高数微积分极值与最值

2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
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三b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证: 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值,
都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) , 故当 y y0 ， x x0 时，
将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2,
z2 6 ,
1 当 z1 2 时， A 0 , 4
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
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求函数 z f ( x , y )极值的一般步骤：(偏导存在条件下)
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
2
二、多元函数的极值
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
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1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点 ( x , y ) ：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极大值；若 满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有 极小值；
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
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三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ln x ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 U ( x , y ) ln x ln y 在条 件 8 x 10 y 200下的极值点．
故
dz 即 P 0 dx f x ( x0 , y0 ) f y ( x , y0 ) y( x0 ) 0
又由隐函数的微分法知
dy x ( x0 , y0 ) P dx y ( x0 , y0 )
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代入上式
f y ( x0 , y0 ) f x ( xo , yo ) x ( x0 , y0 ) 0 y ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 令 得 y ( x0 , y0 )
即
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
a b c ,y ,z 代入解得 x 3 3 3
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解二
任意固定 z0 (0< z0 < c )
先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者
因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大
今上底面为内接于椭圆
x
2 2
边平行于 x,y 轴的长方形 当长方形的边长分别为
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z
z=f(x,y)
o
..
y
L
x
P条件极值点
M无条件极值点
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
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无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，
并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
解决办法： （1）化为无条件极值（用代入法） （2）直接求极值。（拉格朗日乘数法）
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一些较简单的条件极值问题可以把它转化为 无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要 经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就 不容易作到，有时甚至是不可能的
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均 称为函数的驻点. 驻点 极值点(具有偏导数的函数)
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点，但不是极值点.
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温馨提示：
偏导数不存在的点 也可能是函数的极值点。 例如： 不存在。
也不存在， 但是极大值点。
所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点 导数不存在的点。
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例5
x y z 求内接于椭球 2 2 2 1 a b c
2
2
2
的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面
解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第 一卦限的顶点的坐标为( x , y , z ) 则长方体的体积为V=8xyz
x y z 令 F xyz ( 1) 2 2 2 a b c
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对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:
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例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
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其中点 ( x , y )
在曲线 L 上
假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点
在(x0 , y0 ) 的某个邻域内
f( x , y )可微
x , y 连续 且不同时为0 不妨设 y 0
于是 ( x , y ) 0确定了一个隐函数y = y(x)
故 z= f [x , y(x)]在P(x0 , y0)处取得极值
2 2 2 z0 2 z0 2 a 1 2 ,2 b 1 2 （一元函数极值问题） 24 2 2 c c
2 z0 a 1 2 c z z0

y
2 2
2 z0 b 1 2 c
1
长方形面积最大
得到高为 2z0 的长方体中最大体积为 2 2 z0 z0 V ( z0 ) 4ab(1 2 ) z0 V ( z0 ) 4ab(1 3 2 ) c c c z0 V( z0 ) 最大 3 a b c 这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为 ( , , )
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0时具有极值，
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； （2） AC B 0时没有极值；
2
（3） AC B 2 0时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
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定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x0 , y0 ) 0,
令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ，
有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 )
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0 ; 类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0 . 6
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数,
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1 A z |P , xx 2 z
2
1 B z |P 0, C zyy |P , xy 2 z
函数在P 有极值.
1 故 AC B 0 ( z 2) , 2 (2 z )
推广: 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，
f z ( x0 , y0 , z0 ) 0.
x y z 作变换 X ,Y , Z a b c 2 2 2 问题变成在 X Y Z 1 下求 XYZ 的最大值 1 易知为立方体 X Y Z a b c 3 x ,y ,z 25 3 3 3
P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为