2019-2020年高二下学期开学考试数学试题 含答案
2019_2020学年高二数学下学期开学考试试题含解析
(1）求证：
(2）求证： 平面
【答案】（1)见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1)利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论；
（2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论。
【详解】证明：(1）连结 、
平面 ， 平面
又 ， , 平面
平面 ,又 平面
(2)由 ，即 同理可得 ，
又 ， 平面
∴
∴ ，即 ，
故抛物线方程为 ，所以准线方程为 。
故选:D。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题。
11。已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面
【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误;
对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；
对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面,即③错误;
对于④,在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确,
点 是椭圆 : 上两点，
则
解得： ，
故椭圆 的方程为： .
（2）∵直线 的斜率为1，故设直线 的方程为： 即 ，
∵直线 与圆 相切，∴ ,
由 ，即
∴
∴ .
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题。
21。如图，四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 , ， ， 是 的中点。
7.已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置关系为（）
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文(含解析)_2
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.【详解】由题，求得集合，所以故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2. 若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法计算，即可求出答案.【详解】，，复数在复平面上的对应点在第一象限，故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.3. “”是“两直线和互相垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由，求两直线的斜率，再由两直线垂直求的取值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】当时，两直线和的斜率分别为：和，所以两直线垂直；若两直线和互相垂直，则，解得：；因此“”是“两直线和互相垂直”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定方法即可，属于基础题型.4. 已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则（）A. 33B. 18C. 27D. 21【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，从中抽取一个容量为n的样本，从C社区抽取了15人，则，解得．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 已知非零向量，满足，，则（）．A. 3B.C. 9D.【答案】C【解析】【分析】由两边平方，解得：.把已知条件代入即可求出的值.【详解】因为，即：，解得：..故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算和模长的应用，考查学生的计算能力，属于简单题.6. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )A. 16B. 32C. 6 4D. 256【答案】C【解析】【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【详解】因为a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，所以a1•a19＝a102＝16，又此等比数列为正项数列，解得：a10＝4，则a8•a10•a12＝（a8•a12）•a10＝a103＝43＝64．故选C．【点睛】本题考查学生灵活运用韦达定理及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．7. 一只小虫在边长为的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积，故概率.故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.8. 若a＞b＞0，0＜c＜1，则A. logac＜logbcB. logca＜logcbC. ac＜bcD. ca ＞cb【答案】B【解析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9. 设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A. B.C. 24D. 48【答案】C【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.10. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，.故选C.11. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.12. 已知函数，函数是偶函数，且，当时，，若函数恰好有个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数与函数的图象，可知两函数在区间上有且只有一个交点，则两函数在上有个交点，结合图象得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】如下图所示，当时，函数与有1个交点，故时与有且仅有个交点，必有且.因此，实数取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．）13. 若实数，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】0【解析】【分析】先画出可行域，在利用直线截距的几何意义求助目标函数的最小值．【详解】本题中约束条件下的可行域如图阴影表示，由，得，当直线在轴上截距最大时，有最大值．所以当直线经过点时，有.【点睛】本题主要考查线性规划．14. 曲线在点处的切线方程为_________.【答案】【解析】，切线方程为即点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.15. 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_______．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线距离公式求解．【详解】抛物线的焦点坐标为：，双曲线的一条渐近线方程为：，即：，则点到直线距离：．【点睛】本题主要考查了抛物线及双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．16. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】分析】由题意结合导数的求解可得当时，，再由函数的奇偶性、单调性可转化原不等式为，即可得解.【详解】因为是偶函数，所以，因为，所以，因为当时，，所以当时，，所以在上为递减函数，又，所以为偶函数，因为，所以即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性，考查了利用函数单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．）17. 在中，角，，所对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得到：，，即.（2）利用余弦定理变形，根据基本不等式，即可求出的最大值为2.【详解】（1），即，，即：.因为，，所以．由因为，所以．（2）由余弦定理可知：，整理得：.又因为，所以.化简得：，即：．∴的最大值为2．【点睛】第一问主要考查了正弦定理中的角化边，相对简单.第二问考查了余弦定理和基本不等式，属于中档题.18. 已知是数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用即可求出数列的通项公式.（2）根据（1）得出，则，再利用“裂项求和法”即可得出.【详解】解：（1）因为①，所以②，②—①得：，即，又，所以．（2），令，则，所以．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解以及利用“裂项求和法”求数列的前项和，考查基本运算能力.19. 某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品产量(单位：万件)的数据如下表：(1)若从这5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率；(2)求出y关于x的线性回归方程，并估计今年6月份该种产品的产量．参考公式：，.【答案】（1）（2）；0.75.【解析】【分析】(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．(2) 利用公式，求得的值，得出回归直线的方程，代入时，即可作出结论．【详解】(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(其中m，n表示月份)有，，，，，，，，，，共10种，其中事件A包含的基本事件有，，，，共4种，∴.(2) 由题意，可得，，，，所以，则，所以回归直线的方程为.当时，.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及回归直线方程的应用，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数，以及利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20. 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，点在圆所在平面内，且是圆的切线，交圆于点，连接，.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意可知，，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由条件计算和，然后利用即可得到结果.【详解】解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.又圆锥中，垂直底面圆，所以，而，所以平面，从而.在三角形中，，所以，又所以平面.（2）因为，，，所以在直角中，.又，则是等腰三角形，所以，.又，所以设点到平面的距离为，由，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.21. 【2018年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22. 已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上．求椭圆的方程；直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．【答案】；或.【解析】【分析】由和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，求出，，即可得出椭圆方程；联立直线和椭圆的方程，可得，利用跟的判别式，基本不等式求出结果.【详解】解：和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，，，故，由可得.椭圆的方程为：.由，可得.直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，整理得.由条件可得，，，，.，，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为，，，又，解得.故此时直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆的简单性质，属于中档题.学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.【详解】由题，求得集合，所以故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2. 若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法计算，即可求出答案.【详解】，，复数在复平面上的对应点在第一象限，故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.3. “”是“两直线和互相垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由，求两直线的斜率，再由两直线垂直求的取值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】当时，两直线和的斜率分别为：和，所以两直线垂直；若两直线和互相垂直，则，解得：；因此“”是“两直线和互相垂直”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定方法即可，属于基础题型.4. 已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则（）A. 33B. 18C. 27D. 21【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，从中抽取一个容量为n的样本，从C社区抽取了15人，则，解得．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 已知非零向量，满足，，则（）．A. 3B.C. 9D.【答案】C【解析】【分析】由两边平方，解得：.把已知条件代入即可求出的值.【详解】因为，即：，解得：..故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算和模长的应用，考查学生的计算能力，属于简单题.6. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )A. 16B. 32C. 6 4D. 256【答案】C【解析】【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【详解】因为a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，所以a1•a19＝a102＝16，又此等比数列为正项数列，解得：a10＝4，则a8•a10•a12＝（a8•a12）•a10＝a103＝43＝64．故选C．【点睛】本题考查学生灵活运用韦达定理及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．7. 一只小虫在边长为的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积，故概率.故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.8. 若a＞b＞0，0＜c＜1，则A. logac＜logbcB. logca＜logcbC. ac＜bcD. ca＞cb【答案】B【解析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9. 设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A. B.C. 24D. 48【答案】C【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.10. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，.故选C.11. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.12. 已知函数，函数是偶函数，且，当时，，若函数恰好有个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数与函数的图象，可知两函数在区间上有且只有一个交点，则两函数在上有个交点，结合图象得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】如下图所示，当时，函数与有1个交点，故时与有且仅有个交点，必有且.因此，实数取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．）13. 若实数，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】0【解析】【分析】先画出可行域，在利用直线截距的几何意义求助目标函数的最小值．【详解】本题中约束条件下的可行域如图阴影表示，由，得，当直线在轴上截距最大时，有最大值．所以当直线经过点时，有.【点睛】本题主要考查线性规划．14. 曲线在点处的切线方程为_________.【答案】【解析】，切线方程为即点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.15. 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_______．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线距离公式求解．【详解】抛物线的焦点坐标为：，双曲线的一条渐近线方程为：，即：，则点到直线距离：．【点睛】本题主要考查了抛物线及双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．16. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】分析】由题意结合导数的求解可得当时，，再由函数的奇偶性、单调性可转化原不等式为，即可得解.【详解】因为是偶函数，所以，因为，所以，因为当时，，所以当时，，所以在上为递减函数，又，所以为偶函数，因为，所以即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及利用导数研究函数的单调性，考查了利用函数单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．）17. 在中，角，，所对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得到：，，即.（2）利用余弦定理变形，根据基本不等式，即可求出的最大值为2.【详解】（1），即，，即：.因为，，所以．由因为，所以．（2）由余弦定理可知：，整理得：.又因为，所以.化简得：，即：．∴的最大值为2．【点睛】第一问主要考查了正弦定理中的角化边，相对简单.第二问考查了余弦定理和基本不等式，属于中档题.18. 已知是数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用即可求出数列的通项公式.（2）根据（1）得出，则，再利用“裂项求和法”即可得出.【详解】解：（1）因为①，所以②，②—①得：，即，又，所以．（2），令，则，所以．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解以及利用“裂项求和法”求数列的前项和，考查基本运算能力.19. 某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品产量(单位：万件)的数据如下表：(1)若从这5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率；(2)求出y关于x的线性回归方程，并估计今年6月份该种产品的产量．参考公式：，.【答案】（1）（2）；0.75.【解析】【分析】(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．(2) 利用公式，求得的值，得出回归直线的方程，代入时，即可作出结论．【详解】(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(其中m，n表示月份)有，，，，，，，，，，共10种，其中事件A包含的基本事件有，，，，共4种，∴.(2) 由题意，可得，，，，所以，则，所以回归直线的方程为.当时，.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及回归直线方程的应用，其中解答中认真审题，合理利用列举法求得基本事件的总数，以及利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20. 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，点在圆所在平面内，且是圆的切线，交圆于点，连接，.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意可知，，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由条件计算和，然后利用即可得到结果.【详解】解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.又圆锥中，垂直底面圆，所以，而，所以平面，从而.在三角形中，，所以，又所以平面.（2）因为，，，所以在直角中，.又，则是等腰三角形，所以，.又，所以设点到平面的距离为，由，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.21. 【2018年新课标I卷文】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22. 已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上．求椭圆的方程；直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．【答案】；或.【解析】。
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题(含解析)_1
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一､单项选择题(本大题共9小题，共45.0分)1.设命题.则为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题，故命题.则为.本题选择C选项.2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选A．【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图所给数据逐一分析．【详解】甲中位数是28，乙中位数是29，乙高，①错；甲均分为，乙均分为，甲低，②正确；甲方差为，乙方差为，乙更稳定，③正确，④错．因此正确的是②③．故选：C．【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体特征，解题时根据所给数据求出各样本数据特征即可．4.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.6.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.8.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，故，，两边除以得，解得9.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.二､多项选择题(本大题共3小题，共15.0分)10.下列说法中正确的是（）A. 若事件与事件是互斥事件，则B. 若事件与事件是对立事件：则C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】【分析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，，关于直线对称，正确；对于，当时，，，，正确；对于，当时，，，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（）A. B. 平面平面C. 直线平面D.【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质知正确；根据面面垂直的判定可知在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；根据可知与平面相交，错误；由正六边形特点和长度关系可确定正确.【详解】对于，平面，平面，，又底面为正六边形，，，平面，平面，又平面，，正确；对于，平面，平面，平面平面，同理可得：平面平面，则在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；对于，，平面，与平面也相交，错误；对于，，底面为正六边形，，在中，，，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系等命题的辨析；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，属于常考题型.三､填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应的基本事件个数，即可求出对应概率.【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有种情况；这两位同学参加同一个兴趣小组共有种情况，因此，这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.14.已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】条件p:log2(1−x)<0，∴0<1−x<1，解得0<x<1.条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，根据包含关系可得a⩽0.则实数a的取值范围是：(−∞,0].故答案为(−∞,0].15.若数列满足，且，则______.【答案】【解析】【分析】利用累乘的方式可求得，代入即可求得结果.【详解】，时，，，即，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累乘法求解数列通项公式及数列中的项的问题，关键是明确当递推关系式满足时，采用累乘法可求得通项公式.16.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】依据题意作出图形，由抛物线定义得：点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值可转化成求点到直线距离问题，再由点到直线距离公式得解．【详解】依据题意作出图形，点到直线的距离与其到轴的距离之和为：，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可得：，所以的最小值问题可转化成的最小值问题.