高等数学

或者简记为 D f 和 R f .
4
如果用集合的记号, 则一元函数 y f ( x ) 可表示为
f {( x , y ) | x D f , y f ( x )}
2 R 集合 f 是 的子集, 这个子集在平面上表示的就是
函数 y f ( x ) 的图像.
集合论是现代数学的基础, 函数也可以从集合
(a 0, a 1)
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
特别地，y log e x 记为
y ln x 称为自然对数.
15
4. 三角函数 正弦函数 y sin x
y
1
y sin x
2


3 2






2
O
1
2



3 2
25
注意: 1 复合函数可由两个以上的函数复合而成.
例如：y u , u cot v ,
x x v , 复合成 y cot . 2 2
2.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
2 u 2 x ; 例如 y arcsin u,
y arcsin( 2 x )
六个常见的有界函数:
| sin x | 1,
| cos x | 1,
x (,)
| arcsin x | | arctan x |

2
,
| arccos x | , x [1,1]

2
, | arc cot x | , x (,)
9
0.3.3 分段函数与Dirichlet函数
y
y x
(1,1)
y x2
1
y
x
o
1 y x
13
1
x
幂函数的定义域与
的取值有关.
x 2. 指数函数 y a
(a 0, a 1)
1 y a
x
y ax
(a 1)
( 0,1)
特别地， y e , e 2.718.
14
x
3. 对数函数 y log a x
值域 , . 2 2
该函数是奇函数
21
反余弦函数 y arc cos x
y

y arccos x
定义域 [1, 1],
1
O
1 x
值域 [0, ]. 该函数非奇非偶
22
反正切函数 y arc tan x
y
2
反余切函数 y arccotx
y
y arctan x
x
点 x0 的去心的 邻域, 也称空心邻域, 记作 U ( x0 , ).

U ( x0 , ) { x 0 x x0 }
3
0.3 一元函数
0.3.1 一元函数与集合
设D为实数集R的非空子集, 如果对任意的 x D,
都存在唯一的 y R与之对应, 则称y是x的函数, 可用 y f ( x ) 表示, 并称 x为自变量, 称y为因变量. 而定义域就是自变量的取值范围, 值域就是 因变量的取值范围, 分别记为 dom ( f )与ran( f ).
y
a
O
a
a
x
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2. 极坐标系与极坐标方程
(1) 极坐标系
在空间取定一点O, 称为极点,以O为起点作射线,
称为极轴, 这样就组成了极坐标系.
P ( r , )
于是平面上的任一点P 都可用
一对有序数组 ( r , ) 确定：
O
r

r ),
是 OP与极轴正向的夹角(0 2 ).
2
26
复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),
剥皮法： 由函数的最外层运算一层层剥到最
里边, 切不可漏层.
x 例如 y cot , 2
x y u , u cot v , v . 2
2. 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
1 问题 : y x 1 x
设 f ( x ) 在D上有定义 . 若 M 0, 使得x D,
有 f ( x) M
则称 f ( x ) 在D上有界, 也称 f ( x ) 是D上的有界函数 ;
否则, 称 f ( x ) 在D上无界.
y
M
y f ( x)
y
M
o
M
x
x0
o
y f ( x)
有界 D
8
D
无界
x
M
例 符号函数
1, 当 x 0 y sgn x 0, 当 x 0 1, 当 x 0
x R, 有
y 1 o x
-1
x x sgn x .
11
例 取整函数 y [ x ]表示不超过x 的最大整数.
y [ x ] n, 当 n x n 1 , n Z
一个式子表示的函数, 称为初等函数.
x0
27
x0
是初等函数吗 ?
0.6 函数的表示
数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析
表达式)、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐
标方程.
y f ( x ) 称为显函数.
), 都存在唯一的 y, 满足方程 如果x I ( I为区间
F ( x, y ) 0
如
2.5 2
5.2 5
y
3

2
1
阶 梯 曲 线

2.5 3
2

1 1 o 1

2

3

4

x
2
定义域 dom ( f ) R, 值域 ran( f ) Z .
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0.4 基本初等函数
基本初等函数可分为五大类, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数. 1. 幂函数 y x ( 是常数, 0)
u g( x ) 的值域为 ran( g ), 若 dom ( f ) ran( g ) ,
则称函数 y f [ g( x )] 为x 的复合函数. x 是自变量, u 称为中间变量, y 是因变量.
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简单的复合函数有11种形式,
[ f ( x )] , a f ( x ) , log a
x cos t , (0 t 2 ). 可以写成参数方程形式 y sin t
29
例 求星形线 x y a (a 0) 的参数方程.
解
2 3
2 3
2 3
令 x a cos 3 t , y a sin3 t
则星形线的参数方程为
a
3 x a cos t , (0 t 2 ) 3 y a sin t
0.2 邻域与去心邻域
设 x0 与 是两个实数, 且 0.
数集{ x x x0 }, 称为点 x0 的 邻域,
点 x0 称为邻域的中心, 称为邻域的半径.
记作
U ( x0 , ) { x x0 x x0 }

x0


x0
x0

2

x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是奇函数
16
余弦函数 y cos x
y
1
y cos x
2


3 2






2
O
1


3 2

2

5 2

x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是偶函数
17
cos x sin x . . 余切函数 y cot x 正切函数 y tan x sin x cos x
则称 y是由方程 F ( x, y ) 0 确定的 x的隐函数.
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通常很难或无法写出隐函数的显式表达式. 例如, 1. 参数方程
x x( t ) 称为参数方程, 其中t 称为参数. y y( t )
2 2 x y 1, 例如, 表示单位圆的隐函数
e xy x y 1 0.
夹角为 的一条射线.
32
例 圆方程 x y 2 y 换成极坐标形式是:
2
2
r 2 2r sin
即
r 2 sin , (0 )
极坐标方程 r r ( ) 化成参数方程为
y
y tan x
y y cot x

3 2
2
O
2

3 2
x



2
O
2

3 2
2
x
定义域 x ( 2n 1) , n Z 值域 (,). 该函数是奇函数
2

定义域 x n , n Z 值域 (,). 该函数是奇函数
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1 . 正割函数 y sec x cos x
都存在唯一的 y B , 使得 ( x , y ) f , 则称 f 是A到B的 一个函数. 设 y f ( x ) 是一元函数, 如果 y R f , 都存在 唯一的 x D f ,使得 y f ( x ), 记之为 x f 1 ( y ), 称为 y f ( x ) 的反函数.
(Advanced Mathematics)