高三数学第一轮复习( 轨迹方程)

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高三数学一轮复习第十章平面解析几何10.12第十二节抛物线与轨迹方程课件

x y

f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二相关点法求轨迹方程【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=

高三数学第一轮复习高三数学一轮复习计划(优秀11篇)

高三数学第一轮复习高三数学一轮复习计划(优秀11篇)时间就如同白驹过隙般的流逝，我们的工作又进入新的阶段，我们的高考数学一轮复习很重要，让我们一起来学习写计划吧。

熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟，以下是作者细心的小编给大家收集整理的高三数学一轮复习计划【优秀11篇】，欢迎参考阅读。

高考数学六大重点题型篇一应注意的问题：注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变；符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！).应注意的问题：1.证明一个数列是等差(等比)数列时，较后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列。

2.较后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证。

3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识).应注意以下几个问题：1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，较好要建系；3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

应注意的问题：1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

81.圆与圆的位置关系、轨迹方程课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习

内切
|dr=_1_-__r_2_|_(r1≠r2)
内含
≤ < 0___d__|r1-r2|(r1≠r2)
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
无___解一组_____实数解两组__不___同___的___实数解
一组实数解
无解
第一方面：圆与圆的位置关系的判定方法
问题1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相切, 则实数m的取值集合是________.
A．相交
B．相切
C．相离
D．与k 取值有关
3.已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的
公共弦所在的直线方程为__________．
4.已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两
点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
解得m=1-2 或m=2,或m=0或m2 =- .
5
5
所以实数m的取值集合是{12 , 2 ,0答, 2}案:
55
{12 , 2 ,0, 2} 55
【规律方法】处理两圆位置关系多用圆心距与半径
和或差的关系判断,一般不采用代数法.
变式1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则实数m的取值范围是________.
法一：因为圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)关于直线 x-y=0的对称图形是圆C3:(x-1)2+y2=r2,由题意可知圆C3与C2有公共点, 又因为两个圆有公共点的充要条件为圆心距不

高三数学第一轮复习轨迹方程的常用求法素材

【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),M x y ；⑵寻找动点与已知点满足的关系式； ⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程；⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。

通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。

2. 几种常用的求轨迹的方法：⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x y 、的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。

⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()','Q x y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将','x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：①参数的选择要合理，应与动点坐标,x y 有直接关系，且易以参数表达。

可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。

②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。

③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对,x y 的取值范围的制约。

⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。

高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何指点迷津(八)

(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2

+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方

高三第一轮复习圆的方程及求法

圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程【解析】：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________．【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________．【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ．答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。

[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第6课时轨迹方程(一)

3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 程是______________________.
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
x
2
_____________________. 12 16 5.动点M(x,y)满足 x - 1 )D (A)圆
y - 3
2

y
2
1 y 0， x 0
2
3x 4 y -1 5
则点M轨迹是(
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
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能力·思维·方法
1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点， → → P是l 上满足PA· PB=1的点，求点P的轨迹方程
第6课时轨迹方程(一) 要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法
延伸·拓展
误解分析
要点·疑点·考点
1.掌握曲线方程的概念，了解曲线的纯粹性和完备性
2.能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程
3.熟练掌握求轨迹方程的常用方法——直接法、定义法
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课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x 、 -2x2+y2=1 y)的轨迹方程是______________________
4.求过点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左顶