由图可得：的最小值就是点到直线距离，又,所以点到直线距离为：，所以点到直线的距离与其到轴的距离之和的最小值为：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及抛物线的简单性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式: ，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．试题解析：（1）由数据求得由公式求得再由所以关于的线性回归方程为.（2）当时, , ；同样, 当时, ,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.18.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；（2）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．【答案】（1）a＝0.006；76；（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a，设中位数为m，根据中位数平分直方图的面积求解.（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，列举出[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件的种数，再找出其中2人评分都在[50，60）内的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.详解】（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，解得a＝0006．由频率分布直方图，可设中位数为m，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝0.5，解得中位数m＝76．（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，故此2人评分都在[50，60）的概率为．【点睛】本题主要考查样本估计总体和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，､分别为､的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，可证得，得到四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）由线面垂直的性质、矩形的特点和线面垂直的判定定理可证得平面，由此得到，由等腰三角形三线合一得到，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定定理，结合平行关系即可证得结论.【详解】（1）取中点，连结､.是的中点，且，又底面为矩形，是中点，且，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）底面，平面，，又底面为矩形，，，平面，平面，平面，，，为中点，，又，平面，平面，由（1）知：，平面，又面，平面平面.【点睛】本题考查立体几何中线面平行、面面垂直关系的证明；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，考查学生的逻辑推理能力.20.已知数列的前项和为，且满足，.（1）证明：数列为等比数列.（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）利用可得到递推关系式，由此得到，求得后可确定首项，由此证得结论；（2）由等比数列通项公式求得后，可整理得到，采用分组求和的方式，结合错位相减法和等差数列求和公式可求得结果.【详解】（1），则当时，，两式相减得：，，即：，，又时，，解得：，，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，，又，，，设，则，两式相减可得：，，又，.【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等比数列、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是对数列进行分组求和时，需根据分组情况，对于两组分别采用错位相减法和等差数列求和公式来进行求和，要求学生对于数列求和的方法能够熟练掌握.21.在平面四边形中，已知，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在中，即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，, .所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.22.已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）斜率之和为定值【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以①，将代入椭圆方程化简得：，因为直线与椭圆相切，所以②，解①②可得，，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设点，则有，由题意可知，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得：由题意可知③，通分后可变形得到将③式代入分子，所以斜率之和为定值.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一､单项选择题(本大题共9小题，共45.0分)1.设命题.则为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题，故命题.则为 .本题选择C选项.2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选A．【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图所给数据逐一分析．【详解】甲中位数是28，乙中位数是29，乙高，①错；甲均分为，乙均分为，甲低，②正确；甲方差为，乙方差为，乙更稳定，③正确，④错．因此正确的是②③．故选：C．【点睛】本题考查用样本数据特征估计总体特征，解题时根据所给数据求出各样本数据特征即可．4.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.【详解】解：若直线：与直线：平行则，当时，直线：与直线：，两直线重合，舍所以“直线：与直线：平行”等价于“”所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件故选D【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.6.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三角函数的定义可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.8.已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，故，，两边除以得，解得9.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是递增数列，所以，且，即，解得或，所以，选D.二､多项选择题(本大题共3小题，共15.0分)10.下列说法中正确的是（）A. 若事件与事件是互斥事件，则B. 若事件与事件是对立事件：则C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】【分析】由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.【详解】事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.故选：.【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，，关于直线对称，正确；对于，当时，，，，正确；对于，当时，，，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.12.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论中正确的是（）A. B. 平面平面C. 直线平面D.【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质知正确；根据面面垂直的判定可知在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；根据可知与平面相交，错误；由正六边形特点和长度关系可确定正确.【详解】对于，平面，平面，，又底面为正六边形，，，平面，平面，又平面，，正确；对于，平面，平面，平面平面，同理可得：平面平面，则在五棱锥中，只有侧面､侧面与底面垂直，错误；对于，，平面，与平面也相交，错误；对于，，底面为正六边形，，在中，，，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系等命题的辨析；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用，属于常考题型.三､填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分别得出甲乙两位同学各参加一个兴趣小组，以及两位同学参加同一个兴趣小组对应的基本事件个数，即可求出对应概率.【详解】现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，共有种情况；。
学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文(含解析)
学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文（含解析）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共60分，每小题5分）1. 下列复数中，是实数的是（）A. 1+iB. i2C. -iD. mi【答案】B【解析】【分析】本题先判断1+i是虚数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数，再给出答案.【详解】解：1+i是虚数，不是实数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数.故选：B.【点睛】本题考查复数分类，是基础题2. 已知，，，，，…，则( )A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】由题意可得，，，，则，，，，，故选C.3. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=A. 1+2iB. 12iC.D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，故，则，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；【答案】C【解析】【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6. 用反证法证明命题“若，则且”时的假设为（）A. 且B. 或C. 时，时D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】先判断命题的结论，再写出它的反面，最后给出答案.【详解】解：命题结论为“且”，它的反面为：或，用反证法证明命题“若，则且”时的假设为或.故选：B.【点睛】本题考查反证法的假设，是基础题7. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.8. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第（）号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：观察不难发现，经过四次变换后又回到原位，用202除以4，根据余数的情况解答即可．解：由图可知，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵202÷4=50…2，∴第202次互换座位后，与第2次的座位相同，小兔的座位号为2．故选B点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得到经过四次变换后又回到原位是解题的关键．9. 命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误【答案】C【解析】【分析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【详解】解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限循环小数，以及整数，大前提是错误的，得到的结论是错误的，在以上三段论推理中，大前提错误故选：．【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．10. 下面四个推理不是合情推理的是（）A. 由圆的性质类比推出球的有关性质B. 由三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是，归纳出凸n边形的内角和是C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和是【答案】C【解析】【分析】根据合情推理包括类比推理与归纳推理，合情推理的结论不一定正确，对选项中的命题进行分析、判断即可得出结论．【详解】解：对于A，由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，属于合情推理；对于B，由三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，得出凸边形内角和是，是归纳推理，为合情推理；对于C，某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分，是由特殊到特殊的推理过程，故C不是合情推理；对于D，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，推出所有三角形的内角和都是，是归纳推理，属于合情推理；故选：．【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理的应用问题，合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确；在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性11. 命题“对于任意角θ，”的证明：“”，其过程应用了A. 分析法B. 综合法C. 综合法、分析法综合使用D. 间接证法【答案】B【解析】【分析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论．【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A. （–∞，1）B. （–∞，–1）C. （1，+∞）D. （–1，+∞）【答案】B【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每小题5分）13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______．【答案】37，f(n)=3n2-3n+1【解析】解：（1）由于f（2）-f（1）=7-1=6，f（3）-f（2）=19-7=2×6，f（4）-f（3）=37-19=3×6，所以f（4）=37f（5）-f（4）=61-37=4×6，因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n2-3n+1 15. 三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为___________.【答案】三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【解析】【分析】本题运用类比推理直接得到答案即可.【详解】根据类比推理，可以直接推出原来三角形的性质为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.故答案为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【点睛】本题考查类比推理，基础题.16. 已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将代入进行整体代换和合理拆项得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出的取值范围.【详解】解：由题意知，两个正数，满足，则，则，当时取等号，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 计算:（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】直接利用复数的乘除运算法则以及复数单位的幂运算化简求解即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．18. 已知数列中，.（1）求；（2）归纳猜想通项公式.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由分别代入递推关系，即可得答案；（2）根据前几项的特点，分母为，即可得答案；【详解】（1）当时，，当时，，当时，；（2）根据数列前几项的特点可得：；【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的项、不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 19. 己知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.【详解】（1）由题意得：，，又，在处的切线方程为，即.（2）由（1）知：，当时，；当时，；的单调递减区间为，.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.20. 已知，求证：至少有一个不大于.【答案】见解析【解析】【分析】至少有一个不大于可反设都大于，运用均值不等式及同向不等式相加的性质即可推出矛盾.【详解】假设因为矛盾，所以假设不成立所以至少有一个不大于.21. 如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为,.求证：（1）平面（指出所有大前提、小前提、结论）;（2）（用分析法证明）.【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解【解析】【分析】（1）先证明点是的中点，再证明，最后证明平面即可；（2）先分析到要证明：，只需证：（显然成立），，，再分别用分析法证明、即可得证.【详解】（1）证明：平面四边形的对角线相互平分，……大前提四边形是平行四边形，……小前提所以点是的中点，……结论三角形的中位线平行与底边，……大前提在中，点是的中点，点是的中点，是三角形的一条中位线，……小前提所以，……结论平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行，……大前提，平面，平面，……小前提平面，……结论（2）要证明：，只需证：平面只需证：（显然成立），，；要证明：，只需证：四边形是正方形，只需证：（已知显然成立），（直三棱柱中显然成立）所以；要证明：，只需证：平面只需证：（显然成立），（已知），（直三棱柱中显然成立）所以；所以（显然成立），（已证），（已证），所以【点睛】本题考查利用三段论证明线面平行、利用分析法证明线线垂直，是中档题.22. 选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．考点：推理证明．学2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题文（含解析）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共60分，每小题5分）1. 下列复数中，是实数的是（）A. 1+iB. i2C. -iD. mi【答案】B【解析】【分析】本题先判断1+i是虚数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数，再给出答案.【详解】解：1+i是虚数，不是实数；是实数；是纯虚数；当时，是实数，当时，是纯虚数.故选：B.【点睛】本题考查复数分类，是基础题2. 已知，，，，，…，则 ( )A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】由题意可得，，，，则，，，，，故选C.3. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=A. 1+2iB. 12iC.D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，故，则，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；【答案】C【解析】【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入成立；，成立；，成立；，不成立，输出.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.6. 用反证法证明命题“若，则且”时的假设为（）A. 且B. 或C. 时，时D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】先判断命题的结论，再写出它的反面，最后给出答案.【详解】解：命题结论为“且”，它的反面为：或，用反证法证明命题“若，则且”时的假设为或.故选：B.【点睛】本题考查反证法的假设，是基础题7. 如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，当时，，再结合时，，可知是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.8. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第（）号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：观察不难发现，经过四次变换后又回到原位，用202除以4，根据余数的情况解答即可．解：由图可知，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵202÷4=50…2，∴第202次互换座位后，与第2次的座位相同，小兔的座位号为2．故选B点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得到经过四次变换后又回到原位是解题的关键．9. 命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误【答案】C【解析】【分析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【详解】解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限循环小数，以及整数，大前提是错误的，得到的结论是错误的，在以上三段论推理中，大前提错误故选：．【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．10. 下面四个推理不是合情推理的是（）A. 由圆的性质类比推出球的有关性质B. 由三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是，归纳出凸n边形的内角和是C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，归纳出所有三角形的内角和是【答案】C【解析】【分析】根据合情推理包括类比推理与归纳推理，合情推理的结论不一定正确，对选项中的命题进行分析、判断即可得出结论．【详解】解：对于A，由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，属于合情推理；对于B，由三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，得出凸边形内角和是，是归纳推理，为合情推理；对于C，某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分，是由特殊到特殊的推理过程，故C不是合情推理；对于D，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，推出所有三角形的内角和都是，是归纳推理，属于合情推理；故选：．【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理的应用问题，合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确；在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性11. 命题“对于任意角θ，”的证明：“”，其过程应用了A. 分析法B. 综合法C. 综合法、分析法综合使用D. 间接证法【答案】B【解析】【分析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，属于综合法，即可得到结论．【详解】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．【点睛】本题主要考查了综合法的证明过程，其中解中正确理解综合法证明的基本过程，合理进行判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A. （–∞，1）B. （–∞，–1）C. （1，+∞）D. （–1，+∞）【答案】B【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.第Ⅱ卷二、填空题（共20分，每小题5分）13. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______．【答案】37，f(n)=3n2-3n+1【解析】解：（1）由于f（2）-f（1）=7-1=6，f（3）-f（2）=19-7=2×6，f（4）-f（3）=37-19=3×6，所以f（4）=37f（5）-f（4）=61-37=4×6，因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n2-3n+115. 三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为___________.【答案】三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【解析】【分析】本题运用类比推理直接得到答案即可.【详解】根据类比推理，可以直接推出原来三角形的性质为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.故答案为：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心.【点睛】本题考查类比推理，基础题.16. 已知两个正数，满足，则使不等式恒成立的实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，将代入进行整体代换和合理拆项得，再利用基本不等式求出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出的取值范围.【详解】解：由题意知，两个正数，满足，则，则，当时取等号，∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 计算:（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】直接利用复数的乘除运算法则以及复数单位的幂运算化简求解即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．18. 已知数列中，.（1）求；（2）归纳猜想通项公式.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）由分别代入递推关系，即可得答案；（2）根据前几项的特点，分母为，即可得答案；【详解】（1）当时，，当时，，当时，；（2）根据数列前几项的特点可得：；【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的项、不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.19. 己知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.【详解】（1）由题意得：，，又，在处的切线方程为，即.（2）由（1）知：，当时，；当时，；的单调递减区间为，.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.20. 已知，求证：至少有一个不大于.【答案】见解析【解析】【分析】至少有一个不大于可反设都大于，运用均值不等式及同向不等式相加的性质即可推出矛盾.【详解】假设。
