数字信号处理系统的实现

18
5.1.3有限长单位脉冲响应数字滤波器（FIR DF)结构 FIR DF的系统函数：
N 1
H (z) h(n) zn n0
差分方程：
N 1
y(n) h(k)x(n k) k 0
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1、横截型结构（卷积型结构、直接型结构）
N 1
由 y(n) h(k)x(n k) k 0
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2、级联型
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IIR DF并联型结构图
x(n)
A 0
H (z) 1 H (z) 2
y(n)
H (z) M 16
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并联型结构的特点： 优点： 运算速度快，可单独调整系统的极点。 系统运算误差小，且无误差积累。 缺点： 不能直接调整系统的零点。 IIR DF 除上述三种常用结构外，还有： 转置型、串并联混合型、最小二乘及梯形结构等。
W (n i)
i
i
i0
i0
7
N
y
(n)
a
W
i
(n
i).............(1)
i0
令： 则：
(z) W(z)
H 2
X (z)
1
1
N
i
b zi
i 1
N
W (z) X (z) bi z iW (z) i 1
N
w(n)
x(n)
b
w(n
i
i)..............(2)
i 1
将（1）和（2）式用信号流图表示得到直接II型结构
10
2、级联型
N
N
ai z i
(1 ci z 1)
Q
H(z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi z i (1 d i z 1)
i 1
i 1
g z h z h z M1 (1
M 1)
2
(1
1)(1 1)
i
i
i
A i1
i1
p z q z q z N1 (1
1) N2 (1
1)(1 1)
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§5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差源： ✓对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器
的字长影响） ✓对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数
的影响） ✓运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受
计算机的精度影响）
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5.2.1 二进制数的表示
1、定点表示
0 • 12 b
如下：
8
IIR DF 直接II型结构
结论：直接II型也称“递归结构”、典型结构。 与直接I型相比：节省一倍延时单元。
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直接I型、直接II型结构特点：
优点： 简单、直观
缺点： ai , bi 对滤波器的性能控制关系不直接，
调整不方便，且极点位置灵敏度大，容易出
现不稳定现象，从而产生较大误差。 同时会产生积累误差。（反馈） 结论： 此种结构较适用于一、二阶系统。 更高阶的系统用级联或并联结构。
i 1
b
xT 1 i 2i 2b
i 1
b1
ET
x x T
i 2i (2b 2b1 )
i b 1
故： 0 ET q ( ET 0 与原码的相同）
46
结论：补码的截尾误差均是负值，原码、反码的截尾误 差取决于数的正负，正数时为负，负数时为正。
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2.舍入处理 ✓ 舍入操作：通过b+1位上加1后作截尾处理实现。 ✓ 舍入的实质：就是通常的四舍五入法，按最接近 的数取量化，所以不论正数、负 数，还是原码、补码、反码，误差 总是在 q 之间。
, j 2 k N
p
k 0,1,2 N 1.
该系统在极点处的频率响应为 ，可看作是一个
谐振频率为 (2 / N)k 的无耗谐振器。
在 (2 / N)k 处，零极点互消，响应只为 H (k)
故: 可直接控制滤波器的频率响应.
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频率取样结构的缺点: 1) 极点位于单位圆上,系统稳定的冗余度=0. 2) 均为复数,需大量复数运算,比实际运算复杂.
第5章 数字信号处理系统的实现
1
引言
数字滤波器的实现方法 a. 利用专用计算机； b. 直接利用计算机和通用软件编程实现。
量化误差主要有三种误差 ①A/D变换量化效应； ②系数的量化效应； ③数字运算的有限字长效应。
2
5.1.1数字网络中的信号流图
一、数字网络的信号流图表示 差分方程中数字滤波器的基本操作：
①加法， ②乘法, ③延迟。
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差分方程：
y(n) a0x(n) a1x(n 1) b1y(n 1)
框图表示： 信号流图表示：
4
§5.1.2 IIR滤波器结构
一、无限长单位脉冲响应数字滤波器（IIR DF)结构 IIR DF的系统函数：
差分方程：
直接型、级联型、并联型、转置型。
5
1、直接型
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2、浮点表示
x M 2c
1 M 1 2
尾数 指数 阶数
浮点制运算：
对阶：使两个数的阶码相等。
相加 相加
归一化,并作尾数处理
相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。
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浮点表示
优点: 动态范围大,一般不溢出. 缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。
一般，浮点数都用较长的字长，精度较高， 所以我们讨论误差影响主要针对定点制。
i
i
i
i 1
i 1
对应于实数零点和极点
对应于复数零点和极点
A : 归一化常数
11
将上式写成二阶因式连乘积的形式：（一般情况）
M 1
1
2
M
a z a z H (z) A b z b z H i1 1
1i 1i
1
2i 2 A
2i
i 1
(z)
i
N 1
M : 表示 2 中的最大整数
M N
Hi (z) : 称为滤波器的基本二阶节。
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5.2.2 定点制的量化误差
➢误差来源：定点制中的乘法，运算完毕后会使字长 增加，例如原来是b位字长，运算后增 长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位 字长降低到b位。
➢量化处理方式： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，
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定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则 原码表示为
b
x (1) 0 i 2i i 1
例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25
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反码表示 正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反）
b
x 0 (1 2b ) i 2i i 1
当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数 分解为二阶实系数因子的形式：
N 1
M
H (z) h(n)zn (a0i a1i z1 a2i z2 )
n0
i 1
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级联型特点： 优点： 便于控制系统的零点，在需要控制系统 传输零点时使用此结构。 缺点： 系统所需传输系数及乘法运算比直接型多。 运算时间长。
改进方法:
1) 在半径 r 1 且接近于1的圆上取样，则
(1 -
r z HW z H (z)
N
N
) N N 1 k0 1 r
(k)
r k 1
N
其中：
H H (z)| W (k) r
w zr k N
H (rWNk
)
H
(
k) H (k)
N
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2) 将每对共轭对称的复根合并为一个二阶网络，使 系数均为实数。
2
以 xR 表示对x作舍入处理。 ✓舍入误差：舍入处理的误差比截尾处理的误差
✓整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，
称为定点制；
✓定点制总是把数限制在±1之间；
✓最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在
符号位后；
✓数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
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✓定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为“溢 出”；
✓乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。为保证字 长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或 舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是 总把数看成整数。 定点表示的缺点： 动态范围小，有溢出。
x
i 2i
i b 1
故：0≤ET≤q
44
（2）补码（ 0 1）
b1
Q x 1 i 2i
i 1
b
x 1 T
i 2i
i 1
b
b1
ET i 2i i 2i
i 1
i 1
结论：由于 b1 b, 所以：
q ET 0
45
（3）反码（ 0 1 ）
b1
Q x 1 i 2i 2b1
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3、并联型
将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式
构成滤波器：
N
ai z i
H (z)
i0 N
1 bi zi
A0
N i 1
Ai (1 di z 1)
i 1
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的
部分分式：
L
H (z) A0
i 1
(1
Ai pi z 1)
M i 1
a0i a1i z 1 1 b1i z 1 b2i z 2
利用
H (k) H *(N k)
WNk WN( N k ) (WNk )*
Hk
(z)
1
H (k) rWNk z1