8.5.2、轨迹问题

高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（2）一、复习目标：1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．二、知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导00(,),(,)P x y Q x y P 致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为Q 然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程． 00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩Q 2．参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中P ,x y 间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，t t P ,x y ()()x f t y g t =⎧⎨=⎩t 便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的P t ,x y 范围．三、课前预习：1．已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分1162522=+y x F Q P Q FP 的比为，则点的轨迹方程为2:1P （） C ()A 14875)6(22=+-y x ()B 14875)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(22=++y x 2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰P 01=-x O OP O 直角三角形，则动点的轨迹是 OPQ Q （）B 两条平行直线()A ()B 抛物线双曲线()C ()D 3．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是（） (,)P x y (,)Q x y xy +B 圆抛物线椭圆双曲线()A ()B ()C ()D 4．双曲线关于直线对称的曲线方程是 22143x y -=20x y -+=22(2)(2)143y x ---=5．倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程 4π1422=+y x B A ,AB 是 40(||x y x +=<四、例题分析：例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程． 22:(1)1C x y -+=O解：（一）直接法：设为过的任一条弦是其中点，则，则 OQ O (,)P x y CP OQ ⊥∴ ，即 0CP OQ ⋅= (1,)(,)0x y x y -=2211((01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵，动点在以为圆心，为直径的圆上， 090OPC ∠=P 1(,0)2M OC∴所求点的轨迹方程为 2211()(01)24x y x -+=<≤（三）参数法：设动弦的方程为，由得： PQ y kx =22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩，设，的中点为，则： 22(1)20k x x +-=1122(,),(,)P x y Q x y PQ (,)x y ，消去得 122121x x x k +==+21k y kx k ==+k 2211((01)24x y x -+=<≤ 小结：例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． (1,2)A 12x解：设椭圆下方的焦点，椭圆的下方的顶点为 00(,)F x y由定义，∴，即点的轨迹方程是， ||1AF =F 2200(1)(2)1x y -+-= 又，∴点的轨迹方程为． 003,2x x y y ==P 223(1)(2)12x y -+-=例3．设椭圆方程为，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，1422=+y x 点P 满足，点N 的坐标为，当l 绕点M 旋转时，求： 1()2OP OA OB =+ 21,21(（1）动点P 的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. ||NP （1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y记、由题设可得点A 、B 的坐标、是方程组 ),(11y x A ),,(22y x B ),(11y x ),(22y x的解. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 将①代入②并化简得，，所以 032)4(22=-++kx x k于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x ++-=++=+= 设点P 的坐标为则),,(y x ①②消去参数k 得 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 0422=-+y y x当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为 .0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为，因、在椭圆上，所以 ),(y x ),(11y x A ),(22y x B④ ⑤ ,142121=+y x .142222=+y x④—⑤得，所以 0)(4122212221=-+-y y x x .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当时，有 ⑥ 21x x ≠.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x .0422=-+y y x 当时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 21x x =也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五、课后作业：班级学号姓名1．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 x y 42= （）()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 212-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的22194x y +=1A 2A 两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨1P 2P 1P 11A P 22A P M 迹方程（） ()A 22194x y +=()B 22194y x += ()C 22194x y -=()D 22194y x -=3．已知抛物线的顶点为，那么当变化时，此抛物线焦点)(12R m mx x y ∈-+-=A m F的轨迹方程是___________________________．4．自椭圆上的任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的221204x y +=P x Q PQ M 轨迹方程为5．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点15922=+y x 的轨迹方程为． M 6．如图， 7．设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量,x y R ∈,i j ,x y ，，求点的轨迹C 的方程． (5)a x i y j =++ (5)b x i y j =-+ ||||8a b -= (,)M x y7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心4s 的距离都是，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为；1020m 340/m s 相关各点均在同一平面上）8．设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>e l ,P Q 点，右焦点为，且为等边三角形．F PQF ∆ （1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为C e C y ax b =+，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准22b e aC C (1,0)F l 线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程．B BF。

高三数学轨迹问题的求法

轨迹方程的求法求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。
1、直接法例1、动点 P到直线 x ＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程．解：设动点P（x，y）则 S=|x· y| 点P到直线x十y=6的距离
），P（x，y），由题设，
AP 1 PQ 2
则
∵Q（x1，y2）在双曲线上：, 即:
4、参数法例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P 的轨迹方程。解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为θ，|θ|≤ 2 ，作PM⊥x于M, PN⊥y轴于N ∵|AB|= a, | AP | 2
其中r(t)=10t+60
若在时刻t城市O 受到侵袭，则有
(0 m) (0 n) (10t 60)
2 2
2
即：
30 2 10 2t ) (210 2 10 2t ) (10t 60)
2 2
2
∴
t 2 36t 288 0
解得12≤t≤24
答：12小时后该城市受到台风侵袭。
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 2、定义法［例2］如图，在△ ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习(9篇)