校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题理(含解析)
校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)1.若复数z=为纯虚数，则实数的值为（）A. =2B. =C. = 或=2D. =2且3【答案】A【解析】【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，所以，解得，即实数的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查了复数分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设，其中是实数，则等于（）A. 1B.C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数相等，可求得的值.根据复数模的求法即可得解.【详解】由已知得，根据两复数相等的条件可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的应用，复数模的求法，属于基础题.3.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.【考点】复数几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量.4.函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【详解】∵，∴切线斜率，又∵，∴切点为，∴切线方程为，即．故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.若函数满足，，则的值为（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】C【解析】【分析】求出即可【详解】因为所以令时有解得：故选：C【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.6.若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y ＝f（x）的图象可能（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.7.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（）A. 10B. 9C. 8D.【答案】B【解析】对函数求导可得，根据导数的几何意义，，即==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件8.函数，则（）A. 为函数的极大值点B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．9.设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面（）A. 垂直B. 平行或在平面内C. 平行D. 平面内【答案】B【解析】【分析】计算出，即可判断得解.【详解】．．或．故选：B．【点睛】本题主要考查利用向量判断直线和平面位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10.若，，，且，，共面，则（）A. 1B. -1C. 1或2D.【答案】A【解析】【分析】向量，，共面，存在实数使得，坐标代入即可得出。
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题(含解析)
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算化简出，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵，∴复数，即，则对应点坐标为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4.已知，那么命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解 : p：x2－x<0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．考点：排列组合．6.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】因此当时，；当时，；当时，；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.7.已知双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么（）A. 21B. 14C. 7D. 0【答案】B【解析】试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选B．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，，，，四名同学对于谁获得特等奖进行预测.说：不是1号就是2号获得特等奖；说：3号不可能获得特等奖；说：4，5，6号不可能获得特等奖；说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，，，，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A. 1B. 2C. 3D. 4，5，6号中的一个【答案】C【解析】【分析】因为只有一人猜对，而，互相否定，故，中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为，互相否定，故，中一人猜对，假设对，则也对与题干矛盾，故错，猜对者一定是，于是一定猜错，也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.9.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据已知条件，可判断出的奇偶性和单调性，且，将求不等式的解集，转化成求的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数，由于当时，，即：所以，则在上为减函数，因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，则，所以在上为奇函数，则在上也为减函数，由于，所以，即，，因为，要求不等式，即求，解得：或，则不等式的解集为：.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系式为R(x)= 则总利润最大时，每年生产的产品是( )A. 100单位B. 150单位C. 200单位D. 300单位【答案】D【解析】【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C元，总利润为P元，则C=20000+100x，P=R-C=所以P′=令P′=0，得x=300．当0<x<300时，P′>0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P取得最大值，故选D．【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．12.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有①再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.13.双曲线的离心率为【答案】【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14.如图，平面平面，为正方形，，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出，，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.，，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.【答案】24【解析】【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题.16.已知函数有唯一零点，则________【答案】【解析】【分析】令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图像关于成轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值.【详解】设，则定义域为，所以为偶函数，所以的图像关于成轴对称要使有唯一零点，则只能，即解得，故答案为：.【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可求得数列的前项和.【详解】(1)设等比数列的公比为,则,,∵是和的等差中项,∴,即,解得,∴.(2) ,则..【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18.已知函数.（1）求的值.（2）求的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知的解析式，代入，直接算出的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得，结合正弦函数的单调性，即可求出的单调递增区间.【详解】解：（1）由，，，即：.（2）由与得，由正弦函数的性质得，，解得，，所以的单调递增区间是.【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份不“礼让斑马线”驾驶员人数（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中月份和月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，再从这人中任选人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.参考数据：.【答案】（1），49人；（2）.【解析】【分析】(1)先求得,,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.详解】（1）由表中数据知,,,,,所求回归直线方程为.令,则人.（2）由已知可得：月份应抽取位驾驶员,设其编号分别为, ,,,月份应抽取位驾驶员,设其编号分别为,,,从这人中任选人包含以下基本事件,,,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,共个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件,则事件包含的基本事件是,,, ,,,,,,共有个基本事件,.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20.如图，在边长为4的菱形中,，点分别是的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先证明，从而，根据线面垂直的判定定理可证明平面；（2）设，连接，由（1）可得，根据勾股定理可得,根据线面垂直的判定定理可得平面，以为原点，在直线为轴，所在直线轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接为等边三角形，，在中，在中，，平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，由得令得平面的一个法向量为，由（1）知平面一个法向量为，设求二面角的平面角为，则二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线：的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.（1）求曲线的方程及点的坐标；（2）记，求弦长（用表示）；并求的最大值.【答案】（1）..（2），的最大值为1.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，求出，即可得出抛物线的方程，便得出点的坐标；（2）由点，得出，利用点差法求出直线的斜率，得出直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长，通过基本不等式求得的最大值.【详解】解：（1）的准线为，∴，∴，∴抛物线方程为.又点在曲线上，∴.故.（2）由（1）知，点，从而，即点，依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为，且，，由，得，故，所以直线的方程为，即.由，消去，整理得，所以，，.从而∴，当且仅当，即时，上式等号成立，又满足.∴的最大值为1.【点睛】本题考查利用定义法求抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，还运用点差法、联立方程组、韦达定理以及弦长公式，还利用基本不等式求出最值，同时考查解题能力和计算能力.22.已知函数，，（为自然对数的底数）.（1）若不等式对于一切恒成立，求a的最小值；（2）若对任意的，在上总存在两个不同的，使成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由题意得在恒成立，即在恒成立.令，则设，则所以，因此即的最小值为(2)，所以在递增，在递减，由得在上值域为因为，所以时在上单调递减，时在上单调递减，不合题意，因此，此时在上单调递减，在上单调递增，令，即在上单调递增，在上单调递减，∴欲使对任意的上总存在两个不同的，使成立，则需满足，即，又∵，∴，∴，综上所述，. 1考点：不等式恒成立问题，利用导数求存在性问题【名师点睛】利用导数确定三次式、分式、以e为底的指数式、对数式及三角式方程根的个数或函数零点的方法（1）构建函数g（x）（要求g′（x）易求,g′（x）=0可解）,转化为确定g（x）的零点个数问题求解,利用导数研究函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等,画出g（x）的图像草图,数形结合求解. （2）利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）时量：120分钟分值：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算化简出，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵，∴复数，即，则对应点坐标为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3.函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4.已知，那么命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解 : p：x2－x<0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( )A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个【答案】D【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．考点：排列组合．6.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】因此当时，；当时，；当时，；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7.已知双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么（）A. 21B. 14C. 7D. 0【答案】B【解析】试题分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为，所以，解得；因为点在双曲线上，且，所以，解得；故选B．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，，，，四名同学对于谁获得特等奖进行预测.说：不是1号就是2号获得特等奖；说：3号不可能获得特等奖；说：4，5，6号不可能获得特等奖；说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，，，，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A. 1B. 2C. 3D. 4，5，6号中的一个【答案】C【解析】【分析】因为只有一人猜对，而，互相否定，故，中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为，互相否定，故，中一人猜对，假设对，则也对与题干矛盾，故错，猜对者一定是，于是一定猜错，也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.9.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据已知条件，可判断出的奇偶性和单调性，且，将求不等式的解集，转化成求的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数，由于当时，，即：所以，则在上为减函数，因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，则，所以在上为奇函数，则在上也为减函数，由于，所以，即，，因为，要求不等式，即求，解得：或，则不等式的解集为：.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系式为R(x)= 则总利润最大时，每年生产的产品是( )A. 100单位B. 150单位C. 200单位D. 300单位【答案】D【解析】【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C元，总利润为P元，则C=20000+100x，P=R-C=所以P′=令P′=0，得x=300．当0<x<300时，P′>0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P取得最大值，故选D．【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．12.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有①再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.13.双曲线的离心率为【答案】【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14.如图，平面平面，为正方形，，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出，，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.，，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.【答案】24【解析】【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16.已知函数有唯一零点，则________【答案】【解析】【分析】令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图像关于成轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值.【详解】设，则定义域为，所以为偶函数，所以的图像关于成轴对称要使有唯一零点，则只能，即解得，故答案为：.【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可求得数列的前项和.【详解】(1)设等比数列的公比为,则,,∵是和的等差中项,∴,即,解得,∴.(2) ,则..【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．。
2019-2020学年安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．直线l 的方程为222y x +=-，则（ ） A ．直线l 过点(2,2)-，斜率为12B ．直线l 过点(1,2)-，斜率为12C ．直线l 过点(1,2)-，斜率为2D ．直线l 过点(2,2)-，斜率为2【答案】C【解析】利用点斜式的方程判定即可. 【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2．双曲线22145x y -=的离心率是（ ）A B ．32C ．2D ．94【答案】B【解析】由双曲线的标准方程求得a 和c ，从而求得离心率ce a=的值. 【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =，b =∴3c =，∴32c e a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱，结合图中数据即可求出体积. 【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是直三棱柱，且直三棱柱的底面是等腰直角三角形，高为3，则该直三棱柱的体积为121332V =⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题，空间想象能力与计算能力的应用问题，属于基础题.4．已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论. 【详解】根据空间中两点之间的距离公式得()()()2222412339AB =++--++=.故选：C. 【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用，属于基础题. 5．双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A ．940x y -= B ．490x y -=C ．320x y +=D ．230x y -=【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程. 【详解】由双曲线2294360x y -+=，得22149x y -=，所以渐近线的方程为22049x y -=，即320x y ±=.故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ，则直线l的方程是（ ） A ．56110x y +-= B ．6510x y --= C ．65110x y +-= D ．5610x y -+=【答案】B【解析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程. 【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的圆6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B. 【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.7．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ） A ．相切 B ．内含C ．外离D ．相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系，即可得到结论.【详解】圆221:2310C x y x y ++++=，即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，132r =， 圆222:43360C x y x y ++--=，即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132r =，∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=，21133522r r -=-=，∴11225r C r C =<-=，故两圆内含. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题. 8．“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直，则()()22110m m ---=，即2210m m --=，解得1m =或12m =-， 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题. 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．“若a b >,则22a b >”的逆命题B ．“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定C ．“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题D ．“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D【解析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案. 【详解】对于A ：“若a b >,则22a b >”的逆命题为：“若22a b >，则a b >”为假命题，故A 错误；对于B ：“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定为：“若αβ=，则sin sin αβ≠”为假命题，故B 错误；对于C ：“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：“若,a b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”为假命题，故C 错误；对于D ：“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为：“若()()f x g x +是R 上的奇函数，则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题，故D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.10．