概率论易错点
归类剖析概率中的易错点
ʏ河南省濮阳市第一高级中学袁媛概率是高考考查的重点内容,逻辑性强,知识点相对较多㊂概率类试题需要将题意进行语义转化㊁符号转化或提取数学模型,而很多同学不能准确把握题目的含义,究其原因是对概念㊁法则㊁公式㊁定理一知半解,机械模仿,死记硬背,从而不能正确地解决问题㊂因此,弄清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵尤为重要㊂易错点一㊁忽略概率的非负性致误例1设X是一个离散型随机变量,其分布列如表1所示,则q等于()㊂表1X-101P131-2q3q2-q+13A.23或13B.13C.23D.34解析:由离散型随机变量的性质可得13+1-2q+3q2-q+13=1,即(3q-1)(3q-2)=0,解得q=13或q=23㊂当q=23时, 1-2q<0,不合题意,所以q=13㊂故选B㊂易错点拨:在求离散型随机变量的分布列时,若概率用字母表示,则需要注意隐含条件:每个概率大于0,利用概率和为1进行验证㊂易错点二㊁混淆互斥事件㊁对立事件与相互独立事件致误例2(多选题)甲㊁乙两个盒子中各装有4个相同的小球,甲盒子中小球的编号依次为1,2,3,4,乙盒子中小球的编号依次为5,6,7,8,同时从两个盒子中各取出1个小球,记下小球上的数字㊂记事件A为 取出的数字之和为偶数 ,事件B为 取出的数字之和等于9 ,事件C为 取出的数字之和大于9 ,则下列结论正确的是()㊂A.A与B是互斥事件B.B与C是对立事件C.A与C不是相互独立事件D.A与B是相互独立事件解析:从两个盒子中取出的两个数字之和只有2种结果:偶数和奇数㊂而 数字之和为9 是结果为奇数的其中一种情况,所以事件A与B是互斥事件而不是对立事件,选项A正确㊂从两个盒子各取1个小球,结果共有4ˑ4=16(种),其中数字之和为偶数的有8种;数字之和等于9的有4种:5+4,6+3, 7+2,8+1;数字之和大于9的有6种:6+4, 7+3,7+4,8+2,8+3,8+4㊂所以P(A)= 816=12,P(B)=416=14,P(C)=616=38㊂因为P(B)+P(C)=58ʂ1,所以B与C不是对立事件,选项B错误㊂事件A C为 取出的数字之和为偶数且大于9 ,其结果有4种:6+4,7+3,8+2,8+4,所以P(A C) =416=14,显然P(A C)ʂP(A)P(C),所以A与C不是相互独立事件,选项C正确㊂因为当取出的数字之和为偶数时,不可能出现取出的数字之和等于9这种情况,所以P(A B)=0,而P(A)P(B)=18ʂ0,所以事件A与B不是相互独立事件,选项D错误㊂故选A C㊂易错点拨:判断是否为互斥事件㊁对立事件的关键为:互斥事件在一次试验中不能同时发生;对立事件是在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,是互斥事件的一种特8 2解题篇易错题归类剖析高考数学2023年12月殊情况㊂对立事件和互斥事件都不可能同时发生,但对立事件必有一个要发生,而互斥事件可能都不发生,所以对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件㊂相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,判断的关键是P (A B )=P (A )P (B )是否成立,而不是单纯地凭借主观感觉进行判断,相互独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥事件一定不是相互独立事件㊂易错点三㊁混淆条件概率P (B |A )与积事件P (A B )的概率致误例3 从1,2, ,10十个数字中,甲㊁乙两人先后各任取一个数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,则甲取到的数大于乙取到的数的概率为㊂解析:设事件A 表示 甲取到的数是5的倍数 ,事件B 表示 甲取到的数大于乙取到的数 ,可得P (A )=210=15,P (A B )=C 14+C 19C 110C 19=1390,所以甲取到的数大于乙取到的数的概率为P (B |A )=P (A B )P (A )=1318㊂故填1318㊂易错点拨:概率P (B |A )与P (A B )的区别:(1)在P (B |A )中,事件A ,B 发生有时间上的差异,A 先B 后;在P (A B )中,事件A ,B 同时发生㊂(2)样本空间不同,在P (B |A )中,事件A 成为样本空间;在P (A B )中,样本空间仍为Ω,因而有P (B |A )ȡP (A B )㊂易错点四㊁混淆超几何分布和二项分布的概念致误例4 4月23日是联合国教科文组织确定的 世界读书日 ㊂为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查,得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18],共九组,绘制成如图1所示的频率分布直方图㊂(1)求这500名学生日平均阅读时间的图1中位数(保留到小数点后两位)㊂(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ,求X 的分布列和数学期望㊂(3)以样本的频率估计概率,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,用P (k )表示这10名学生中恰有k 名学生的日平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k =0,1,2, ,10㊂当P (k )最大时,写出k 的值,并说明理由㊂解析:(1)因为前四个矩形的面积之和为(0.02+0.03+0.05+0.05)ˑ2=0.3<0.5,前五个矩形的面积之和为0.3+0.15ˑ2=0.6>0.5,所以可设中位数为x ɪ(8,10)㊂由中位数的定义可得0.3+(x -8)ˑ0.15=0.5,解得x =283ʈ9.33㊂(2)由频率分布直方图可得,这500名学生中日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为500ˑ0.05ˑ2=50,500ˑ0.04ˑ2=40,500ˑ0.01ˑ2=10㊂若采用分层抽样的方法抽取了10人,则从日平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取4050+40+10ˑ10=4(人)㊂从这10人中随机抽取3人,则X 的可能取值为0,1,2,3,且P (X =0)=C 36C 310=16,P (X =1)=C 14C 26C 310=12,P (X =2)=C 24C 16C 310=310,P (X =3)=C 34C 310=130㊂所以X 的分布列为表2㊂92解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月表2X 0123P1612310130数学期望E (X )=0ˑ16+1ˑ12+2ˑ310+3ˑ130=65㊂(3)当k =5时,P (k )最大㊂原因如下:由频率分布直方图可得,2ˑ(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a +0.05+0.04+0.01)=1,解得a =0.10㊂所以学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率为0.15ˑ2+0.10ˑ2=0.5㊂设从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,日平均阅读时间在(8,12]内的学生人数为Y ,则Y ~B 10,12㊂所以P (k )=C k 1012 k1-12 10-k=C k10㊃12 10,其中k ɪ{0,1,2, ,10},由组合数的性质得,当k =5时,C k10最大,则P (k )最大㊂易错点拨:超几何分布描述的是不放回抽样问题,其特征为:①考察对象分为两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体㊂本题第(2)问 从这10人中随机抽取3人 ,即为超几何分布㊂二项分布是独立重复试验,并且一次试验中只有两种结果㊂解题时,如果题目中为独立重复㊁有放回抽取㊁总体数过大㊁总体数未知时,一般为二项分布,本题第(3)问 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生 ,该地区所有高一学生总数未知,故为二项分布㊂易错点五、不能从实际问题中提取出概率模型致误例5 甲㊁乙㊁丙三人相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人,则下列说法正确的是( )㊂A.2次传球后球在丙手上的概率是12B .3次传球后球在乙手上的概率是14C .3次传球后球在甲手上的概率是14D .n 次传球后球在甲手上的概率是131--12n解析:第一次甲将球传出后,2次传球后的所有结果为:甲乙甲,甲乙丙,甲丙甲,甲丙乙,共4个结果,它们等可能,2次传球后球在丙手中的事件有:甲乙丙,1个结果,所以概率是14,故A 错误;第一次甲将球传出后,3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙,甲乙甲丙,甲乙丙甲,甲乙丙乙,甲丙甲乙,甲丙甲丙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,共8个结果,它们等可能,3次传球后球在乙手中的事件有:甲乙甲乙,甲乙丙乙,甲丙甲乙,3个结果,所以概率为38,故B 错误;3次传球后球在甲手上的事件为:甲乙丙甲,甲丙乙甲,2个结果,所以概率为28=14,故C 正确;n 次传球后球在甲手上的事件记为A n ,则有A n +1=A n A n +1+A n A n +1,则P (A n +1|A n )=0,P (A n +1|A n )=12,令p n =P (A n ),于是得P (A n +1)=P (A n )P (A n +1|A n )+P ( A n )P (A n +1|A n )=p n ㊃0+12(1-p n ),故p n +1=12(1-p n ),即p n +1-13=-12p n -13,而第一次由甲传球后,球不可能在甲手中,即p 1=0,则有p 1-13=-13,所以数列p n -13是以-13为首项,-12为公比的等比数列,所以p n -13=-13-12n -1,即p n =131--12n -1,故D 错误㊂故选C ㊂易错点拨:对于传球问题,同学们的思路容易混乱,只能单纯地利用列举法计算前几次传球对应的概率,而解决传球概率问题的关键是需要利用全概率公式找出相邻两次传球后球在甲手上的概率的递推关系,然后利用数列知识求出概率的通项公式㊂(责任编辑 王福华)3 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月。
概率论常见错误
概率论常见错误概率论作为数学的一个分支，在现代社会中具有广泛的应用。
然而，由于其复杂性和抽象性，人们在学习和应用概率论时常常会犯一些常见的错误。
本文将介绍概率论中的一些常见错误，并提供正确的解释和应对方法，以帮助读者更好地理解和应用概率论。
一、混淆事件和样本空间在概率论中，事件和样本空间是两个基本概念。
事件是指某个结果或一组结果的集合，而样本空间是指所有可能结果的全体。
常见错误之一就是混淆了事件和样本空间，导致计算概率时出现错误。
例如，考虑一个投掷一颗骰子的实验，事件A表示投掷结果是奇数，样本空间Ω表示所有的可能结果（1、2、3、4、5、6）。
有些人会错误地认为事件A的概率等于1/2，因为奇数的结果有3个，除以样本空间的大小6。
然而，这是错误的，因为事件A的定义并不是“出现奇数的概率”，而是“投掷结果是奇数”。
正确的计算方法是将事件A中包含的结果（1、3、5）的数量除以样本空间的大小，即3/6=1/2。
二、错误的使用乘法规则和加法规则乘法规则和加法规则是概率论中重要的计算方法，但常常会被错误地应用。
乘法规则用于计算事件的联合概率，即两个（或多个）事件同时发生的概率。
错误的使用乘法规则通常表现为忽略了两个事件之间的相关性。
例如，考虑两个不公平的硬币，事件A表示第一个硬币正面朝上，事件B表示第二个硬币正面朝上。
有些人在计算事件A和事件B同时发生的概率时，错误地认为概率等于两个事件各自发生的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
然而，由于两个硬币之间存在相关性，正确的计算方法应该是考虑两个事件之间的关系，并使用条件概率进行计算。
加法规则用于计算事件的并集概率，即两个（或多个）事件中至少发生一个的概率。
错误的使用加法规则通常表现为重复计算了某些事件。
例如，考虑一个生日问题，假设有30个人在同一天内过生日。
有些人错误地使用加法规则计算至少有一个人和自己生日相同的概率时，将相同生日的情况分别计算后相加，导致结果偏大。
概率纠错笔记(解析版)
