专题一 第三讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
二次函数的应用(经典) PPT
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
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详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。
其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。
三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。
2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。
一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。
对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。
2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。
当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。
三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。
对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。
这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。
2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。
例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。
通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一，它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下。
2. 对称轴：对于二次函数 y = ax² + bx + c，其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线，并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点：- 当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)；- 当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点：通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac < 0 时，方程无实数根。
2. 求顶点：二次函数的顶点为最值点，可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值：在给定条件下，一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹：- 在自由落体的问题中，我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型；- 在抛体运动的问题中，我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
函数的应用学习总结
函数的应用学习总结一、函数的应用在课程中的地位和作用本单元的内容—函数的应用，是学习函数的一个重要方面，也是数学建模在高中数学中的一个初次体现。
本单元内容为教材必修一中第三章函数的应用，它包括一次函数、二次函数及指数函数、对数函数、幂函数的应用。
在此之前学生已经研究了函数的概念及有关性质，并学习了上述几个基本初等函数的有关知识，为本单元的学习打下了一定的基础。
在后续的教材中，还将学习三角函数的应用、数列的应用、不等式的应用等涉及实际应用的内容。
一方面，学生学习函数的应用，目的是利用已有的函数知识分析问题、解决问题。
通过函数的应用，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大帮助；另一方面，本单元内容，是高一学生第一次学习数学建模，它是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和解决问题的过程，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力。
因此就中观层面分析本单元的内容是函数知识在高一阶段的重点部分，也是承上启下的部分。
二、函数应用的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系在本主题单元中，我把分散两节内容设计成三个专题来组织学习活动。
专题一：一次函数、二次函数的应用。
通过探究，初步掌握一次函数和二次函数模型的应用，初步体会数学建模的思想，会解决简单的实际应用问题；专题二：指数函数、对数函数、幂函数的应用。
通过研究经济、地理、物理等方面内容，理解这三种函数模型的常见应用，初步体会它们的增长差异性。
专题三：函数模型的选择与应用。
本专题学习内容适合于运用研究性的方法学习。
通过分析已给条件或收集数据，利用信息技术建立大致反映变化规律的函数模型，初步掌握选择函数模型的方法，体会利用信息技术建立函数模型的优势。
这三个专题内容的确定是源于教材，且整合了函数的应用的内容，又不拘泥于教材，并适当进行了拓展和延伸，为今后的学习做了铺垫。
二次函数基础及应用
二次函数基础及应用二次函数，在数学中是一种重要的函数形式。
它的表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
本文将介绍二次函数的基础知识，并探讨一些它在实际应用中的使用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c。
其中，a代表抛物线的开口方向和狭宽程度，正值表示向上开口，负值表示向下开口；b代表抛物线在x方向的平移；c代表抛物线与y轴的交点。
二、二次函数的图像特点对于二次函数y=ax^2+bx+c，根据a的值的不同，抛物线的图像会有以下几种情况：1. 当a>0时，抛物线向上开口，最低点在顶部，为最小值点；2. 当a<0时，抛物线向下开口，最高点在顶部，为最大值点。
三、二次函数的性质1. 零点和根在二次函数中，零点和根是指使函数等于零的x值。
二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求解。
