吉林大学组合数学习题解答

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组合数学题目及标准答案

组合数学题目及标准答案

组合数学题目及标准答案组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上,如果它们两两均不能互吃,那么称8个“车”处于一个安全状态。

问共有多少种不同的安全状态?解:8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ,对应于一个安全状态,使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。

这种对应显然是一对一的。

因此,安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!=40320。

例4:n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次,d 是奇数。

证明n 偶数。

证:由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数,因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数—握手次数的2倍。

根据奇偶性质,已知d 是奇数,那么n 必定是偶数。

例4从1到2n 的正整数中任取n +1个,则这n +1个数中,至少有一对数,其中一个是另一个的倍数。

证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。

每个数去掉一切2的因子,直至剩下一个奇数为止。

组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。

这n +1个数仍在[1 , 2n ]中,且都是奇数。

而[1, 2n ]中只有n 个奇数,故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。

若ai >aj ,则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数,则至少存在一对k 和l , 0≤k<="" ,使得和ak+1+="">证设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1,h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立.否则,1≤rh ≤m -1.但h = 1 , 2 , ···,m .由鸽巢原理,故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ,不妨设l >k .则Sl -Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数,b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列,则a1-b1, a2-b2 ,a3-b3中至少有一个是偶数.证由鸽巢原理:a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同.则这3个数被2除的余数至少有两个是相同的,不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被2除的余数也至少有2个x .这样a1-b1, a2-b2 , a3-b3被2除的余数至少有一个为0.例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和2组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16.即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16,1≤i ≤91。

《组合数学》练习题一参考答案

《组合数学》练习题一参考答案

《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空:1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择:1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算: 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解:设所求为N ,令}2000,,2,1{ =S ,以A ,B ,C 分别表示S 中能被32?,52?,53?整除的整数所成之集,则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解:记7个来宾为1A ,2A ,…,7A ,则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ,2A ,…,7A 作成的这样的全排列:如果i A (1≤i ≤7)拿了j A 的帽子,则把i A 排在第j 位,于是(1)没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ,即等于1854。

组合数学Pólya定理习题解答

组合数学Pólya定理习题解答

• 2.证:设|G|=g,则a,a2,a3,…,ag,ag+1 中必有相 证 k l 同元。a = a , 1≤k<l≤g+1 a l-k =e. 1≤l-k≤g 对于给定的a,存在最小的正 r r 整数r,a =e .于是 H={a ,a ,…,a2 (=e)}是G的 子群,若H≠G,则存在a1不属于H, 显然, . H∩Ha1=φ,|H+Ha1|=2r 若 . H+Ha1=G,则2r=g,r|g 否则 . 存在a2不属于H+Ha1, . Ha2∩(H+Ha1)=φ 于是 . . . . H+Ha1+Ha2+…+Hak=G, r(k+1)=g,r|g. 证毕。 题
• 15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端 的布尔电路?写出其布尔表达式。 (b)本质上有多少种确实是3个输入端 的布尔电路? 解 • 16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体, 有多少方案? 解 • 17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、 蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种 不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作 是相同的). 解
• 5.解:相当于4.7节中例2中求b 5r3的系数, 为[C(8,5)+8C(2,1)]/24=3 题 • 6.解:正5边形的运动群 题 。 1 绕心转 ±72 。 (5) 2个 1 ±144 (5) 2个 翻转 。 2 180 (1)(2) 5个 不动 5 (1) 1个 不同方案数为m=(3 1 3 +4·3 +5·3 )/10=39 5 • 7.解:使重合的运动包括绕中心旋转和绕 水平对称轴翻转共产生2n个置换群。
• 16.解:相当于正六面体每个角上放一个 骰子。骰子按讲义4.6中关于正立方体的 不同旋转均不会产生重合现象,共24种 方案。因此本题相当于正六面体的顶点 24着色。但绕顶点-顶点的对称轴旋转不 会产生重合的图象。 参照习题11可得不同的方案数为 M=[24 6+6·243+3·244+0·8·242+6·243]/24 =8011008 题