已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2y =- B ．1y =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】D【解析】设直线l 的方程为2p x ny =+，由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭，得1n =-，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++，∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则022p p n =⋅+，得1n =-，∴直线l 的方程为2px y =-+， 联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22304p x px -+=，∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==，即2p =， 故抛物线方程为24y x =，所以准线方程为1x =-. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题. 11．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①，由空间中的线线关系可得①错误； 对于②，由面面垂直的性质定理可得②正确； 对于③，由空间中的线面关系可得③错误； 对于④，由面面垂直的性质定理可得④正确，得解. 【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误； 对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面，即③错误；对于④，在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确，即正确命题的个数为2， 故选：C. 【点睛】本题考查了空间中线面、线线关系，重点考查了面面垂直的性质定理，属基础题. 12．已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ） A ．26π B ．13πC ．10426π D ．2626π 【答案】A【解析】用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积． 【详解】 如图所示：在三棱锥P EFD -中，4DP =，3PE =，1PF =，221310EF +，因222PE PF EF +=，则PE PF ⊥， 由题意知，PE PD ⊥，PF PD ⊥， 所以,,PE PD PF 互相垂直，即三棱锥P EFD -的外接球的半径为2221264312R =++=所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为222644262S R πππ⎛=== ⎝⎭.【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．二、填空题13．命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈-->【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题为特称量词，则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：“2,10x R x x ∀∈-->”. 故答案为：2,10x R x x ∀∈-->. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.14．焦点在x 轴上，离心率12e =，且过的椭圆的标准方程为_______. 【答案】221129x y +=【解析】设椭圆方程，利用离心率为12e =，且经过点(，建立方程，从而可求得椭圆方程. 【详解】由题意，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因椭圆离心率为12e =，且经过点(，则22214a b a -=，22831a b +=， 解得212a =，29b =，故椭圆的标准方程为221129x y +=.故答案为：221129x y +=.本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.15．已知定点()3,0B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 中点M 的轨迹方程是___________ 【答案】22(1)1x y -+=【解析】设出点M ，根据M 是AB 中点的坐标，利用中点坐标公式求出A 的坐标，再根据A 在圆上，得到轨迹方程. 【详解】设(),M x y ，点A 的坐标为()00,x y ，由定点()3,0B ，且M 是线段AB 的中点，则023x x =+，020y y =+， 即023x x =-，02y y =， ∴()23,2A x y -，又点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，即()()2223124x y -++=，整理得()2211x y -+=，∴线段AB 中点M 的轨迹方程是()2211x y -+=. 故答案为：()2211x y -+=. 【点睛】本题考查中点的坐标公式，求轨迹方程的方法，相关点法，设出动点坐标，求出相关的点的坐标，代入已知曲线方程，属于基础题.16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________. 【答案】36【解析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36.故答案为：36. 【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.三、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中(1)求证：1AC DB ⊥ (2)求证：1DB ⊥平面1ACD 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论； （2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论. 【详解】证明：(1)连结BD 、11B D1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD 1DD ∴⊥AC又AC BD ⊥，1BD DD D =I ，1BD DD ⊂、平面11DBB DAC ∴⊥平面11DBB D ，又1DB ⊂平面11DBB D1AC DB ∴⊥(2)由1AC DB ⊥，即1DB AC ⊥同理可得11DB AD ⊥， 又1AD AC A =I ，1,AD AC ⊂平面1ACD1DB ∴⊥平面1ACD【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的证明方法，属于基础题.18．设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ，经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ，设||BC a =，||MP b =，||OM c =，求证：,,a b c 成等比数列.【答案】见解析【解析】设抛物线为22(0)y px p =>，由题意可得||2BC p a ==，由PM ⊥x 轴于点M 可得(,)P c b 或(,)P c b -，进而可得结论. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)y px p =>，则焦点(,0)2pF ， ∵BC ⊥x 轴，∴(,),(,)22p pB pC p - ∴||2BC p a ==又∵PM ⊥x 轴于点M ，||MP b =，||OM c =， ∴(,)P c b 或(,)c b -，∵P 在抛物线上， ∴22b pc =，∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式，考查分析与推理证明的能力，属于基础题.19．已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-=【解析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可. 【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得，13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.20．已知点1212),(23P P 是椭圆C ：22221x y a b +=上两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆C 交于点,A B ，求线段AB 的长.【答案】（1）2214x y +=；（2）5【解析】（1）设椭圆方程为221mx ny +=，将两点坐标代入解得即可；（2）设直线方程为y x m =+，由直线l 与圆221x y +=相切，得22m =，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为：221mx ny +=，点1212),(23P P 是椭圆C ：221mx ny +=上两点，则131448199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,14m n ==， 故椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）∵直线l 的斜率为1，故设直线l 的方程为：y x m =+即0x y m -+=，1122(,),(,)A x y B x y∵直线l 与圆221x y +=相切，∴21211m =⇒=+， 由22225844014y x m x mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，即25840x mx ++= ∴12128545m x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴221244546||1||2m AB k x x -=+-=⋅=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若PCD V 15P ABCD -的体积P ABCD V -. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）取PA 的中点F ，连FE 、FB ，证明四边形EFBC 是平行四边形，可得//CE BF ，即可证明//CE 平面PAB ；（2）在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ，先设122AB BC AD x ===，然后利用PCD V 15x ，再结合三棱锥体积公式求解即可. 【详解】解：（1）取PA 的中点F ，连FE 、FB ， ∵E 是PD 的中点， ∴1//2FE AD ，又1//2BC AD ， ∴//FE BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， ∴//CE 平面PAB .（2）在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ， 不妨设122AB BC AD x ===，则4AD x =， 由PAB △是等边三角形，则2PA PB x ==， 又O 为AB 的中点，则3PO x =，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 又BC AB ⊥，AD AB ⊥，BC AD ⊂、平面ABCD ；PO AB ⊥，PO ⊂平面PAB . ∴BC AD ⊥、平面PAB ；PO ⊥平面ABCD ， ∴BC PB ⊥，AD PA ⊥， ∴22PC x =，25PD x =，取AD 的中点M ，连CM ，可得CMD △为等腰直角三角形，90CMD ∠=︒， ∴2CM MD x ==，则22CD x =，PC CD =，3CE x =，∴2115152PCD S PD CE x =⋅==△，即1x =， ∴111()332P ABCDABCD V S PO AB BC AD PO -=⋅=⋅⋅+⋅112(24)32332=⋅⋅+⋅=.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了三棱锥的体积公式，属中档题. 22．已知抛物线C ：26y x =，直线l :22330x +-=与x 轴交于点F ，与抛物线C 的准线交于点M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N .（1）求FMN ∆的面积；（2）过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，设AF FB λ=u u u v u u u v，3(,0)2D -，当1[,3]2λ∈时，求DA DB ⋅u u u v u u u v的取值范围. 【答案】（1）3；（2）[0,3]【解析】（1）根据抛物线方程与直线方程求得3(,0)2F ，31(,3),(,3)22M N -，进而可得FMN ∆的面积；（2）设221212(,),(,)66y y A y B y ，由向量关系得21,3y y λλ==-，进而得1233,22x x λλ==，再由向量数量积得919()42DA DB λλ⋅=+-u u u r u u u r ，又1,32λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，运用基本不等式即可得到结论. 【详解】抛物线C ：26y x =的焦点为3(,0)2，准线为直线32x =-， 又直线l :22330x y +-=与x 轴交于点3(,0)2F ，∴26y x =的焦点为3(,0)2F ， 如图所示：由已知和抛物线定义得NM NF =，且30DFM NMF ∠=∠=o ，31(3),(3)22M N -，∴120,2MNF MN ∠==o， ∴FMN ∆的面积1sin12032S MN NF =⋅=o （2）由（1）知，抛物线C 的方程为26y x =，设221212(,),(,)66y y A y B y ，由AF FB λ=uu u r uu r 得12221222121233(,)(,)332662()2662y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪⎩， 不妨设20y >，故21y y ==-,∴1233,22x x λλ== ∴11221212123339(,)(,)()2224DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r919()42λλ=+-,1[,3]2λ∈∴当1λ=时，DA DB ⋅u u u r u u u r 最小为0；当3λ=时，DA DB ⋅u u u r u u u r最大为3，即DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,3].【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文(含解析)_1
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:（每小题分，共分．每小题只有一个选项符合题意．）1.在复平面内，复数对应的点到直线的距离是（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】化简复数得出对应点，根据点到直线距离公式即可求解.【详解】,所以复数对应的点为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x＋1的距离为＝.故选:B．【点睛】此题考查复数的基本运算，根据复数的几何意义得其在平面内对应点，根据点到平面距离公式求解.2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．详解：结论“方程至少有一个实根”假设是“方程没有实根．”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：3.中，内角所对的边分别为.若则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件进行化简，结合三角形面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由，整理得，即，又因为，由余弦定理可得，解得，所以三角形的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.4.若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.【详解】，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有当时，有最小值，最小值为.故选：B【点睛】本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B.C. D.【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第II卷（非选择题）二、填空题：（每小题分，共分．）7.观察下列等式照此规律，第个等式为__________．【答案】【解析】【分析】根据式子的开始项和中间一项及右边结果的特点得出.【详解】根据题意，由于观察下列等式照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第个等式为.【点睛】本题考查了归纳推理，属于中档题．8.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．9.已知复数（i是虚数单位），则________．【答案】【解析】【分析】化简复数，根据模长公式求解.【详解】，所以．故答案为：【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据模长公式计算模长.10.记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是________．【答案】【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为.三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第题分，每题分，每题分共分．)11.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）得频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；（2）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量附：0.0503.841（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）【答案】（1）（2）填表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）【解析】分析】（1）利用独立事件概率公式求得事件的概率估计值；（2）写出列联表计算，得到答案.（3）结合频率分布直方图估计中位数计算得到答案..【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意知，旧养殖法的箱产量低于的频率为，故的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于的频率为，故的估计值为0.66.因此事件的概率估计值为.（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量.由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】救援船到达D点需要1小时．【解析】【详解】海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D点需要1小时13.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）由△COG∽△CAP，可得，解得GC值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．点评：本题考查了直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角的求法．2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:（每小题分，共分．每小题只有一个选项符合题意．）1.在复平面内，复数对应的点到直线的距离是（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】化简复数得出对应点，根据点到直线距离公式即可求解.【详解】,所以复数对应的点为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x＋1的距离为＝.故选:B．【点睛】此题考查复数的基本运算，根据复数的几何意义得其在平面内对应点，根据点到平面距离公式求解.2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．详解：结论“方程至少有一个实根”假设是“方程没有实根．”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：3.中，内角所对的边分别为.若则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件进行化简，结合三角形面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由，整理得，即，又因为，由余弦定理可得，解得，所以三角形的面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查了解三角形的余弦定理的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中根据余弦定理求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.4.若将函数图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.【详解】，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有当时，有最小值，最小值为.故选：B【点睛】本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B.C. D.【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第II卷（非选择题）二、填空题：（每小题分，共分．）7.观察下列等式照此规律，第个等式为__________．【答案】【解析】【分析】根据式子的开始项和中间一项及右边结果的特点得出.【详解】根据题意，由于观察下列等式照此规律，等式左边的第一个数就是第几行的行数，且相加的连续自然数的个数是中间数字，右边是最中间数字的平方，故第个等式为.【点睛】本题考查了归纳推理，属于中档题．8.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．9.已知复数（i是虚数单位），则________．【答案】【解析】【分析】化简复数，根据模长公式求解.【详解】，所以．故答案为：【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据模长公式计算模长.10.记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是________．【答案】【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为.三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第题分，每题分，每题分共分．)11.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）得频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；（2）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量附：0.0503.841（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）【答案】（1）（2）填表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）【解析】分析】（1）利用独立事件概率公式求得事件的概率估计值；（2）写出列联表计算，得到答案.（3）结合频率分布直方图估计中位数计算得到答案..【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意知，旧养殖法的箱产量低于的频率为，故的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于的频率为，故的估计值为0.66.因此事件的概率估计值为.（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量.由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】救援船到达D点需要1小时．【解析】【详解】海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D点需要1小时13.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）由△COG∽△CAP，可得，解得GC值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．点评：本题考查了直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角的求法．。
安徽省合肥市2019-2020学年高二第二学期开学考试数学试卷 含答案
（1）求 FMN 的面积；
（2）过
F
的直线交抛物线 C
于
A,
B
两点，设
AF
=
FB
，
D(−
3 2
, 0)
，当
[1 2
,3] 时，
求 DA DB 的取值范围.
安徽省合肥市 2019-2020 学年高二第二学期开学考
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9.下列命题是真命题的是（ ）
A.“若 a b ,则 a2 b2 ”的逆命题 B.“若 = ，则 sin = sin ”的否定
C. “若 a, b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题
D. “若函数 f (x), g(x) 都是 R 上的奇函数，则 f (x) + g(x) 是 R 上的奇函数”的逆否命题
2
(1)证明：直线 CE ∥平面 PAB ； (2) 若 PCD 的面积为 15 ，求四棱锥 P − ABCD 的体积VP−ABCD ．22. （本小题满分 12
分）已知抛物线 C ： y2 = 6x ，直线 l : 2x + 2 3y − 3 = 0 与 x 轴交于点 F ，与抛物线 C 的 准线交于点 M ，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线 C 于点 N .