概率易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错☞典例分析某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D 并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有()()()P A B P A P B=+，只有当事件A，B互斥时，等号才成立.1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 【答案】得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14. 【解析】从袋中任取一球，记事件A ＝{得到红球}，事件B ＝{得到黑球}，事件C ＝{得到黄球}，事件D ＝{得到绿球}，则有()()()()()()()()()1,35,125,1221,3P A P B C P B P C P C D P C P D P B C D P A ⎧=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=-=⎩解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14. 所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14. 【名师点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．分别以,,,A B C D 表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组，即可得到答案．易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”☞典例分析从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为21. 【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为38.利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.2．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是A．1999B．11000C．9991000D．12【答案】D【解析】投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为12，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为12，抛掷第999次正面向上的概率还是12.故选D.【名师点睛】本题主要考查了概率的基本概念及应用，其中熟记随机事件的概率的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．由题意投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为12，它不因抛掷的次数而变化，即可得到答案．易错点3 几何概型中测度的选取不正确☞典例分析在等腰直角三角形ABC 中,直角顶点为C ．（1）在斜边AB 上任取一点M,求AM <AC 的概率;（2）在∠ACB 的内部,以C 为端点任作一条射线CM,与线段AB 交于点M,求AM <AC 的概率.【错解】（1）如图所示,在AB 上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB =√2AC ．由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB ．所以()2AC P AM AC AB '<===.（2）在∠ACB 的内部作射线CM ，则所求概率为AC AC AB AB '==. 【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB 的内部作射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度.【试题解析】（1）如图所示,在AB 上取一点C',使AC'=AC,连接CC'. 由题意,知AB =√2AC ．由于点M 是在斜边AB 上任取的,所以点M 等可能分布在线段AB 上,因此基本事件的区域应是线段AB ．所以()2AC P AM AC AB '<===.（2）由于在∠ACB 内作射线CM,等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是∠ACB,又1(18045)67.52ACC '∠=-=，90ACB ∠=， 所以()ACC P AM AC ACB '∠<==∠的角度的角度67.53904=.对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则P = A ．23 B ．12 C ．49D．29【答案】D【解析】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ，平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119P ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．易错点4 错解随机变量的取值概率而致错☞典例分析从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为X ．（1）求X 的分布列；（2）求所选女生的人数至多为1的概率．【错解】（1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2，且3436A 1(0)A 5P X ===，214236A A 1(1)A 5P X ===，3(2)1(0)(1)5P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤，其概率为2(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==． 【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量X 服从参数为6N =，2M =，3n =的超几何分布．【试题解析】（1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2，且3436C 1(0)C 5P X ===， 122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤，其概率为4(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==．4．大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株成活苗可以收成大豆2.205kg .已知每粒豆苗种子成活的概率为12（假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响）. （1）求恰好有3株成活的概率；（2）记成活的豆苗株数为ξ，收成为()kg η，求随机变量ξ分布列及η数学期望E η.【答案】（1）3431024；（2）见解析. 【解析】（1）设每株豆子成活的概率为0P ，则30171128P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以4株中恰好有3株成活的概率313477343C 1881024P ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）记成活的豆苗株数为ξ，收成为=2.205ηξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ~74,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以ξ的分布列如下表：4 3.58E ξ∴=⨯=，()()= 2.205 2.2057.7175kg E E E ηξξ=⋅=.易错点5 对超几何分布的概念理解不透彻而致错☞典例分析盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．【错解】由题意可知，X 服从超几何分布，其中12N =，3M =，3n =，所以在取得正品之前已取出次品数X 的分布列为339312C C (0,1,2,3)C ()k kP X k k -===，所以已取出次品数X 的分布列为 【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“1X =”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“2X =”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品”，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题．【试题解析】由题易得X 的可能取值为0，1，2，3．19112()C 30C 4P X ===，1139212C C 9()1A 44P X ===，2139312A C 92A 2()20P X ===，3139412A C 13A 2()20P X ===，所以已取出次品数X 的分布列为求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．5．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A 、B 两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A 组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B 组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》. （1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率； （2）若从A 、B 两组中各任选2人，设X 为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）2140；（2）见解析. 【解析】（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M ，则()2173310C C 21C 40P M ==， 答：选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为2140. （2）X 可能的取值为0,1,2,3，()22432255C C 90=C C 50P X ==， ()1122111434232255C C C +C C C 121C C 25P X ===， ()1121422255C C C 13C C 25P X ===， 故()()()()32101310P X P X P X P X ==-=-=-==. 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()9123160123502510255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.掌握离散型随机变量的分布列，须注意：（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率． （2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．易错点6 混淆互斥事件与相互独立事件而致错☞典例分析甲投篮命中率为0.9，乙投篮命中率为0.8，每人投3次，两人都恰好投中2次的概率是多少？【错解】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ， 则“两人都恰好投中2次”为事件A B ，所以222233()()()C 0.90.1C 0.80.2P AB P A P B =+=⨯⨯+⨯⨯=0.627．【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．【试题解析】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，且A ，B 相互独立， 则“两人都恰好投中2次”为事件AB ，所以222233()()()C 0.90.1C 0.80.2P AB P A P B ==⨯⨯⨯⨯⨯=0.093312．1．运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立．2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．6．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09~中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为A．25B．310C．15D．110【答案】C【解析】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：P=191 10109+⨯=15．故选C．一、随机事件与概率1.事件关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．基本事件个数的计算方法(1)列举法；(2)列表法； (3)利用树状图列举.3.求互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－()P A 求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法往往会较简便. 二、古典概型1.求古典概型的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )＝mn ，求出P (A )．2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法． 3．求与古典概型有关的交汇问题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 三、几何概型1.求解与长度(角度)有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 2．求解与体积有关的几何概型的方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．3．求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．四、离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略(1)与排列组合有关分布列的求法．可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列．(2)与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．(3)与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．(4)与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．(5)超几何分布的特点超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．五、n次独立重复试验与二项分布1.条件概率的两种解法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)()=()P ABP A求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A).，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)()() n ABn A .2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．4．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)()()=()()P AB n ABP A n A=，其中，在实际应用中P(B|A)＝()()n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．