分段函数函数性质
分段函数的性质
分段函数的性质分段函数是数学中重要的一种函数类型，即一个函数由若干段不同的部分组成，在每个部分内使用不同的函数式。
分段函数可以表示出许多实际问题中的关系，例如函数图像中的转折点、阶梯函数、指数函数等；因此，分段函数的性质对理解和应用这类函数非常重要。
本文将着重探讨分段函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极限、导数等方面。
一、定义域和值域分段函数的定义域是指函数在哪些自变量的取值范围内有定义，而值域则是指函数可以取到的所有值的集合。
对于一个形如 $f(x)=\begin{cases} f_1(x), &x\in D_1\\ f_2(x),&x\in D_2 \end{cases}$ 的分段函数，其定义域为 $D=D_1\bigcupD_2$，即两个段所对应的自变量值域的并集。
对于值域，分段函数的取值范围取决于各段函数式的取值范围及其交集和并集。
例如，当 $f_1(x)$ 取最大值而 $f_2(x)$ 取最小值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的交集。
反之，当 $f_1(x)$ 取最小值而 $f_2(x)$ 取最大值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的并集。
二、奇偶性和周期性对于分段函数的奇偶性和周期性，需要分别讨论每个分段函数的性质。
当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为奇函数或偶函数时，整个分段函数也具有相应的奇偶性。
例如，当$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为奇函数时，$f(x)$ 为奇函数；当$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为偶函数时，$f(x)$ 为偶函数。
对于周期性，当每一段函数 $f_i(x)$ 均为周期为 $T$ 的函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有周期 $T$。
三、单调性和极限对于分段函数的单调性和极限，也需要分别讨论每个分段函数的性质。
当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为单调递增或单调递减函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有相应的单调性。
(完整版)分段函数及函数的性质知识梳理
分段函数及函数的性质分段函数概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集 函数值 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 例1 设函数()221,0,,0.x x y f x x x -⎧⎪==⎨>⎪⎩„（１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值．（3）作出函数图像．1.设函数 ()221,20,1,0 3.x x y f x x x +-<⎧⎪==⎨-<<⎪⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． （3）作出函数图像．2．设函数()41,20,1,0 3.x x f x x --<⎧=⎨-<<⎩„（1）求函数的定义域； （2）求()2(0)(1)f f f -，，； （3）作出函数图像．3 .()⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,12x x x x x f 若()2f f ⎡⎤⎣⎦= . 4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5函数的性质 1 单调性概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <成立．这时把函数()f x叫做区间(),a b 内的增函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的增区间．2 即对于任意的()12,,x x a b ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >成立．这时函数()f x 叫做区间(),a b 内的减函数，区间(),a b 叫做函数()f x 的减区间．3 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间．例 判断函数42y x =-的单调性1. 已知函数f ( x )=x 2+ax +b ，且对任意的实数x 都有f (1+x )=f (1－x ) 成立。
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
分段函数(整理)
分段函数(整理)什么是分段函数？分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。
通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。
分段函数的定义形式一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}f_1(x), & if\ x \in D_1 \\f_2(x), & if\ x \in D_2 \\... \\f_n(x), & if\ x \in D_n \\\end{array}\right. \]其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。
分段函数的图像由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。
分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。
它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。
在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。
分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。