《组合数学》测试题含答案

《组合数学》测试题含答案

测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生,则下列说法正确的是()A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车,其中A ,B 两人之间恰好有4人,则不同的排列方法是()A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩,其中领导不能相邻,则站位方法总数为()A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组,每组5人,共有多少种方法()A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ,则这样的有序数对()y x ,共有()个A.190B.200C.210D.2206. 仅由数字1,2,3组成的七位数中,相邻数字均不相同的七位数的个数是()A.128B.252C.343D.1927. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为()A.576B.504C.720D.3368. 设n 为正整数,则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于()A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数,则()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是()A.n 2B. n 2-C. ()n2- D.0 10. 设n 为正整数,则当2≥n 时,∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是()A.1440B.-1440C.0D.112. 在1和610之间只由数字1,2或3构成的整数个数为() A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有()个A.100B.120C.140D.16014. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ,则()=10f ()A.89B.110C.144D.28815. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是()A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ,则当2≥n 时,=n a ()A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为() A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n n ,则数列{}0≥n n a 的常生成函数是()A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人,使得每人至少分得3个足球,不同的分法共有()种A.45B.36C.28D.2020. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为()A.5B.10C.15D.2021. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为()A.10B.11C.12D.1322. 设n,k 都是正整数,以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数,则()116P 的值是()A.6B.7C.8D.923. 设A ,B ,C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ,则B 的值是()A.9B.8C.7D.624. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是()A.26B.28C.30D.3225. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=,则该数列的通项公式是()A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘,每个方格涂一种颜色,则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2,则其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间,每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。

组合数学 课后答案 PDF 版

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4.1 证明所有的循环群是 ABEL 群 证明:
循环群也是群,所以群的定义不用再证,只需证明对于任意a, b G, G是循环群,有a * b b * a成立,因为循环群中的元素可写成a=xm 形式 所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm=x m n, a b b a,即所有 的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群, 所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ,
所以有 b rm a m ,则 rm 一定是 m 的倍数,所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4.9 G 是有限群,x 是 G 的元素,则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图: N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……

6
…………………………
… …
……
… …


旋转 360/i,i={n,n-1,n-2,……1}; 得到 n 种置换 当且仅当 i=1 的置换(即顺时针旋转 360/1 度:P1=(c1)(c2)……(cn!);) 时有 1 阶循环存在 (因为只要圆桌转动,所有圆排列中元素的绝对位置都发生了 变化,所以不可能有 1 阶循环存在) 。 不同的等价类个数就是不同的圆排列个数,根据 Burnside 引理,
4.18 若以给两个 r 色球,量个 b 色的球,用它装在正六面体的顶点,试问有多 少种不同的方案。 解:单位元素(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ,格式为(1)8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为(1234) (5678) , (4321) (8765) 2 格式为(4) ,同格式的共轭类有 6 个。

组合数学课后习题答案

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组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数:(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答:(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。

根据组合数的定义,我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。

计算 C(5, 2): C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。

(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。

计算 C(7, 3): C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。

(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。

计算 C(10, 5): C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。

问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中,求解以下问题:(a)有多少种不同的3个元素的子集?(b)有多少种不同的4个元素的子集?(c)有多少种不同的空集合?(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。

子集的元素个数为3,所以我们需要从5个元素中选取3个。

利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),我们可以计算组合数。

组合数学 课后答案 PDF 版

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解:设 A 3:被3整除的数的集合A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所以至少有2人的朋友数相等.3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明:(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

组合数学试题及答案

组合数学试题及答案

组合数学试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在组合数学中,从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为:A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案:A2. 如果一个集合有10个元素,从中任取3个元素的组合数为:A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案:B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是:A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案:B4. 以下哪个公式用于计算组合数?A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案:A5. 如果一个集合有8个元素,从中任取2个元素的排列数为:A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案:B6. 组合数学中,排列数P(n, m)的定义是:A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量,不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量,考虑顺序答案:A7. 以下哪个公式用于计算排列数?A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案:A8. 如果一个集合有15个元素,从中任取5个元素的组合数为:A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案:D9. 组合数学中的二项式系数表示为:A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案:A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数?A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案:A二、填空题(每题2分,共20分)1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。

组合数学习题解答

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第一章:1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。

解:由奇数构成的4位数只能是由1,3,5,7,9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同,因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列,所以,所求个数为:P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式?如果其中有两人不愿坐在一起,问有多少种就坐方式?解:这显然是一组10个人的全排列问题,故共有10!种就坐方式。

如果两个人坐在一起,则可把这两个人捆绑在一起,如是问题就变成9个人的全排列,共有9!种就坐方式。

而这两个人相捆绑的方式又有2种(甲在乙的左面或右面)。

故两人坐在一起的方式数共有2*9!,于是两人不坐在一 起的方式共有 10!- 2*9!。

1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起,问有多少种就坐方式?解:这是一组圆排列问题,10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为:9!-2*8!。