5．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．6．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C kn个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.1．（2018·全国高考真题（理））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．118【答案】C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.2．（2020·河南许昌·高三三模（理））刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如下图在圆的直径CD 上任取一点E ，过点E 的弦AB 和CD 垂直，则AB 的长不超过半径的概率是（ ）A．1-B ．13C ．14D【答案】A 【详解】设圆的半径为1，则有1AB =≤，解得：2OE ≥， 又E 在直径CD上，所以所求的概率为21212CE CD ⎛- ⎝⎭==.故选：A3．（2020·河北衡水·高考模拟（理））用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A ．532B ．516C ．1132D ．1116【答案】B【解析】【详解】由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110，00111，01000，01001，01010，01011，01100，01101，01110，01111，10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，其中满足题意的有10种：10101，10110，10111，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：1053216 p==.本题选择B选项.4．（2020·山东济南·高三二模（理））某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（）A．15B．310C．25D．35【答案】C【解析】从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球共2510C=种取法，取出的两球颜色相同共22234C C+=种取法，∴中奖的概率为410=25故选C5．（2020·江西南昌·高三一模（理））五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．516B．1132C．1532D．12【答案】B【详解】根据题意，，，，，，个，，，，包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故，，，，，，个，，，，，，，，55525511112232C C⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B6．（2020·江西高安中学高二其他模拟（理））袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【详解】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D ，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立， 故选：D7．（2020·全国高三其他模拟（理））已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ）A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B 【详解】从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128P E C =-=. 故选：B8．（2020·广东执信中学高三月考）某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点()0,1,2,3i A i =下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）A ．23 B ．34C ．35D ．12【答案】A【详解】设事件“A =甲、乙两人不在同一站下车”， 因为甲、乙两人同在1A 站下车的概率为1133⨯； 甲、乙两人同在2A 站下车的概率为1133⨯； 甲、乙两人同在3A 站下车的概率为1133⨯； 所以甲、乙两人在同一站下车的概率为1113333⨯⨯=，则()12133P A =-=. 故选A.9．（2020·河北省盐山中学高二期中）2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ）A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A10．（2017·上海金山·高三一模）设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P MN =；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P MN =+= ，故（1）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN ===， 则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误；若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==- 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（5）正确. 故选D.11．（2020·浙江高三其他模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ，若()519P X ≥=，则()D Y =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A 【解析】由题意可得：()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=， 解得，13p =，则，()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===，本题选择A 选项.12．（2021·福建高三其他模拟）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ，男生的人数为变量Y ，则()()22P X P Y =+=等于( )A ．221020330C C C B ．221020330C C C + C ．211210201020330C C C C C +D ．()()211210201020330C C C C C +⋅+【答案】C 【详解】由题得211210201020333030(2),(2)C C C C P X P Y C C ====, 所以(X 2)P(Y 2)P =+==211210201020330C C C C C +. 故选：C.13．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ ）A ．13B ．29C ．49D ．827【答案】A 【详解】若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得231p p p +==，解得13p =，即按照顺时针跳的概率为13，按逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A 叶上，则跳3次之后停在A 叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针.①若先按逆时针开始从A B →，则对应的概率为222833327⨯⨯=，，若先按顺时针开始从A C →，则对应的概率为111133327⨯⨯=，则概率为81127273+=，故选A. 14．（2020·辽宁高二期末）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2，2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B .15．（2020·吉林吉林·高二期末（理））设随机变量()21,5X N ～，且()()02P X P X a ≤=≥-，则实数a的值为( ) A ．10 B ．8C ．6D ．4【答案】D 【详解】随机变量()21,5X N ～，∴正态曲线关于1x =对称，()0(2)P X P X a ≤=>-，0∴与2a -关于1x =对称，()10212a ∴+-=， 解得4a =，故选D ．16．（2019·福建莆田·高考模拟（理））现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.84【答案】C 【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，，2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，，0.8p =，故选C ．17．（2020·全国高三其他模拟）某服务性窗口可为顾客办理A ，B ，C ，D 四类业务，假设顾客办理业务所需时间相互独立，统计以往数据可得办理A ，B ，C ，D 四类业务的平均时间分别是2分钟、3分钟、4分钟、6分钟，频率分别为0.2，0.3，0.4，0.1，办理两项业务之间的间隔时间忽略不计，则工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客业务的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.16C ．0.34D ．0.09【答案】A 【详解】工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客的业务，即在第6分钟末办理完第二位顾客的业务， 则工作人员为前两位顾客办理业务的时间都是3分钟，或者一个2分钟、一个4分钟，。
概率论解题常见错误分析
概率论解题常见错误分析概率论作为数学的一个重要分支，研究的是随机事件的发生规律，具有广泛的应用领域。
然而，在解题过程中，很多人常常会犯一些常见的错误。
本文将分析这些错误，并提供相应的解决方法，帮助读者更好地掌握概率论解题的技巧。
一、未正确理解概率的定义在解决概率问题时，很多人只关注了事件的发生，而忽视了事件的可能性。
概率是对一个事件发生的可能性进行度量，通常用一个介于0到1之间的数值来表示。
因此，正确理解概率的定义是解题的关键。
为了避免这一错误，解决概率问题时需要明确事件的全部可能性，并确保这些可能性是互不相容且能够构成一个完备的事件空间。
只有在事件空间确定的前提下，才能计算事件发生的可能性。
二、概率的加法、乘法规则混淆概率的加法和乘法规则是概率论的基本定理，但很多人容易混淆这两个规则，导致解题错误。
概率的加法规则指出，对于两个互不相容的事件A和B，它们的概率和等于两个事件分别发生的概率之和。
而概率的乘法规则指出，对于两个事件A和B，它们的联合概率等于事件A的概率乘以在事件A 发生的条件下事件B发生的概率。
在解决概率问题时，应清楚地区分加法和乘法规则，并根据问题给出的条件合理运用。
混淆加法与乘法规则通常是由于未仔细审题或计算错误造成的，因此，提高审题和计算的准确性是解决这一问题的关键。
三、未正确应用贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要工具，用于在已知条件概率的基础上求解反条件概率。
然而，很多人对该定理的应用存在误解，导致解题错误。
贝叶斯定理的应用需要明确两个条件概率，即给定事件的概率和条件下事件的概率。
在解题过程中，需要正确区分这两个概念，并确保计算时使用的概率相互对应。
同时，在实际问题中，还需要根据题目所给的条件进行合理的转化，得到所需的概率结果。
为了避免贝叶斯定理的应用错误，解题时应仔细审题，明确给定条件和所求概率，并合理运用贝叶斯定理的公式进行计算。
四、样本空间选择错误样本空间是概率论中表示所有可能结果的集合，其选择对于问题的解答具有重要影响。
概率统计易错点梳理
概率7大易错点（一）随机事件例1.下列事件是随机事件的是（ ）.①当10x ≥时，lg 1x ；②当x ∈R 时，210x -=有解；③当a R ∈时，关于x 的方程20x a +=在实数集内有解；④当 sin sin αβ>时，αβ>.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】①当10x ≥时，lg 1x ，属于必然事件；②当x ∈R 时，²10x -=有解，属于必然事件；③当a ∈R 时，关于x 的方程²0x a +=需要根据a 的值确定在实数集内是否有解，属于随机事件； ④当sin sin αβ>时，可能有αβ>，属于随机事件.选C练习1．下列事件中，是随机事件的是（ ）.A ．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形B ．长度为2，3，4的三条线段可以构成一个直角三角形C ．方程2230x x ++=有两个不相等的实根D ．函数a y log x =（0a >且1a ≠）在定义域上为增函数【解析】A 为必然事件，B ，C 为不可能事件，选D练习2．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x 为某一实数时可使20x <”是不可能事件；③“明年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡（有10个次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是（ ）.A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】“明年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确，选B练习3．下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两个骰子，所得点数之和为9；③20x ≥（x ∈R ）；④方程2350x x -+=有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队在下届世界杯足球赛中夺得冠军.