2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。
3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。
总结分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。
分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。
分段函数的特性
分段函数的特性
分段函数的特性是指函数在一定的区间内有不同的特性。
分段函数具有以下特性：
1.连续性：在分段函数中，对于任意两个区间，该函数都是连续的。
2.可导性：在分段函数中，可以对每个单独的区间求导，以求出其斜率。
3.极大极小值：在分段函数中，可以找到函数的极大值和极小值，但其极值不一定在函数的每个区间中。
4.单调性：在分段函数中，每个单独的区间都是单调的，不同的区间的单调性可能不同。
5.多次导数：在分段函数中，可以计算函数的多次导数，以求出其形式。
6.泰勒级数：在分段函数中，可以对函数求取泰勒级数，以计算函数的值。
7.积分：在分段函数中，可以对函数求取积分，以计算函数的定积分或不定积分。
8.可微函数性：在分段函数中，可以将不同的函数进行可微函数处理，以计算整个函数的定性和定量特性。
9.函数表：在分段函数中，可以用函数表来表示函数的曲线，以便于直观表达和分析。
10.函数图形：在分段函数中，可以通过作图的方式表示函数的曲线，从而可视化地探究函数的特性。
初二数学分段函数知识点详解
初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。
1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。
它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。
常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。
- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。
2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。
- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。
- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。
3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。
下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。
根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。
- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。
当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。
在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。
4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。
它的定义域为(-∞, -2]。
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
高考分段函数知识点
高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。
其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。
而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。
本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。
一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。
通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。
二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。
1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。
一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。
2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。
它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。
三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。
对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。
2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。
首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。
3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。
因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。
四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。
这一步是解题的基础，也是问题的关键。
2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。
分段函数的图像和性质
分段函数的图像和性质分段函数就像它的名字所描述的那样：它是由几个不同的函数段拼接在一起而成的。
这种类型的函数在数学和实际生活中都扮演着重要角色。
在这篇文章中，我们将讨论分段函数的图像和性质。