7.已知圆 C1 : x2 + y2 + 2x + 3y +1 = 0 ，圆 C2 : x2 + y2 + 4x − 3y − 36 = 0 ，则圆 C1 和圆 C2
的位置关系为（ ）
A.相切
B.内含
C.外离
D.相交
8.“ m = − 1 ”是“直线 (m2 −1)x − y +1 = 0 与直线 2x + (m −1) y −1 = 0互相垂直”的（ ） 2
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题(含解析)
2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：复数的运算．2.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.3.已知函数则的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．考点：利用导数解决函数的单调性问题．4. 高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所以共有各安排方式，故选D．考点：计数原理．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布6.函数的图象在处的切线斜率为（）A. 3B.C.D. e【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．7.在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量X 的分布列如下：03则（）A. 0.21B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】D【解析】【分析】先由概率和为1，求出，然后即可算出【详解】因为，所以所以故选：D【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单.8.在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A. B. C. D.【解析】分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．9.函数f(x)＝的图象大致是A. B. C.D.【解析】【分析】先研究时，的函数值的正负，再研究的正负，从而排除错误选项，得到答案.【详解】由x＞1时f(x)<0，排除B、D，又，排除A故选C【点睛】本题考查通过函数值判断函数的图象，属于简单题.10.已知为函数的极小值点，则=（）A. -2B.C. 2D. -【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．【详解】f′（x）＝3x2﹣6，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，故是极小值点，故a＝，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）11.设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B. ，C. ，D. ，【答案】CD【解析】【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.【详解】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.12.下列说法中正确的是（）A. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 正态分布在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】由已知求出可得，代入可解得，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断选项B；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可得C答案错误；由一组数据的平均数是2算出，即可判断D答案正确.【详解】由可得，代入可解得，故A答案正确；因为区间和关于对称，所以正态分布在区间和上取值的概率相等，故B答案正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C答案错误；若一组数据的平均数是2，即解得，所以这组数的众数和中位数都是2，故D答案正确故选：ABD【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由得，解得故答案为：【点睛】本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.14.二项式的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.15.若随机变量ξ的概率分布密度函数是，x∈R，则__________．【答案】【解析】【分析】根据密度函数求得，也即求得，由此求得.【详解】由可知，也即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布密度函数，属于基础题. 16.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千件，成本再增加3万元．假设该公司年内共生产该零件千件并且全部销售完，每1千件的销售收入为万元，且，为使公司获得最大利润，则应将年产量定为____________千件（注：年利润=年销售收入—年总成本）．【答案】【解析】【分析】求得年利润的解析式，结合导数和基本不等式，求得当为何值时，年利润最大.【详解】设年利润为，则.当时，，所以在上递增，在上递减，最大值为万元.当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，当千件时，年利润最大.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四、解析题（共70分．解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，计算：（1）展开式二项式系数之和；（2）展开式各项系数之和；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和.（2）令，求得展开式各项系数之和.（3）利用赋值法，求得所求表达式的值.（4）利用赋值法，求得所求表达式的值.【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为.（2）令得展开式各项系数之和为①.（3）令得.（4）令得，即，由①得.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题.18.以下问题最终结果用数字表示(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？【答案】（1）60 （2）72 （3）20【解析】【分析】（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果．(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减．（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入．【详解】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数．同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个．第一步，把2.3捆定，有种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为个．【点睛】解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题．一般的策略是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求．19.一台机器每周生产4天，在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周内不发生故障，则可获利4万元；发生1次故障仍可获利2万元；发生2次故障的利润为0元，发生3次或4次故障则要亏损1万元；如果请专业人员每天对机器进行维护，则可保证机器正常工作，但每周需增加4千元的维护经费．如果你是老板，你会请专业人员来维护机器吗？请说明理由．【答案】会，理由见解析.【解析】【分析】求得一周获利的期望值，由此判断出是否请专业人员来维护机器.【详解】设每周利润为，则的可能取值为，则的分布列为：即所以万元.若请专业人员来维护机器，则一周获利为万元.，所以会请专业人员来维护机器.【点睛】本小题主要考查数学期望的应用，属于中档题.20.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．【答案】（1），万元；（2）能.【解析】【分析】（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.【详解】（1）由题易得，，，，所以，所以，所以y关于x的线性回归方程为．由于，所以当时，，所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．（2）由题可得列联表如下：男顾客女顾客故的观测值，由于，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．【点睛】本题考查线性回归方程的计算和独立性检验，此类问题属于基础题，解题时注意公式的正确使用.21.已知函数.（1）当时，若，求函数的最值；（2）若函数在处取得极值，求实数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）当时，，求导得到的单调性，利用单调性求得最值；（2）由题意，解方程得到，要注意检验.【详解】（1）当时，，，当时，，函数在区间上单调递增，当时，，.（2），.又函数在处取得极值，，.经验证知，满足题意.综上，所求实数的值是.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.22.，.（1）求函数的极大值和极小值；（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，令，求得函数极值点，并利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的极大值和极小值；（2）根据（1）的结果得函数在上的单调性，再结合条件在上有两个零点，判断和的符号，得到不等式组，从而解得的取值范围.【详解】（1）因为，所以令，得或，因，所以当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，当时，取得极小值；（2）由（1）知：函数在上单调递减，且在时取得极小值，又，所以若函数在上有两个零点，则，即，则，解得：，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数解决函数零点问题，属于中档题.2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：复数的运算．2.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.3.已知函数则的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．考点：利用导数解决函数的单调性问题．4. 高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有种，剩余4个班的安排方式有种，所以共有各安排方式，故选D．考点：计数原理．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布6.函数的图象在处的切线斜率为（）A. 3B.C.D. e【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．【详解】，所以.故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．7.在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量X的分布列如下：03则（）A. 0.21B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】D【解析】【分析】先由概率和为1，求出，然后即可算出【详解】因为，所以所以故选：D【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单.8.在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题．9.函数f(x)＝的图象大致是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先研究时，的函数值的正负，再研究的正负，从而排除错误选项，得到答案.【详解】由x＞1时f(x)<0，排除B、D，又，排除A故选C【点睛】本题考查通过函数值判断函数的图象，属于简单题.10.已知为函数的极小值点，则=（）A. -2B.C. 2D. -【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可．【详解】f′（x）＝3x2﹣6，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，故是极小值点，故a＝，故选B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）11.设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A. B. ，C. ，D. ，【答案】CD【解析】【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.【详解】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.12.下列说法中正确的是（）A. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是B. 正态分布在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】由已知求出可得，代入可解得，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断选项B；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可得C 答案错误；由一组数据的平均数是2算出，即可判断D答案正确.【详解】由可得，代入可解得，故A答案正确；因为区间和关于对称，所以正态分布在区间和上取值的概率相等，故B答案正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C答案错误；若一组数据的平均数是2，即解得，所以这组数的众数和中位数都是2，故D答案正确故选：ABD【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由得，解得故答案为：【点睛】本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题.14.二项式的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.15.若随机变量ξ的概率分布密度函数是，x∈R，则__________．【答案】【解析】【分析】根据密度函数求得，也即求得，由此求得.【详解】由可知，也即，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布密度函数，属于基础题.16.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千件，成本再增加3万元．假设该公司年内共生产该零件千件并且全部销售完，每1千件的销售收入为万元，且，为使公司获得最大利润，则应将年产量定为____________千件（注：年利润=年销售收入—年总成本）．【答案】【解析】【分析】求得年利润的解析式，结合导数和基本不等式，求得当为何值时，年利润最大.【详解】设年利润为，则.当时，，所以在上递增，在上递减，最大值为万元.当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，当千件时，年利润最大.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四、解析题（共70分．解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，计算：（1）展开式二项式系数之和；（2）展开式各项系数之和；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和.（2）令，求得展开式各项系数之和.（3）利用赋值法，求得所求表达式的值.（4）利用赋值法，求得所求表达式的值.【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为.（2）令得展开式各项系数之和为①.（3）令得.（4）令得，即，由①得.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题.18.以下问题最终结果用数字表示(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？【答案】（1）60 （2）72 （3）20【解析】【分析】（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果．(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减．（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入．【详解】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数．同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个．第一步，把2.3捆定，有种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为个．【点睛】解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题．一般的策略是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求．19.一台机器每周生产4天，在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周内不发生故障，则可获利4万元；发生1次故障仍可获利2万元；发生2次故障的利润为0元，发生3次或4次故障则要亏损1万元；如果请专业人员每天对机器进行维护，则可保证机器正常工作，但每周需增加4千元的维护经费．如果你是老板，你会请专业人员来维护机器吗？请说明理由．【答案】会，理由见解析.【解析】【分析】求得一周获利的期望值，由此判断出是否请专业人员来维护机器.【详解】设每周利润为，则的可能取值为，则的分布列为：即所以万元.若请专业人员来维护机器，则一周获利为万元.，所以会请专业人员来维护机器.【点睛】本小题主要考查数学期望的应用，属于中档题.20.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．【答案】（1），万元；（2）能.【解析】【分析】（1）先求出，，利用给出的公式求出，可得线性回归方程.代入可得年该百货零售企业的线下销售额.（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.【详解】（1）由题易得，，，，所以，所以，所以y关于x的线性回归方程为．由于，所以当时，，所以预测年该百货零售企业的线下销售额为万元．（2）由题可得列联表如下：。
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题(含解析)_1
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝∴A∩B＝故选D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A. 800B. 1 000C. 1 200D. 1 500【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．故选：C.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题．3.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A. 2B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.4.函数f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为，排除D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.【详解】因为β＜α，所以，所以，，又因为cos（α﹣β），sin（α+β），所以，则sin2β.故选：D【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D取的中点，连接，因为三棱锥的所有棱长都相等，分别是棱的中点，所以，所以是异面直线与所成的角，设三棱锥的所有棱长为，则，，所以，所以异面与所成的角的余弦值为．点睛：本题考查了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，则Sn最大时，n的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】根据数列{an}是等差数列，利用性质有，再根据，a10S21＜0，确定再求解.【详解】因为数列{an}是等差数列，所以，因为首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，所以，所以.所以n的值为10.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在△ABC中，，若，则λ+μ＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】△ABC中，根据，有，再由，利用待定系数法求解.【详解】在△ABC中，因为，所以，又因为，所以，所以λ+μ＝.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10.已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（）A. 12B.C. 15D. 10+2【答案】B【解析】【分析】由a＞0，b＞0且2，利用“1”的代换，将3a+b转化为利用基本不式求解.【详解】已知a＞0，b＞0且2，则3a+b=（3a+b）=，当且仅当且2，即取等号，所以3a+b的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④由（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；故选C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.12.已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.详解】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点，因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:不妨设当直线过时，的值分别为与1，由图可知，时直线与的图象有三个交点，时, 方程有三个不相等的实数根,同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是；【答案】【解析】【详解】试题分析：如图所示，半径为的圆中，是正三角形，其边长为.显然，当点落在弧上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是．考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．【答案】【解析】【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【详解】如图：在平行四边形ABCD中，取的中点O，则，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①；②；③f（x）的单调递增区间是；④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____【答案】①②④【解析】【分析】先转化f（x）＝asin2x+bcos2x，根据f（x）对一切x∈R恒成立，得到是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为，①由相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于对称.