二次函数七大综合专题

二次函数七大综合专题

二次函数与三角形的综合题

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。（2016•益阳第21题）如图，顶点为(3,1)

A的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

x y

考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1）∵抛物线顶点为(3,1)A ，

设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1y a x =-+，

将原点坐标（0，0）代入表达式，得1

3a =-．

∴抛物线对应的二次函数的表达式为：2123

3y x =-+．

（2）将0y = 代入2123

3y x x =-中，得B 点坐标为：(23,0)，

设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将3,1)A 代入表达式y kx =中，得3

k =

， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为3

y =．

∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为3

y b =+， 将B 3,0)代入3

y b =

+中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为3

2y x -．

由23

21233y y x ⎧=

-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

得交点D 的坐标为(3,3)-， 将0x =代入3

2y -中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , 23OB OD ==．

在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

， ∴△OAB ≌△OCD ．

（3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD

的周长最小．

过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '∆∽C DQ '∆．

∴

PO C O DQ C Q '=',25

3=，∴23

PO ， ∴ 点P 的坐标为23

(5

． 二次函数与平行四边形的综合题

例1：如图，对称轴为直线x=

2

7

的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．

（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．

①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．

②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．

【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，

设解析式为y=a（x﹣）2+k．

把A，B两点坐标代入上式，得，

解得a=，k=﹣．

故抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，

∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．

∵OA是OEAF的对角线，

∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．

因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），

所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．

①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．

化简，得（x﹣）2=．

解得x1=3，x2=4．

故所求的点E有两个，

分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），

点E1（3，﹣4）满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF是菱形；

点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，

所以平行四边形OEAF不是菱形；

②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，

此时点E的坐标只能是（3，﹣3），

而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．

【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．

（2016•泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．