其中随机事件的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】①③是必然事件；②⑤是随机事件；④是不可能事件，选B（二）频率与概率例2. 蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好时机.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂，某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人_______放养的比较合理（）A．甲B．乙C．甲和乙D．以上都对【解析】由题意可知，从养蜂人甲放养的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为1101，而从养蜂人乙放养的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂概率为100101，所以这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养比较合理，选B.练习1．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用M表示“抽到次品”这一事件，则对事件M的说法正确的是（）A．概率为110B．频率为110C．概率接近110D．频率接近110【解析】事件M发生的频率为110，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近110的结论，选B.练习2．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（）（1）在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解析】（1）在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.选D练习3．下列说法正确的是( )A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是1100”表示抽奖100次就一定会中奖B．随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6D．在一副没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是1 13【解析】对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽100次就一定会中奖，故A选项错误.对于B选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误.对于C选项，朝上点数和可以是212中的一个数字，故C选项错误.对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得：所求概率为415213，故D选项正确，选D.（三）事件之间的关系例3.某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为A ，B ，不中分别记为A ，B ，事件“至少有一次击中靶心”可记为（ ）.A ．AB B ．AB AB +C ．AB AB +D ．AB AB AB ++【解析】事件“至少有一次击中靶心”包括“第一次中靶心和第二次不中靶心”，“第一次不中靶心和第二次中靶心”和“两次都中靶心”，即AB AB AB ++，选D练习1．下列结论错误的是A ．一个事件的概率可能等于0B ．对立事件一定是互斥事件C ．P （A ）+P （A ）=1D ．A 、B 为两个随机事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）【解析】在A 中，事件的概率范围是[0,1]，可得一个事件的概率可能等于0，故A 正确；在B 中，对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，故B 正确；在C 中，由对立事件的性质得：P （A ）+P （A ）=1，故C 正确；在D 中，A 、B 为两个随机事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）-()P A B ⋂，故D 错；故选D 练习2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是16，记事件A 为“向上的点数是奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P(A ∪B)＝ ( )A ．12B ．13C ．23D ．56【解析】∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是16 记事件A 为“向上的点数是奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3” ∴313121=626263P A P B P AB ===（）＝，（）＝，（） 11122233P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=（）（）（）（），选C 练习3．下列说法正确的有( ) ①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A 的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A 是不可能事件.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误∴说法正确的有两个，选C．（四）互斥事件例4. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是12.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25.求：（1）第二次闭合后出现红灯的概率；（2）三次发光后，出现一次红灯，两次绿灯的概率.【解析】（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯记为事件A，则()111 236P A=⨯=；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯记为事件B，则()133 2510P B=⨯=.以上两种情况彼此互斥，所以第二次出现红灯的概率为()()()137 61015P A B P A P B+=+=+=；（2）依题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有3种，它们的概率为①出现绿、绿、红时的概率为1233 25525⨯⨯=；②出现绿、红、绿时的概率为13251523⨯⨯=；③出现红、绿、绿时的概率为212522315⨯⨯=.以上3种情况彼此互斥，所以三次发光后，出现一次红灯、两次绿灯的概率为31234 2551575 ++=.练习1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球”【解析】对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.练习2．某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点()0,1,2,3i A i =下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）A ．23B ．34C ．35D ．12【解析】设事件“A =甲、乙两人不在同一站下车”，因为甲、乙两人同在1A 站下车的概率为1133⨯； 甲、乙两人同在2A 站下车的概率为1133⨯；甲、乙两人同在3A 站下车的概率为1133⨯； 所以甲、乙两人在同一站下车的概率为1113333⨯⨯=，则()12133P A =-=.故选A. 练习3．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。
概率论常见错误解析
概率论常见错误解析概论：在概率论中，常见的错误解析是指在概率计算过程中常见的错误做法或误区。
这些错误可能导致计算结果的不准确性，从而对决策和判断产生误导。
本文将对概率论中常见的错误解析进行详细的分析和解释。
一、等可能性错误：等可能性错误是指错误地假设所有事件具有相等的概率。
在概率论中，很多情况下事件的概率是不相等的，而是根据事件发生的可能性来确定的。
举一个简单的例子来说明这个错误：假设有一个袋子，里面有3个红球和7个蓝球，现在从袋子中随机抽取一个球，猜测其颜色。
如果遇到这个错误的假设，那么可能会错误地认为红球和蓝球的概率是相等的，即为50%。
然而，根据实际情况，红球和蓝球的概率分别为30%和70%。
因此，等可能性错误会导致对事件概率的误判。
二、独立性错误：独立性错误是指错误地假设两个事件是相互独立的。
在概率论中，独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
然而，很多情况下，事件之间都存在某种相关性，因此不能简单地将两个事件视为独立事件。
举个例子来说明这个错误：假设有一个袋子，里面有5个红球和5个蓝球，每次从袋子中随机抽取一个球不放回，并记录球的颜色。
现在连续进行5次实验，结果显示前4次抽取的球都是红色，错误地认为第五次抽取仍然是红色的概率仍然是50%。
然而，由于每次抽取球都未放回，第五次抽取的概率会受前四次抽取结果的影响，会发生变化。
因此，独立性错误会导致对事件概率的误判。
三、无限性错误：无限性错误是指错误地假设概率是无限存在的。
在概率论中，概率是一个介于0和1之间的数值，表示事件发生的可能性大小。
然而，在一些情况下，人们错误地认为概率的取值可以超出这个范围。
举个例子来说明这个错误：假设有一个自动摄像机可以连续监控某个事物的运动，保证可以无限次数地捕捉事件。
错误地认为概率是无限存在的，即认为某个事件在任意给定的时间段内都会发生。
然而，实际上，概率仅仅表示事件发生的可能性大小，而不是事件一定会发生。
四、归纳性错误：归纳性错误是指基于过去的观察和经验，错误地做出未来事件的概率判断。
考研数学概率部分的核心知识点和易错知识点总结
考研数学概率部分的核心知识点和易错知识点总结一、核心知识随机事件和概率、随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验。
涉及到的概率论与数理统计的所有知识啦。
1、交换律、结合律、分配率、的摩根律；（解题的基础）2、古典概型——有限等可能、几何模型——无限等可能；3、抽签原理——跟先后顺序无关；4、小概率原理——小概率事件在一次试验不可能发生，一旦发生就怀疑实现规律的正确性；5、条件概率：注意当条件的概率必须大于0；6、全概：原因>结果贝叶斯：结果>原因；7、相容通过事件定义，独立通过概率定义。
第二章1、0——1分布，二项分布，泊松分布X的取值都是从0开始；2、分布函数是右连续的，在求分布函数也尽量写成右连续的；3、分布函数的性质、概率密度的性质；4、连续性随机变量任一指定值的概率为0；5、概率为0不一定是不可能事件，概率为1不一定是必然事件；6、正态分布的图形性质；7、求函数的分布尽量按定义法，按定义写出基本公式；8、分段单调时应该分段使用公式再相加。
二、易错知识点1、“非等可能”与“等可能”的区别如果一次随机实验中可能出现的结果有N个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/N；如果其中某个事件A包含的结果有M个，则事件A的概率为M/N。
2、互斥与对立对立一定互斥，但是互斥不一定对立。
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P（A+B）=P（A）+P（B），必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，如果A，B对立则满足两个条件（1）P（AB）=空集；（2）P（A+B）=1。
3、互斥与独立不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P （A+B）=P（A）+P（B），事件A（或者B）是否发生不影响事件B（或者A）发生的概率，则A和B独立。
此时P（AB）=P（A）p（B）；概率为0或者1的事件与任何事件都独立，如果两个事件存在包含关系，则两个事件不独立；如果0〈P（A）〈1，0〈P（B）〈1，如果A，B互斥则不独立，如果A，B独立则不互斥（注意条件）。
概率论易错点总结
概率论易错点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性。
许多概率论的概念和方法在实际应用中具有广泛的适用性，然而，由于其抽象性和复杂性，学习者常常会在某些易错点上出现困惑。
本文将对概率论学习中常见的易错点进行总结，以帮助读者克服困难，提高在概率论领域的理解和应用能力。
一、样本空间与事件在概率论中，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合，而事件是指样本空间的一个子集。
样本空间和事件是概率论中最基本的概念之一。
然而，学习者常常会对样本空间和事件的定义产生混淆，导致在后续的计算中出现错误。
样本空间的确定是概率计算的基础，它需要充分理解随机试验的情境，并将所有可能结果进行清晰地描述。
在描述样本空间时，需要注意不漏掉任何可能的情况，同时也不能重复计算。
事件是样本空间的子集，它描述了我们所关心的某些可能结果。
在确定事件时，需要考虑到事件的具体性质，并选择合适的子集。
常见的错误包括将样本空间作为一个事件，或者错误地将某些结果包含在多个事件中。
二、概率的计算方法概率的计算方法是概率论学习中的另一个易错点。
为了准确地计算概率，需要理解和应用一些基本的计算方法。
1.古典概型古典概型是指每个基本事件发生的可能性相等的情形。
在古典概型中，概率可以通过事件的样本点数与样本空间的样本点数之比来计算。
然而，在实际问题中，古典概型并不常见，学习者应注意在选择计算方法时的差异性。
2.几何概率几何概率是指利用几何图形和几何关系来计算概率的方法。
几何概率常用于连续型随机变量的概率计算，例如计算某个区间内的概率密度。
学习者在使用几何概率时，应注意选择适当的几何模型，并准确描述区域和边界。
3.条件概率条件概率是指在给定某一条件下事件发生的概率。
条件概率的计算需要结合条件事件和辅助事件的概率来进行。
常见的错误是将条件概率的计算与辅助事件的概率计算混淆，导致结果不准确。
4.独立性独立性是指两个事件之间的无关性。
在计算独立事件的概率时，需要应用乘法法则。
概率论考试常见错误
1 4 1 1 1 1 4 1 4 1 1 1 4 1
1
可得 注
P{X=Y}= 4 + 4 = 2 , P{X+Y=0}= 4 + 4 = 2 用其他表达形式得到结果,类比给分.
