一阶微分方程的初等解法总结
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法摘要：本文分析了一阶微分方程的几种初等解法类型，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题.关键词： 变量变换 变量分离方程0. 引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把它们归结为方程的积分问题.虽 然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分.因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的.下面我们就对这些类型方程的解法一一作以总结.1．变量分离方程形如=dxdy ()x f g ()y (1、1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f 、()y g 分别是y x 、的连续函数如果()0≠y g ，我们将（1、1）改写成()()dx x f y g dy =，两边积分得，()()c dx x f y g dy +=⎰⎰ （1、2）其中c 为任意常数. 如果存在0y ，使()00=y g ，可知0y y =也是（1、1）的解. 若它不包括在方程的通解（1、2）中，必须予以补上.例 1 求方程()y x p dxdy = （1、3） 的通解，其中()x p 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到()dx x p ydy = 两边积分，即得ln ()⎰+='c dx x p y这里'c 是任意常数.由对数定义，即有()⎰=+'c dx x p e y即()dx x p c e e y ⎰±='令c e c =±'，得()⎰=dx x p ce y （1、4） 此外，0=y 也是（1、3）的解，而它包括在（1、4）中，因而（1、3）的通解为（1、4），其中c 为任意常数.2.齐次方程形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y g dx dy （2、1） 的方程，称为齐次方程，这里()u g 的u 的连续函数.利用变量变换将（2、1）化为变量分离方程.作变量变换xy u = （2、2） 即ux y =，于是u dxdu x dx dy == （2、3） 将（2、2）、（2、3）代入（2、1），则原方程变为()u g u dxdu x =+ 整理可得()xu u g dx du -= （2、4） 方程（2、4）是一个变量分离方程.例 2 求方程 y xy dxdy x =+2 ()0〈x 解 将方程改写为 xy x y dx dy +=2 ()0〈x 以u xy =及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdu x 2= （2、5） 分离变量，得到 xdx u du=2两边积分，得到（2、5）的通解()c x u +-=ln于是()[]2ln c x u +-= ()()0ln 〉+-c x （2、6） 其中c 是任意常数。
一阶常微分方程解法总结doc
一阶常微分方程解法总结.doc 一阶常微分方程是微分学的基础，也是实际问题中经常遇到的一类方程。
理解并掌握一阶常微分方程的解法对于学习微分学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将总结一阶常微分方程的解法，并举例说明。
一、一阶常微分方程的解法1.变量可分离的微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。
这类方程的特点是变量可以分离，通过将方程两边积分，得到y的解。
例：dy/dt=e^(t^2)解：分离变量得：ydt=e^(t^2)dt，积分得：y=0.5e^(t^2)+C。
2.齐次微分方程形如dy/dx=f(y/x)的微分方程称为齐次微分方程。
这类方程的特点是可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程，从而求解。
例：dy/dx=(y/x)+1解：令y/x=u，则原方程化为：du/dx=u+1，分离变量得：u dx=dx，积分得：u=x+C，即y=x^2+Cx。
3.一阶线性微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为一阶线性微分方程。
这类方程的特点是可以化为标准形式，通过求解标准形式的解，得到原方程的解。
例：dy/dt=te^(t)解：化为标准形式得：y/dt=te^(t)，令z=y/t，则z’=(y’)t−y/t^2=e^t，积分得：z=e^t+C，即y=t(e^t+C)。
二、总结一阶常微分方程根据其形式和特点，有多种解法。
其中，变量可分离的微分方程可以直接通过分离变量进行求解；齐次微分方程可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程进行求解；一阶线性微分方程可以化为标准形式，通过求解标准形式的解得到原方程的解。
这些方法在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据选择合适的解法，并对求解结果进行合理的分析和解释。
同时，还需要掌握各种解法的适用范围和局限性，以便在实际应用中做出正确的选择。
一阶常微分方程的解法是微分学的基础知识之一，也是解决实际问题中经常遇到的一类问题。
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
一阶微分方程的初等解法(精)
化简得方程的通解：
y
C C
cos2 cos2
x x
其中C eC1为非0的任意常数。
另外，y 1也是方程的解，且y 1可在通解中
取CΒιβλιοθήκη 0得到，即如果在通解y
C C
cos 2 cos 2
x x
中
允许C 0，则y 1已含在通解中。但y 1不可
在通解中取适当的C得到，因此原方程的解为：
于是得到原方程的通解为
y x
, x,C
0.
