三函数的四则运算

3 、 指 数 函 数 图 象 y = a x ( a > 0 , a 1 )4 、 对 数 函 数 y = l o g a x(a 0 ,a 1 )图 象 :
y
1 2
Байду номын сангаас
x
ylog1 x
2
0a1的 情 形
11
1 的情形
12
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx , arccosx 图像
1,
sgn
x
0,
1 ,
x0 x0 x0
狄里克雷函数
1 , x 为 有 理 数
D
(x)
0
，
x 为 无理 数
y
1
o
x
-1
黎曼函数
R ( x)
1
q
,
x p 既约真分数 q
0 ， 下 ＝ 0 ，1 和（ 0 ，1）内 的 无 理 数
3
思考题： 下列函数是否相同，为什么？ 1、f (x) 2lg x 与 g(x) lg x2
三函数的四则运算
§3 函数概念
函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数 的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.
一 函数的定义 1. 函 数 的 几 点 说 明 . 函数的两要素: 定义域和对应法则
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.
四 复合函数: 设 有 两 个 函 数 y f (u ) , u D , u g ( x) , x E ， 若 E * {x | g (x) D E} ， 则 x E * ， 通 过 函 数 g 对 应 D 内 唯 一 u ， 而 u 通过函数 f 对应唯一 y
y f (u )
x
D
x0
(
)
对应法则 f
(
W
)
y
f (x0 )
例 ，如 y 1 x 2 , D : [ 1, 1]
例 如 y ， 1 , D : ( 1, 1 )
2
1 x2
例 ，如 y 1 x 2 , D : [ 1 , 1 ]
例
如 y ， 1
, D : ( 1, 1)
1 x2
函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法. 分段函数
思 考 题 ： f( u )1 u 2 与 u a r c s in (x 2 1 ) 是 否 可 复 合 成 函 数 ？
五 反函数
y 函 数 y f (x)
反 函 数 x (y)
y0
y0
o
x0
xo
y
反函数 y (x)
x0
x
7
y
反函数 y (x)
Q (b , a )
o
直接函数 y f (x) P (a,b)
f
u g(x)
D
g
{x | g(x) D}
x E*
E
这样， x E *都有唯一
y 和 它 对 应 ，因 此 确 定 了 一 个 以
x
为
自
变
量
，
y
为
因
6
变
量
的 函 数 ，记 作 y f ( g (x )) ，称 为 函 数 f 和 g 的 复 合 函 数 ，并 称 f 为 外 函 数 ， g
这 样 ， x E * 都 有 唯 一 y 和 它 对 应 ，因 此 确 定 了 一 个 以 x 为 自 变 量 ， y 为 因 变 量 的 函 数 ，记 作 y f ( g (x )) ，称 为 函 数 f 和 g 的 复 合 函 数 ，并 称 f 为 外 函 数 ， g 为内函数， u为中间变量。
L(x)=
f(x) g(x),
x D*.
注 ： 若 D D1 D2 ， 则 f 与 g不 能 进 行 四 则 运 算 ， 例 如 ：
5
f(x)1 x2, x D 1 xx 1 , g (x)x2 4 , x D 2 xx2 , 因 D 1 D 2， 所 以 表 达 式
f(x)g (x)1 x2x2 4是 没 有 意 义 的 。
2、 初等函数分为代数函数与初等超越函数两类， 这两种函数是如何定义的？无理函数是代数函数 吗？ 3、 为什么称三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数与幂函数 x ( 是无理数）为初等超越
函数？
15
谢谢大家！
F(x)=f(x)+g(x),x D,
G(x)=f(x)-g(x),x D,
H(x)=f(x)g(x),x D.
若 在 D 中 剔 除 使 g(x) 0 的 x 值 ， 即 令
D * D1 x g ( x ) 0 , x D 2 ,
可 在 D* 上 定 义 f 与 g的 商 运 算 如 下 ：
asin (x )
1.5 3
1 2.5
0.5 2
0 1.5
-0.5 1
-1 0.5
-1.5 0
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
x
acos (x )
-0.5
0
0.5
x
1
13
arctgx 图 像
1.5
atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
14
思考题：
1、y x 与 y x 是初等函数吗？
x
六 初等函数
1、常数函数 2、幂函数
8
y x ( 0 ) 的 图 象 ， 以 y x 2 、 x 1 2 、 x 1 3 的 图 象 为 例 :
9
y x ( 0 ) 的 图 象 以 y x 2 、 x 1 、 x 1 2的 图 象 为 例 ：
y x2
y x1
1
yx 2
10
2、f(x)= x 与 g(x) xarcsin x arccos x.
2 3、f (x) x 与 g(x) x2 .
4
三 函数的四则运算
给 定 两 个 函 数 f , x D1 和 g , x D2 ,记 D D1
D
，
2
并
设
D ， 我 们 定 义 f 与 g 在 D 上 的 和 、 差 、 积 运 算 如 下 ：