4. 在区间[0, 2]上任意取两个数 x, y，试求两数满足不等式 x 2 ≤ 4 y ≤ 4 x 的概率. 解答 “任意选取两个数”意味 x 和 y 在[0, 2]上 等可能被选取，即二维随机点( X, Y)在边长为 2 的正方形上服从均匀分布， 所求概率为 1 2 1 1 p = ∫ ( x − x 2 )dx = . 4 0 4 3
6.错误答案有：
10.错误：有的同学全部用 P(AB)=P(A)P(B)公式来求。 另外一个错误是 P ( AB) = P( A ∪ B ) − P( AB) =2r-p-q。
12.（2）把互不相容与互相独立相混淆，错误认为 P ( B A) = P( B ) P( A) =1/3。 17．错误有： A1 ∪ A2 ⊂ A 和 P ( A1 + P ( A2 ) − 1 = P ( A1 A2 ) 22.（3）错误答案
对所有实数组 ( x1 , x 2 ,
成立, 称 X 1 , X 2 , 若对一切 1 ≤ i1 < i2 ≤ n 及 ( xi1 , xi2 ) 都有 F ( xi , xi ) = Fi ( x1 ) Fi ( xi )
1 2 1 2 2
x n ) 均有 F ( x1 , x 2 , x n ) = F1 ( x1 ) F2 ( x 2 ) , X n 相互独立.
1 4 C6 A4 =1/210. 5 A10
还有一些普遍问题： 1. 书写不规范，完全没有假设 A={事件…}就直接 P=….，证明题也一样存在格 式不规范问题。 2. 没有计算出结果。
九年级概率易错知识点
九年级概率易错知识点九年级数学中的概率是一个相对抽象和难以理解的概念，因此很容易出现一些常见的错误。
本文将介绍九年级概率中的一些易错知识点，并希望能够帮助同学们更好地理解和掌握概率的概念。
第一个易错知识点是概率的定义。
概率通常用来描述一个事件发生的可能性大小。
然而，概率并不是绝对的，而是以0到1之间的数值来表示的。
有些学生错误地认为概率是一个具体的数值，比如50%或者0.5，而忽略了概率的相对性。
概率为0表示事件不可能发生，而概率为1表示事件一定会发生。
在中间的范围内，概率越大，事件发生的可能性就越高。
第二个易错知识点是事件的独立性。
有些学生错误地认为两个事件同时发生的概率就等于它们各自发生的概率之积。
然而，这只是在事件之间没有任何联系的情况下成立的。
如果两个事件发生是相互独立的，那么它们的概率确实可以直接相乘。
但是，如果两个事件是相关的，那么它们的概率应该通过其他方法来计算。
第三个易错知识点是互斥事件的概率。
互斥事件是指不能同时发生的事件。
有些学生错误地认为互斥事件的概率之和一定等于1。
然而，这只是在存在其他可能性的情况下成立的。
如果只考虑这两个互斥事件，那么它们的概率之和应该等于1。
但是，如果存在其他可能性，那么概率之和可能会小于1。
第四个易错知识点是频率和概率的区别。
频率是指某个事件在多次重复试验中出现的次数与总试验次数之比，而概率是指某个事件发生的可能性大小。
有些学生错误地将频率和概率混淆，认为它们是同样的概念。
然而，频率是通过实验观察得到的值，而概率是用来预测事件发生可能性的数值。
第五个易错知识点是事件的补事件。
补事件是指与某个事件不相容的事件。
有些学生错误地认为事件的补事件就是事件本身的概率减去1。
然而，补事件的概率应该是1减去对应事件的概率。
这是因为事件和其补事件之间构成了一个完备的样本空间，而样本空间的概率一定等于1。
以上是九年级概率中常见的易错知识点。
通过理解并纠正这些错误，同学们可以更好地应对概率相关的问题。
概率论易错点分析与纠正
概率论易错点分析与纠正概率论是数学的重要分支之一，研究随机事件的发生和可能性的数学原理。
在学习概率论的过程中，经常会遇到一些易错的点，这些点对于我们掌握概率论的基本概念和应用是非常关键的。
本文将对概率论的一些常见易错点进行分析，并给出纠正方法，以帮助读者更好地理解和应用概率论知识。
一、概率的基本概念1. 概率的定义概率是描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率越大，事件发生的可能性就越高；概率越小，事件发生的可能性就越低。
在计算概率时，我们常常将事件发生的次数除以总的试验次数，得到的比值就是概率。
然而，在计算概率时，很容易出现错误。
一些常见的错误包括未正确计算事件发生的次数，未考虑到所有可能的情况等。
因此，在计算概率时，务必要仔细思考，并使用正确的方法和公式。
2. 互斥事件和对立事件的关系互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，而对立事件是指两个事件中必有一个事件发生的情况。
在概率论中，互斥事件和对立事件有着密切的关系。
互斥事件之间的概率是可以相加的，对立事件之间的概率是可以相互补充的。
但是在实际问题中，很容易将互斥事件和对立事件混淆，导致计算错误。
为了避免这种错误，我们应该在分析问题时，清楚地理解互斥事件和对立事件的概念，正确应用概率计算的规则。
二、条件概率与独立性1. 条件概率的计算条件概率是指在已知某种条件下，事件发生的概率。
条件概率的计算需要利用到全概率公式和贝叶斯公式等数学原理。
在计算条件概率时，常常出现计算错误的情况，例如未正确计算条件下事件发生的次数，未正确应用条件概率的计算公式等。
为了避免这种错误，我们应该仔细阅读问题，清楚理解条件概率的含义，并正确应用概率计算的公式和方法。
2. 独立事件的判断独立事件是指两个事件之间相互不影响的情况。
在判断事件是否独立时，常常出现错误的情况，例如未正确理解独立事件的定义，未考虑到事件之间可能存在的相关性等。
为了避免这种错误，我们应该了解独立事件的概念，并根据具体情况判断事件是否独立。
【易错题专练】易错点15 概率-高考数学复习-考试易错题(学生版)
易错点15 概率易错点1.事件、频率和概率概念理解错误1.事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)记作A⊆B(或B⊇A)互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作A若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立2.事件的运算定义表示法图示并事件给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)记作A＋B(或A∪B)交事件给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)记作AB(或A∩B)3.用频率估计概率一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，其中，m是n次重复试验事件A发生的次数，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn .易错点2.古典概型公式理解错误 1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型. 2.古典概型的概率公式古典概型中，假设样本空间含有n 个样本点，如果事件C 包含有m 个样本点，则P (C )＝mn . 3.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有0≤P (A )≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0； 性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝1－P (B )； 性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1.性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ).易错点3.条件概率和全概率公式理解错误 1.相互独立事件一般地，当P (AB )＝P (A )P (B )时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立).如果事件A 与B 相互独立，则A －与B －，A 与B ，A －与B －也相互独立. 2.条件概率(1)概念：一般地，当事件B 发生的概率大于0(即P (B )>0)时，已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为条件概率，记作P (A |B )，而且P (A |B )＝P （A ∩B ）P （B ）.(2)两个公式①利用古典概型，P (B |A )＝n （AB ）n （A ）；②概率的乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A ). 3.全概率公式一般地，如果样本空间为Ω，A ，B 为事件，则BA 与B A －是互斥的，且B ＝BΩ＝B (A ＋A －)＝BA ＋B A －，从而P (B )＝P (BA ＋B A －)＝P (BA )＋P (B A －)，当P (A )>0且P (A －)>0时，有P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P(B|A －).1．甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A ，B ，C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A 小区、乙不在B 小区服务的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．7122．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．310 B ．35C ．710 D ．453．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ） A ．427B ．827C ．29D ．494．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A 为“4个人去的景点各不相同”，事件B 为“只有甲去了九嶷山”，则(|)P A B （ ） A ．59B ．49C ．29D ．135．从装有a 个红球和b 个蓝球的袋中(a ，b 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为1A ，“第一次摸球时摸到蓝球”为2A ；“第二次摸球时摸到红球”为1B ，“第二次摸球时摸到蓝球”为2B ，则下列说法错误的是（ ） A ．()1a P B a b=+B ．()()11211P B A P B A +=∣∣C ．()()121P B P B +=D ．()()21121P B A P B A +=∣∣1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．232．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大3．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ） A ．225B ．116C ．125D ．1324．一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（ ） A ．事件甲与事件丁为对立事件 B ．事件乙的概率是事件丁的6倍 C ．事件丙和事件丁相互独立D ．事件甲与事件丙相互独立5．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件C 是对立事件 B ．事件A 与事件B 不是相互独立事件 C ．()()()18P A P B P C ⋅⋅=D ．()18P ABC =一、单选题1．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ） A ．322B ．16C ．323 D ．182．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是（ ） A ．“至少有1件次品”与“全是次品” B ．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品” C ．“至少有1件次品”与“全是正品” D ．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”3．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ） A ．23B ．13C ．29D ．194．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件k A 表示“第k 只飞出笼的是苍蝇”，1,2,,8k =⋅⋅⋅，则()52|P A A 为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．255．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A ．127B ．19C ．827D ．16276．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A 、B 两个封闭的盒子中，甲从盒子A 中，乙从盒子B 中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A 中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B 中．按上述规则重复两次后，盒子A 中恰有8个球的概率是（ ）A ．1770B ．1735C ．12D ．1167．在二项式n的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）A ．14B ．12C ．512D ．15288．为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“10合1检测法”，即将10个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对来自重点管控区的100人进行核酸检测，若有2人感染病毒，则随机将其平均分成10组后这两名感染患者在同一组的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．110二、多选题9．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为1210．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()2311P B A =D ．()25P B =三、解答题11．台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量X的分布列．12．我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,, 1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.。