1.14. 求1到10000中,有多少正数,它的数字之和等于5?又有多少数字之和小于5的整数?解:(1)在1到9999中考虑,不是4位数的整数前面补足0,例如235写成0235,则问题就变为求:x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数,故有F (4,5)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=515456 (2)分为求:x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解,其个数为F (4,4)=35x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解,其个数为F (4,3)=20x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F (4,2)=10x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F (4,1)=4x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解,其个数为F (4,0)=1将它们相加即得,F (4,4)+F (4,3)+F (4,2)+F (4,1)+F (4,0)=70。

最新组合数学习题答案(1-4章全)

最新组合数学习题答案(1-4章全)

第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b},使其满足:()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解,得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5,a=1,2,…,45时,b =6,7,…,50。

满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5,a=5,6,…,50时,b =0,1,2,…,45。

满足a=b+5的点共45个点. 所以,共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列? (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?[解] (a) 女生在一起当作一个人,先排列,然后将女生重新排列。

(7+1)!×5!=8!×5!=40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案,共有8个空隙,将5个女生插入,故需从8个空中选5个空隙,有58C 种选择。

将女生插入,有5!种方案。

故按乘法原理,有:7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ,B 之间,有35C 种方案,在让3个女生排列,有3!种排列,将这5个人看作一个人,再与其余7个人一块排列,有(7+1)! = 8!由于A ,B 可交换,如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理,有:2×35C ×3!×8!=4838400(种)1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m ,n 都是正整数,若(a) 男生不相邻(m ≤n+1); (b) n 个女生形成一个整体; (c) 男生A 和女生B 排在一起; 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列,有n!种方法,共有n+1个空隙,选出m 个空隙,共有mn C 1+种方法,再插入男生,有m!种方法,按乘法原理,有:n!×mn C 1+×m!=n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

组合数学习题解答ex5

组合数学习题解答ex5
第六章习题 1. 利用图解求下列问题的解 a) max z=2x1+x2 x1+4x2≤32 x1+x2≤11 5x1+x2≤35 x1,x2≥0 b) max z=x1+x2 4x1+5x2≤10 5x1+2x2≤10 3x1+8x2≤12 x1,x2≥0 c) max z=2x1+2x2 -x1+x2≤1 x1+x2≤3 x1,x2≥0 d) max z=x1+x2 -x1+2x2≤2 x1-x2≥2 x1,x2≥0 2. 利用单纯型法求问题 1 的解 3. 利用单纯型法求下列问题的解 a) max z=5x1+4x2+3x3 2x1+3x2+x3≤5 4x1+x2+2x3≤11 3x1+4x2+2x3≤8 x1,x2,x3≥0 b) max z=5x1+5x2+3x3 x1+3x2+x3≤3 -x1+3x3≤2 2x1-x2+2x3≤4 2x1+3x2-1x3≤2 x1,x2,x3≥0 c) max z=3x1+2x2+4x3 x1+x2+2x3≤4 2x1+3x3≤5 2x1+1x2+2x3≤7 x1,x2,x3≥0 d) max z=2x1+3x2+5x3+4x4 x1+2x2+3x3+x4≤5 x1+x2+2x3+3x4≤3 x1,x2,x3,x4≥0
Байду номын сангаас
5.
max z=3x1+x2+x3+2x4 3x1+2x2+4x3+2x4=2 4x1+x2-3x3+x4+x5= -1 x1-3x2+x3+3x4+x6=3 2x1+x2+x3+3x4+x7=5 x1, x2, x3, x4…x7≥0 min z=2x1-3x2+6xx+x4-2x5 2x1-3x2+x3+3x4-x5=3 x1+x2-2x3+9x4=4 x1, x2, x3, x4, x5≥0 min z=x1+x1 8x1+ 5x2≥1 -7x1+4x2≤7 3x1+8x2≤12 5x1+2x2≤10 4x1+5x2≤10 x1,x2≥0

组合数学 课后答案 PDF 版

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解:设 A 3:被3整除的数的集合A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所以至少有2人的朋友数相等.3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明:(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

组合数学第一章课后习题答案

组合数学第一章课后习题答案

1.1 题(宗传玉)从{1,2,……50}中找两个数{a ,b},使其满足 (1)|a-b|=5; (2)|a-b|≤5; 解:(1):由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。

当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。

所以这样的序列有90对。

(2):由题意知,|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0;由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。

