吉林大学组合数学习题解答

第二章

2.1 证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3 证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点

的坐标也是整数。 证明： 方法一：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 第三章

3.4 教室有两排，每排8个座位。现有学生14人，其中的5个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上？

解：前排8个座位，5人固定，共58*5!C 种方法；后排8个座位，4人固定，共4

8*4!C 种方法；前排和后排还剩7个座位，由剩下的5人挑选5个座位，共5

7*5!C 种方法；则一共有545545

887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。 另一种解法：168277386545

5885885888871408!

7!C P P C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。 3.5 将英文字母表中的26个字母排序，要求任意两个元音字母不能相邻，则有多少种排序

方法？

解：先排21个辅音字母，共有21！ 再将5个元音插入到22个空隙中，5

22P

故所求为52155

222122521!P P C P ⨯=

3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式？

解：6男全排列6!；6女全排列6！；6女插入6男的前6个空或者后6个空，即女打头或男打头6!*6!*2；再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 86400

3.7 15个人围坐一个圆桌开会，如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻，那么有多少种排坐方式？ 解：

方法1：除B 和C 以外，A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边，有2

2

122C P 。将A 与其两边的人看作一个元素，与其他12个人形成共13个元素的圆排列，有(13-1)!，所以

共有222

12212(131)!12!C P P -== 200种排列。

方法2：除去A 、B 和C 的12人共有11

11P 种坐法，A 在12人中插入位置的坐法有12种。B 和C 不与A 相邻的坐法共有11*12种，由于15人围成圆桌坐，故排列方式共有

111112*********!P ⨯⨯=⨯= 200种坐法。

3.9 求方程123420x x x x +++=，满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。 3.10 书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少

种？ 解：

n=20，r=4，1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

相当于有16卷已经排好，把4卷插入到17个“空隙”中，有174⎛⎫

⎪⎝⎭

种，对应序号都不会相邻。

3.20 证明： （1）()11,3(31)22

n

n S n -=

+- （2）()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-4332,n n n n S ；

（3）().61551043,⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S

证明：

（1）

组合分析方法：

n 个元素分成3组，允许为空的方案为3n ；

n 个元素分成3组，有一组必为空的方案为3*2n ； n 个元素分成3组，有两组必为空的方案为3；

n 个元素分成3组，根据容斥原理，不允许为空的方案为3n -3*2n +3；

不考虑组间顺序，方案为

1

133231(31)23!2

n n n n ---⨯+=+- （2）

3个元素一组、其余元素一个各一组或者选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组。

3个元素一组、其余元素一个各一组：3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

选4个元素分两组（每组2个）、其余元素一个各一组：选4个元素的方案为4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

分成2组的方案为42!32⎛⎫= ⎪⎝⎭种，所以有34n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。

（3）

4个元素一组、其余元素一个各一组，或者选5个元素分两组（一组2个一组3个）、其余元素一个各一组，或者6个元素分三组（每组2个）、其余元素一个各一组。

4个元素一组、其余元素一个各一组：4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。

选5个元素分两组（一组2个一组3个）、其余元素一个各一组：选5个元素为5n ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

分两组（一组2个一组3个）方案为5102⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有105n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

。

选6个元素分三组（每组2个）、其余元素一个各一组：选6个元素为6n ⎛⎫

⎪⎝⎭

，分三组

（每组2个）的方案为63!15222⎛⎫=

⎪⎝⎭，所以有156n ⎛⎫

⎪⎝⎭

3.21 (1)会议室中有2n +1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少

种摆法？ 解：

(1)

方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有

213123 3-1 2n n ++-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到3排中，这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+⎛⎫⎛⎫

⨯=⨯

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，所以符合题意的摆

法有：

方法2：设第一排座位有x 1个，第二排座位有x 2个，第三排座位有x 3个。x 1+x 2+x 3=2n+1，且x 1+x 2≥(2n+1)/2，x 1+x 3≥(2n+1)/2，x 2+x 3≥(2n+1)/2，即x 1+x 2≥n+1，x 1+x 3≥n+1，x 2+x 3≥n+1，令y 1= x 1+x 2-n-1，y 2= x 1+x 3-n-1，y 3= x 2+x 3-n-1，可知y 1+y 2+y 3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且y i ≥0，1≤i ≤3。显然，x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有

1311312n n -+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

种。