③根据是f （x）的最大值或最小值结合单调性判断.④由f（x）是奇函数，f（x）是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.【详解】设f（x）＝asin2x+bcos2x，因为f（x）对一切x∈R恒成立，所以是f（x）的最大值或最小值.又因为f（x）的周期为，①为四分之一个周期，所以，故正确.②因为，关于对称，所以，故正确.③若是f（x）的最大值，则；f（x）的单调递减区间，故错误.④由，所以函数不可能转化为f （x）或f（x）的形式，所以函数y＝f （x）既不是奇函数也不是偶函数，故正确.⑤若存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则直线与横轴平行且，不成立，故错误.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（共六题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．【答案】（1），s2；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，利用平均数和方差的公式求解.（2）先明确是古典概型，用列举法将总的基本事件数列出，再找出所研究事件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】（1）X＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为（8+8+9+10）＝8.75，方差为s2[2×（8﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2]；（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10；分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A1，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一件事，则C中的结果有4个，他们是：（A1，B1），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）．【点睛】本题主要考查了茎叶图和古典概型的概率，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.18.已知数列{an}满足，且．(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，判断数列是等差数列，并写出它的通项公式以及{an}的通项公式；（2）根据数列{an}的前n项和定义，利用错位相减法求出Sn；【详解】(1)证明：因an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.所以Sn＝(2n－3)2n＋3.【点睛】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，是综合性题目．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcos（A）asin（B）＝0，且sinA，sinB，2sinC 成等比数列．（1）求角B；（2）若a+c＝λb（λ∈R），求λ的值．【答案】（1）B；（2）λ【解析】【分析】（1）根据bcos（A）asin（B）＝0，由诱导公式化简bsinA acosB＝0，再由正弦定理可得：sinB sinA sinAcosB再消去sinA＞0求解.（2）根据sinA，sinB，2sinC成等比数列．得到sin2B＝2sinAsinC，再由正弦定理转化为边有b2＝2ac，然后结合B ，由余弦定理求解.【详解】（1）∵bcos（A）asin（B）＝0，∴bsinA acosB＝0，∴由正弦定理可得：sinB sinA sinAcosB，由sinA＞0，可得：sinB cosB，即tanB，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵sinA，sinB，2sinC成等比数列．∴sin2B＝2sinAsinC，由正弦定理可得：b2＝2ac，∵B，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，∴解得：（a+c）2＝5ac，∵a+c＝λb（λ∈R），∴（λb）2＝5ac，解得：λ2b2＝2acλ2＝5ac，解得：λ．【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在四校锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4的正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，点E 是AD的中点，点Q是侧棱PC的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD体积；（2）求证：PA∥平面BDQ；（3）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？【答案】（1）16；（2）见解析；（3）存在，AF【解析】【分析】（1）根据底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，边长为4，求面积，再由正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，，得到平面ABCD，PE是底面上的高，然后代入体积公式求解.（2）由O是AC中点，点Q是侧棱PC的中点，根据中位线得到OQ∥PA，再利用线面平行的判定理证明.（3）建立空间直角坐标系，设在线段AB上存在点F，且，求得相应点的坐标，进而得到向量的坐标，再利用直线PF与平面PAD所成的角为30°，代入线面角的向量法公式求解.【详解】（1）如图所示：连结PE，BE，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，边长为4，∴S四边形ABCD＝AD×BE＝48，又因为正△PAD所在平面与平面ABCD垂直，所以平面ABCD，又PE2，∴四棱锥P﹣ABCD的体积：VP﹣ABCD16．（2）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OQ，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点Q是侧棱PC的中点，∴OQ∥PA，∵PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，∴PA∥平面BDQ．（3）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），设在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，且F（a，b，c），，即（a﹣2，b，c）＝（﹣2λ，2，0），λ∈[0，1]，即a＝2﹣2λ，b＝2λ，c＝0，∴F（2﹣2λ，2，0），因为平面PAD的法向量（0，1，0），（2﹣2，﹣2），且直线PF与平面PAD所成的角为30°，∴sin30°，解得，符合λ∈[0，1]，∴AF＝λAB．∴在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，且AF．【点睛】本题主要考查了几何体的体积，线面平行的判断定理和空间向量法研究线面角问题，还考查了空间想象，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.21.已知圆关于直线对称，半径为，且圆心在第一象限．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于不同两点、，且，求实数的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题得和，解方程即得圆的方程；（Ⅱ）取的中点，则，化简得，即得m的值.【详解】（Ⅰ）由，得圆的圆心为，圆关于直线对称，①．圆的半径为，②又圆心在第一象限，，，由①②解得，，故圆的方程为．（Ⅱ）取的中点，则，，，即，又，解得．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数f（x），x∈R．（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0对任意的x∈恒成立，求实数t的取值范围；（3）当a＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）a；（2）（]；（3）（，log4]【解析】【分析】（1）根据f（x）是偶函数，有f（﹣x）＝f（x），得log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax化简求解.（2）由a＞0，结合对数函数和一次函数的单调性，得到函数f （x）＝log2（2x+1）+ax是增函数，然后利用单调性的定义，将不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0，转化为sinxcosx≥4+t，对任意的x∈恒成立，利用三角函数的性质求解.（3）根据题意，有 f（0）＝1，将方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1，转化为f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．再利用函数的单调性，转化为变形为：1og4a，通过函数g（x）的图象与y＝a有2个交点求解.【详解】（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f （x），则有log2（2﹣x+1）+a（﹣x）＝log2（2x+1）+ax，变形可得2ax＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝﹣x，解得a；（2）当a＞0时，函数y＝log2（2x+1）和函数y＝ax都是增函数，则函数f（x）＝log2（2x+1）+ax为增函数，∵不等式f（sinx cosx）﹣f（4+t）≥0，所以f（）≥f （4+t）对任意的x∈恒成立∴sinx cosx≥4+t，对任意的x∈恒成立；∴t≤2sin（x）﹣4对任意的x∈恒成立；∴t≤（2sin（x）﹣4）min，x∈；由x∈，得x∈[]，∴当x时，sin（x）﹣4的最小值为4；∴t；故t的取值范围为（]．（3）根据题意，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax，有f（0）＝1，则f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1即f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝f（0）．又由当a＞0时，函数f（x）＝log2（2x+1）+ax增函数，则有f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）＝0，即log2（2x+1）﹣1og4（2x﹣1）＝a，变形可得：1og4a，设g（x）＝1og4，若方程f[f（x）﹣a（1+x）﹣1og4（2x﹣1）]＝1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，对于g（x）＝1og4，设h（x），则h（x）（2x﹣1）4．又由1≤x≤2，则1≤2x﹣1≤3，则h（x）min＝8，h（1）＝9，h （2），则h（x）max＝9，若函数g（x）的图象与y＝a有2个交点，必有log48a≤log4，故a的取值范围为（，log4]．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝∴A∩B＝故选D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A. 800B. 1 000C. 1 200D. 1 500【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质建立条件关系，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．故选：C.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，等差数列的定义和性质，属于基础题．3.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A. 2B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.4.函数f（x）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为，排除D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据β＜α，确定，，再由cos（α﹣β），sin（α+β），求得，然后利用角的变换求解.【详解】因为β＜α，所以，所以，，又因为cos（α﹣β），sin（α+β），所以，则sin2β.故选：D【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.三棱锥的所有棱长都相等，别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中点，连接，因为三棱锥的所有棱长都相等，分别是棱的中点，所以，所以是异面直线与所成的角，设三棱锥的所有棱长为，则，，所以，所以异面与所成的角的余弦值为．点睛：本题考查了空间中两条异面直线所成角的求解，其中解答中把两异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角是解答的关键，对于空间中两条异面直线所成的角的求解，通常把两条异面直线所成的角平移转化为两条相交直线所成的角，再看出三角形的内角，利用正、余弦定理求解，着重考查了学生的推理与运算能力和空间想象能力．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，则Sn最大时，n 的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】【分析】根据数列{an}是等差数列，利用性质有，再根据，a10S21＜0，确定再求解.【详解】因为数列{an}是等差数列，所以，因为首项a1＞0，公差d＜0，a10S21＜0，所以，所以.所以n的值为10.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.在△ABC中，，若，则λ+μ＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】△ABC中，根据，有，再由，利用待定系数法求解.【详解】在△ABC中，因为，所以，又因为，所以，所以λ+μ＝.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10.已知a＞0，b＞0且2，则3a+b的最小值为（）A. 12B.C. 15D. 10+2【答案】B【解析】【分析】由a＞0，b＞0且2，利用“1”的代换，将3a+b转化为利用基本不式求解.【详解】已知a＞0，b＞0且2，则3a+b=（3a+b）=，当且仅当且2，即取等号，所以3a+b的最小值为.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由已知可得an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④由（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0， an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1，当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；故选C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题.12.已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得函数周期为2，结合函数在上的解析式，利用周期作出的函数图象,根据和交点个数判断的范围.详解】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点，因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:不妨设当直线过时，的值分别为与1，由图可知，时直线与的图象有三个交点，时, 方程有三个不相等的实数根,同理,若,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在轴截距最大值的问题，属于常规题型.14.是半径为的圆周上一个定点，在圆周上等可能任取一点，连接，则弦的长度超过的概率是；【答案】【解析】【详解】试题分析：如图所示，半径为的圆中，是正三角形，其边长为.显然，当点落在弧上时，弦的长度超过.所以弦的长度超过的概率是．考点：1、几何概型；2、正三角形的性质；3、圆的性质．15.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于_____．【答案】【解析】【分析】在平行四边形ABCD中，取的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【详解】如图：在平行四边形ABCD中，取的中点O，则，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的概念及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R，ab≠0），若f（x）对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①；②；③f（x）的单调递增区间是；④函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，其中正确结论为_____【答案】①②④【解析】【分析】先转化f（x）＝asin2x+bcos2x，根据f（x）对一切x∈R恒成立，得到是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为，①由相差四分之一个周期，由相邻最值点和零点间的关系判断.②利用轴对称判断，是否关于对称.③根据是f（x）的最大值或最小值结合单调性判断.④由f （x）是奇函数，f（x）是偶函数，判断.⑤根据三角函数的定义域和值域判断.【详解】设f（x）＝asin2x+bcos2x，因为f（x）对一切x∈R恒成立，所以是f（x）的最大值或最小值.又因为f（x）的周期为，①为四分之一个周期，所以，故正确.②因为，关于对称，所以，故正确.③若是f（x）的最大值，则；f（x）的单调递减区间，故错误.④由，所以函数不可能转化为f（x）或f（x）的形式，所以函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故正确.⑤若存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则直线与横轴平行且，不成立，故错误.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（共六题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X＝8，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；（2）如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率．【答案】（1），s2；（2）【解析】【分析】（1）根据数据，利用平均数和方差的公式求解.（2）先明确是古典概型，用列举法将总的基本事件数列出，再找出所研究事件的基本事件的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】（1）X＝8时，乙组数据分别为8，8，9，10；计算这组数据的平均数为（8+8+9+10）＝8.75，方差为s2[2×（8﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2]；（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为：9，8，9，10；分别从而甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，他们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A1，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A4，B4），。
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文(含解析)
学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、选择题1.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合求出，再利用集合的交集运算即可得.【详解】，，故选：D【点睛】本题考查了集合的补集以及集合的交集运算，属于容易题.2.如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及算数的性质即可得.【详解】由题意得：，因为复数是实数，所以解得故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于容易题.3.若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】命题“”为假命题的判断，是这两个命题至少有一个假命题，命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，则前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以可得出结论.【详解】因为命题“”为假命题的判断，则可得这两个命题至少有一个假命题，又因为命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，所以前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以前者是后者的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了和真假命题判断，以及充分条件和必要条件的判断，属于较易题.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的函数的单调性以及对数的运算性质即可得.【详解】因为，，，，所以故选：C【点睛】本题考查了对数函数的单调性，以及对数的运算性质，属于较易题.5.若tan+=4,则sin2=A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为，所以..【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等6.设为一次函数，若，且成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据题意求出的表达式，则是以公差为2的等差数列，即可得到此等差数列的前项的和.【详解】设，因为得，又因为成等比数列，所以有：，解得：，所以，则故选：C【点睛】本题考查了等差数列的前项的和，考查了学生的计算能力，属于较易题.7.已知定义在上的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【分析】由题意可得在上单调递增，再对不等式进行移项和奇函数的定义得到，再利用函数的单调性求解即可.【详解】因为时，单调递增，且在上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以即，解得：故选：B【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质以及利用单调性求解抽象函数的不等式，属于较难题.8.已知点满足，，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意画出可行域，目标函数，根据可行域求出目标函数的最大值即可.【详解】因为点满足，所以点的可行域（如图）目标函数，由图可得，当目标函数经过时达到最大值10故选：A【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及线性规划求目标函数的最值，属于一般题.9.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三视图还原几何体是直四棱柱被平面截去一个三棱锥的几何体，再结合三视图所给的数据，即可求出几何体的体积.