当|a-b|=1时,两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)……(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对,当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题(王星) 解:(a )可将5个女生看作一个单位,共八个单位进行全排列得到排列数为: 8!×5!,(b )用x 表示男生,y 表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺, Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数: C (8,5)×7!×5!(c )先取两个男生和3个女生做排列,情况如下:6. 若A ,B 之间存在0个男生, A ,B 之间共有3个人,所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*21.若A ,B 之间存在1个男生, A ,B 之间共有4个人,所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22.若A ,B 之间存在2个男生,A ,B 之间共有5个人,所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23.2.若A ,B 之间存在3个男生,A ,B 之间共有6个人,所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24.若A ,B 之间存在4个男生,A ,B 之间共有7个人,所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25.若A ,B 之间存在5个男生,A ,B 之间共有8个人,所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。

组合数学习题答案(部分)

组合数学习题答案(部分)
期末总复习
n 阶幻方的构造
分三种情况:n 为奇数、n 为 4 的倍数、n 为其它偶数(4n+2 的形式)
⑴ n 为奇数时,最简单
(1) 将 1 放在第一行中间一列; (2) 从 2 开始直到 n×n 止各数依次按下列规则存放:
按 45°方向行走,(如向右上) 每一个数存放的行比前一个数的行数减 1,列数加 1 (3) 如果行列范围超出矩阵范围,则回绕。 例如 1 在第 1 行,则 2 应放在最下一行,列数同样加 1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数,或上一个数是第 1 行 第 n 列时, 则把下一个数放在上一个数的下面。
置的元素。 (4)调换 A 区和 D 区,B 区和 C 区中选定的对应元素。
30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20
1
)
34
2 42
3!
43
2(1 1 1 1 ) 2(1 0.083 0.0069) 2.1522 12 9 16
第四章 容斥原理
2.
4.
5.
6.
7. 求集合{1,2,…,n}的排列数,使得在排 列中正好有k个整数在它们的自然位置上。
8.
13.
14.
16.
⑵ n 为 4 的倍数时
采用对称元素交换法。 1.把 数 1 到 n×n 按从 上至下,从左到 右顺序填入矩阵 2.将方 阵的所有 4×4 子方阵中的两对角 线上位置的数关 于方阵 中心作对 称交换 ,即 a(i,j)与 a(n+1-i,n+1-j) 交换,所有其它位置上的数不变。

组合数学习题答案.

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第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1.(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2.(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10.1)用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式;2)如果某n 可以表示成题中表达式的形式,则等式两端除以2取余数,可以确定a 1;再对等式两端的商除以3取余数,又可得a 2;对等式两端的商除以4取余数,又可得a 3;…;这说明表达式是唯一的。

11.易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义:右:从n 个不同元素中任取r+1个出来,再从这r+1个中取一个的全体组合的个数;左:上述组合中,先从n 个不同元素中任取1个出来,每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12.考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时,第二组共有2k-1种不同的可能,第一组有2n-k -1种不同的可能。

大学数学组合数学试题与答案(修正版)5-(1)

大学数学组合数学试题与答案(修正版)5-(1)

一、选择题(每道3分)1、与n 元集的r -可重排列不等价的是( C ) A. n 元集的r -可重复有序选取 B. n 元集的r -可重复序列C. 把n 个不同的球放在r 个不同盒子方式 D . {}12,,n M a a a =∞⋅∞⋅∞的r -排列2、有170学生,其中120人学英语,80人学法语,60人学西班牙语,50人既学英语也学法语,25人既学英语也学西班牙语,30人同时学法语和西班牙语,有10人同时学以上三种语言,问有多少人这三种语言都没有学。

( C )A 、4B 、6C 、5D 、73、由1至1000的整数中,有多少个整数能被2整除但不能被3也不能被5整除?( B ) A :251 B:267 C:302 D:1874、有3只全是红色的球放到10个编号不同的盒子中去,如果每个盒子只能放一只球,有( C )种放法。

A 、720B 、360C 、120D 、6 5、递推关系⎩⎨⎧==≥-=--5,3)2(341021a a n a a a n n n 的解为:( B )n n a A 322•+= n n a B 32+= n n a C23+= n n a D233•+=6、对于实数e x=∑∞=0!1n n x n ,那么形式幂级数A (t )=∑∞=0!1n n t n的逆元是( B )A 、∑∞=0!1n n B 、∑∞=0n n n!(-1)t n C 、∑∞=0n n!1t n D 、—∑∞=0n n!1t n7、()()12nn n n a=++已知,求0{}n n a ≥数列的常生成函数。