一、分段函数的图像分段函数的图像可能由几个不同的部分组成，每个部分都可以是一个简单的函数。
这些部分可以通过设定分界点来分隔开来，每一个分界点都表示着一个从一个函数变成另一个函数的转折点。
在这个转折点处，函数可以连续，也可以不连续，这取决于函数本身和特定的数值。
例如，考虑这样一个分段函数：f(x) ={ x^2 , x<0{ 2x , x>=0这个函数在 x=0 处存在一个分界点，f(0)=0。
在此之前，函数的形式为x^2，而在此之后，则是2x。
这个函数在x=0 处不连续，因为两个方程的斜率不同。
具体来说，左侧函数在 x=0 处的斜率是0，而右侧函数在这个点的斜率是2。
二、分段函数的性质1. 连续性像上面那样不连续的函数，叫做不连续函数。
尽管它们在某些点上不连续，但它们仍然有意义和应用。
这就意味着它们仍然有定义域和值域。
一些函数是连续的，这意味着它们在定义域内的每个点都是连续的。
这意味着它们没有锐利的变化，没有跳跃。
相反，它们变化平稳，可以用通常的方法来处理。
例如，线性函数就是一个连续函数。
在线性函数中，斜率是常数，同一个函数在定义域内的每一个值都是连续的。
2. 奇偶性分段函数可能是奇函数、偶函数，或既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数是这样的函数，满足 f(-x)=-f(x)。
换句话说，如果把函数关于原点翻转，那么它的值保持不变。
例如，函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
因为当 x=-a 时，f(-a)=-a^3，而 f(a)=a^3。
因此，f(-a)=-f(a)。
偶函数是这样的函数，满足 f(-x)=f(x)。
这意味着把函数关于 y 轴镜像，函数的形状保持不变。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数。
高三数学分段函数知识点
高三数学分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域的实际问题中。
在高三数学学习中，理解和掌握分段函数的知识点对于解题和理论应用都具有重要意义。
本文将为您介绍高三数学中与分段函数相关的知识点。
一、分段函数的定义与表达方式分段函数是由不同的函数规则在不同的定义域上确定的一种函数。
分段函数通常由若干段或多个函数规则组合而成，对于不同的自变量取值，函数的表达方式也不相同。
通常，分段函数可以用以下的形式表示：y = f(x)，x ∈ D，其中D为定义域。
在定义域D的不同区间上，函数f(x)可以用不同的函数表达式来表示。
二、分段函数的性质1. 定义域和值域：分段函数的定义域由各个函数规则的定义域的并集构成，值域则由各个子区间的值域的并集构成。
2. 连续性和间断点：分段函数在定义域上可能存在间断点。
常见的间断点有可去间断点（函数值可以通过修复后定义），跳跃间断点（函数在间断点处的左右极限存在，但不相等）和无穷间断点（函数在间断点处的左右极限至少有一个为无穷大）。
3. 单调性：针对不同函数规则的子区间，分段函数可以是递增的、递减的或不变的。
4. 极值点：分段函数在每个子区间内寻找最大值和最小值，可以通过求导或者构建不等式来确定。
三、分段函数的图像分段函数的图像通常是一个由多段连接而成的曲线，并且在不同的子区间上可能有不同的形态。
对于每一个子区间，我们可以先画出对应函数规则的图像，然后将这些图像进行连接。
在画图时，需要注意各个子区间的连接点和间断点的特殊处理，以及函数图像的平滑与连续性。
四、分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域的实际问题中，下面举几个例子：1. 费用函数：在一些商业模型中，根据不同的销售数量区间，利用分段函数可以比较准确地计算成本、利润等。
2. 税务计算：税务计算常常需要根据收入或利润的不同区间采用不同的税率，这也可以通过分段函数进行模拟计算。
3. 温度转换：将摄氏度和华氏度进行相互转换时，由于两种温度间存在不同的线性关系，可以使用分段函数表示。
分段函数及其在日常生活中的应用研究
标题：深度探索分段函数及其在日常生活中的应用研究一、概述分段函数作为数学中重要的概念，其在日常生活中的应用也是不可忽视的。
从简单的数学模型到复杂的实际问题，分段函数都能够提供有力的分析工具。
在本文中，我们将深入探讨分段函数的定义、性质以及在日常生活中的具体应用，并结合个人观点来全面了解这一概念。
二、分段函数的定义和性质1. 分段函数的定义分段函数是指在定义域的若干个子区间内，其函数值由不同的函数式子来定义的函数。
一般来说，分段函数可以分为线性分段函数、二次分段函数等不同类型。
当x≥0时，y=x；当 x<0 时，y=-x。
这就是一个简单的分段函数的定义。
2. 分段函数的性质分段函数的性质包括函数值的连续性、导数的计算以及函数图像的绘制等方面。
在任意一给定区间，分段函数都具有各自的函数式子和定义域，因此在计算导数和绘制函数图像时需要考虑到这一点。
这些性质对于从简单到复杂的分段函数来说都是通用的。
三、分段函数在日常生活中的应用1. 交通流量模型在城市交通规划中，常常需要通过分段函数来模拟不同时间段内的车辆流量。
早晚高峰期和平常时间的车辆密度就可以用分段函数来描述。
这对于优化交通信号灯的设置和道路设计都有着重要的指导意义。
2. 财务风险评估在金融领域，分段函数也经常被用来评估某个金融产品或投资组合的风险。
通过将不同的市场情况划分为不同的区间，可以更准确地评估风险的发生概率和程度，为投资决策提供科学依据。
3. 健康体能评估体育锻炼中，训练强度和时长的关系也可以用分段函数来描述。
通过分段函数模型，可以帮助运动员或普通人更合理地安排训练计划，避免过度或不足的训练对身体造成的不利影响。
四、个人观点和理解作为一种常见的数学模型，分段函数在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
从数学原理到实际应用，我深刻认识到了分段函数的重要性。
通过深入学习和实际应用，我相信分段函数将对我的学习和工作产生深远的影响。
五、总结与回顾分段函数不仅仅是数学中的一个抽象概念，更是一个具有深刻应用价值的数学工具。
高一分段函数知识点总结
高一分段函数知识点总结分段函数是高中数学中的重要内容，它在应用题中常常能够帮助我们建立正确的数学模型，解决实际问题。
下面是对高一分段函数知识点的总结。
1. 分段函数的定义分段函数由定义域的不同范围内的多个子函数组成，每个子函数的定义域是不重叠的，它们只在各自的定义域内有效。