高三数学第一轮复习高三数学第一轮复习（9篇）复习应结合自己的实际，基本知识是学习的基础，复习阶段就不能只满足会背诵会证明，复习过程中特别注意对重点知识的掌握与解题方法的锻炼。

那么怎么规划好复习计划呢？以下是编辑给大家整编的9篇高三数学一轮复习，欢迎阅读，希望对大家有所帮助。

高三数学一轮复习计划篇一一。

背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

在前二年命题工作的基础上做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出湖南卷的特色：1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性3 重视对数学思想方法的考查4 深化能力立意，考查考生的学习潜能5 重视基础，以教材为本6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。

一轮为系统复习(一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。

在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。

在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些较基本的数学意识，掌握一些较基本的数学方法。

同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。

高考数学一轮复习资料第四章圆的综合一求轨迹方程

解后反思
解析答案
跟踪训练已知圆x2+y2=1,定点Q(2,0),点A为已知圆上一个动点（1）
解析答案
跟踪训练已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5) 的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
第四章求轨迹方程
题型一求动点的轨迹方程
跟踪训练已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆 (x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
解析答案
跟踪训练点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M是OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________.
解析答案
跟踪训练已知直角∆ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练已知圆O的方程x2+y2=9过点A(1,2)作圆的弦，求弦的中点P的轨迹方程
解析答案
例已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解析答案
跟踪训练点A是圆x2+y2=r2(r>0)上任意一点，AB⊥x轴，
垂足为B，以A为圆心， AB 为半径的圆交已知圆于C,D两
点，连接CD交AB于M点，当点A在圆上运动时，求点M的轨迹方程
解析答案
反思与感悟
解析答案
跟踪训练等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解析答案
跟踪训练 3 求到点 O(0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的12的点的轨迹方程.

高三数学一轮总结复习目录

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

求轨迹方程——交轨法课件-2023届高三数学一轮复习

解：设 P 点的坐标为(x1,y1)，则 Q 点坐标为(x1,－y1),
又有 A1(－m,0),A2(m,0),
则 A1P 的方程为：y= y1 (x m)
①
x1 m
A2Q 的方程为：y=－ y1 (x m)
②
x1 m
两式相乘得：y2=－
y12 x12 m2
(x2
m2)
③
又因点
P
在双曲线上，故 x12
即（x - 1)2 ( y 1)2 1
2
22
.
小结：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.
例
2.已知双曲线
x2 m2
y2 n2
=1(m＞0,n＞0)的顶点为
A1、A2，与
y
轴平行
的直线 l 交双曲线于点 P、Q.求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程
m2
y12 n2
1,即y12
n2 m2
( x12
m2 ).
代入③并整理得
x2 m2
y2 n2
=1.此即为
M 的轨迹方程.
小结：求两曲线的交点轨迹时，可先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程.
跟踪训练：已知 MN
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 中垂直于长轴的动弦， A
、B
是
椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点 P 的轨迹方程.
得 x2 b2 ，
x2 a2 a2
即交点 P 的轨迹方程为
x2 y2 1 a2 b2
解 2： (利用角作参数)

高考数学一轮复习导学案：轨迹与轨迹方程【A】(含答案)

轨迹与轨迹方程(教案)A一、知识梳理：1.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。

2.求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）(3)、相关点法（轨迹转移法）：根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.3.易错点提示:(1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件或漏掉的点。

二、题型探究探究1：定义法例1：（1）、由动点p向圆错误！未找到引用源。

=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，错误！未找到引用源。

，求动点P的轨迹方程。

(2)已知错误！未找到引用源。

三边AB,BC,AC的长度成等差数列,点B,C的坐标分别是(-1,0),C(1,0),求点A的轨迹方程.探究2：直接法：例2：已知错误！未找到引用源。

中，BC=2，错误！未找到引用源。

，求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。

探究3：相关点法：例3：已知P是圆错误！未找到引用源。

=1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M 为垂足，求线段PM的中点N的轨迹。

高三数学基础知识点：轨迹方程知识点总结

高三数学基础知识点：轨迹方程知识点总结【摘要】到了高三总复习的时候发现有许多的数学知识点还没有理解，而这些知识点往往就是必考的知识点，对此做了相关的高三数学基础知识点：轨迹方程资料，请同学们参考学习!【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标_，y表示相关点P的坐标_0、y0，然后代入点P 的坐标(_0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标_、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找_、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(_，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于_，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