( A )A()461tt - B()641tt - C()61tt - D()361tt -8、当r ≥k 时差分多项式P k (r) =( B )A 、0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛k rC 、r(r -1)...(r -k+1)D 、!1k9、()21,S n k +=C ,其中11n k +≥≥。

吉林大学组合数学习题解答

吉林大学组合数学习题解答

2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。

证明: 假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n 个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明: 方法一:有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。

由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

第三章3.4 教室有两排,每排8个座位。

现有学生14人,其中的5个人总坐在前排,4个人总坐在后排,求有多少种方法将学生安排在座位上?解:前排8个座位,5人固定,共58*5!C 种方法;后排8个座位,4人固定,共48*4!C 种方法;前排和后排还剩7个座位,由剩下的5人挑选5个座位,共57*5!C 种方法;则一共有545545887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。

另一种解法:1682773865455885885888871408!7!C P P C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。

3.5 将英文字母表中的26个字母排序,要求任意两个元音字母不能相邻,则有多少种排序方法?解:先排21个辅音字母,共有21!再将5个元音插入到22个空隙中,522P故所求为52155222122521!P P C P ⨯=3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐,要求男女交替就坐,则有多少种不同的排坐方式?解:6男全排列6!;6女全排列6!;6女插入6男的前6个空或者后6个空,即女打头或男打头6!*6!*2;再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 864003.7 15个人围坐一个圆桌开会,如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻,那么有多少种排坐方式?方法1:除B 和C 以外,A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边,有22122C P 。

组合数学作业答案解析

组合数学作业答案解析

组合数学作业答案解析第二章作业答案7. 证明,对任意给定的52个整数,存在两个整数,要么两者的和能被100整除,要么两者的差能被100整除。

证明用100分别除这52个整数,得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。

将余数是0的数分为一组,余数是1和99的数分为一组,…,余数是49和51的数分为一组,将余数是50的数分为一组。

这样,将这52个整数分成了51组。

由鸽巢原理知道,存在两个整数分在了同一组,设它们是a 和b 。

若a 和b 被100除余数相同,则b a -能被100整除。

若a 和b 被100除余数之和是100,则b a +能被100整除。

11. 一个学生有37天用来准备考试。

根据过去的经验,她知道她需要不超过60小时的学习时间。

她还希望每天至少学习1小时。

证明,无论她如何安排她的学习时间(不过,每天都是整数个小时),都存在连续的若干天,在此期间她恰好学习了13小时。

证明设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。

因为她每天至少学习1小时,所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。

因为总的学习时间不超过60小时,所以6037≤a ,731337≤+a 。

3721,,,a a a ,13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数,由鸽巢原理知道,它们中存在相同的整数,有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ,13=-j i a a ,从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。

14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。

如果我每分钟从袋子里取出一个水果,那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果?解由加强形式的鸽巢原理知道,如果从袋子中取出451)112(4=+-?个水果,则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。

因此,需要45分钟。

17. 证明:在一群1>n 个人中,存在两个人,他们在这群人中有相同数目的熟人(假设没有人与他/她自己是熟人)。

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第二章
2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。

证明: 假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n 个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点
的坐标也是整数。

证明: 方法一:
有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。

由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

第三章
3.4 教室有两排,每排8个座位。

现有学生14人,其中的5个人总坐在前排,4个人总坐在后排,求有多少种方法将学生安排在座位上?
解:前排8个座位,5人固定,共58*5!C 种方法;后排8个座位,4人固定,共4
8*4!C 种方法;前排和后排还剩7个座位,由剩下的5人挑选5个座位,共5
7*5!C 种方法;则一共有545545
887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。

另一种解法:168277386545
5885885888871408!
7!C P P C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。

3.5 将英文字母表中的26个字母排序,要求任意两个元音字母不能相邻,则有多少种排序
方法?
解:先排21个辅音字母,共有21! 再将5个元音插入到22个空隙中,5
22P
故所求为52155
222122521!P P C P ⨯=
3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐,要求男女交替就坐,则有多少种不同的排坐方式?
解:6男全排列6!;6女全排列6!;6女插入6男的前6个空或者后6个空,即女打头或男打头6!*6!*2;再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 86400
3.7 15个人围坐一个圆桌开会,如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻,那么有多少种排坐方式? 解:
方法1:除B 和C 以外,A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边,有2
2
122C P 。