例5 求解微分方程 dy y tan y
dx x
x
解：这是齐次方程。令u y ，则原方程变为 x
u x du u tan u, dx
化简并变量分离（当tanu 0时），得到
cot udu dx . x
两边积分，得到 ln sinu ln x C.
。例如： 2xdx x2 等。
§2.1 变量分离方程与变量变换
• 一、变量分离方程 • 二、可化为变量分离方程的类型 • 三、应用举例
一、变量分离方程
先看一些简单的例子：
1. dy ye x y , dx
2. dy x2 y2 1 , dx
3. dy e x ye y , dx
h(1y)dy与 g(x)dx，再加上任意常数即可。
先看一个简单的例子
求解方程 dy x2 y2 1 dx
解:
第一步:分离变量
dy y2 1
x 2dx
第二步:两边积分
dy y2 1
x2dx C
浅谈一阶微分方程的初等解法
浅谈一阶微分方程的初等解法1 基本概念微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数（或微分）的关系式.如 '2y xy = （其中'dyy dx=，x 为自变量，y 为未知函数）； （1.1） "2'xy y e += （x 为自变量，y 为未知函数）； （1.2） 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数，例如方程（1.1）它含有未知数y 及它的一阶导数dydx，这样的方程称为一阶常微分方程，方程（1.2）为二阶常微分方程. 一阶常微分方程一般形式可表示为 (,,')0F x y y = （1.3） 如果（1.3）能解出y ＇，则得到 '(,)y f x y = （1.4） 或 (,)(,)0M x y dx N x y dy += (1.5)(1.3)称为一阶隐微分方程，（1.4）称为一阶显微分方程，（1.5）称为微分形式的一阶方程. 如果函数()y x ϕ=代入方程（1.3）后，能使它变为恒等式，则称函数()y x ϕ=为方程（1.3）的解.定义[1]121P 我们把含有一个任意常数c 的解(,)y x c ϕ=称为一阶微分方程（1.3）的通解.本文主要介绍一阶常微分方程的初等解法.2 一阶显微分方程的初等解法2.1 恰当方程 2.1.1 恰当方程考虑微分形式的一阶方程 (,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.5） 如果方程（1.5）的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，即dy yudx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂≡≡+),(),(),( （2.1） 则称（1.5）为恰当方程.容易验证，（1.5）的通解就是 c y x u =),( （c 为任意常数） （2.2） 定理[1]411P 方程(1.5）为恰当方程的充要条件x Ny M ∂∂=∂∂ （2.3） 且恰当方程（1.5）的通解为 c dy dx y x M y N dx y x M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+⎰⎰⎰),(),( （2.4） 例1 求3222232(33)(33)0y xy x y dx xy x y x y dy --+--+=通解 解 这里322223233,33M y xy x y N xy x y x y =--=--+且2222363,363M Ny xy x y xy x y x∂∂=--=--∂∂ 所以该方程是恰当方程. 解法1 现在求u 使它同时满足如下两个方程32233uy xy x y x∂=--∂ (2.5) 223233uxy x y x y y∂=--+∂ (2.6) 由 (2.5)对x 积分,得到32233()2u y x x y x y y ϕ=--+ (2.7) 为了确定()y ϕ,将（2.7）对y 求导数,使它满足(2.6),即得223223233'()33uxy x y x y xy x y x y yϕ∂=--+=--+∂ 故2()d y y dyϕ=,积分后3()3y y ϕ=得,将()y ϕ代入 (2.7),得到322333123u xy x y y y y =--+因此，方程的通解为 322333123xy x y x y y c --+= （ c 为任意常数）.解法2 代入通解公式(,)(,)M x y dx N M x y dx dy c y ⎡⎤∂+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰可得 3222232322(33)(33)(33)y xy x y dx xy x y x y y xy x y dx dy c y ⎡⎤∂--+--+---=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰， 即 3223232xy x y x y y dy c --+=⎰， 所以方程的通解为 322333123xy x y x y y c --+= （ c 为任意常数）.2.1.2 分项组合法往往在判断方程是恰当方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分，如：()ydx xdy d xy +=，2ydx xdy x d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，2ydx xdy x d x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，ln ydx xdy x d xy y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，22ydx xdy x d arctg x y y ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，221ln 2ydx xdy x y d x y x y ⎛⎫--= ⎪-+⎝⎭. 例2 求方程2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解. 