数字信号处理系统的实现

N 11 2
h(n)[z n
z (N 1n) ]
h
N
1
z
N 1 2
n0
2
23
N为偶数的线性相位FIR滤波器结构
24
N为奇数的线性相位FIR滤波器结构
25
4、频率取样结构 可对系统函数H(z)在单位圆上作N等份采样：
H (k) H (z) zwNk DFT [h(n)]
根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数的内插 公式为：
35
定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则 原码表示为
b
x (1) 0 i 2i i 1
例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25
36
反码表示 正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反）
b
x 0 (1 2b ) i 2i i 1
误差也不同。
41
1、截尾处理：
正数（三种码形式相同）
一个b1位的正数 x 为：
b1
x i 2i i 1
用[·]T表示截尾处理，则
b
[x]T i 2 i i 1 42
✓ 截尾误差：
b1 ET [x]T x
i 2i
i b1
可见，ET≤0，βi全为1时，ET有最大值，
ET
b1
2
i
直接I 型 由差分方程：
6
直接II 型
Q H(z) Y (z) Y (z) •W(z) X (z) W(z) X (z)
N
( a z b z i0
i)
i
1
N
1
i
i
i 1
H a z 令：
(z) Y (z) N
i
1
W (z) i0 i
a z a 则： Y (z) N
iW (z)
N
y(n)
1 2rz1 cos(2 k / N ) r2z2
30
结构框图如下：
2r cos 2k N
cocos(s[(k(k)))]
z1
r2
z 1
r
cos
(
k)
2k N
2 H (k )
特点: 优点：1）每个二阶节都与频率取样值 2 | H(k) | 相乘,
若 | H(k) | 0 ， 可省掉一部分二阶节， 简化结构。
2
以 xR 表示对x作舍入处理。 ✓舍入误差：舍入处理的误差比截尾处理的误差
结构图如下：
12
IIR DF级联结构图
x(n) H1(z)
H2(z)
y(n) H M(z)
H1(z)
HM (z)
13
级联型的特点： 存储单元少（每个基本节中都是直接二型结构） 每一个基本阶中，改变分子分母系数时，只 改变本阶零极点，对系统的其他零极点无影 响。因此，便于调整滤波器的零极点，运算 误差比直接型小。
32
§5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差源： ✓对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器
的字长影响） ✓对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数
的影响） ✓运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受
计算机的精度影响）
33
5.2.1 二进制数的表示
1、定点表示
0 • 12 b
15
IIR DF并联型结构图
x(n)
A 0
H (z) 1 H (z) 2
y(n)
H (z) M 16
17
并联型结构的特点： 优点： 运算速度快，可单独调整系统的极点。 系统运算误差小，且无误差积累。 缺点： 不能直接调整系统的零点。 IIR DF 除上述三种常用结构外，还有： 转置型、串并联混合型、最小二乘及梯形结构等。
10
2、级联型
N
N
ai z i
(1 ci z 1)
Q
H(z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi z i (1 d i z 1)
i 1
i 1
g z h z h z M1 (1
M 1)
2
(1
1)(1 1)
i
i
i
A i1
i1
p z q z q z N1 (1
1) N2 (1
1)(1 1)
例： x 0.625
正数表示：0.101 其反码为：1.010
37
补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求
反加1）
b
x 0 i 2i i 1
例： x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x 的补码：1.010
补码加法运算规律: 正负数可直接相加， 符号位同样参加运 算，如符号位发生 进位，进位的 1 丢 掉。
✓整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，
称为定点制；
✓定点制总是把数限制在±1之间；
✓最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在
符号位后；
✓数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
34
✓定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为“溢 出”；
✓乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。为保证字 长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或 舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是 总把数看成整数。 定点表示的缺点： 动态范围小，有溢出。
级联型和直接型作为相关器和对消器广泛应用于 雷达信号处理中。
22
3、线性相位型 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波
器，此时 h(n满) 足偶对称或奇对称条件。
h(n)偶对称时， N 1 2 N为偶数，H (z) h(n)[Z n Z (N 1n) ] n0 N为奇数，
H (z)
i 1
b
xT 1 i 2i 2b
i 1
b1
ET
x x T
i 2i (2b 2b1 )
i b 1
故： 0 ET q ( ET 0 与原码的相同）
46
结论：补码的截尾误差均是负值，原码、反码的截尾误 差取决于数的正负，正数时为负，负数时为正。
47
2.舍入处理 ✓ 舍入操作：通过b+1位上加1后作截尾处理实现。 ✓ 舍入的实质：就是通常的四舍五入法，按最接近 的数取量化，所以不论正数、负 数，还是原码、补码、反码，误差 总是在 q 之间。
18
5.1.3有限长单位脉冲响应数字滤波器（FIR DF)结构 FIR DF的系统函数：
N 1
H (z) h(n) zn n0
差分方程：
N 1
y(n) h(k)x(n k) k 0
19
1、横截型结构（卷积型结构、直接型结构）
N 1
由 y(n) h(k)x(n k) k 0
20
2、级联型
40
5.2.2 定点制的量化误差