总结：整理的高三数学基础知识点：轨迹方程帮助同学们复习以前没有学会的数学知识点，请大家认真阅读上面的文章，也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长! 相关阅读：备战____高考第一轮复习资料精汇。

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第60讲轨迹问题

.
又因为 m2＋n2＝1，得 x2＋y2＝2.
10
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文数
x2 2 5．设 P 为双曲线－y ＝1 上一动点，O 为坐标原点， 4 M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 .
11
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文数
解析：设 M(x，y)，则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－4y2＝1，即为所求．
21
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文数
解析：(1)根据题意知， |PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故 P 点的轨迹是椭圆，且 2a＝6,2c＝4，即 a＝3，c＝2，b＝ 5， x2 y2 因此其方程为＋＝1(y≠0)． 9 5
22
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文数
(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1. 由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且 2a＝1,2c＝4， 1 15 即 a＝，c＝2，b＝， 2 2 4 2 1 因此其方程为 4x － y ＝1(x≥ )． 15 2
15
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文数
y 【拓展演练1】(1)平面上有三点A(－2，y)，B(0， 2 )， → ⊥BC → ，则动点C的轨迹方程为 C(x，y)，若AB .：(1)根据题意，AB＝(2，－2)，BC＝(x，2)．
2 y → ⊥BC → ，所以AB →· → ＝2x－＝0，因为AB BC 4
2
23
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文数
(3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x＝2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4. 因此其方程为 y2＝－8x.
24
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高三第一轮复习双曲线的定义、方程及几何性质

双曲线的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. (1) 当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为2222-b y a x ＝1(a >0，b >0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为2222-bx ay ＝1(a >0，b >0)． 3（1）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.（3）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.（4）A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，M ),(00y x 为双曲线上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=.方法规律总结1．双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a. 5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.【指点迷津】【类型一】双曲线的定义及应用【例1】已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】:设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，∴|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <－1)．答案：x 2－y 28＝1(x <－1)．【例2】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】:∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 答案：34.【例3】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】:由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案：(1)x 2－y 28＝1(x <－1); (2) 34; (3)12 6.【类型二】双曲线的标准方程【例1】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 【解析】:∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案C.答案：C.【例2】已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】:法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【例3】设F 1,F 2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A.B.C.D.【解析】:易知|PF 2|=|F 1F 2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF 1|=2a+2c, 因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2, 即3c 2-2ac-5a 2=0,两边同除以a 2,得3e 2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去). 选B. 答案：B.类型三：双曲线的几何性质【例1】过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．【解析】:如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.答案：2＋ 3.【例2】设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2【解析】:由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ， C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2ac ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b .∵渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.答案：C.【例3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】:由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【解析】:由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( )A.x 23－y 212＝1B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 【解析】:由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 选A. 答案：A.3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5【解析】: 不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5. 选D.答案:D.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫－33，0【解析】:由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．选A.答案: A.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53 B.73 C.103 D.153【解析】:如图所示，由 k PF ＝－1得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a 得sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝bc ，cos ∠POF＝aa 2＋b 2＝ac ，所以sin ∠OPF ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c .又因为S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c 28，得|PF |＝c 22，由正弦定理得a ＋b 2c c ＝bc c 22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 答案:选C. 二、填空题6．若双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为174，则m ＝________.【解析】:由a 2＝16，b 2＝m ，得c 2＝16＋m ，所以e ＝16＋m 4＝174，即m ＝1. 答案：1.7．(2016·商丘模拟)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】:由题意知渐近线的斜率为12，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. 答案：52. 8．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)．则此双曲线的方程为________．【解析】:由题意，c ＝42＋32＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4，∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝1三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．【解析】: (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，(3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.答案：(1) 双曲线方程为x 2－y 2＝6; (2)证明：略; (3) 6.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使求t 的值及点D 的坐标．【解析】: (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．答案：(1) 双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2) t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．【二级目标】能力提升组1．已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 5 【解析】:过焦点F 2且垂直于渐近线的直线方程为：y －0＝－a b(x －c )，联立⎪⎩⎪⎨⎧--=-=cx b ay x a b y 0解得x ＝a 2c ，y ＝ab c ，故对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，由中点坐标公式可得对称点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c －c ，2abc ，将其代入双曲线的方程可得14)2(222222222=--cb b a ca c a ，结合a 2＋b 2＝c 2，化简可得c 2＝5a 2，故可得e ＝c a＝ 5.选D. 答案：D.2．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．【解析】:依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10. 答案：10.3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【解析】: (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎫－2k 1－k 22＋81－k2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 答案：(1) k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2) 当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.【高考连接】1. 【2012全国，理8】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A ．14 B ．35 C ．34 D ．45答案:C.2. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A ．2 C【解析】:设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM=，0120ABM∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．答案:D.。