2. 分段函数的表示方法分段函数可以用解析式、表格和图像三种方式表示。
解析式表示：f(x) = {f1(x), a ≤ x ≤ b; f2(x), c ≤ x ≤ d; ...}表格表示：在一张表格中列出各个子函数的定义域和函数值。
图像表示：在坐标系中绘制出各个子函数的图像。
3. 分段函数的性质分段函数的性质包括奇偶性、单调性、最值等。
要根据具体的子函数来分析其性质。
奇偶性：如果子函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该子函数是偶函数；如果子函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该子函数是奇函数；否则为非奇非偶函数。
单调性：对于定义域内部的某个子函数，如果$f'(x)>0$，则该子函数在该区间上是递增的；如果$f'(x)<0$，则该子函数在该区间上是递减的。
最值：要求分段函数取得最大值或最小值，需要分别分析各个子函数的最值，并比较它们之间的大小。
4. 分段函数的应用分段函数在实际问题中的应用非常广泛。
以下列举几个常见的应用：(1) 阶梯函数：描述单位价格不同的商品数量与费用之间的关系。
在一定范围内的商品数量对应一个固定的价格，超过该范围则需要按照不同的价格计算。
(2) 温度转换：将摄氏温度转换为华氏温度或开尔文温度。
(3) 隶属度函数：用于模糊逻辑和模糊集合，描述某个元素对于某种属性或事物的隶属程度。
(4) 门函数：在数字电路中，描述逻辑电平之间的转换关系。
5. 分段函数的解析式的求法当已知分段函数的表达式或图像时，可以根据具体情况，通过以下几种方法求出分段函数的解析式：(1) 分段函数的拼接法：将各个子函数在其定义域范围内的解析式进行拼接。
分段函数知识点
分段函数知识点分段函数，也称为分段定义函数，是指由多个不同定义域上的函数组成的一个整体。
在一个给定的定义域上，该函数按照不同的规则进行定义，因此其函数图像通常由多个不连续的线段或曲线段组成。
一、分段函数的定义分段函数可以通过以下形式进行定义：f(x) = { f1(x), x∈D1f2(x), x∈D2...fn(x), x∈Dn其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x) 分别表示在不同的定义域 D1, D2, ..., Dn 上的函数，每个定义域 Dn 为函数 f(x) 的某个区间。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常由多段曲线或线段组成。
每一段的形状和位置由该段定义的函数决定。
在各个定义域的交界处，函数的图像通常出现不连续的情况，也可能存在间断点。
三、分段函数的性质1. 定义域：分段函数的定义域为各个函数定义域的并集，即 D = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn。
2. 奇偶性：分段函数的奇偶性由各个函数分别决定，具体取决于各个函数的奇偶性质。
3. 连续性：分段函数在各个定义域的内部是连续的，但在定义域之间的交界处可能是不连续的，具体取决于函数定义的方式。
4. 极值：分段函数的极值可能出现在每个定义域的端点，以及在各个定义域之间的交界点处。
5. 最值：分段函数在定义域上的最值由各个函数的最值决定，需要分别找到各个函数的最大值和最小值进行比较。
四、常见的分段函数1. 绝对值函数：f(x) = |x| = { x, x≥0-x, x<02. 阶梯函数：f(x) = ⌊x⌋，表示小于等于 x 的最大整数。
3. 取整函数：f(x) = [x]，表示不大于 x 的最大整数。
4. 符号函数：f(x) = { -1, x<00, x=01, x>0五、分段函数的应用分段函数在数学和实际应用中有广泛的应用，如经济学中的需求函数、供给函数；物理学中的速度、加速度函数；计算机科学中的条件运算等。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数的极值与最值
分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。
在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。
分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。
一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。
分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。
但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。
为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。
二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。
对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。
假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。
具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。
分段函数求定义域
分段函数求定义域分段函数是数学中的一种基本函数，它在不同的定义域内具有不同的函数表达式。
在实际问题中，经常需要求分段函数的定义域，以便对函数进行分析和运用。
本文将从分段函数的概念、性质和求解方法等方面进行详细阐述，帮助读者更好地理解和应用分段函数。
一、分段函数的概念分段函数是指在不同的定义域内，函数表达式有所不同的函数。
通常情况下，分段函数可以写成以下形式：$$f(x)=begin{cases}f_1(x),&xin D_1f_2(x),&xin D_2cdotsf_n(x),&xin D_nend{cases}$$其中，$D_1,D_2,cdots,D_n$为函数的不同定义域，$f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x)$为相应的函数表达式。
在定义域之外，函数值可以任意取定，通常为零或无穷大。
分段函数的图像通常是由多条曲线段组成的。
二、分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的定义域为各个定义域的并集，即$D=bigcuplimits_{i=1}^nD_i$。
