吉林省榆树市第一高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)

b
在直线
y
x 2
的上方，所以
b
a 2
，即
a 2b 0 ，所以 a 2b a 2b 5 2 ， a 5 2 2b ，则
ab
5
2 2b
b 2b2 5
2b
，对称轴为
52
2 2
52 4
，所以 ab
的最大值为
2
5
2 4
2
5
2 5 2 25 44
.
25 故答案为： 4
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化归与转化 的数学思想方法，属于中档题. 15.在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD 沿 BD 折成直二面 角 A-BD-C，则三棱锥 A-BDC 外接球的表面积是______.
【答案】 6 .
【解析】 【分析】
先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线
与中截面的交点，再由
| AF |的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
双曲线的一个焦点为
F
0,1，所以
p
2
，设点
A
x1,
x12 4
，则利用导数得到
A
处切线方程
y
x1 2
x
x12 4
，求出 M ,
N
的坐标后利用 OMN
的面积为
4
得到
x1
4
，最后利用焦半径
公式可求 AF .
【详解】双曲线的一个焦点为
【答案】C
3 B. 2
2 C. 2
1 D. 2
【解析】 【分析】
画出图像，根据图像判断出 2b a ，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小
值.
【详解】设过 P 作圆的切线，切点为 A, B ，连接 OA, OB, OP .由于 PA PB ，
APO
根据切线的对称性可知
BPO
4
.在
RtOAP 中有 OP
2OA a ，即
2b a ，所以 2b2 a2 ，即 2
a2 c2
a2 ，化简得 a2 2c2 ，
2 c 1 2 a ，所以椭圆
2 C1 离心率的最小值为 2 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合
的数学思想方法，属于中档题.
7. ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 b 3 ， c 2 ， O 为 ABC 的外
2
，
(0, ) 2
∴sinα+cosα＞0，
2 则 cosα﹣sinα= 2 ．
1 2sin cos 1
两边平方得：
2，
sincos 1
∴
4．
故答案为 A．
11.抛物线 C : x2 2 py( p 0) 焦点 F 与双曲线 2 y2 2x2 1 一个焦点重合，过点 F 的直线
交 C 于点 A 、 B ，点 A 处的切线与 x 、 y 轴分别交于 M 、 N ，若 OMN 的面积为 4 ，则
吉林省榆树市第一高级中学 2020 届高三数学上学期期末考试试题 文
（含解析）
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分.
1.若集合
B
x
|
x
0 ，且
A
B
A
，则集合
A
可能是（
）
A. 1, 2
B. x | x 1
C. 1, 0,1
【答案】A
【解析】
∵ AB A
∴ A B
∵集合 B {x | x 0} ∴选项 A 满足要求
10.已知锐角
满足
cos(
4
)
cos
2
，则 sin
cos
等于（
）
1 A. 4
1 B. 4
2 C. 4
【答案】A
【解析】
cos cos sin sin cos2 sin2
由 cos（α﹣ 4 ）=cos2α，得
4
4
2 D. 4
2 (sin cos ) (sin cos )(cos sin )
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据“学校艺术节对 A、B、、C D 四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设 A、B、、C D 分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得
出结果． 【详解】若 A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若 B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若 C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若 D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故 B 获得一等奖．
0 2(1 5 2013) 0 2(3 7 L 2015) 0 4 504 2016 ，
故选 A. 【点睛】本题考查的 知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分.
故选 A.
D. R
z i 2.已知复数 1 i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ )
1 i
A. 2
1i B. 2
1 C. 2
1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简 z ，由此求得 z 的虚部.
【详解】
z
i 1i
i 1 i 1 i1 i
1 i 2
1 2
1 2
i
，故虚部为
1 2
【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做
本题的时候，可以采用依次假设 A、B、、C D 为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其
是否正确．
14.若直线 l：x
2y
0
C
与圆
:
x
a 2
y
b 2
10
相切，且圆心
C
在直线
l
的上方，
则 ab 的最大值为___________．
14 A. 3
10 B. 3
8 C. 3
5π D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为
1 4 13 1 12 4 8
23
2
3.
故选：C
【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题.
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.
x y 3 0
x y 0
3.设 x, y 满足约束条件 x 2
, 则 z 3x y 的最小值是
A. 5
B. 4
C. 3
D. 11
【答案】C 【解析】 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由 z 3x y 可得 y 3x z ．平移直线 y 3x z ，结合图形可得，当直线 y 3x z 经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 也取得最小值．
据以 0,1 为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，
将各个数按顺序排列.
5.若
f
(x)
是定义在
-2,
2 上的偶函数，在
-2,
0 为增函数，则
f (x 1)
f (2x) 的解集为（
）
A.
