高中数学 简单线性规划问题教案 新人教A版必修

3.3.2 简单线性规划问题

从容说课

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.

“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.

依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.

本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.

本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.

教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.

课时安排 3课时

三维目标

一、知识与技能

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学过程

第1课时

导入新课

师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.

（生回答）

推进新课

［合作探究］

师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.

0,0,124,164,82y x y x y x

师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生 （板演）

师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？

生 则z=2x+3y.

师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

［教师精讲］

师 把z=2x+3y 变形为z x y 3

132+-

=,这是斜率为32

-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变

化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线

z x y 3

1

32+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线

z x y 3

1

32+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取

最大值，因此，问题转化为当直线z x y 31

32+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在

区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3

z

最大.

由图可以看出，当直线z x y 3

1

32+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截

距3z 最大，最大值为3

14.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.

［知识拓展］