高三数学轨迹方程50题及答案

求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是：（） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是：（） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是：（） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：（） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是：（） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为：（） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是（） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（） A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为（） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。

人教A版高考数学一轮总复习课后习题课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法 (2)

课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法基础巩固练1.已知点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a,当a 为3和5时,点P 的轨迹分别是( ) A.双曲线的右支 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线2.已知点A(-2,-1),B(2,1),若动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为12,则动点P 的轨迹方程为( )A.x 26+y 23=1,x≠±2B.x 26+y 23=1,x≠±√6 C.x 22-y 2=1,x≠±2 D.y 2-x 22=1,x≠±23.已知△ABC 的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236+y 220=1(x≠0) B.y 236+x 220=1(x≠0) C.y 220+x 26=1(x≠0)D.y 236+x 220=14.(多选题)(湖南浏阳模拟)已知点A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP 相交于点P,直线AP,BP 的斜率分别为k 1,k 2,则下列说法正确的是( ) A.当k 1·k 2=-2时,点P 的轨迹为除去A,B 两点的椭圆 B.当k 1·k 2=2时,点P 的轨迹为除去A,B 两点的双曲线 C.当k 1-k 2=2时,点P 的轨迹为抛物线 D.当k1k 2=2时,点P 的轨迹为一条直线5.(浙江温州第一次适应性测试)动点M(到定直线l:的轨迹方程是( ) A.x 225+y 29=1 B.x 225+y 216=1 C.y 225+x 29=1D.y 225+x 216=16.两条直线x+y-1=0的交点的轨迹方程是 .7.已知点P 为椭圆x 225+y 216=1上的任意一点,O 为坐标原点,点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 的轨迹方程为 .8.椭圆x 29+y 2=1上有动点P,点F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程为 .9.动圆M 过点A(2,0),且与圆C:x 2+y 2+4的轨迹方程是 .综合提升练10.(江苏南通模拟)已知圆C 的方程为x 2+y 2=16,直线l 为圆C 的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l 的距离分别为d 1,d 2,动点P 满足|PA|=d 1,|PB|=d 2,则动点P 的轨迹方程为( )A.x 2+y 2=4 B.x 216+y 212=1C.x 216−y 212=1 D.y 2=4与两个定点A(3,0),O(0,0)的距离的比为2,且动点M 不在的轨迹与x 轴所围成的图形的面积为 .12.(多选题)(湖南邵阳模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点P 为定圆O 上的动点,点A 为圆O 所在平面上的定点且不与点O 重合,线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q,则点Q 的轨迹可能是( ) A.一个点 B.直线 C.椭圆 D.双曲线13.(浙江慈溪中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A,B 分别是定直线y=kx 和y=-kx(k>0)上的动点,若△AOB 的面积为定值S,则线段AB 的中点的轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线14.