解 这里2M x y =+，2N x y =-，且1M y ∂=∂，1Nx∂=∂，因此方程是恰当方程 解法1 现在求u 使它同时满足如下两个方程2ux y x∂=+∂ （2.8）2ux y y∂=-∂ （2.9） 由 (2.8)对x 积分,得到3()3xu xy y ϕ=++ （2.10）为了确定()y ϕ,将（2.10）对y 求导数,使它满足(2.9),即得'()2ux y x y yϕ∂=+=-∂， 故()2d y y dyϕ=-，积分后得2()y y ϕ=-，将()y ϕ代入（2.10）得到：323x u xy y =+- 因此，方程的通解为 3233x xy y c +-= （c 为任意常数）.解法2 把方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即3203x d ydx xdy dy ++-=，于是得32()03x d xy y +-=因此方程的通解为 3233x xy y c +-= （c 为任意常数）.2.1.3 恰当方程的新解法 定理2 对于恰当方程（1.5），若(,)()(,)M x y P x Q x y =+,(,)()(,)N x y R y F x y =+ （2.11） 且(,)Q x y 中的每一项必含y ；(,)F x y 中的每一项必含x ，则可得方程的通解为(,)()()(,)u x y P x dx R y dy Q x y dx c=++=⎰⎰⎰或(,)()()(,)u x y P x dx R y dy F x y dy c =++=⎰⎰⎰且(,)(,)Q x y dx F x y dy c =+⎰⎰ （这里c 是任意常数）.证明 ()P x dx ，()R y dy 显然已构成全微分，由（2.3）、（2.11）得Q Fy x∂∂=∂∂ 则 (,)(,)0Q x y dx F x y dy += 也是恰当方程，所以构成全微分. 设(,)(,)0Q x y dx F x y dy +=的通解为(,)h x y c =我们证明(,)(,)h x y Q x y dx c =+⎰或1(,)(,)h x y F x y dy c =+⎰由恰当方程的解法得 (,)(,)()h x y Q x y dx y ϕ=+⎰（2.12） 只需证明()y c ϕ=即可， （这里c 是任意常数）. （2.12）两边对y 求偏导(,)(,)'()h x y Q x y dx y y y ϕ∂∂=+∂∂⎰由恰当方程得(,)(,)(,)'()h x y F x y Q x y dx y y yϕ∂∂==+∂∂⎰ 下面证明()y c ϕ=当'()0y ϕ=时，显然有()y c ϕ=，当'()0y ϕ≠时，()y ϕ中至少有一项是只含y 的函数，与所设的(,)F x y 中的每一项必含x 矛盾. 所以 (,)(,)h x y Q x y dx c =+⎰.同理 1(,)(,)h x y F x y dy c =+⎰.则1(,)(,)(,)h x y Q x y dx c F x y dy c =+=+⎰⎰，即1(,)(,)Q x y dx c F x y dy c +=+⎰⎰， 由“分项组合”法得，方程的通解为(,)()()(,)u x y P x dx R y dy Q x y dx =++⎰⎰⎰或(,)()()(,)u x y P x dx R y dy F x y dy =++⎰⎰⎰（这里c ，1c 是任意常数）. 证毕 当判定方程（1.5）为恰当方程后，则一定存在函数(,)u x y ，使(,)(,)(,),(,)u x y u x y M x y N x y x y∂∂==∂∂， 上面当(,)u x y 对x 求偏导数时，(,)u x y 中含x 的项在(,)M x y 中以各自的导数仍出现，而(,)u x y 中只含y 和常数的项在(,)M x y 中不出现；当(,)u x y 对y 求偏导数时，(,)u x y 中含y 的项在(,)N x y只也以各自的导数出现，而(,)u x y 中只含x 和常数的项在(,)N x y 中不出现.而(,)u x y 中既含x 也含y 的项即x 和y 的交叉项在(,)M x y 、(,)N x y 中都出现了.现在(,)M x y 对x 求积分（y 是参变量）；(,)N x y 对y 求积分（x 是参变量）.然后取“并集”就得到了(,)u x y 中除常数项外的所有项，由此就得到了通解.例3 求0ydx xdyxy-=的通解. 解 1y M xy x ==，1x N xy y =-=-,0M y ∂=∂，0N x∂=∂因此方程是恰当方程 解法1 把方程重新“分项组合”，得到0dx dyx y-=，即ln ln 0d x d y -= 于是，ln0x d y =，因此方程的通解为 ln xc y= （c 为任意常数）. 解法2 (,)M x y 对x 求积分 1ln yMdx dx x c xy==+⎰⎰， (,)N x y 对y 求积分 2ln xNdy dy y c xy=-=-+⎰⎰ 取“并集”得方程的通解为 lnxc y=. （ 12,,c c c 是任意常数）. 例 4 求2223(3)(4)0x xy dx x y y dy +++=的通解解 223M x xy =+,234N x y y =+，2M xy y ∂=∂2Nxy x∂=∂因此方程是恰当方程 解法1 把方程重新“分项组合”，得到2223340x dx xy dx x ydy y dy +++=即32222411022dx dy x d x y dy +++=，于是，3224()0d x x y y ++=， 因此方程的通解为 322412x x y y c ++= （c 为任意常数）.解法2(,)M x y 对x 求积分 2232211(3)2Mdx x xy dx x x y c =+=++⎰⎰,(,)N x y 对y 求积分 2342221(4)2Ndy x y y dy y x y c =+=++⎰⎰取“并集”得方程的通解为 322412x x y y c ++= （ 12,,c c c 是任意常数）. 2.1.4 恰当方程与积分因子上面介绍了恰当方程的解法，但是，方程（1.5）未必都是恰当方程.当（1.5）不是恰当方程的时候，在一定的条件下，我们可以把它化为恰当方程.