➢误差来源：定点制中的乘法，运算完毕后会使字长 增加，例如原来是b位字长，运算后增 长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位 字长降低到b位。
➢量化处理方式： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，
①加法， ②乘法, ③延迟。
3
差分方程：
y(n) a0x(n) a1x(n 1) b1y(n 1)
框图表示： 信号流图表示：
4
§5.1.2 IIR滤波器结构
一、无限长单位脉冲响应数字滤波器（IIR DF)结构 IIR DF的系统函数：
差分方程：
直接型、级联型、并联型、转置型。
5
1、直接型
改进方法:
1) 在半径 r 1 且接近于1的圆上取样，则
(1 -
r z HW z H (z)
N
N
) N N 1 k0 1 r
(k)
r k 1
N
其中：
H H (z)| W (k) r
w zr k N
H (rWNk
)
H
(
k) H (k)
N
29
2) 将每对共轭对称的复根合并为一个二阶网络，使 系数均为实数。
i
i
i
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
i 1
对应于实数零点和极点
对应于复数零点和极点
A : 归一化常数
11
将上式写成二阶因式连乘积的形式：（一般情况）
M 1
1
2
M
a z a z H (z) A b z b z H i1 1
1i 1i
1
2i 2 A
2i
i 1
(z)
i
N 1
M : 表示 2 中的最大整数
M N
Hi (z) : 称为滤波器的基本二阶节。
14
3、并联型
将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式
构成滤波器：
N
ai z i
H (z)
i0 N
1 bi zi
A0
N i 1
Ai (1 di z 1)
i 1
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的
部分分式：
L
H (z) A0
i 1
(1
Ai pi z 1)
M i 1
a0i a1i z 1 1 b1i z 1 b2i z 2
如下：
8
IIR DF 直接II型结构
结论：直接II型也称“递归结构”、典型结构。 与直接I型相比：节省一倍延时单元。
9
直接I型、直接II型结构特点：
优点： 简单、直观
缺点： ai , bi 对滤波器的性能控制关系不直接，
调整不方便，且极点位置灵敏度大，容易出
现不稳定现象，从而产生较大误差。 同时会产生积累误差。（反馈） 结论： 此种结构较适用于一、二阶系统。 更高阶的系统用级联或并联结构。
(2b
2b1)
ib1
✓ “量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b位字长可表示的最小数。
一般 2-b1<<2-b, 因此正数的截尾误差为：
-q≤ET≤0
43
负数
负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。
（1）原码（β0=1）：
Q
x
b1
i 2i,
i 1
[x]T
i
b
1
i
2
i
b1
ET
x T
38
2、浮点表示
x M 2c
1 M 1 2
尾数 指数 阶数
浮点制运算：
对阶：使两个数的阶码相等。
相加 相加
归一化,并作尾数处理
相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。
39
浮点表示
优点: 动态范围大,一般不溢出. 缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。
一般，浮点数都用较长的字长，精度较高， 所以我们讨论误差影响主要针对定点制。
x
i 2i
i b 1
故：0≤ET≤q
44
（2）补码（ 0 1）
b1
Q x 1 i 2i
i 1
b
x 1 T
i 2i
i 1
b
b1
ET i 2i i 2i
i 1
i 1
结论：由于 b1 b, 所以：
q ET 0
45
（3）反码（ 0 1 ）
b1
Q x 1 i 2i 2b1
H(z)
(1 zN )
1 N
N1 H (k) k0 1WNk z1
1 N
H
c
(
z)
N 1 k 0
H
k
(
z)
FIR系统
IIR系统
26
Hc (z)的信号流图：
频率采样结构
27
频率取样结构特点：
z e Hc (z) 的零点：
, j 2 i N
i
构成一个梳状滤波器。
i 0,1,2 N 1.
z e Hk (z) 的极点：
第5章 数字信号处理系统的实现
1
引言
数字滤波器的实现方法 a. 利用专用计算机； b. 直接利用计算机和通用软件编程实现。
量化误差主要有三种误差 ①A/D变换量化效应； ②系数的量化效应； ③数字运算的有限字长效应。
2
5.1.1数字网络中的信号流图
一、数字网络的信号流图表示 差分方程中数字滤波器的基本操作：
当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数 分解为二阶实系数因子的形式：
N 1
M
H (z) h(n)zn (a0i a1i z1 a2i z2 )
n0
i 1
21
级联型特点： 优点： 便于控制系统的零点，在需要控制系统 传输零点时使用此结构。 缺点： 系统所需传输系数及乘法运算比直接型多。 运算时间长。
, j 2 k N
p
k 0,1,2 N 1.
该系统在极点处的频率响应为 ，可看作是一个
谐振频率为 (2 / N)k 的无耗谐振器。
在 (2 / N)k 处，零极点互消，响应只为 H (k)
故: 可直接控制滤波器的频率响应.
28
频率取样结构的缺点: 1) 极点位于单位圆上,系统稳定的冗余度=0. 2) 均为复数,需大量复数运算,比实际运算复杂.
W (n i)
i
i
i0
i0
7
N
y
(n)
a
W
i
(n
i).............(1)
i0
令： 则：
(z) W(z)
H 2
X (z)
1
1
N
i
b zi
i 1
N
W (z) X (z) bi z iW (z) i 1
N
w(n)
x(n)
b
w(n
i
i)..............(2)
i 1
将（1）和（2）式用信号流图表示得到直接II型结构
2）每一部分结构都很规范，设计方便。
31
改进后的系统结构图：
H0 (z)
x(n)
rN zN
H1(z)
Hk (z)
1
N y(n)
H N (z)
2
z 1
H0 (z)
r z 1
H N (z)
2
若N为偶数，则其中的H0(z，) H N是(z一) 阶的，其余都是二阶的。 若N为奇数，则只有H0(z是) 一阶的2 ，其余都是二阶的。
利用
H (k) H *(N k)
WNk WN( N k ) (WNk )*
Hk
(z)
1
H (k) rWNk z1
H(N k) 1 rWN(N k ) z1
=
1
H (k) rWNk z1
1
H *(k) (rWNk )
z 1
2|H (k)| [cos (k)]-rz1 cos[ (k) (2 k / N)]