【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截去一个三棱锥所得，（如图），其中点为的中点，所以几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，再根据这个几何体求出体积，考查了学生的计算能力和空间想象能力，属于较难题.10.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意先对实数满足进行化简可得：，再分情况讨论判断函数的单调性以及函数的对称性即可得出.【详解】因实数满足，化简可得，且过点，，当时，为增函数，再根据函数图像关于对称得到函数图象为B选项的图像.故选：B【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性来判断函数的大致图像，关键在于判断函数的图像是关于对称，属于一般题.11.a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )A. －4或1B. 1C. 4D. 4或－1【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列通项公式分别表示出进而分别看成等比数列，成等比数列和成等比数列时，利用等比中项的性质，得和和进而求得和的关系．【详解】根据题意，若成等比数列，则，得到与条件矛盾；若成等比数列，则（，得到则若成等比数列，则，则若成等比数列，则，得到与条件矛盾综上所述：或故选A．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．属中档题.12.已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③①②代入③得：||=，即，所以，所以．考点：本题考查椭圆的基本性质；椭圆的离心率；直线的斜率公式．点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题13.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【答案】【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.故答案为.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．14.在平面四边形，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件利用向量的加法把转化为，再代入即可.【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了向量的加法以及数量积的运算，属于较易题.15.已知直线交圆于两点，则弦长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得：圆的圆心，半径，当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，利用勾股定理求出弦长的最小值.【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径，所以当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，因为，，所以，半径，所以有故答案：【点睛】本题考查了求圆内弦长的最值，关键是需要判断什么情况下弦长取到最小值，属于一般题.16.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意有分母和（常数），所以把乘上1再化简成后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为（常数），所以，当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，关键巧用“1”的乘积，属于一般题.三、解答题17.（1）已知定义在上的函数的最小值为，求的值；（2）若为实数，求证：.【答案】(1)3；(2)见解析；【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值的三角不等式即可求出函数的最小值；(2)先对不等式两边同时乘以2，再利用基本不等式即可证明.【详解】(1)因为函数，所以有：当时等号成立，即函数的最小值；(2)，则有，即证【点睛】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值，以及利用基本不等式证明不等式，属于一般题.18.函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，（1）试求函数的解析式；和其单调递增区间；（2）为的内角，满足，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意利用最小正周期求出的值，再利用图像变换后为奇函数和求出的值即可求出函数的解析式；再以整体代入法求出单调递增区间；(2)由求出，再利用正弦定理把边转化成角，求出三角函数的取值范围即可.【详解】解：∵，∴又为奇函数，，∴∴∴单调递增区间为（2）∵，，∴，，∴，由正弦定理得，即：，，∴又，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及图像变换，利用正弦定理把边转化成角求两边和的取值范围，属于一般题.19.数列的前项和记为，，点在直线上，.（1）当实数为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)由题意得点在直线上，可得到数列的前项和与的关系，根据这个关系可得到，，根据已知条件求出，代入即可求出实数的值；(2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出.【详解】解：（1）∵点直线上∴，，，∴，，∴当时，，数列是等比数列.（2）在（1）的结论下，，，，，【点睛】本题考查了已知数列的前项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前项和，属于一般题.20.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，求点的坐标；（2）求证：经过（其中点为圆的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】（1）或（2）证明见解析；和【解析】【分析】(1)设，根据已知条件可得，结合和两点间的距离公式即可；(2) 设，求出经过三点的圆的方程，再对方程进行合并项，含的式子的系数为零即可求出定点坐标.【详解】解：（1）由条件可得圆的圆心坐标为，，设，则，解得，或，所以点的坐标为或.（2）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为，整理得，即.由得或∴该圆必经过定点和.【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆过定点问题，关键要求出含参数的圆的方程，属于一般题.21.如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．（1）证明：平面ACD平面；（2）若，，，试求该简单组合体的体积V．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【详解】（１）证明：∵DC平面ABC ,平面ABC ∴．∵AB是圆O的直径∴且∴平面ADC．∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC∴平面ADC又∵平面ADE ∴平面ACD平面（2）所求简单组合体的体积：∵，，∴,∴∴该简单几何体的体积22.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆，直线.试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)由题意先求出即，再根据椭圆上的点到点的最大距离为，即，结合计算即可；(2) 由圆，直线可求出圆心直线的距离，再代入弦长公式，结合根据直线与圆恒相交以及椭圆方程即可求出被圆所截得弦长的取值范围.【详解】解：（1）由，得，所以直线过定点，即.设椭圆方程，所以椭圆方程为（2）因为点在椭圆上，所以，圆心到直线的距离为所以直线与圆恒相交.又直线被圆截得的弦长为，由于，所以，则，即直线被圆截得的弦长的取值范围是.【点睛】本题考查了圆内弦长公式以及椭圆的简单性质，属于一般题.学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题文（含解析）一、选择题1.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合求出，再利用集合的交集运算即可得.【详解】，，故选：D【点睛】本题考查了集合的补集以及集合的交集运算，属于容易题.2.如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及算数的性质即可得.【详解】由题意得：，因为复数是实数，所以解得故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于容易题.3.若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】命题“”为假命题的判断，是这两个命题至少有一个假命题，命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，则前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以可得出结论.【详解】因为命题“”为假命题的判断，则可得这两个命题至少有一个假命题，又因为命题“”为假命题等价为两个命题都是假命题，所以前者成立后者不一定成立，反过来后者成立前者一定成立，所以前者是后者的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了和真假命题判断，以及充分条件和必要条件的判断，属于较易题.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的函数的单调性以及对数的运算性质即可得.【详解】因为，，，，所以故选：C【点睛】本题考查了对数函数的单调性，以及对数的运算性质，属于较易题.5.若tan+=4,则sin2=A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为，所以..【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等6.设为一次函数，若，且成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出的表达式，则是以公差为2的等差数列，即可得到此等差数列的前项的和.【详解】设，因为得，又因为成等比数列，所以有：，解得：，所以，则故选：C【点睛】本题考查了等差数列的前项的和，考查了学生的计算能力，属于较易题.7.已知定义在上的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，时，单调递增，则满足：的实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得在上单调递增，再对不等式进行移项和奇函数的定义得到，再利用函数的单调性求解即可.【详解】因为时，单调递增，且在上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以即，解得：故选：B【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质以及利用单调性求解抽象函数的不等式，属于较难题.8.已知点满足，，则（为坐标原点）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意画出可行域，目标函数，根据可行域求出目标函数的最大值即可.【详解】因为点满足，所以点的可行域（如图）目标函数，由图可得，当目标函数经过时达到最大值10故选：A【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及线性规划求目标函数的最值，属于一般题.9.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三视图还原几何体是直四棱柱被平面截去一个三棱锥的几何体，再结合三视图所给的数据，即可求出几何体的体积.【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截去一个三棱锥所得，（如图），其中点为的中点，所以几何体的体积为：故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，再根据这个几何体求出体积，考查了学生的计算能力和空间想象能力，属于较难题.10.若实数满足，则关于的函数的图象形状大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意先对实数满足进行化简可得：，再分情况讨论判断函数的单调性以及函数的对称性即可得出.【详解】因实数满足，化简可得，且过点，，当时，为增函数，再根据函数图像关于对称得到函数图象为B选项的图像.故选：B【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性来判断函数的大致图像，关键在于判断函数的图像是关于对称，属于一般题.11.a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )A. －4或1B. 1C. 4D. 4或－1【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列通项公式分别表示出进而分别看成等比数列，成等比数列和成等比数列时，利用等比中项的性质，得和和进而求得和的关系．【详解】根据题意，若成等比数列，则，得到与条件矛盾；若成等比数列，则（，得到则若成等比数列，则，则若成等比数列，则，得到与条件矛盾综上所述：或故选A．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．属中档题.12.已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则……①设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即………………②又k1=，k2=，因为=,所以||=………………………………③①②代入③得：||=，即，所以，所以．考点：本题考查椭圆的基本性质；椭圆的离心率；直线的斜率公式．点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题13.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【答案】【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.故答案为.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．14.在平面四边形，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件利用向量的加法把转化为，再代入即可.【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了向量的加法以及数量积的运算，属于较易题.15.已知直线交圆于两点，则弦长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题意可得：圆的圆心，半径，当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，利用勾股定理求出弦长的最小值.【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径，所以当直线过定点且垂直于直线时弦长取到最小值，因为，，所以，半径，所以有故答案：【点睛】本题考查了求圆内弦长的最值，关键是需要判断什么情况下弦长取到最小值，属于一般题.16.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意有分母和（常数），所以把乘上1再化简成后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为（常数），所以，当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，关键巧用“1”的乘积，属于一般题.三、解答题17.（1）已知定义在上的函数的最小值为，求的值；（2）若为实数，求证：.【答案】(1)3；(2)见解析；【解析】【分析】(1)根据题意利用绝对值的三角不等式即可求出函数的最小值；(2)先对不等式两边同时乘以2，再利用基本不等式即可证明.【详解】(1)因为函数，所以有：当时等号成立，即函数的最小值；(2)，则有，即证【点睛】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值，以及利用基本不等式证明不等式，属于一般题.18.函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，（1）试求函数的解析式；和其单调递增区间；（2）为的内角，满足，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意利用最小正周期求出的值，再利用图像变换后为奇函数和求出的值即可求出函数的解析式；再以整体代入法求出单调递增区间；(2)由求出，再利用正弦定理把边转化成角，求出三角函数的取值范围即可.【详解】解：∵，∴又为奇函数，，∴∴∴单调递增区间为（2）∵，，∴，，∴，由正弦定理得，即：，，∴又，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及图像变换，利用正弦定理把边转化成角求两边和的取值范围，属于一般题.19.数列的前项和记为，，点在直线上，.（1）当实数为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)由题意得点在直线上，可得到数列的前项和与的关系，根据这个关系可得到，，根据已知条件求出，代入即可求出实数的值；(2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出.【详解】解：（1）∵点直线上∴，，，∴，，∴当时，，数列是等比数列.（2）在（1）的结论下，，，，，【点睛】本题考查了已知数列的前项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前项和，属于一般题.20.已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，求点的坐标；（2）求证：经过（其中点为圆的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】（1）或（2）证明见解析；和【解析】【分析】(1)设，根据已知条件可得，结合和两点间的距离公式即可；(2) 设，求出经过三点的圆的方程，再对方程进行合并项，含的式子的系数为零即可求出定点坐标.【详解】解：（1）由条件可得圆的圆心坐标为，，设，则，解得，或，所以点的坐标为或.（2）设，过点的圆即是以为直径的圆，其方程为，整理得，即.由得或∴该圆必经过定点和.【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆过定点问题，关键要求出含参数的圆的方程，属于一般题.21.如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC．（1）证明：平面ACD平面；（2）若，，，试求该简单组合体的体积V．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【详解】（１）证明：∵DC平面ABC ,平面ABC ∴．∵AB是圆O的直径∴且∴平面ADC．∵四边形DCBE为平行四边形,∴DE//BC∴平面ADC又∵平面ADE ∴平面ACD平面（2）所求简单组合体的体积：∵，，∴,∴∴该简单几何体的体积22.已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆，直线.试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)由题意先求出即，再根据椭圆上的点到点的最大距离为，即，结合计算即可；(2) 由圆，直线可求出圆心直线的距离，再代入弦长公式，结合根据直线与圆恒相交以及椭圆方程即可求出被圆所截得弦长的取值范围.【详解】解：（1）由，得，所以直线过定点，即.设椭圆方程，所以椭圆方程为（2）因为点在椭圆上，所以，圆心到直线的距离为所以直线与圆恒相交.又直线被圆截得的弦长为，由于，所以，则，即直线被圆截得的弦长的取值范围是.【点睛】本题考查了圆内弦长公式以及椭圆的简单性质，属于一般题.。
2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题(含解析)
2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以或，因为，所以，所以.故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可比较大小；【详解】解：，，，.故选：【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.3.“赌金分配”是概率论中非常经典的问题．在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为（）A. 甲分，乙分B. 甲分，乙分C. 甲分，乙分D. 甲分，乙分【答案】C【解析】【分析】首先计算出甲赢的概率为，乙赢的概率为，由此能求出结果．【详解】解：题意得：甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以应该分给甲，分给乙.故选：【点睛】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4.函数最小值为（）A. B. 4 C. 6 D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，判断函数的单调性，即可求出的最小值．【详解】解：因为，所以则当时所以在上为增函数，.故选：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的最值，属于基础题.5.为了提高广大农村的医疗水平，现要把市医院的甲、乙、丙、丁4名医生安排到古月、小觉和燕尾沟3个农村，每名医生只能安排到1个农村，每个农村至少有1名医生，则不同的安排方案有（）A. 24种B. 36种C. 64种D. 81种【答案】B【解析】【分析】分两步完成①将4名医生分成3组，②将分好的三组全排列，安排到3个农村，再按照分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名医生分成3组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3个农村，有种情况，则有种不同的安排方案.故选：【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，简单的排列组合问题，属于基础题.6.今年是新中国成立70周年．70年来，在中国共产党的坚强领导下，全国各族人民团结心，迎难而上，开拓进取，奋力前行，创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．某公司统计了第年（2013年是第一年）的经济效益为（千万元），得到如下表格：325若由表中数据得到关于的线性回归方程是，则可预测2020年经济效益大约是（）A. 5.95千万元B. 5.25千万元C. 5.2千万元D. 5千万元【答案】A【解析】【分析】首先求出样本点的中心点坐标，再代入回归方程求出参数的值，再将代入求值即可；【详解】解：由表格中的数据求得，．所以样本点的中心坐标为，代入，得，解得．∴线性回归方程为，取，得.故选：【点睛】本题考查根据样本中心点求回归方程中参数的值，以及利用回归方程估计数据，属于基础题.7.存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，这两个数为孪生素数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先列出在不超过40的素数中所有的素数，再找出能够组成孪生素数的个数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：在不超过40的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数有5个，即（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是.故选：【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.8.