专题一 第三讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用

一、选择题

1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14

)的值为( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12

， 则f (x )＝x

12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B

2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，0]

B ．[2，＋∞)

C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)

D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ，

所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1.

所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.

答案：D

3.设0

A ．ab

B.12<(12)a <(12)b C ．a 2

a <0

解析：依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由

函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12

)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．

答案：B

4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为

f (x )＝⎩⎨⎧

c x ，x

(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25

B ．75,16

C ．60,25

D ．60,16

解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4

答案：D 二、填空题

5．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b

＝2，则m ＝________. 解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .

由1a ＋1b ＝2，即log m 2＋log m 5＝2，得log m 10＝2，

∴m ＝10.

答案：10

6．函数y ＝(13

)x －log 2(x ＋2)在[－1,1]上的最大值为________． 解析：函数y ＝(13

)x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f (－1)＝3.

答案：3

7．已知函数f (x )＝log 3(a －3x )＋x －2，若f (x )存在零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：函数f (x )存在零点，即方程f (x )＝0有解，

也就是方程log 3(a －3x )＋x －2＝0有解．

故log 3(a －3x )＝2－x ，所以a －3x ＝32－

x ， 也就是a －3x ＝9×13

x ，整理，得(3x )2－a ×3x ＋9＝0. 故a ＝(3x )2＋93x ＝3x ＋93x ，而3x ＋93

x ≥2 3x ×93x ＝6(当且仅当3x ＝93

x ，即x ＝1时取得等号)，所以实数a 的取值范围是[6，＋∞)．

法二：函数f (x )存在零点，即方程f (x )＝0有解，也就是方程log 3(a －3x )＋x －2＝0有解． 故log 3(a －3x )＝2－x ，所以a －3x ＝32－x . 也就是a －3x ＝9×13

x ，整理，得(3x )2－a ×3x ＋9＝0.

令t ＝3x >0，则方程变为t 2－at ＋9＝0，由题意，知该方程至少有一正根，设方程的两根分别为t 1，t 2，则由根与系数之间的关系，可得t 1t 2＝9>0，故该方程有两个正根，所以有：

⎩⎪⎨⎪⎧

Δ＝(－a )2－4×1×9≥0，t 1＋t 2＝a >0，解得a ≥6. 答案：[6，＋∞)

三、解答题

8．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0，当x ∈(－∞，－

3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0.

(1)求f (x )在[0,1]内的值域；

(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R?

解：由题意知f (x )的图像是开口向下，交x 轴于两点A (－3,0)和B (2,0)

的抛物线，对称轴方程为x ＝－12

(如图)． 那么，当x ＝－3和x ＝2时，

有y ＝0，代入原式得

⎩⎪⎨⎪⎧

0＝a (－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝5.

经检验知⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝0，

b ＝8，不符合题意，舍去． ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.

(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，

所以，当x ＝0时，y ＝18，当x ＝1时，y ＝12.

∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．

(2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c ，

要使g (x )≤0的解集为R.

则需要方程－3x 2＋5x ＋c ＝0的判别式Δ≤0，

即Δ＝25＋12c ≤0，解得c ≤－2512

. ∴当c ≤－2512

时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R. 9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．