为此我们引进积分因子的定义：假如存在连续函数(,)0x y μ≠，使得方程(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+= （2.13）为恰当方程，我们就把(,)x y μ 称为方程（1.5）的积分因子. 根据上节可知，函数(,)x y μ为（1.5）的积分因子的充要条件是()()M N y x μμ∂∂=∂∂ 即 d M N N M dx y y x μμμ⎛⎫∂∂∂-=- ⎪∂∂∂⎝⎭（2.14） 这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程.如果对于方程（1.5）存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则0y μ∂=∂，这时方程（2.14）变为d M N N dx y x μμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭即M Nd y x dx Nμμ∂∂-∂∂=，由此可知方程（1.5）有只与x 有关的积分因子的充要条件是()M N y xx Nψ∂∂-∂∂= ，这里()x ψ仅为x 的函数，假设此条件成立，则方程（1.5）的一个积分因子为 ()x dxe ψμ⎰= （２.15)同理方程(1.5)有只与y 有关的积分因子的充要条件是()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-,这里()y ϕ仅是y 的函数,则方程 (1.5)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=.注：方程（1.5）的二元函数的积分因子在此不详加讨论，可具体问题具体分析.例5 求解方程 32222()0y xy x y dx x y dy x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭.解 因为 1M Ny xN∂∂-∂∂=,故原方程有只与x 有关的积分因子 1dxx e e μ⎰==,以 xe μ= 乘方程两边,得到 32222()0xx y e xy x y dx e x y dy x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭于是方程的通解为 223xy ye x C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C 为任意常数).2.2 变量分离方程 2.2.1 变量分离方程形如)()(y x f dxdyϕ= （2.16） 的方程，其特点是，右边是一个x 的函数与一个y 的函数的乘积，我们称这类方程为变量分离方程.方程（2.16）的求解方法为：将（2.16）改写为dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ （2.17）这里我们把积分常数c 也明确写出来，而把⎰)(y dy ϕ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数，因而常数c 的取值必须以（2.17）有意义为前提.把（2.17）作为确定y 是x 的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c ，微分方程（2.17）的两边，就知（2.17）所确定的隐函数),(c x y y =满足方程（2.16），因而（2.17）是（2.16）的通解.特别地，如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入，可知0y y =也是（2.16）的解，可能它不包含在方程的通解（2.17）中，必须予以补上.例6 求解方程2211xy dx dy--=解 将变量分离，得到2211xdx ydy -=-两边积分，即得 c x y +=arcsin arcsin解出y ，得到通解 )sin(arcsin c x y += （c 是任意常数） 另外，方程还有解1±=y ，它不包含在通解中.例7 求解方程tan 1dyxy dx-=解 此方程可改写为tan 1dyx y dx=+ 将变量分离，得到cos 1sin dy xdx y x=+ 两边积分，即得 ln 1ln sin ln y x c +=+ （ln c 为任意常数）将任意常数写成ln c 的形式是为了方便.由此得方程的通解为sin 1y c x =- 另外，方程还有解1y =-，所以在通解cx y =中，任意常数c 也可以为零.例 [1]208P 求方程()dyP x y dx= （2.18） 的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到 ()dyP x dx y= ，两边积分，即得 1ln ()y P x dx c =+⎰（1c 是任意函数）， 由对数定义，1()P x dx c y e +⎰=，即 1()P x dxc y e e ⎰=±⋅令1c e c ±=，得到 ()P x dxy ce ⎰= （2.19）另外方程还有解0y =，它含在通解中，故可不写.2.2.2可化为变量分离方程的类型 （1）形如dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.20） 的方程，其特点是，它的右端是一个以为xy为变元的函数，这种类型的方程称为齐次方程，这里)(u g 是u 的连续函数.方程（2.20）的求解方法为：作变量变换y u x =,则y ux =，dy du x u dx dx=+，代入方程（2.20)，则方程变为 ()du x f u u dx =- 整理后可得：()du f u udx x-= （2.21）方程（2.21）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.20）的解.例9 求解方程22y xy dxdyx-=. 解 将方程改写为 2dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭这是齐次方程，以u xy=及u dx dy x dx dy +=代入，则原方程变为 2u dx du x -= 分离变量得 x dxudu =-2两边积分得c x u +=ln 1或cx u +=ln 1 （c 为任意常数） 将xyu =代入，得原方程的通解 c x x y +=ln（c 为任意常数）另外方程还有解0u =，即0y =也是方程的解.