高数数学应用题(下)
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高等数学应用题（下）
1、利用单摆摆动测量重力加速度的公式是 。现测得单摆摆长与振动周期分别为 、 。问由于测定 与 的误差而引起 的绝对误差和相对误差各为多少？
解：设测量 与 的误差分别为 与 ，由此引起 的误差为 ，则
。
将 代入上式，得 的绝对误差约为
从而相对误差约为
2、有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？
解：设厂家获利为 ，则 。作拉格朗日函数
令
解之得
因为最优价格必定存在，所以 是电视机的最优价格。
4、设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为 km，运行的角速度与地球的角速度相同。试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径 km）。
解：假设卫星轨道以地心为圆心的圆。取地心 为坐标原点，地心到通讯卫星中心连线为 轴，建立坐标系。通讯卫星覆盖的曲面 是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分， 的方程为 ，于是通讯卫星的覆盖面积为
和
由此解得 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.――10分
其中 是曲面 在 面上的投影区域，利用极坐标得
由于 ，代入上式得
由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值为
5、一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任意时刻水面高度和将水放空所需时间。
设t时刻水面高度为h(t),则t时刻流出的水量为Bvdt,而池内水量变化为Adh,（2分）
故
（6分）
求解得 ，当 时， （10分）
6、一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 又过两个小时，含量降为 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100 ）.
设 为 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为 ――5分
其通解是 而 就是所求量.由题设可知 故有
解：设折起来的边长为 cm，倾角为 ，那么梯形的下底长为 cm，上底长为 cm，高为 cm，所以断面的面积为
令
由于 ，上述方程组可ຫໍສະໝຸດ Baidu为
解之得
条件极值
3、设某电视机厂生产一台电视机的成本为 ，每台电视机的销售价格为 ，销售量为 ，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 与销售价格 之间有下面的关系： ，其中 为市场最大需求量， 是价格系数。同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 有如下测算： ，其中 是只生产一台电视机时的成本， 是规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价 ，才能使该厂获得最大利润？
1、利用单摆摆动测量重力加速度的公式是 。现测得单摆摆长与振动周期分别为 、 。问由于测定 与 的误差而引起 的绝对误差和相对误差各为多少？
解：设测量 与 的误差分别为 与 ，由此引起 的误差为 ，则
。
将 代入上式，得 的绝对误差约为
从而相对误差约为
2、有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？
解：设厂家获利为 ，则 。作拉格朗日函数
令
解之得
因为最优价格必定存在，所以 是电视机的最优价格。
4、设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为 km，运行的角速度与地球的角速度相同。试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径 km）。
解：假设卫星轨道以地心为圆心的圆。取地心 为坐标原点，地心到通讯卫星中心连线为 轴，建立坐标系。通讯卫星覆盖的曲面 是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分， 的方程为 ，于是通讯卫星的覆盖面积为
和
由此解得 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.――10分
其中 是曲面 在 面上的投影区域，利用极坐标得
由于 ，代入上式得
由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值为
5、一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任意时刻水面高度和将水放空所需时间。
设t时刻水面高度为h(t),则t时刻流出的水量为Bvdt,而池内水量变化为Adh,（2分）
故
（6分）
求解得 ，当 时， （10分）
6、一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 又过两个小时，含量降为 试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100 ）.
设 为 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为 ――5分
其通解是 而 就是所求量.由题设可知 故有
解：设折起来的边长为 cm，倾角为 ，那么梯形的下底长为 cm，上底长为 cm，高为 cm，所以断面的面积为
令
由于 ，上述方程组可ຫໍສະໝຸດ Baidu为
解之得
条件极值
3、设某电视机厂生产一台电视机的成本为 ，每台电视机的销售价格为 ，销售量为 ，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 与销售价格 之间有下面的关系： ，其中 为市场最大需求量， 是价格系数。同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 有如下测算： ，其中 是只生产一台电视机时的成本， 是规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价 ，才能使该厂获得最大利润？