(浙江台州模拟)若圆x 2+y 2-ax+2y+1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为( ) A.y 2-4x+4y+8=0 B.y 2-2x-2y+2=0 C.y 2+4x-4y+8=0 D.y 2-2N 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,则直线AM 和NB 的交点P 的轨迹方程为 .16.(北京第三十五中学期中改编)已知两定点M(1,3),N(3,1),动点P 满足直线PM 与直线PN 的斜率之积为4,求动点P 的轨迹方程.创新应用练17.(浙江绍兴模拟)蒙日是法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹为圆,该圆称为蒙日圆,如图所示.则双曲线C:x 29−y 24=1的蒙日圆的面积为( )A.4πB.5πC.9πD.13π18.(浙江杭州模拟)已知点F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上除了左、右顶点之外的任一点,从F 2引∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q 的轨迹方程为 .课时规范练66 求曲线轨迹方程的方法1.D 解析依题意得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,所以点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.2.C 解析设P(x,y)(x≠±2),因为直线PA与直线PB的斜率之积为12,所以-1-y-2-x ·1-y2-x=12,整理得x22-y2=1(x≠±2).3.B 解析∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12.∵12>8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆.∵a=6,c=4,∴b2=20,∴椭圆的方程是y 236+x220=1(x≠0).4.AB 解析设P(x,y),x≠±1.A选项,k1·k2=-2,故yx+1·yx-1=-2,变形为x2+y 22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆,A正确;B选项,k1·k2=2,故yx+1·yx-1=2,变形为x2-y22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线,B正确;C选项,k1-k2=2,故yx+1−yx-1=2,变形为y=1-x2,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的抛物线,C错误;D选项,k1k2=2,即yx+1·x-1y=2,变形为x=-3,且y≠0,故点P的轨迹为除去点(-3,0)的直线,D错误.故选AB.5.A 解析根据题意可得√(x+4)2+y 2|x+254|=45,化简可得x 225+y 29=1.6.x 2+y 2-x-y=0 解析两直线的方程分别变形为xy,故x 2-x=y-y 2,也就是x 2+y 2-x-y=0.7.x 2254+y 24=1 解析设点M(x,y),由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点P(2x,2y),而点P 为椭圆x 225+y 216=1上的任意一点,于是得(2x )225+(2y )216=1,整理得x 2254+y 24=1,所以点M 的轨迹方程是x 2254+y 24=1.8.x 2+y 219=1(y≠0) 解析设点P((x,y).椭圆的焦点为F 1(-2√2,0),F 2(2√2,0).∵△PF 1F 2存在,∴y 1≠0.由三角形的重心坐标公式有{x =x 1+(-2√2)+2√23,y =y 1+0+03,即{x 1=3x ,y 1=3y .∵y 1≠0,∴y≠0.∵点P 在椭圆上, ∴x 129+y 12=1,∴(3x )29+(3y)2=1(y≠0),故△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程为x 2+y 219=1(y≠0).9.x 214−y 2154=1的圆心为M(x,y),半径为r.圆C:C|=r+R,所以|MC|-|MA|=1<|AC|=4.由双曲线的定义得点M的轨迹是以A,C为焦点,实轴长为1的双曲线的右支,因为实轴长为1,焦点为C(-2,0),A(2,0),所以动圆圆心M的轨迹方程是x 21 4−y2154=1x≥12.10.B 解析如图,分别过点A,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1.因为A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|AA1|+|BB1|2=d1+d22.又圆C的方程为x2+y2=16,其半径为4,所以|OO1|=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|.所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=8,c=2,所以a=4,b2=a2-c2=12,所以动点P的轨迹方程为x 216+y212=1.11.2π解析设M(x,y),由题意得|MA||MO|=2,又已知A(3,0),O(0,0),则√(x-3)2+y2√x2+y2=2,化简整理得(不在的轨迹为以(-1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴上方及在x轴上的点.