2. 分段函数在各个定义域内分别连续。
3. 分段函数在定义域之外可以任意取定函数值。
4. 分段函数的图像通常是由多条曲线段组成的。
5. 分段函数的导数和积分需要在各个定义域内分别计算。
三、分段函数的求解方法求解分段函数的定义域通常需要分别考虑各个定义域的交集和并集。
以下是具体的求解方法：1. 对于分段函数$f(x)=begin{cases}f_1(x),&xin D_1f_2(x),&xin D_2cdotsf_n(x),&xin D_nend{cases}$，首先需要确定各个定义域$D_1,D_2,cdots,D_n$的范围。
2. 然后，需要找到各个定义域的交集和并集。
对于交集$D_1cap D_2cap cdots cap D_n$，需要判断其是否非空，即是否存在$x$满足$xin D_1,xin D_2,cdots,xin D_n$。
高中高一分段函数知识点
高中高一分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、经济学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像以及实际应用等方面介绍高中高一阶段分段函数的知识点。
一、定义分段函数是由两个或多个函数段组成的函数，不同的自变量区间对应着不同的函数段。
通常，每个函数段的定义域和值域可以是不相交的。
二、性质1. 定义域和值域的确定：分段函数的定义域由各个函数段的定义域交集确定，而值域则根据各个函数段的值域并集确定。
2. 连续性：分段函数在函数段之间可能存在不连续点，即转折点或者分界点。
在这些点上，左右侧的函数值可以不相等。
3. 奇偶性：当分段函数的各个函数段都具有相同的奇偶性时，整个函数可以被归类为奇函数或偶函数。
4. 单调性：分段函数在每个函数段上可能具有不同的单调性，需要分别进行讨论。
5. 极值点：分段函数的极值点可以出现在函数段的内部转折点或者边界点上，需要分别计算。
三、图像绘制分段函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的定义域、值域以及函数段之间的关系。
例如，考虑分段函数f(x) = \begin{cases} x^2, & x\geq 0\\ -x^2, & x<0 \end{cases}首先我们可以绘制函数y=x^2和y=-x^2的图像，然后根据x的正负值来确定在哪个函数段上取值。
四、实际应用分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 电费计算：电费的计算往往是分段线性函数，不同的用电量对应着不同的电费标准。
2. 温度调节：空调的温度调节可以看作是一个分段函数，不同的温度区间对应着不同的制冷或者制热模式。
3. 运输成本：货物的运输成本往往是根据距离分段计算的，不同的距离区间对应着不同的运费标准。
4. 奖励机制：某些奖励机制可以设计为分段函数形式，根据不同的目标达成程度给予不同的奖励。
5. 税收计算：个人所得税或者企业利润税往往是分段函数，不同的收入水平对应着不同的税率。
八年级上册分段函数知识点
八年级上册分段函数知识点分段函数是高中数学中比较重要的一部分，而在八年级上册课程中，也会涉及一些基础的分段函数知识点。
下面我们就来一起看看，八年级上册分段函数的相关知识点。
1. 分段函数的定义分段函数是指一个函数，它根据自变量的范围可以被分成多个部分。
每个部分都可以用一个函数式来表示，因此整个函数也可以用若干个函数式表示。
其中，每个函数式称为一个分段函数的部分。
2. 分段函数的图像分段函数的图像常常是由多个线段构成的折线。
每个线段的斜率和截距分别与该线段所对应的函数式有关。
3. 分段函数的性质分段函数的定义域和值域都是由该函数的各部分共同决定的。
在不同的自变量范围内，这些部分以不同的方式组合起来，因此函数的图像也相应地发生变化。
此外，由于每个部分都是连续的函数，因此分段函数的图像也是连续的。
这就意味着，在一段区间内，任何一个点的邻域内都存在函数值。
然而，这并不意味着分段函数是可导的。
因为在分段的交界处，函数的导数可能会发生突变。
4. 求解分段函数求解分段函数最基本的方法就是将自变量代入相应的函数式中，并计算出函数值。
通常情况下，我们需要在不同区间内使用不同的函数式进行计算。
这样，我们就可以得到整个函数的值。
需要注意的是，当自变量处于多个区间的交界处时，我们需要对交界点的函数值进行比较。
具体来说，如果交界点处的函数值相等，那么该点就是分段函数的连续点；反之则是分段函数的不连续点。
5. 常见的分段函数在八年级上册的课程中，我们会遇到一些比较简单的分段函数。
比如：y = { x - 1 (x ≤ 2){ -x + 3 (x > 2)这是一个关于自变量 x 的分段函数。
当x ≤ 2 时，函数的部分为 y = x - 1；当 x > 2 时，函数的部分为 y = -x + 3。
在 x = 2 时，两部分的函数值相等，因此该点是分段函数的连续点。
6. 总结通过以上的介绍，我们可以看出，八年级上册的分段函数知识点是比较简单的。
分段函数与绝对值函数
分段函数与绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、函数图像的研究中有着广泛的应用。
本文将对分段函数和绝对值函数的定义、性质以及图像进行详细的讨论。
一、分段函数的定义与性质分段函数是指在定义域的不同区间上，具有不同显式表达的函数。
一般情况下，定义域会被分割成多个互不交叉的区间，在每个区间上，函数的表达式都可能不同。
例如，我们考虑定义在实数集上的一个分段函数f(x)，其定义域为实数集R。
当x小于0时，f(x)定义为x的相反数，即f(x)=-x；当x大于等于0时，f(x)定义为x的平方，即f(x)=x^2。
分段函数具有以下性质：1. 在每个分段上，函数的表达式都是具体的，可以根据定义直接计算函数值。
2. 在分段的交界处，函数值可能存在不连续的情况。
例如上述例子中，在x等于0处，f(x)的值由负数突变为非负数。
3. 分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分都有自己的特点，有时可以通过图像来更好地理解函数的性质。
二、绝对值函数的定义与性质绝对值函数是指给定一个实数x，其函数值等于x的绝对值，即f(x)=|x|。
绝对值函数具有以下性质：1. 函数的定义域是全体实数集R，即绝对值函数可以对任意实数进行定义。