例10 求解方程yx yx dx dy 2332++= 解 将方程改写为 xy x ydxdy 2332++=这是齐次方程，以u x y =及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为32)1(22+-=u u dx du x 分离变量得 dx x du u u 1)1(2322=-+两边积分得 )1()1(4+=-u c x u 将xyu =代入，得原方程的通解 )()(5x y c x y +=- （c 为任意常数） （2）形如)(by ax f dxdy+= （2.22） 的方程（其中a ，b （b ≠0）为常数）.这种类型的方程的解法为：作变量变换u ax by =+，则du dy a b dx dx =+，将其带回方程（2.22），则方程变为 ()du a bf u dx=+ （2.23） 方程（2.23）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.22）的解.例11 求解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y解 将方程改写为3)2(21)2(++++=x y x y dx dy 令u x y =+2，则12+=dx dy dx du ，代入原方程，则得 3254++=u u dx du分离变量得dx du u u =++5432 两边积分得 c x u u +=++8454ln （c 为任意常数） 将x y u +=2代入，得原方程的通解为ln 84584y x y x c+++-= （c 为任意常数）（3）形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= （2.24） 的方程（其中222111,,,,,c b a c b a 都是常数）.我们分三种情况讨论：① 120c c ==的情形.这时方程可化为 11112222ya b a x b y dy y x g y dx a x b y x a b x++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+ 这是齐次方程，作变换xyu =，则方程就化为变量分离方程.② 12,c c 不全为0，且02211=b a b a ，即2121b b a a =的情形. 不妨设k b b a a ==2121，则方程可写为)()(22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 作变换u y b x a =+22，则方程就化为变量分离方程)(22u f b a dxdu+=. 例12 求解方程564432++++=y x y x dx dy . 解 方程可改写为5)32(2432++++=y x y x dx dy ， 令y x u 32+=，则dx dy dx du 32+=，将其代入原方程则得 52227++=u u dx du 变量分离得dx du u u =++22752 两边积分得 2279ln 472u u x c ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （c 为任意常数），将3u x y =+代入， 得原方程的通解 2239ln 234372x y y x c ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c 为任意常数） ③02211≠b a b a 及21,c c 不全为零的情形.这时方程（2.24）右端的分子、分母都是x 、y 的一次式，因此⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a （2.25）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为（βα,）.令 ⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X （2.26）则（2.24）可化为形如 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.27） 的齐次方程。
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。
例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分得到)(2ln 2为常数C Cx y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。
例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xy g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
一阶微分方程的初等解法总结
一阶微分方程的初等解法总结一、可分离变量方程：可分离变量方程是指方程中未知函数和其导数可分离的微分方程。
具体来说，即方程可以写成 f(y)dy = g(x)dx 的形式。
解此类型方程的关键是将两侧分离变量，然后进行积分。
二、齐次方程：齐次方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数相同。
具体来说，即方程可以写成 dy/dx = F(y/x) 的形式。
解此类型方程的关键是进行变量代换，令 y = vx，并进行化简和积分。
三、一阶线性方程：一阶线性方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数之和为1、具体来说，即方程可以写成 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的形式。
解此类型方程的关键是利用积分因子的概念，将方程进行变形，并进行积分。
四、恰当微分方程：恰当微分方程是指方程的左右两边可以构成一个梯度的微分方程。
也就是说，方程可以写成 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式。