根据韦达定理，二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以帮助我们判断二次函数的零点个数和性质。
- 当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；- 当Δ<0时，二次函数没有实根。
2. 对称轴二次函数的对称轴是其抛物线的对称轴。
对称轴的方程可以通过x=-b/(2a)得到。
3. 极值点在二次函数的顶点或者底点，函数取得最大或最小值，称为极值点。
根据抛物线的开口方向，可以判断极值点是最大值还是最小值。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景：1. 抛物线的建模许多物理问题可以通过二次函数来建模。
例如，一个抛出的物体在空中的高度可以用二次函数来描述，通过分析抛体运动方程可以确定其最高点、最远距离等关键属性。
2. 金融与经济学在金融和经济学中，二次函数经常用于描述成本、收益、利润等与产量或销量相关的指标之间的关系。
通过分析二次函数的图像和性质，可以计算最优产量或者销量，帮助决策者做出最佳决策。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是一种常见的数学函数形式，由幂次为2的项和常数项组成。
它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质和应用，并介绍一些相关的数学原理。
一、基本形式和性质二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c（其中a≠0，a、b、c为常数）1. 零点和轴对称性二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解ax^2 + bx + c =0来得到。
零点对应于函数图像与x轴相交的点，也称为函数的根。
二次函数的图像是关于一个垂直于x轴的轴对称的，称为二次函数的轴。
轴的方程为x = -b/(2a)。
2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负值决定。
当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
3. 顶点和最值二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，对应于函数的最值。
顶点的横坐标为-x0，其中x0 = -b/(2a)；纵坐标为f(-x0)。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
最小值或最大值为f(-x0)。
二、二次函数的应用二次函数在多个领域中都有实际应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 物体的抛体运动当一个物体被竖直抛出时，其高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
在忽略空气阻力的情况下，物体的高度h随时间t的变化满足h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中v是初速度，h0是初始高度。
通过分析二次函数的性质，可以确定物体的最高点、落地时间等信息。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述生产成本与产量之间关系的函数。
二次函数常常被用来表示成本函数。
根据具体情况，成本函数的系数可以代表固定成本、变动成本等。
通过研究二次函数的图像和顶点，可以分析最小成本或最大利润对应的产量。
3. 自然界中的抛物线轨迹许多自然界中的现象都可以用二次函数来解释，例如自由落体运动、流体的喷射轨迹等。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中的重要章节，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。
所以，对于二次函数的知识点的掌握对于学习数学和解决实际问题都是非常重要的。
下面将从定义、图像、性质、解析式和实际应用等方面详细归纳二次函数的知识点。
一、定义和基本形态二次函数是指一个一元二次方程确定的函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的定义域是全体实数集R。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和抛物线的开口相同。
当a > 0时，抛物线向上开口；当a < 0时，抛物线向下开口。
这个基本形态是理解二次函数的关键。
二、图像的性质1. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
二次函数的零点可以通过解一元二次方程来求得，也就是求解 ax² + bx + c = 0 的解。
当零点存在时，它的个数最多为2个。
2. 对称轴：二次函数的图像总是关于一个直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴方程的求法是x = -b / 2a。
3. 顶点和最值：二次函数总是有一个最值点，也就是函数的最大值或最小值。
当a > 0时，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，函数的最大值出现在顶点上。
顶点的坐标可以通过对称轴的x坐标带入函数中求得。
4. 开口：二次函数的开口决定了其函数值的增减。
当 a > 0时，函数是向上开口的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，函数是向下开口的，函数值随着x的增大而减小。
三、解析式及其对称性根据二次函数的定义，我们可以得到它的一般解析式 f(x) = ax² + bx + c。
在解析式中，a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项。
二次函数的解析式可以通过给定的系数a、b、c进一步确定函数的性质。
1. 对称性：二次函数具有对称性，也就是函数图像在对称轴两侧关于对称轴对称。
第二部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
因此当 0<x1<x0 时，有 f(x1)>f(x0)，又 x0 是函数 f(x)的零点， 因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正值．
返回
3．选 C
log 1 －x，－x>0 log 1 －x，x<0， 2 f(－x)＝ ＝ 2 log2x，－x<0 log2x，x>0.
返回
取得最大值100元． 返回
创新预测 1．选 D
10.3 分别结合指数函数与对数函数的图像可得，a＝2 ∈
(0,1)，b＝(0.3)－2∈(1，＋∞)，c＝log 1 2＝－1，故 b>a>c.