2. 函数值始终为非负数，即绝对值函数的图像位于x轴的上半平面。
3. 函数的图像关于y轴对称，即对于任意x，有f(x)=f(-x)。
这是由于绝对值的性质决定的。
4. 在x等于0的点上，绝对值函数的值为0。
在x小于0的点上，绝对值函数的值为-x，在x大于0的点上，绝对值函数的值为x。
三、分段函数与绝对值函数的图像分段函数和绝对值函数在图像上都具有一些特点。
对于分段函数来说，每个分段的图像可以分别绘制。
对于上述的例子f(x)=-x (x小于0)和f(x)=x^2 (x大于等于0)，它们的图像分别是一条直线和一个抛物线，它们在x等于0的点上相交并产生一个从负数突变为非负数的现象。
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1.2.2 函数的表示法 一、选择题1、下列表格中的x 与能构成函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、若()2,2,x R f x y x y x ∈=-=是这两个函数中的较小者，则()f x 的最大值为（） A ．2B ．1C ．-1D ．无最大值3、设21,1x f x f x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭则（ ）A ．()f xB ．()f x -C ．()1f x D ．()1f x -4、已知集合{}*A N ,B=21,m m n n Z ==-∈，映射:f A B →使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ）A ．3B ．5C ．17D ．95、若()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 6、若()29x f x x-=，则方程()9f x x =的根是（ ）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-7、已知()f x 是二次函数，且()()()01,122f f x f x x =-+=-+，则()f x 的表达式为（ ）A ．()231f x x x =-+-B ．()2312f x x x =--- C ．()213222f x x x =-+ D ．()21222f x x x =-+ 二、填空题8、一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度分别如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少代开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点至进水不出水②3点到4点不进水只出水③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的论断序号是__________________。
9、设函数()()()22,02,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()08f x =，则0x =___________。
10、已知函数()221x f x x=+，那么()()1122f f f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()133f f ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()144f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______。
11、函数()[]242,4,4f x x x x =-+∈-的最小值是_________，最大值是___________。
丙12、在国内投寄外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，以此类推，每封()0100xg x <≤的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，做出函数的图像，并求出函数的值域。
13、画出下列函数的图像：（1）22,2y x x Z x =+∈≤且；（2）(]223,0,2y x x x =-+∈；（3）2y x x =--；（4）3,23,223,2x y x x x <-⎧⎪=--≤<⎨⎪-≥⎩14、已知函数()1f x ax =-，求函数()f x 的定义域。
15、已知函数()412f x x x =--（1）求()4f -；（2）求函数()f x 的定义域。
（3）求函数()f x 的值域。
一．填空题（共30小题） 1．已知函数，则满足不等式f （1﹣x 2）＞f （2x ）的x 的范围是 _________ ．2．已知函数y=f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A （0，0）、、C （1，0），函数y=xf （x ）（0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为 _________ ． 3．已知函数，则f （89）= _________ ．4．已知，则不等式x+（x﹣3）f（x+1）≤1的解集是_________．5．已知，如果f（x0）=3，那么x0=_________．6．函数，使函数值为5的x的值是_________．7．已知函数f（x）=则不等式f（x）+2＞0的解集是_________．8．已知函数f（x）==_________．9．设，若f（t）＞2，则实数t的取值范围是_________．10．已知f（x）=，则不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是_________．11．若，则f（3）=_________12．如果f（x）=那么f（f（1））=_________．13．已知函数，则f（﹣3）=_________；f（2）=_________；f（0）=_________．14．函数的最大值是_________．15．设函数，则f（5）=_________．16．若函数，则f（f（0））=_________．17．f（x）=，若f（x）=10，则x=_________．18．函数的值域是_________．19．函数f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}﹣x+1，x＜1}\\{\frac{1}{x}，x≥1}\end{array}\right.