初中数学竞赛专题：实数

初中数学竞赛专题：实数

1．1实数的运算 1．1．1★计算：

201320142014201420132013⨯-⨯．

解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积,得

201420142014100002014201410001-⨯+=⨯, 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯,

所以,原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注

一般地有

101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…

1.1.2★计算：

12324671421

135261072135

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．

解析 原式()()

12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25

=

． 1.1.3★计算：

111

1223

99100

+++

⨯⨯⨯．

解析原式1111

11991122399100100100⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

． 评注 在做分数加减法运算时,根据特点,将其中一些分数适当拆开,使得拆开后有一些分数可

以相互抵消,达到简化运算的目的,这种方法叫拆项法．本例中,我们把()11n n ⨯+拆成11

1

n n -+,即

有

()111

11

n n n n =-

⨯++． 其他常用的拆项方法如：

(1)()11

d n n d n n d

=-

⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦

或．它经常用于分母各因子成等差数列,且公差为d 的情形． (2)

()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦

．

1.1.4★计算：1111111111

1854108180270378504648810990

+++++++++

． 解析原式111111136699121215151818212124=

++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111

242727303033

+++

⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭11110

333399

⎛⎫=-=

⎪⎝⎭． 1.1.5★★计算：

11

1

123234

9899100

++

+

⨯⨯⨯⨯⨯⨯．

解析

因为()()()()()1111

122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭

,所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=-+-+

+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1114949

2129910019800

⎛⎫=-=

⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：1111121231234

12100

++++

++++++++

+．

解析

因为

()121

121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭

, 所以 原式2222

233445

100101

=

++++

⨯⨯⨯⨯

119922101101

⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 1.1.7★★设22

211

14834441004A ⎛⎫

=⨯+++

⎪---⎝

⎭

,求与A 最接近的正整数． 解析

对于正整数3n ≥,有

211114422n n n ⎛⎫

=- ⎪--+⎝⎭

, 所以

2221114834441004A ⎛⎫

=⨯++

+

⎪---⎝⎭

11111

148142

9856

102⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=⨯++

+

-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

1111

11112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭ 1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭

．

因为111141

121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯<

⎪⎝⎭

,所以,与A 最接近的正整数为25． 1.1.8★★2008加上它的1

2得到一个数,再加上所得的数的13又得到一个数,再加上这次得数的14

又得到一个数,…,依此类推,一直加到上一次得数的

1

2008

．最后得到数为 11134200920082009

2008111200820170362320082320082

⨯⎛⎫⎛⎫

⎛

⎫⨯+⨯+⨯

⨯+=⨯⨯⨯

⨯

== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

． 1.1.9★计算：

1

111

1122334

20122013

++++

⨯⨯⨯⨯．

解析 因为

1111

12233420122013

++++

⨯⨯⨯⨯

1111

112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

, 所以

1

2013

111

1

2012

122334

20122013

=++++

⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：

123420072008S =-+-+

+-．

解析

()()()()()()

10041234200720081111004

S =-+-+

+-=-+-+

+-=-共个

1.1.11★★计算：

1223341920⨯+⨯+⨯+

+⨯．

解析 因为

1

121233

⨯=⨯⨯⨯,