2
2．选 A 注意到函数
1x f(x)＝5 －log3x
在(0，＋∞)上是减函数，
(2)依题意得，当 x－1>0，即 x>1 时，f(x)＝1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e>1； 当 x－1＝0，即 x＝1 时，f(x)＝0－ln 1＝0；当 x－1<0，即 x<1 时，f(x)＝ 1 －1－ln x，令 f(x)＝0 得 x＝e <1.因此，函数 f(x)的零点个数为 3.
答案：9
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[热点透析高考]
例1：解析：(1)由于π>1，则y＝πx递增，因此a＝π0.3>π0＝1，
又由于π>3，因此b＝logπ3<logππ＝1，而c＝30＝1，所以a>c>b.
(2)依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即 f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数， 结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图像与 函数y＝loga(x＋2)的图像，结合图像分析可知， 要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图像有4个不同的交点，则有
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究
基本初等函数的图象与性质
二次函数的零点是函数与x轴的交点，可 以通过零点来求解二次方程。
指数函数的图象与性质
1
指数增长
指数函数的图象呈指数增长，随着自变量的增大，函数值呈指数级增加。
2
底数
底数决定了指数函数的增长速度和形状，大于1时增长快，小于1时增长慢。
3
指数规律
指数函数的图象在底数相同的情况下，具有相似的形状和性质。
反函数的图象在原函数的图象上方以y=x 为对称轴进行镜像。
一对一映射
函数有反函数当且仅当函数是一对一映射， 即每个y值对应唯一的x值。
函数的奇偶性与周期性
奇偶函数
奇函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数关于y轴对称， 即f(-x) = f(x)。
周期函数
周期函数的图象在一段区间 内重复出现，具有固定的周 期和重复性质。
对数函数的图象与性质
反指数函数
对数函数是指数函数的反函 数，可以解决指数方程和表 示指数增长的逆过程。
对数刻度
对数函数的图象在对数刻度 下呈直线，有助于表示大范 围的数值。
指数衰减
对数函数的图象在底数小于1 时呈指数衰减，逐渐趋近于 零。
三角函数的图象与性质
1
正弦函数
正弦函数的图象是连续的波动曲线，用于描述周期性现象和波动。
函数的零点为x轴与图象的交 点，截距为y轴与图象的交点， 可以通过它们来分析函数的 特性。
二次函数的图象与性质
抛物线
二次函数的图象呈抛物线形状，有开口向 上和开口向下两种情况。
轴对称性
二次函数的图象关于一条垂直线对称，这 条线称为对称轴。
顶点
抛物线的顶点是函数的最值点，可以通过 顶点来确定抛物线的最值和对称轴。
专题1第3讲基本初等函数精品课件大纲人教版课件.ppt
第3讲│ 主干知识整合
2．指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质 (1)图象：均过定点(0,1)，图象均在第一和第二两个象限； 若底数 a＞1，则图象是上升的，若底数 0<a<1，则图象是下 降的．但虽然底数都大于 1(或者都大于 0 小于 1)，底数取不 同的值，其图象“高低”仍不相同，此时，我们可以根据指 数函数 y＝ax 的图象一定过点(1，a)加以区分，显然，在 y 轴 右侧，底数越大，则图象的位置越靠上． (2)性质：定义域均为 R；值域均为(0，＋∞)；当 a＞1 时 为增函数，当 0<a<1 时为减函数．
第3讲│ 要点热点探究
【点评】 本题考查函数、最值等基础知识，同 时考查运用数学知识解决实际问题的能力．解实际应 用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问 题抽象转化成数学问题，然后再用相应的数学知识去 解决．本题涉及分段函数的最值，处理时一定要逐段 进行讨论，对两段的结果进行比较后最后选择正确结 论．
第3讲 基本初等函数
第3讲 基本初等函数
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 (1)二次函数的图象 ①二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，对 称轴方程是 x＝－2ba，顶点坐标是－2ba，4ac4－a b2. ②当 Δ＝b2－4ac＞0 时，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象 与 x 轴 的 两 交 点为 M(x1,0)， N(x2,0)， 则 有 |x1 － x2| ＝ b2－4ac |a| .