的值域是_________．20．已知函数则f[f（﹣2）]=_________．21．已知f（x）=，则不等式f（x+2）≤3的解集是_________．22．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为_________．23．已知f（x）=，则不等式xf（x）+x≤2的解集是_________．24．设函数f（x）=，若f（α）=9，则α=_________．25．若函数，则f[f（﹣5）]=_________．26．已知函数，若，则x=_________．27．若，则f[f（﹣4）]=_________．28．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=_________．29．设函数，若f（x）=10，则x=_________．30．在函数中，若f（x）=1，则x的值是_________．1．设函数f（x）=，若f（a）=4，实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2 2．已知函数f（x）=若f（f（0））=4a，则实数a等于（） A．B．C． 2 D．9 3．（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1}C．D．4．设f（x）=，则f[f（）]=（） A．B．C．﹣D．5．函数f（x）=，若f（f（x0））=4，则x0等于（）A．﹣5或1 B．﹣1 C．D．或16．已知函数f（x）=则f（f（5））=（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．17．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．如果f（f（a））=f（9）+1，a等于（）A．B．﹣1 C．1D．8．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是_________．9．已知，则不等式x+（x﹣3）f（x+1）≤1的解集是_________．10．若，则f（x）的最大值为_________．11．已知，如果f（x0）=3，那么x0=_________．12．设f（x）=|2﹣x2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是_________．13．函数，使函数值为5的x的值是_________．14．已知函数f（x）=则不等式f（x）+2＞0的解集是_________．15．已知函数f（x）==_________．16．设，若f（t）＞2，则实数t的取值范围是_________．17．若，则f（3）=_________．18．如果f（x）=那么f（f（1））=_________．19．已知函数，则f（﹣3）=_________；f（2）=_________；f（0）=_________．20．设函数f（x）=，则f（5）=_________21．函数的最大值是_________．22．函数，若f（x）=3，则x的值为_________．23．设函数，则f（5）=_________．24．f（x）=，若f（x）=10，则x=_________．25．函数的值域是_________．27．已知函数则f[f（﹣2）]=_________．28．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为_________．29．已知函数（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（2）写出f（x）的单调递增区间．30．已知f（x）=x2+2x﹣3，用图象法表示函数g（x）=．1．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]，[1，+∞）C．[0，+∞），（﹣∞，1]D．[0，+∞），[1，+∞）3．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（）A．当x∈（1，+∞）时，函数单调递增B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减C．当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增D．当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减4．函数y=的递增区间是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣5，﹣2]C．[﹣2，1]D．[1，+∞）5．函数的单调递增区间为（）A．[]0，1]B．C． D．6．函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[﹣1，2]C．[2，+∞）D．[2，5]7．y=的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1)D．[﹣1，+∞）8．单调递增区间（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．9．的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．（3，+∞）10．函数f（x）在区间（﹣2，3）上是增函数，则y=f（x+4）的递增区间是（）A．（2，7）B．（﹣2，3）C．（﹣6，﹣1）D．（0，5）12．函数的单调递减区间是_________．13．函数y=2|x+1|的递减区间是_________14．已知函数f（x）=|x2﹣4x﹣3|，则函数的单调增区间_________．15．函数的递增区间为_________．16．函数的单调递减区间是_________．17．函数的递减区间是_________．18．函数的单调增区间为_________．19．函数的单调增区间为_________．20．已知函数f（x）=x2﹣2x+3（x∈R）（1）写出函数f（x）的单调增区间，并用定义加以证明．（2）设函数f（x）=x2﹣2x+3（2≤x≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）．21．