概率论解题常犯错误
概率论解题常犯错误概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性和规律。
在解题过程中，我们常常会犯一些错误。
本文将详细介绍概率论解题中常见的错误，并提供相应的解决方法，旨在帮助读者更好地理解和应用概率论知识。
一、概率的基本概念错误在解题过程中，我们常常会犯一些概率的基本概念错误。
例如，混淆了事件和随机变量的概念，将概率定义为事件发生的次数，或者误用概率的加法和乘法定理等。
为了避免这些错误，我们应该牢固掌握概率论的基本概念。
首先，要清楚区分事件和随机变量。
事件是随机试验中的某个结果或一组结果，可以用英文大写字母表示，如A、B、C等；而随机变量则是描述事件结果的一个变量，通常用小写字母表示，如X、Y、Z等。
其次，要正确理解概率的定义。
概率是事件发生的可能性大小的度量，它的取值范围在0到1之间。
对于某一事件A的概率，通常用P(A)表示。
最后，要正确应用概率的加法和乘法定理。
概率的加法定理用于计算两个事件的并集的概率，而概率的乘法定理用于计算两个事件的交集的概率。
在应用这两个定理时，我们要注意事件之间的独立性和互斥性。
二、样本空间与事件的确定错误在解题过程中，我们需要明确随机试验的样本空间和所关心的事件，从而进行概率计算。
然而，我们有时会犯一些样本空间和事件的确定错误。
在确定样本空间时，我们应该考虑实际情况，列举出所有可能出现的结果。
例如，投掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，而不是{1，2}。
在确定事件时，我们需要针对具体问题思考，明确所关心的结果。
例如，当抽取一副标准扑克牌中的一张牌时，事件“抽到红桃”可以表示为A={红桃}，而不是A={A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K}。
三、概率计算过程中的错误在概率计算过程中，我们常常会犯一些计算错误。
例如，没有正确应用概率的定义和性质，计算过程中出现漏算、重算等错误。
为了避免这些错误，我们应该采取合适的方法和步骤进行计算。
首先，要正确应用概率的定义和性质。
-概率易错点
概率易错知识点总结（原创）1、“非等可能”与“等可能”的区别如果一次随机实验中可能出现的结果有N个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/N；如果其中某个事件A包含的结果有M个，则事件A的概率为M/N。
2、互斥与对立对立一定互斥，但是互斥不一定对立。
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P（A+B）=P（A）+P（B），必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，如果A，B对立则满足两个条件（1）P（AB）=空集；（2）P（A+B）=1。
3、互斥与独立不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P （A+B）=P（A）+P（B），事件A（或者B）是否发生不影响事件B（或者A）发生的概率，则A和B独立。
此时P（AB）=P（A）p（B）；概率为0或者1的事件与任何事件都独立，如果两个事件存在包含关系，则两个事件不独立；如果0〈P（A）〈1，0〈P（B）〈1，如果A，B互斥则不独立，如果A，B独立则不互斥（注意条件）。
4、排列与组合这一点还是比较简单的，不过还是有部分同学不太清楚。
排列与顺序有关，组合与顺序无关。
还有一点要注意；同类相乘有序，不同类相乘无序。
5、不可能事件与概率为0的随机事件这两者之间的关系为：不可能事件的概率P(Ф)=0,但是反过来，概率为零的随机事件A未必是不可能事件，也就是说，由P(A)=0推不出A=Ф,例如连续型随机变量在任何一点的概率都为0。
6、必然事件Ω与概率为1的事件即必然事件的概率为1，但是概率为1的事件未必是必然事件，即由P(A)=1推不出A=Ω，对于一般情形，由P(A)=P(B)同样不能推得A=B即A=B仅仅是(A)=P(B)的充分条件。
7、有关条件概率，一般记为P(A|B)表示 B事件的发生条件下A发生的概率，这里我要说明的是如果"B是A的子集"那么P(B|A)=P(B)是不对的，按推导P(B|A)=P(AB)/P(A)只有当P(A)=1时原式才等于P(B);同样可以理解P(A|B)=1如果我写出P(A|B)=1那么会有一半多的朋友会认为B是A的真子集，其实这是一道93年的真题，事实上这是一道错题，错就错在“B是A的真子集”是P(A|B)=1的充分条件，而不是必要条件，举个例子P(A|B)=P(AB)/P(B)(这里P(AB)是服从0~1分布的在区间为(0，1/2)的概率，P(B)是服从0~1分布的在区间为[0，1/2] 概率，他们的比也是1但是A不是B的真子集。
概率(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
专题12概率易错点一：互斥与对立混淆致误（随机事件的概率）Ⅰ：首先明确什么是随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示．随机试验的要求：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确的，结果不止一种；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一种，但事先不能确定出现哪一种结果．Ⅱ：随机事件的前提样本空间我们把随机试验E 的每个可能出现的结果称为样本点，全体样本集合称为试验E 的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n 个可能结果1ω，2ω，…，n ω，则称样本空间}{12,,,n ωωωΩ= 为有限样本空间．Ⅲ：两类事件：随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．（2）Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．（3）在每次试验中都不可能发生，我们称为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为随机事件的确定事件．注意：事件的运算可以用韦恩图可以破解Ⅳ：互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，即=A B ∅ ，则称事件A 与事件B 互斥，可用韦恩图表示如下：如果1A ，2A ，…，n A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A ，．2A ．，…，n A 彼此互斥．（2）对立事件：若事件A 和事件B 在任何一次实验中有且只有一个发生，即A B =Ω 不发生，A B =∅ 则称事件A 和事件B 互为对立事件，事件A 的对立事件记为A ．（3）互斥事件与对立事件的关系（重点）①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．Ⅴ：概率与频率（1）频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数，频数k 与总次数n 的比值kn，叫做事件A 发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A 发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率kn来估计概率()P A ．随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A 的概率用()P A 表示.解题步骤如下：第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；第三步：分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第四步：利用公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．易错提醒：对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对例、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都是从1~10）中，任取一张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．变式1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（）A ．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”B ．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”C ．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”D ．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”变式2．设A ，B 是两个随机事件，A ，B 分别为A ，B 的对立事件．给出以下命题：①若A ，B 为互斥事件，且()12P A =，()13P B =，则()56P A B +=；②若()12P A =，()13P B =，且()16P AB =，则A ，B 相互独立；③若()12P A =，()13P B =，且()13P AB =，则A ，B 相互独立；④若()12P A =，()13P B =，且()16P AB =，则A ，B 相互独立．其中所有真命题的序号为（）A ．①B ．②C ．①②③D ．②③④变式3．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝“两次都击中飞机”，B ＝“两次都没击中飞机”，C ＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D ＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（）A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝DD ．A ∪B ＝B ∪D1．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是12，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是45，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（）A ．38B ．110C ．15D ．3162．已知Ω为随机试验的样本空间，事件A ，B 满足,A B ⊆Ω⊆Ω，则下列说法正确的是（）A ．若AB ⊆，且()()11,32P A P B ==，则()56P A B +=B ．若A B ⋂=∅，且()()11,32P A P B ==，则()56P A B +=C ．若()()()11,32P A P A B P B ===，则()14P B A =D ．