π×22=2π.该轨迹与x轴所围成的图形的面积为S=1212.ACD 解析分以下几种情况讨论:设定圆O的半径为R,①当点A在圆O上时,连接OA,则|OA|=|OP|.所以点O在线段AP的垂直平分线上,又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点,所以点Q与点O重合,此时,点Q的轨迹为圆心O,故A正确.②当点A在圆O内,且点A不与圆心O重合时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=R>|OA|,此时,点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且长轴长为R的椭圆,故C正确.③当点A在圆O外时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=R<|OA|,此时点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且实轴长为R的双曲线.故D正确.故选ACD.13.C 解析设A(x1,kx1),B(x2,-kx2),则|OA|=√1+k2|x1|,|OB|=√1+k2|x2|.由于△AOB的面积为定值且sin∠AOB为定值,从而|x1)2-2y Mk2=(x)2-(x1-x2)2=4x1x2=±4T为定值,从而线段AB的中点的轨迹为双曲1+x2线.14.C 解析圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为A a,-1,圆x2+y2=1的圆心为2O(0,0),因为圆x 2+y 2-ax+2y+1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y=x-1对称, 所以AO 的中点a 4,-12在直线y=x-1上,即a 4-1=-12,解得a=2,经检验,当a=2时,A(1,-1),O(0,0),直线AO 的斜率是k=-1,显然直线AO 与直线y=x-1垂直. 所以a=2.设圆心P 的坐标为(x,y),因为过点C(-2,2)的圆P 与y 轴相切,所以√(x +2)2+(y -2)2=|x|,解得y 2+4x-4y+8=0. 15.x 2a 2−y 2b 2=1((x 1,y 1),N(x 1,-y 1),P(x,y).椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴端点为A(-a,0),B(a,0).因为A,M,P 三点共线,所以y x+a=y 1x 1+a,x≠-a.因为N,B,P 三点共线,所以y x -a=-y 1x 1-a,x≠a.两式相乘得y 2x 2-a 2=-y 12x 12-a 2(x≠±a).因为x 12a 2+y 12b 2=1,所以y 12=b 2(a 2-x 12)a 2,即y 12x 12-a 2=-b 2a 2,所以y 2x 2-a 2=b 2a 2,整理得x 2a 2−y 2b 2=1(和NB 的交点P 的轨迹方程是x 2a 2−y 2b 2=1(x≠±a).16.解设点P 的坐标为(x,y)(x≠1,且与直线PN 的斜率之积为4,∴y -3x -1·y -1x -3=4(x≠1,且x≠3),化简得4x 2-y 2-16x+4y+9=0(x≠1,且x≠3),则所求轨迹方程为4x 2-y 2-16x+4y+9=0(x≠1,且x≠3).17.B 解析设两条互相垂直的切线的交点为P(x 0,y 0),由题可知,双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0,设过点P 且与双曲线C相切的一条切线方程是y-y 0=k(x-x 0),k≠0,由{x 29-y 24=1,y -y 0=k (x -x 0),消去y,整理得(4-9k 2)x 2+(18x 0k 2-18ky 0)x-9(kx 0-y 0)2-36=0,4-9k 2≠0,则Δ1=0,即(18x 0k 2-18ky 0)2-4·(4-9k 2)·[-9(kx 0-y 0)2-36]=0,整理得(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02+4=0,因为过点P 有两条直线与曲线C 相切,所以x 02-9≠0,且Δ2>0,即9y 02-4x 02+36>0.因为过点P 的这两条切线互相垂直,k 1k 2=y 02+4x 02-9=-1<0,所以x 02-9<0,则-3<x 0<3.由k 1k 2=y 02+4x 02-9=-1,得x 02+y 02=5,故该双曲线的蒙日圆方程为x 2+y 2=5,圆的半径为√5,所以该双曲线的蒙日圆的面积为5π. 18.x 2+y 2=a 2(,连接OQ.因为PQ 是∠F 1PF 2外角平分线,且PQ ⊥MF 2,所以在△PMF 2中,|PF 2|=|PM|,且Q 为MF 2中点.因为P 为椭圆上一点,则|PF 1|+|PF 2|=2a,在△F 1F 2M 中,O 为F 1F 2的中点,所以|OQ|=12|MF 1|=12(|PF 1|+|PM|)=12(|PF 1|+|PF 2|)=12×2a=a,所以点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2(x≠±a).。