已知奇函数y=f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y=f（x）=﹣x2﹣2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．22．已知（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的最大值和最小值．23．已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．24．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．（1）y=|x+1|；（2）y=﹣x2+4x﹣2，x∈[0，3]．25．已知f（x）=8+2x﹣x2，试确定g（x）=f（x+2）的单调区间和单调性．26．根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．27．27．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，（I）当x＜0时，求f（x）的解析式；（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．28．用函数单调性的定义证明：函数y=|x﹣1|在区间（﹣∞，0）上为减函数．29．利用定义判断函数f（x）=x2﹣1在区间（﹣∞，0）上的单调性，并证明．30．判断函数在（0，1）上的单调性，并给出证明．1．已知f（x）=2x3+ax2+b﹣1是奇函数，则ab=_________．2．已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=_________．3．（2011•东城区二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f（1）=_________．4．函数f（x）为奇函数，且，则当x＜0，f（x）=_________．5．设f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）=_________．6．若f（x）在[﹣3，3]上为奇函数，且f（3）=﹣2，则f（﹣3）+f（0）=_________．7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则f（﹣1）=_________．8．y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_________．9．已知f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式为_________．10．设y=f（x）是R上的奇函数，若f（2）=5，则f（﹣2）=_________．11．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x|x﹣2|，求当x＜0时，f（x）=_________．12．设f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2+x，则当x＞0时，f（x）=_________．13．定义在R上的奇函数f（x），若当x＜0时，f（x）=x2+1，则当x≥0时，f（x）=_________．14．若f（x）是定义域上的偶函数，且x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增，那么f（﹣1），f（2），的大小顺序是_________．15．若函数f（x）=（x﹣1）（x﹣a）为偶函数，则a=_________．16．函数f（x）=|x+1|+|x+a|是偶函数，则实数a的值为_________．17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x3﹣x2，则当x＞0时，f（x）的解析式为_________．18．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=_________．19．已知函数f（x）为奇函数，函数f（x+1）为偶函数，f（1）=1，则f（3）=_________．20．已知：函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x﹣1），f（2）=2，则f（2006）的值为_________．1．知f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a﹣3，2a]，则a+b=_________．22．f（x）为（﹣1，1）上的奇函数且单调递减，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＞0求t的范围．23．减函数y=f （x）定义在[﹣1，1]上减函数，且是奇函数．若f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=x2+4x+3，若g（x）=f（x）+cx为偶函数，则c=_________．25．设函数（1）判断它的奇偶性；（2）x≠0，求的值．（3）计算+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值．26．已知函数f（x）=．（1）判断其奇偶性；（2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明；（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（﹣1，0）上的增减性．27．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=x4﹣x2+8；（2）28．已知：函数，（1）求：函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（3）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上的单调性，并用定义加以证明．29．函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．30．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=2x+x2﹣x，求x＜0时的表达式．。