正四面体的外接球与内切球的表面积比为（）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】利用正四面体中心即为外接球和内切球的球心，且为高的四等分点，设正四面体的棱长为，可得两个球半径，进而得面积比．【详解】解：如图，正四面体的中心即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为，可得，，又，，，，．所以故选：【点睛】本题考查正四面体外接球和内切球，属于中档题．9.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为，射击次数为，若的数学期望，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意的所以可能取值为、、，，，，即可表示出，再根据且的到不等式组，解得即可；【详解】解：依题意的所以可能取值为、、，，，，且，解得.故选：【点睛】本题考查简单的离散型随机变量的数学期望的计算，一元二次不等式的解法，属于中档题.10.展开式中的项的系数是（）A. 5103B. 21C.D. 945【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，，再令，解得，即可求出展开式中项的系数；【详解】解：展开式的通项公式为：，令，解得，所以展开式中项的系数是.故选：【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，关键是写出展开式的通项，属于基础题.11.已知函数，若方程的两个不同根分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，解得，或，即可求出的最小值；【详解】解：由，得，所以，或，；即，或，所以方程的两个不同的根分别为，则最小值为.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.12.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．【详解】解：记边、、上的切点分别为，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，，所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】【分析】首先根据向量的数量积的坐标表示求出，再根据向量的数量积的运算律得到，解得即可；【详解】解：因为，，所以所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算律及坐标表示，属于基础题.14.命题，，则为_____.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，命题，，为全称命题；所以：，故答案为：，【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.15.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于第一象限点，交抛物线的准线于点，若，则_____.【答案】【解析】【分析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，由则从而计算可得；【详解】解：过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，由，得.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.16.在四面体中，，，，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是______.【答案】【解析】【分析】设，的外心分别为，过分别作平面和平面的垂线，则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，计算出外接球的半径即可求出球的面积；【详解】解：设，外心分别为，过分别作平面和平面的垂线，则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，则，在四边形，，，所以，，所以四面体外接球的半径为，所以四面体的外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算以及二面角的计算，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.数列满足：（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用时，求解；检验成立即可求解（2）由，得，利用错位相减求和即可【详解】（1）令时，时，，满足所以；（2）由，①②①②得【点睛】本题考查利用前n项和求通项公式，考查错位相减求和，准确利用前n项和求出通项公式是关键，是中档题18.已知的内角、、所对的边分别为、、.且.（1）求角；（2）若的面积为，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角形中隐含条件以及三角恒等变换的公式得到的正切值，然后计算出的结果；（2）利用余弦定理和面积公式求解出的最小值，再将周长用含的式子表示，即可求解出周长的最小值，注意取等号条件的说明.【详解】（1），且，，，，且，，.（2）由，得.又，，（当且仅当时取等号），，，，周长的最小值为.【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合，难度一般.（1）解三角形过程中要注意对隐含条件的使用；（2）已知三角形的面积时，可利用余弦定理得到三角形其中一条边与另外两边之和的等量关系.19.如图，直四棱柱，，底面是边长为4的菱形，且，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，，由线面垂直判定定理可得平面；（2）分别以、、为轴建立坐标系，利用空间向量法求出二面角余弦值；【详解】解：（1）由四边形是菱形，且，是正三角形，所以，又四棱柱是直四棱柱，平面，又平面，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，所以分别以、、为轴建立坐标系，如图所示，则，，.，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则有，解得，所以，，解得，所以，设二面角的平面角为，可知为钝角，则，所以二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量法求二面角，属于中档题.20.已知函数.（1）证明：函数在上单调递增；（2）令，若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判定符号、下结论的步骤完成即可；（2）由已知可得，令，由（1）知，则，在上恒成立，再对对称轴分类讨论即可得解；【详解】解：（1）任取，，且设.，，且设，，，，，∴函数在上单调递增.（2），设，由（1）知，当时，，，，当时，，解得；当时，，无解.∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查定义法证明函数的单调性，不等式恒成立问题，考查转化化归思想，属于中档题.21.如图，已知点，点均在圆上，且，过点作的平行线分别交，于两点.（1）求点的轨迹方程；（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点．问是否存在常数，使得点为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在常数符合题意，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由平面几何的相关性质可得，则，即点的轨迹是以为焦点的椭圆，再求出椭圆的标准方程即可；（2）当直线的斜率存在时，设，，，联立直线方程与椭圆方程，消元列出韦达定理，则代入计算可得的值，再计算斜率不存在时的值，即可得解；【详解】解：（1）由，得，由，得，所以.由，知，所以，即，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.这里，，所以，，则点的轨迹方程为：.（2）当直线与轴不垂直时，设，，，联立得，其判别式，所以，，，所以当时，，此时为定值.当直线的斜率不存在时，.综上，存在常数，使得为定值.【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题.22.绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值；（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率；（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为，求；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，其中，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）见解析，此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．（2）（ⅰ）由，．利用正态分布的对称性可得．（ⅱ）依题意有，再利用二项分布的期望公式计算可得；（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为．②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为．可得：．变形为．即可证明时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．利用，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率，失败的概率．进而得出结论．【详解】（1）（千米）.（2）（i）由..（ⅱ）依题意有，所以.（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种；①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为.②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为.，.时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列．，，，…，..∴获胜的概率，失败的概率..∴获胜的概率大.∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、正态分布图的性质、等比数列的定义通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2019-2020学年高二数学下学期开学测试试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以或，因为，所以，所以.故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可比较大小；【详解】解：，，，.故选：【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.3.“赌金分配”是概率论中非常经典的问题．在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为（）A. 甲分，乙分B. 甲分，乙分C. 甲分，乙分D. 甲分，乙分【答案】C【解析】【分析】首先计算出甲赢的概率为，乙赢的概率为，由此能求出结果．【详解】解：题意得：甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以应该分给甲，分给乙.故选：【点睛】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4.函数最小值为（）A. B. 4 C. 6 D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，判断函数的单调性，即可求出的最小值．【详解】解：因为，所以则当时所以在上为增函数，.故选：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的最值，属于基础题.5.为了提高广大农村的医疗水平，现要把市医院的甲、乙、丙、丁4名医生安排到古月、小觉和燕尾沟3个农村，每名医生只能安排到1个农村，每个农村至少有1名医生，则不同的安排方案有（）A. 24种B. 36种C. 64种D. 81种【答案】B【解析】【分析】分两步完成①将4名医生分成3组，②将分好的三组全排列，安排到3个农村，再按照分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名医生分成3组，有种分组方法；②将分好的三组全排列，安排到3个农村，有种情况，则有种不同的安排方案.故选：【点睛】本题考查分步乘法计算原理的应用，简单的排列组合问题，属于基础题.6.今年是新中国成立70周年．70年来，在中国共产党的坚强领导下，全国各族人民团结心，迎难而上，开拓进取，奋力前行，创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．某公司统计了第年（2013年是第一年）的经济效益为（千万元），得到如下表格：325若由表中数据得到关于的线性回归方程是，则可预测2020年经济效益大约是（）A. 5.95千万元B. 5.25千万元C. 5.2千万元D. 5千万元【答案】A【解析】【分析】首先求出样本点的中心点坐标，再代入回归方程求出参数的值，再将代入求值即可；【详解】解：由表格中的数据求得，．所以样本点的中心坐标为，代入，得，解得．∴线性回归方程为，取，得.故选：【点睛】本题考查根据样本中心点求回归方程中参数的值，以及利用回归方程估计数据，属于基础题.7.存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，这两个数为孪生素数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先列出在不超过40的素数中所有的素数，再找出能够组成孪生素数的个数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：在不超过40的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数有5个，即（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是.故选：【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.8.正四面体的外接球与内切球的表面积比为（）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】利用正四面体中心即为外接球和内切球的球心，且为高的四等分点，设正四面体的棱长为，可得两个球半径，进而得面积比．【详解】解：如图，正四面体的中心即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为，可得，，又，，，，．所以故选：【点睛】本题考查正四面体外接球和内切球，属于中档题．9.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为，射击次数为，若的数学期望，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意的所以可能取值为、、，，，，即可表示出，再根据且的到不等式组，解得即可；【详解】解：依题意的所以可能取值为、、，，，，且，解得.故选：【点睛】本题考查简单的离散型随机变量的数学期望的计算，一元二次不等式的解法，属于中档题.10.展开式中的项的系数是（）A. 5103B. 21C.D. 945【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，，再令，解得，即可求出展开式中项的系数；【详解】解：展开式的通项公式为：，令，解得，所以展开式中项的系数是.故选：【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，关键是写出展开式的通项，属于基础题.11.已知函数，若方程的两个不同根分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，解得，或，即可求出的最小值；【详解】解：由，得，所以，或，；即，或，所以方程的两个不同的根分别为，则最小值为.故选：【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题.12.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设点分别为、的内心，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围．【详解】解：记边、、上的切点分别为，则，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得．同理，内心的横坐标也为，则有轴.设直线的倾斜角为，则，，所以，由双曲线可得，，，所以，由于为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的范围是.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】【分析】首先根据向量的数量积的坐标表示求出，再根据向量的数量积的运算律得到，解得即可；【详解】解：因为，，所以所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的运算律及坐标表示，属于基础题.14.命题，，则为_____.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，命题，，为全称命题；所以：，故答案为：，【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.15.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于第一象限点，交抛物线的准线于点，若，则_____.【答案】【解析】【分析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，由则从而计算可得；【详解】解：过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可得，由，得.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.16.在四面体中，，，，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是______.【答案】【解析】【分析】设，的外心分别为，过分别作平面和平面的垂线，则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，计算出外接球的半径即可求出球的面积；【详解】解：设，外心分别为，过分别作平面和平面的垂线，则交点为四面体外接球的球心．取的中点为，连接，由已知可得是二面角的平面角，则，在四边形，，，所以，，所以四面体外接球的半径为，所以四面体的外接球的表面积.故答案为：。
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2019-2020年高二下学期开学考试数学试题含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）
A.事件B与C互斥
B.事件A与C互斥
C.任何两个均不互斥
D.任何两个均互斥
2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）
A. B. C. D.
3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元.
A.45
B.46
C.
D.
4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，
为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组
采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人
中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做
问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C
的人数为（）
A.7
B.8
C.9
D.10
5.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（）
A. B. C. D.
6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
A.5
B.7
C.4
D.3
7.已知实数满足，那么的最小值为（）
A. B. C. D.
8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：
①命题“”是真命题；
②命题“”是真命题；
③命题“”是假命题；
④命题“”是假命题.
其中错误的是（）
A.②③
B.②④
C.③④
D.①③
10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（）
A. B. C. D.
11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13.已知样本的平均数是10，方差是4，则
14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则
15.设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是
16.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.当曲线与曲线只有一个公共点时，的取值范围为
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分8分）
一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：Array
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.
18.（本小题满分10分）
已知圆及点.
（1）若点在圆C上，求直线的斜率；
（2）若是圆C上任一点，求的最大值和最小值；
（3）若点满足关系式，求的最大值.
19.（本小题满分10分）
极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求C的直角坐标方程；
（2）直线（为参数）与曲线C交于A，B两点，与轴交于点E，求的值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若一条不与轴垂直的直线交椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的下顶点，且，求直线在轴上截距的取值范围.
数学试题答案
本试卷满分120分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
B
D
B
D
A
D
C
D
C
B
A
13.91 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分8分） 解析：（1）设该厂本月生产轿车为N 辆， 则 ……1分
2000100300450400600150z ∴=-----=……2分 （2）设抽取的样本中有辆舒适型轿车， 则 ……4分
即抽取了2辆舒适型轿车，6辆标准型轿车，分别记作A 、B 、1、2、3、4、5、6 基本事件为（A ，B ），（A ，1），（A ，2），（A ，3），（A ，4），（A ，5），（A ，6）， （B ，1），（B ，2），（B ，3），（B ，4），（B ，5），（B ，6），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共 28个，其中至少有一辆舒适型轿车的有13个. ……6分
故至少有一辆舒适型轿车的概率为. ……8分 18、（本小题满分10分） 解析：（1）点在圆上，()()2
2
14141450m m m m ∴++--++=
解得 ……2分 （2）圆 则
……4分 ……6分
（3）设，如图，当过点E 的直线与圆相切时，取最大值. 切线方程为，即
的最大值为 ……10分 19、（本小题满分10分） 解析：（1） ……4分
（2）设分别为点A ，B 对应的参数 把与C 的方程联立得： ……6分
()
2
1212121245EA EB t t t t t t t t ∴+=+=-=
+-= ……10分
20、（本小题满分12分） 解析：（1）
故椭圆方程为 ……2分 （2），设直线的方程为， 线段MN 的中点为
由得： ……4分
则
①……8分
②……9分
把①代入②得：……10分又由②得：
综上，……12分。