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上 某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大， 并求出最大值．(精确到 1 辆/小时)
二次函数的应用ppt
斜坡行驶问题
要点一
总结词
通过二次函数模型研究汽车在斜坡上 行驶时的加速度、速度和位移等动力 学问题。
要点二
详细描述
在汽车行驶过程中，会遇到各种斜坡 和坡道，不同斜率会对汽车的动力学 性能产生影响。通过二次函数模型可 以分析和优化汽车在不同斜坡上的行 驶性能，提高行车安全性和舒适性。
要点三
实际应用案例
2023
二次函数的应用
目录
• 引言 • 二次函数的图像和性质 • 常见的二次函数应用 • 不同类型的二次函数 • 解决实际问题 • 二次函数的应用进阶
01
引言
课程背景
1
二次函数是初中数学的重要知识点之一，是数 学建模的基础。
2
通过学习二次函数，能够提高学生解决实际问 题的能力。
3
本课程旨在让学生掌握二次函数的应用，为后 续数学学习和实际应用打下基础。
03
常见的二次函数应用
最大利润问题
总结词
在各种不同的条件下，通过求解 二次函数最大值，得到利润最大 化的解决方案。
详细描述
在商业和工业生产中，通常会遇 到在一定成本范围内，如何分配 资源以获得最大利润的问题。在 实际情况下，还需要考虑市场、 竞争对手和政策等多种因素。
实际应用案例
比如开一家小卖部，需要考虑如 何进货、定价、促销等，使得利 润最大化。
根据极值点附近函数的单调性判 断极值的类型，包括极小值和极 大值。
求出极值
将极值点代入二次函数中，计算得 到极值。
如何利用导数研究二次函数的性质
求出导函数
研究单调性
对二次函数求导，得到导函数。
通过导函数的正负符号，判断原函数的单调 性。
研究极值点
二次函数的性质及其应用
二次函数图像平移对函数值的影响： 图像平移不改变函数值
二次函数图像平移的应用：在解决实 际问题中，可以通过平移图像来简化 问题
二次函数图像平移的几何意义：平 移是二次函数图像在坐标平面上的 等距移动，不改变形状和大小
二次函数图像的对称轴是 直线x=-b/2a
二次函数图像的顶点坐标 为(-b/2a, f(-b/2a))
其方程为x = b/2a
对称轴与二次函 数的开口方向有 关，当a > 0时， 开口向上；当a < 0时，开口向下
二次函数的顶点 在对称轴上，其 坐标为(-b/2a, c-
b^2/4a)
当二次函数有两 个实根时，这两 个根关于对称轴
对称
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
顶点的坐标公 式为(-b/2a, f(b/2a))
二次函数的性质及其 应用
汇报人：XX
目录
二次函数的性质
二次函数的应用
二次函数的图像
二次函数的解析式
二次函数的性质
二次函数的开口方向取决 于二次项系数a的正负。
当a>0时，二次函数的开口 向上。
当a<0时，二次函数的开口 向下。
二次函数的开口方向与对 称轴和顶点位置有关。
二次函数的对称 轴是一条直线，
二次函数的解析式 为y=ax^2+bx+c，其 中a、b、c为系数
a的符号决定了抛物 线的开口方向，a>0 时开口向上，a<0时 开口向下
b的符号决定了抛物 线的对称轴，b>0时 对称轴为x=-b/2a， b<0时对称轴为y轴
c的符号决定了抛物线 与y轴的交点，c>0时 与y轴交于正半轴， c<0时与y轴交于负半 轴
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。
下面是对二次函数知识点的总结。
一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。
①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。
②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。
③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。
④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。
②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。
③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。
④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。
三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。
②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。
四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。
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一、选择题
1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14
)的值为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12
， 则f (x )＝x
12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B
2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ，
所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1.
所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.