解此类型方程的关键是找到一个函数 f(x,y)，使得∂f/∂x = M(x,y) 和∂f/∂y =N(x,y)，然后对 f(x,y) 进行求解。
在实际的应用中，经常会遇到以上四种类型的微分方程。
解这些方程的关键是要找到适当的变换或技巧，将其转化为常微分方程，并进行解析求解。
此外，还有一些特殊的一阶微分方程的解法，如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，也需要掌握相应的解法。
除了以上几种类型的微分方程，还存在一些无解析解或无一般解的微分方程，需要通过数值方法或近似解法来求解。
常见的数值解法有 Euler 法、改进的 Euler 法、Runge-Kutta 法等。
总之，对一阶微分方程的初等解法总结如下：1.可分离变量方程：将两侧分离变量，然后进行积分；2.齐次方程：进行变量代换，化简并积分；3.一阶线性方程：利用积分因子的概念，进行变形并积分；4.恰当微分方程：找到恰当微分方程的条件，并求解梯度函数；5. 其他特殊类型的一阶微分方程：如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，需要掌握相应的解法；6.无解析解或无一般解的微分方程：需要利用数值方法或近似解法进行求解。
一阶微分方程的初等解法
定义 2 形如
dy dx
+P(x)y=Q(x)
（2.2）
的方程称为一阶线性微分方程，其中 P(x)和 Q(x)是已知连续函数。
1、一阶齐次线性微分方程
当 dy +P(x)y=Q(x)中 Q(x)=0 时，称为一阶齐次线性微分方程。 dx
该类型方程的求解显而易见，采用变量分离即可完成，通解为
乙- P(x)dx
ψ(t)
（4.4） （4.4.1）
乙 于是 x= φ'(y) dt+C ψ(t)
所以，方程（4.4）的参数形式通解为
( 乙 x=
φ'(y) ψ(t)
dt+C
（C
为任意常数）
y=φ(t)
同时可以验证，若 F(y,0)=0 有实根 y=k，则 y=k 也是方程的解。
例：求解方程 y2(1- y')=(2- y')2。
方程。 解法：
（1）分离变量，将方程的两端化为分别含有一个变量的函数及其微 分的形式，
1 g(y)
dy=f(x)dx
（2）两边同时积分，
乙 乙 1 dy= f(x)dx g(y)
（3）求出积分，得通解
G(y)=F(x)+C，其中
G(y)和
F(x)分别是
1 g(y)
和
f(x)
的一个原函数。
（二）可化为分离变量方程二中情形的求解
1、情形一
形如 dy dx
=g(
y x
)
（1.1）
的方程，称为齐次方程，g(u)是 u 的连续函数。对该类型微分方程的
解法是：
（1）令
u=
y x
（1.2）
（2）由（1.2）得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1) d x d y d ( x y )
2 2 ( x y )) 3) xd x yd y d ( 1 2
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
两端积分得
P( x) d x u Q( x) e dx C
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
y 解法: 令 u , x
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
3 一阶线性微分方程
1. 解齐次方程
分离变量
dy P( x) y 0 dx
dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. y) f ( x)dx C
即得方程的通解.
2 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
5 全微分方程
① 为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
思考: 如何解方程
齐次方程通解
非齐次方程特解
4 伯努利(Bernoulli)方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) dx
dy 1 n y P( x) y Q( x) dx dz 1n n d y , 代入上式得 令z y , 则 (1 n) y dx dx
两边积分得
故通解为
ln y P( x)d x ln C
y Ce
P ( x )d x
注：①所谓线性，即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数
②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 机动 是两个不同的概念 目录 上页 下页 返回 结束
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx P( x) d x 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,则
常用微分倒推公式:
2) xd y yd x d ( x y )
x y yd x xd y yd x xd y 5) d( ) 4) d( ) 2 2 y x y x yd x xd y x 积分因子不一定唯一 . 6) d ( ln ) xy y 例如, 对 yd x xd y 0 x yd x xd y arctan 7) d ( ) 可取 2 2 y x y
n
(一阶线性方程)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
若存在 u ( x, y ) 使 d u ( x, y) P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
8) xd x yd y x 2 y 2 d(
x2 y2 )
一阶微分方程的初等解法
1 可分离变量的微分方程
2 齐次方程
3 一阶线性微分方程 4 伯努利(Bernoulli)方程 5 全微分方程
1 可分离变量的微分方程
dy f ( x) ( y ) 的方程称为变量分离方程. 形如 dx
这里f ( x), ( y)分别是x, y的连续函数 . 解法: 1 分离变量 当 ( y) 0时, 将方程写成