - cos αsin β =3

1． ∴ 2sin αcos β =6

5

， 2cos αsin β =6

1．∴ β

α

tan tan = 5． 7. B

【解析】⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+q

p θθθθ4πtan tan 4πtan tan

θ

θ

θπtan 1tan 14tan +-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθ

θθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12

+--=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++--=，

θ

θ

θq tan 1tan tan 2+-=

．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．

8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，

4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =2

1

时，

f (x )max =2

14414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；

当 cos x = - 1时，

f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.

∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C

【解析】α

αααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+

2

cos 2sin 22cos 2

sin 2cos 2sin 22cos 2

sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 222

22222

αααα

αααα

α

ααα

αααα

-++++-+-++=

2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin

αααααααα-++--+=．

∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，

，∴ 2α∈⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2

cos 2sin 2cos 2sin 2cos

2sin 2cos 2

sin

αααααα

ααα=-+++-+．