将A 与其两边的人看作一个元素,与其他12个人形成共13个元素的圆排列,有(13-1)!,所以
共有222
12212(131)!12!C P P -== 200种排列。

方法2:除去A 、B 和C 的12人共有11
11P 种坐法,A 在12人中插入位置的坐法有12种。

B 和C 不与A 相邻的坐法共有11*12种,由于15人围成圆桌坐,故排列方式共有
111112*********!P ⨯⨯=⨯= 200种坐法。

3.9 求方程123420x x x x +++=,满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。

3.10 书架上有20卷百科全书,从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少
种? 解:
n=20,r=4,1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
相当于有16卷已经排好,把4卷插入到17个“空隙”中,有174⎛⎫
⎪⎝⎭
种,对应序号都不会相邻。

3.20 证明: (1)()11,3(31)22
n
n S n -=
+- (2)()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-4332,n n n n S ;
(3)().61551043,⎪⎪⎭

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S
证明:
(1)
组合分析方法:
n 个元素分成3组,允许为空的方案为3n ;
n 个元素分成3组,有一组必为空的方案为3*2n ; n 个元素分成3组,有两组必为空的方案为3;
n 个元素分成3组,根据容斥原理,不允许为空的方案为3n -3*2n +3;
不考虑组间顺序,方案为
1
133231(31)23!2
n n n n ---⨯+=+- (2)
3个元素一组、其余元素一个各一组或者选4个元素分两组(每组2个)、其余元素一个各一组。

3个元素一组、其余元素一个各一组:3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
选4个元素分两组(每组2个)、其余元素一个各一组:选4个元素的方案为4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

分成2组的方案为42!32⎛⎫= ⎪⎝⎭种,所以有34n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

(3)
4个元素一组、其余元素一个各一组,或者选5个元素分两组(一组2个一组3个)、其余元素一个各一组,或者6个元素分三组(每组2个)、其余元素一个各一组。

4个元素一组、其余元素一个各一组:4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

选5个元素分两组(一组2个一组3个)、其余元素一个各一组:选5个元素为5n ⎛⎫
⎪⎝⎭

分两组(一组2个一组3个)方案为5102⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以有105n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

选6个元素分三组(每组2个)、其余元素一个各一组:选6个元素为6n ⎛⎫
⎪⎝⎭
,分三组
(每组2个)的方案为63!15222⎛⎫=
⎪⎝⎭,所以有156n ⎛⎫
⎪⎝⎭
3.21 (1)会议室中有2n +1个座位,现摆成3排,要求任意两排的座位都占大多数,求有多少
种摆法? 解:
(1)
方法1:如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里,有
213123 3-1 2n n ++-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到3排中,这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
种方案,所以符合题意的摆
法有:
方法2:设第一排座位有x 1个,第二排座位有x 2个,第三排座位有x 3个。

x 1+x 2+x 3=2n+1,且x 1+x 2≥(2n+1)/2,x 1+x 3≥(2n+1)/2,x 2+x 3≥(2n+1)/2,即x 1+x 2≥n+1,x 1+x 3≥n+1,x 2+x 3≥n+1,令y 1= x 1+x 2-n-1,y 2= x 1+x 3-n-1,y 3= x 2+x 3-n-1,可知y 1+y 2+y 3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且y i ≥0,1≤i ≤3。

显然,x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应,有
1311312n n -+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
种。

方法3:要求每行非空
如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里,不允许为空,

2112
3-12
n n
+-
⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。

这相当
于将n个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中,每
排不允许为空,这样的摆法共有
211
33
22
n n n
+--
⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
种方案,所以符合题意的摆法
有:
第四章
4.13计算棋盘多项式R(。

解:
R()+R(2)+(1+x)*R()
= x3+3x2+x+(1+x)[xR()+R()]
= x3+3x2+x+(1+x)[x(1+x)+(1+4x+2x2)]
= 5x3+12x2+7x+1
第五章
5.3已知数列{}k a的生成函数是x x
x x
A
3
19
3
2
)
(2
--
+
=,求
k
a.
5.7一个1×n的方格图形用红、蓝、绿和橙四种颜色涂色,如果有偶数个方格被涂成红色,还有偶数个方格被涂成绿色,求有多少种方案?
解:涂色方案数为
k
b则:
因此:
11
420
10
n n
n
n
b
n
--
⎧+>
=⎨
=

,所以有11
42
n n
--
+种方案。

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