答案：D
3.设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )
A ．ab <b 2<1
B.12<(12)a <(12)b C ．a 2<ab <1 D ．log 12b <log 12
a <0
解析：依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由
函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有(12)0>(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12
)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．
答案：B
4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝⎩⎨⎧
c x ，x <A ，c A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.
答案：D 二、填空题
5．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝________. 解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .
由1a ＋1b ＝2，即log m 2＋log m 5＝2，得log m 10＝2，
∴m ＝10.
答案：10
6．函数y ＝(13
)x －log 2(x ＋2)在[－1,1]上的最大值为________． 解析：函数y ＝(13
)x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f (－1)＝3.
答案：3
7．已知函数f (x )＝log 3(a －3x )＋x －2，若f (x )存在零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：函数f (x )存在零点，即方程f (x )＝0有解，
也就是方程log 3(a －3x )＋x －2＝0有解．
故log 3(a －3x )＝2－x ，所以a －3x ＝32－
x ， 也就是a －3x ＝9×13
x ，整理，得(3x )2－a ×3x ＋9＝0. 故a ＝(3x )2＋93x ＝3x ＋93x ，而3x ＋93
x ≥2 3x ×93x ＝6(当且仅当3x ＝93
x ，即x ＝1时取得等号)，所以实数a 的取值范围是[6，＋∞)．
法二：函数f (x )存在零点，即方程f (x )＝0有解，也就是方程log 3(a －3x )＋x －2＝0有解． 故log 3(a －3x )＝2－x ，所以a －3x ＝32－x . 也就是a －3x ＝9×13
x ，整理，得(3x )2－a ×3x ＋9＝0.
令t ＝3x >0，则方程变为t 2－at ＋9＝0，由题意，知该方程至少有一正根，设方程的两根分别为t 1，t 2，则由根与系数之间的关系，可得t 1t 2＝9>0，故该方程有两个正根，所以有：
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝(－a )2－4×1×9≥0，t 1＋t 2＝a >0，解得a ≥6. 答案：[6，＋∞)
三、解答题
8．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0，当x ∈(－∞，－
3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0.
(1)求f (x )在[0,1]内的值域；
(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R?
解：由题意知f (x )的图像是开口向下，交x 轴于两点A (－3,0)和B (2,0)
的抛物线，对称轴方程为x ＝－12
(如图)． 那么，当x ＝－3和x ＝2时，
有y ＝0，代入原式得
⎩⎪⎨⎪⎧
0＝a (－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝5.
经检验知⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝8，不符合题意，舍去． ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.
(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，
所以，当x ＝0时，y ＝18，当x ＝1时，y ＝12.
∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c ，
要使g (x )≤0的解集为R.
则需要方程－3x 2＋5x ＋c ＝0的判别式Δ≤0，
即Δ＝25＋12c ≤0，解得c ≤－2512
. ∴当c ≤－2512
时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R. 9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ≤100时，p ＝60；
当100＜x ≤600时，
p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .
∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧
60， 0＜x ≤100，62－0.02x ， 100＜x ≤600. (2)设利润为y 元，则
当0＜x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；
当100＜x ≤600时，
y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
20x ， 0＜x ≤100，22x －0.02x 2， 100＜x ≤600. 当0＜x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000； 当100＜x ≤600时，
y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，
∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.
显然6 050＞2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
10．设函数f (x )＝ka x －a －
x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；
(2)若f (1)＝32
，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 解：∵f (x )是定义域为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，
∴k －1＝0，即k ＝1.
(1)∵f (1)>0，∴a －1a >0.又a >0且a ≠1，
∴a >1，f (x )＝a x －a －
x . ∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －
x )ln a >0， ∴f (x )在R 上为增函数，
原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )．
∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0.
∴x >1或x <－4.
∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．
(2)∵f (1)＝32
，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0. ∴a ＝2或a ＝－12
(舍去)． ∴g (x )＝22x ＋2
－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.
令t (x )＝2x －2－
x (x ≥1)， 则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t (x )≥t (1)＝32
， ∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2. ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.。