求线段(或线段和)(周长)最值问题

求线段（或线段和）（周长）最值问题

福建莆田月塘中学潘立城

中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。

这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。

解几何最值的“手掌心”是什么呢？

：

撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。

一、“手掌心”法宝:

三角形中两边之和大于第三边

特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。

④线段的转移

特征：“定”点在“定”直线上

⑤二次函数最值

特征：有“表达式”

①垂线段最短

②两点间线段最短

“弯”线

变

“直”线

特征

“直”线的特征

①“直”线:定点--动点

(定点--动点--动点）

(动点--动点--动点）

②直:定点--动点--定点

直:动点--定点--动点

二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线

①垂线段最短特征：“弯”线变“直

”线对称轴

l

A

C

B

M

定点

“弯”线

“直”线

例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，

BC=2

4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分

别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是

4 。

①标：定点A，定点C，动点B

定直线AC，定直线l

②特征：“弯”线变“直”线

对称轴：定直线l

作点A关于定直线l的对称点M

“弯”线AB+BC变“直”线MC

“直”线:定点M--动点B--定点C

垂线段最短

①标：定点C，动点M，动点N

定直线BD，定直线BC

②特征：“弯”线变“直”线

对称轴：定直线BD

作点N关于定直线BD的对称点E

“弯”线CM+MN变“直”线CME

“直”线:定点C--动点M--动点E

垂线段最短

例4

例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为【 】 ①标：动点Q ，动点K ，动点P 定直线AC ，定直线l 特征：“弯”线QK+KP 变“直”线

对称轴：定直线BD

作点P 关于定直线BD 的对称点P 1

“直”线:动点Q--动点K--动点

P 1

两平行线间垂线段最短

x

y

O

l P ’

F P H

①标：定点F ，动点P 定曲线：抛物线 ②特征：动点F 在定曲线：抛物线上

抛物线是到定点F 距离与到定直线l 距离相等的点的集合。

找到定直线l

利用两点PA 之间的距离公式(一个字母）

1

2111)141(24222++=-+=∴m m m m PA 14114122

2+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+=m m (完全平方公式，能展开）

定直线l ：X=-1

PF=PP ’

垂线段最短

②两点间线段最短

特征：特征：“弯”线变“直”线

对称轴

例1如图13—3，A 、B 两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？ 例2 如图13—6，河流EF 与公路FD 所夹的角是一个锐角，某公司A 在锐角EFD 内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边

例 3 甲、

乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座

桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？

平移河宽EF 到AC 如何展开？ “弯”线

“直”线

“弯”线

“直”线

例4 如图13—8是一个长、宽、高分别为4

分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂

蚁要从A 点出发在纸盒表面上爬到B 点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程

例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A (－2,0)，B (0,4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ． （1）如图1，求点E 的坐标；

（2）如图2，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE ′O ′，连结A ′B 、BE ′．

①设AA ′＝m ，其中0＜m ＜2，使用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2

取得最小值时点E ′的坐标； ②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．

图1 图2 “直”线

“弯”线

特征：“弯”线变“直”线 对称轴

动点A ′--定点B--动点E ′′

两点间线段最短

比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—

9（1）爬行的路线最短，最短路程为5

三角形中两边之和大于第三边

特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律

例5. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm ． 【分析】如图，圆柱形玻璃杯

展开

（沿点A 竖直剖开）后侧面是一个长18

（一半）

宽12的矩形，作点A 关于杯上沿MN 的对称点B ，连接BC 交MN 于点P ，连接BM ，过点C 作AB 的垂线交剖开线MA 于点D 。

由轴对称的性质和三角形三边关系知AP ＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP =BP 。 例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】