1,
2 3
B.
1,
1 3
C. 1,1
D.
1 3
,1
【答案】B
【解析】
【分析】
OD CB 0 ，
AO
BC
( AD
DO)
BC
AD
BC
DO
BC
AD
BC
1 2
( AC
AB)
( AC
AB)
1
2 ( AC
2 AB )
1
(32
22 )
5
2
2
2．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取 BC 的中点 D ，把 AO BC 转化为
心，则 AO BC （ ）
13 A. 2
【答案】B
5 B. 2
5
C. 2
D. 6
【解析】
【分析】
取 BC 的中点 D ，可得 OD CB 0 ，这样 AO BC AD BC ，然后都用 AC, AB 表示后
运算即可．
【详解】取 BC 的中点 D ，连接 OD, AD ，∵ O 是 ABC 外心，∴ OD ^ BC ，
，故选 C.
【点睛】若求抛物线
x2
2 py p
0 上点
A 的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，
再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.
12.已知数列
an
的前
n
项和 Sn
n2
n
，数列
bn
满足
bn
an
sin
n 1 2
，记数列
bn
的
前 n 项和为 Tn ，则 T2017 （ ）
为
1,
1 3
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
C1 :
6.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 与圆 C2
: x2
y2
b2 ，若椭圆 C1 上存在点
P，使得
由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆 C1 的离心率最小值为（ ）
3 A. 3
25 【答案】 4 .
【解析】 【分析】
根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得 a, b 的关系，利用二次函数的
性质求得 ab 的最大值.
【详解】圆的圆心为 a, b，半径为 10 ，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，
a 2b 即5
10, a 2b 5
2
.由于圆心
a,
判断出
f
x 的单调性，由此化简不等式
f (x 1)
f (2x) ，求得不等式的解集.
【详解】由于
f
x
是定义在
2,2上的偶函数，且在
2,
0 上递增，所以在
0,
2 上递减.
由
f (x 1)
2 x 1 2
2 2x 2
f
(2x) 得
x
1
2x
11
x x
3 1
x 12 4x2
1
x
1 3 ，所以不等式的解集
Sn
Sn1
n2
n
(n
1)2
(n
1)
2n
2
，
上式对 n 1 时也成立，
∴ an 2n 2 ，
bn
∴
an
cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 2
2(n 1) cos n 2
，
y cos n
T
2
4
∵函数
2 的周期 2 ，
∴ T2017 b1 b5 b2013 b2 b6 b2014
b3 b7 L b2015 b4 b8 L b2016 b2017
A. 2016 【答案】A
B. 2017
C. 2018
D. 2019
【解析】
【分析】
由 Sn
n2
n 得到 an
2n 2
，即 bn
2(n 1) cos
n 2
，利用分组求和法即可得到结果.
【详解】由数列
an
的前
n
项和为
Sn
n2
n
，
当 n 1 时， a1 S1 11 0 ；
当 n…
2
时， an
13.学校艺术节对同一类的 A ， B ， C ， D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，
甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“ C 或 D 作品获得一等奖”；
乙说：“ B 作品获得一等奖”；
丙说：“ A ， D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“ C 作品获得一等奖”．
由
x x
y y
3 0
0
，解得
x y
3 2
3 2
，故点
A
的坐标为
(
3 2
,
3 2
)
．
∴
zmin
3 (
3) 2
3 2
3
．选
C．
4.已知
a
21.2
，
b
(
1 )0.8 2
，
c
2
log5
2
，则
a,
b,
c 的大小关系为（
）
A. c b a
B. c a b
C. b a c
D. b c a
AD BC ，再选取 AC, AB 为基底，用基底进行运算．
8.执行如图所示的程序框图，当输出 S 210 时，则输入 n 的值可以为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B 【解析】 【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算 S=n×（n-1）×…×5 的值， 由于 S=210=7×6×5， 可得：n=7，即输入 n 的值为 7． 故选 B． 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ）
F
0,1
，所以
p
2
.设点
A
x1,
x12 4
，
故抛物线在点
k A 处切线的 斜率为
x1 2
，切线方程为
y
x1 2
x
x1
x12 4
x1 2
x
x12 4
，
所以
M
x1 2
,
0
,
N
0,
x12 4
，所以
SOMN
1 2
x13 8
4 ，故 x1 4 ，
AF x12 p 4 1 5
42
【答案】A 【解析】
b ( 1 )0.8 20.8
【详解】试题分析：因为 2
，所以由指数函数的性质可得
1 b 20.8 21.2 a ， c 2 log5 2 log5 4 1 ，因此 c b a ,故选 A.
考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属 于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常 常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数