若()()()133,,248P A P A B P A B ===，则()23P B =3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）A ．()25P B =B ．()2411P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A ，2A ，3A 两两互斥4．已知,,A B C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．()()()|||P BC A P B A P C A =+ C ．()|1P A A =D ．()()|P A B P AB <5．甲、乙、丙、丁四名教师分配到A ，B ，C 三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件M ：“甲分配到A 学校”；事件N ：“乙分配到B 学校”，则（）A ．事件M 与N 互斥B ．()13P M =C ．事件M 与N 相互独立D ．()512P M N =6．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A ，B ，C 三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A ，B ，C 三种商品的概率分别为12，13，16，乙兑换A ，B ，C 三种商品的概率分别为12，16，13，且他们兑换何种商品相互独立.(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；(2)记X 为两人兑换商品后的积分总余额，求X 的分布列与期望7．截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙等12支参赛球队平均分成A ，B ，C 三个小组．(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．8．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元.奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为45，34，23.第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响.(1)求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；(2)设小刘所得奖金为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.9．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为12，乙、丙比赛乙胜概率为13，丙、甲比赛丙胜概率为23，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.10．某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为()01p p <<，且甲组最终获得冠军的概率为12（每局比赛没有平局）.(1)求p ；(2)已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球?易错点二：混淆基本事件的“等可能性”与“非等可能性”致误（古典概率）古典概型（1）定义一般地，若试验E 具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E 为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率()()()n A k P A n n ==Ω.（3）概率的基本性质（1）对于任意事件A 都有：0()1P A ≤≤．（2）必然事件的概率为1，即()=1P Ω；不可能事概率为0，即()=0P ∅．（3）概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．推广：一般地，若事件1A ，2A ，…，n A 彼此互斥，则事件发生（即1A ，2A ，…，n A 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A +++=+++．（4）对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-，()1()P B P A =-，且()()()1P A B P A P B =+= ．（5）概率的单调性：若A B ⊆，则()()P A P B ≤．（6）若A ，B 是一次随机实验中的两个事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+- ．解题步骤如下：第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；第三步：分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第四步：利用公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．易错提醒：在解决古典概型问题时要分清事件与基本事件，每个基本事件发生的概率都是相等的，而某个事件可能包含几个基本事件，要注意区分，避免出错.例、设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．（1）求这2只球都是白球的概率；（2）求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．变式1：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．15B．25C．35D．45变式2：一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ，则随机变量ξ的期望为_____________．变式3：已知不透明的袋中装有三个黑球（记为1B，2B和3B）、两个红球（记为1R和2R），从中不放回地依次随机抽取两球．(1)用集合的形式写出试验的样本空间；(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．1．某学校举办作文比赛，共5个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．23B．45C．12D．132．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（）A．17B．1835C．2235D．4153．“二十四节气”是我国上古农耕文明的产物，农耕生产与大自然的节律息息相关，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁（年）中时候（时令）、气候、物候等变化规律所形成的知识体系．“二十四节气”对今天的农业生产仍有着重要的指导意义．传统四季划分是以立春、立夏、立秋、立冬作为起始．现从“二十四节气”中随机抽取两个节气，则这两个节气恰在同一季的概率为（）A．223B．523C．1069D．10234．某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书籍数量，发现读书不低于6本的人数占12%，不低于8本的人数占4%.现从读书不低于6本的学生中随机地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（）A ．15B ．815C ．35D ．7155．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，记事件A 为“3个孩子中有男有女”，则()P A =（）A ．13B ．12C ．23D ．346．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（）A ．13B ．23C ．34D ．8157．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ，y ，设事件1A =“5x y +=”，事件2A =“2y x =”，事件3A =“2x y +为奇数”，则（）A ．()119P A =B ．()2112P A =C ．1A 与3A 相互独立D ．2A 与3A 相互独立8．某公司为了推广旗下的某款App ，在2024年春节来临之前，推出了集“福卡”得奖励的活动，其中“福卡”有5种，分别是“福到”“财到”“喜到”“缘到”“运到”．规则如下：①通过登录这款App 或推荐新用户下载并使用这款App 可获得若干抽奖次数；②每次抽奖可获得一张“福卡”；③5种“福卡”是系统随机分配的；④用户集齐5种“福卡”后，便可获得App 提供的奖励；⑤集齐5种“福卡”后，用户不再抽奖，活动结束；⑥用完所有抽奖机会，活动结束．现在甲参加了集“福卡”得奖励的活动．(1)已知甲已经集了其中的2种“福卡”，还有3次抽奖机会，求甲获得奖励的概率；(2)已知甲已经集了其中的3种“福卡”，还有4次抽奖机会，记活动结束时，甲使用的抽奖次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．9．某地区运动会上，有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这三位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立.(1)分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率；(2)设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为X ，估计X 的数学期望()E X .10．某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；(2)从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.易错点三：条件概率应用错误（条件概率）Ⅰ：条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么()|)(P B P B A ≠；（2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．Ⅱ：相互独立与条件概率的关系相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．Ⅲ：全概率公式全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j ni i i P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑易错提醒：条件概率：设A ，B 是条件S 下的两个随机事件，()0P A >，则称在事件A 发生的条件下事件构造的事件．要注意概率()|P A B 与()P AB 的区别：（1）在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生．（2）样本空间不同，在()|P A B 中，事件B 成为样本空间；在()P AB 中，样本空间仍为Ω，因而有()()|P A B P AB ≥．例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，求其至少有1个男孩的概率．变式1：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45变式2：设某种灯管使用了500h 还能继续使用的概率是0.94，使用到700h 后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h 的灯管还能继续使用到700h 的概率是多少？变式3：有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．1．连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（）A ．12B ．58C ．34D ．782．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A 为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线路不同”，则(|)P B A =（）A ．15B ．45C ．34D ．143．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A ：甲和乙选择的活动各不同，事件B ：甲和乙恰好一人选择①，则(|)P B A 等于（）A ．15B ．25C ．925D ．9204．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A ，B ，C ，D ，E 共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A 被抽到的条件下，学生B 也被抽到的概率为（）．A ．13B ．12C ．23D ．185．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7()24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =6．已知Ω为随机试验的样本空间，事件A ，B 满足,A B ⊆Ω⊆Ω，则下列说法正确的是（）A ．若A B ⊆，且()()11,32P A P B ==，则()56P A B +=B ．若A B ⋂=∅，且()()11,32P A P B ==，则()56P A B +=C ．若()()()11,32P A P A B P B ===，则()14P B A =D ．若()()()133,,248P A P A B P A B ===，则()23P B =7．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.8．从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A ，B ，C 三个项目，三个测试项目相互不受影响.(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从,,A B C 三个项目中选一项测试，且他测试,,A B C 三个项目“通过”的概率分别为311,,522.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是A 的概率；(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择A B C --的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为a ，第三项通过的概率为b .若他获得一等奖的概率为18，求他获得二等奖的概率P 的最小值.9．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.10．从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为()1,2,3,n P n =⋅⋅⋅.①直接写出1P ，2P ，3P 的值；②求1n P +与n P 的关系式()*n ∈N ，并求出()*n P n ∈N .。
“概率”章节易错点归纳例析
学习指导２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀概率 章节易错点归纳例析◉江苏省海安市立发中学㊀于明华㊀㊀ 概率 章节涉及到的概念㊁公式较多,很多学生往往会因为对概念㊁公式理解不清,考虑问题不全面等造成这样或那样的解题错误,故很有必要归类总结常见解题易错点．１易错点一:将 非等可能 与 等可能 混同例１㊀掷两枚骰子,求事件A为 出现的点数之和等于３ 的概率．错解:掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为２,３,４, ,１２,而满足事件A的结果只有数值３,故P(A)＝１１１．剖析:上述错解的根源在于没有厘清公式P(A)＝mn中的n,m的具体含义．正解:掷两枚骰子出现的等可能结果有(１,１),(１,２), ,(１,６),(２,１),(２,２), ,(２,６), ,(６,１),(６,２), ,(６,６),共３６种．在这些结果中,事件A包含两种等可能结果:(１,２),(２,１)．故所求概率为P(A)＝２３６＝１１８．２易错点二:将目标事件包含的基本事件的个数算错㊀㊀例２㊀甲㊁乙二人参加普法知识竞赛,共有１０个不同的题目,其中选择题６个,判断题４个,甲㊁乙二人依次各抽取一题．求甲㊁乙二人至少有一个抽到选择题的概率．错解:因为甲抽到选择题的事件数是６ˑ９,乙抽到选择题的事件数６ˑ９,所以甲㊁乙二人至少有一个抽到选择题的事件数为１２ˑ９．又甲㊁乙二人依次各抽取一题的事件数是１０ˑ９,故甲㊁乙二人至少有一个抽到选择题的概率是１２１０＝６５．剖析:由于考虑不细致,实际上把甲㊁乙二人都抽到选择题的事件数计算了两次,这是上述错解的根本原因．正解:甲㊁乙二人依次各抽取一题的基本事件的总数是１０ˑ９＝９０．甲㊁乙二人至少有一个抽到选择题,包括以下三种情形:(１)只有甲抽到了选择题,事件数是６ˑ４＝２４;(２)只有乙抽到了选择题,事件数是６ˑ４＝２４;(３)甲㊁乙同时抽到选择题,事件数是６ˑ５＝３０．故甲㊁乙二人至少有一个抽到选择题的概率是２４＋２４＋３０９０＝１３１５．３易错点三:没有注意抽取时是否 放回例３㊀一个袋子中有红㊁白㊁蓝三种颜色的球共２４个,除颜色外完全相同,已知蓝色球３个．若将这三种颜色的球分别进行编号,并将１号红色球,１号白色球,２号蓝色球和３号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取出的球放回),求甲取出的球的编号比乙的大的概率．错解:记 甲取出的球的编号比乙的大 为事件A．所有的基本事件有(红１,白１),(红１,蓝２),(红１,蓝３),(白１,红１),(白１,蓝２),(白１,蓝３),(蓝２,红１),(蓝２,白１),(蓝２,蓝３),(蓝３,红１),(蓝３,白１),(蓝３,蓝２),共１２个．事件A包含的基本事件有(蓝２,红１),(蓝２,白１),(蓝３,红１),(蓝３,白１),(蓝３,蓝２),共５个．故P(A)＝５１２．剖析:由于题目要求 甲先取,取出的球放回 ,而上述解题过程却是按 不放回 的方式思考的,这是导致上述错误的根源所在．注意:如果把 甲先取,取出的球放回 这句话修改为 甲先取,取出的球不放回 ,那么上述错解就是正确的．正解:记 甲取出的球的编号比乙的大 为事件A．所有的基本事件有(红１,白１),(红１,蓝２),(红１,蓝３),(白１,红１),(白１,蓝２),(白１,蓝３),(蓝２,红１),(蓝２,白１),(蓝２,蓝３),(蓝３,红１),(蓝３,白１),(蓝３,蓝２),(红１,红１),(白１,白１),(蓝２,８４２０２３年１２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀蓝２),(蓝３,蓝３),共１６个．事件A包含的基本事件有(蓝２,红１),(蓝２,白１),(蓝３,红１),(蓝３,白１),(蓝３,蓝２),共５个．故根据古典概型可知,P(A)＝５１６．４易错点四:没有注意 公式成立的前提条件 例４㊀一盒中装有各色球６个,其中２个红球㊁２个黑球㊁２个白球,现从中随机取出２个球,求至少有一个红球或一个黑球的概率．错解:设事件R为 从中随机取出２个球 ;事件A为 从中随机取出２个球,至少有一个红球或一个黑球 ;事件B为 从中随机取出２个球,有一个红球 ;事件C为 从中随机取出２个球,有一个黑球 ．事件R包含的基本事件有(红１,黑１),(红１,黑２), (红１,白１),(红１,白２),(红２,黑１),(红２,黑２), (红２,白１),(红２,白２),(黑１,白１),(黑１,白２), (黑２,白１),(黑２,白２),(红１,红２),(黑１,黑２), (白１,白２),共１５个．事件B包含的基本事件有(红１,黑１),(红１,黑２), (红１,白１),(红１,白２),(红２,黑１),(红２,黑２), (红２,白１),(红２,白２),(红１,红２),共９个．事件C包含的基本事件有(红１,黑１),(红１,黑２), (红２,黑１),(红２,黑２),(黑１,白１),(黑１,白２), (黑２,白１),(黑２,白２),(黑１,黑２),共９个．故由互斥事件的概率加法公式,可得P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝９１５＋９１５＝６５．剖析:利用互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)时,要注意事件A与B必须互斥．而本题中由于事件B,C都包含基本事件(红１,黑１), (红１,黑２),(红２,黑１),(红２,黑２),所以事件B,C 不是互斥的,从而事件A不能转化为事件B,C之和,这是上述错解的根源所在．正解:设事件R为 从中随机取出两个球 ;事件A为 从中随机取出２个球,至少有一个红球或一个黑球 ;事件B为 从中随机取出２个球,有红球无黑球 ;事件C为 从中随机取出２个球,有黑球无红球 ;事件D为 从中随机取出２个球,既有红球又有黑球 ．事件R包含的基本事件有(红１,黑１),(红１,黑２), (红１,白１),(红１,白２),(红２,黑１),(红２,黑２), (红２,白１),(红２,白２),(黑１,白１),(黑１,白２), (黑２,白１),(黑２,白２),(红１,红２),(黑１,黑２), (白１,白２),共１５个．事件B包含的基本事件有(红１,白１),(红１,白２), (红２,白１),(红２,白２),(红１,红２),共５个．事件C包含的基本事件有(黑１,白１),(黑１,白２), (黑２,白１),(黑２,白２),(黑１,黑２),共５个．事件D包含的基本事件有(红１,黑１),(红１,黑２), (红２,黑１),(红２,黑２),共４个．因为易知事件A可转化为彼此互斥的事件B,C, D之和,即A＝B＋C＋D,故由互斥事件的概率加法公式,得所求概率为为P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝５１５＋５１５＋４１５＝１４１５．５易错点五:将具体问题中的 测度 搞错图１例５㊀如图１,在әA B C中,øB＝π３,øC＝π４,高A D＝３,在øB A C内作射线AM交B C于点M,求B M＜１的概率．错解:由图易计算得B D＝１,D C＝３,故由题设及几何概型的概率计算公式得所求概率P＝B DB C＝１１＋３＝３－１２．剖析:解题时,要特别注意对 在øB A C内作射线AM交B C于点M 这句话的准确理解,由此可确定本题的测度应该是 角度 ,而不是 长度 !所以上述错解就是求概率时因转化错误而导致的．注意:如果把 在øB A C内作射线AM交B C于点M 这句话修改为 在线段B C上找一点M ,那么上述错解就是正确的．正解:由图易计算得B D＝１,D C＝３,所以目标事件发生的区域为øB A D．又øB A D＝π２－π３＝π６,øB A C＝π－π３－π４＝５π１２,所以由几何概型的概率计算公式得B M＜１的概率P＝øB A DøB A C＝π６５π１２＝２５．总之,关注 概率 章节常见解题易错点,有利于帮助学生加深对教材基本知识和方法的准确理解,养成审慎思考的良好习惯,同时,能够较好地培养学生数据分析㊁数学运算以及直观想象等核心素养．一言以蔽之,关注易错点,有利于借误导悟,有利于逐步积累解题经验,避免一些常见错误的产生!Z９４。
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概率易错知识点总结（原创）
1、“非等可能”与“等可能”的区别
如果一次随机实验中可能出现的结果有N个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/N；如果其中某个事件A包含的结果有M个，则事件A的概率为M/N。
2、互斥与对立
对立一定互斥，但是互斥不一定对立。
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P（A+B）=P（A）+P（B），必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，如果A，B 对立则满足两个条件（1）P（AB）=空集；（2）P（A+B）=1。
3、互斥与独立
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，如果A，B互斥则P（A+B）=P（A）+P（B），事件A（或者B）是否发生不影响事件B（或者A）发生的概率，则A和B独立。
此时P（AB）=P（A）p（B）；概率为0或者1的事件与任何事件都独立，如果两个事件存在包含关系，则两个事件不独立；如果0〈P（A）〈1，0〈P（B）〈1，如果A，B互斥则不独立，如果A，B独立则不互斥（注意条件）。
4、排列与组合
这一点还是比较简单的，不过还是有部分同学不太清楚。
排列与顺序有关，组合与顺序无关。
还有一点要注意；同类相乘有
序，不同类相乘无序。
5、不可能事件与概率为0的随机事件
这两者之间的关系为：不可能事件的概率P(Ф)=0,但是反过来，概率为零的随机事件A未必是不可能事件，也就是说，由P(A)=0推不出A=Ф,例如连续型随机变量在任何一点的概率都为0。
6、必然事件Ω与概率为1的事件
即必然事件的概率为1，但是概率为1的事件未必是必然事件，即由P(A)=1推不出A=Ω，对于一般情形，由P(A)=P(B)同样不能推得A=B即A=B仅仅是(A)=P(B)的充分条件。
7、有关条件概率，
一般记为P(A|B)表示B事件的发生条件下A发生的概率，这里我要说明的是如果"B是A的子集"那么P(B|A)=P(B)是不对的，按推导P(B|A)=P(AB)/P(A)只有当P(A)=1时原式才等于P(B);同样可以理解P(A|B)=1如果我写出P(A|B)=1那么会有一半多的朋友会认为B是A的真子集，其实这是一道93年的真题，事实上这是一道错题，错就错在“B是A的真子集”是P(A|B)=1的充分条件，而不是必要条件，举个例子P(A|B)=P(AB)/P(B)(这里P(AB)是服从0~1分布的在区间为(0，1/2)的概率，P(B)是服从0~1分布的在区间为[0，1/2] 概率，他们的比也是1但是A不是B的真子集。