第3章温度场数学模型与数值求解
温度场分布仿真计算方法
温度场分布仿真计算方法温度场分布仿真计算方法温度场分布仿真计算方法是一种通过数值模拟和计算机仿真来预测和分析温度分布的方法。
它在工程设计、热力学研究和环境保护等领域中得到广泛应用。
本文将介绍温度场分布仿真计算方法的基本原理和常用技术。
温度场分布仿真计算方法的基本原理是建立一套数学模型来描述温度场的变化规律，并通过计算机程序对模型进行求解和模拟。
根据具体问题的需求和实际情况，可以选择不同的数学模型和计算方法。
常见的数学模型包括传热方程、能量守恒方程和流体动力学方程等。
计算方法主要包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是最常用的一种计算方法。
它将温度场划分为若干个网格点，并通过计算相邻网格点之间的温度差来近似描述温度场的变化。
有限差分法的优点是计算简单，适用于各种尺度和几何形状的问题。
但是，它需要较密集的网格划分，以获得较精确的结果。
有限元法是一种更精确的计算方法。
它将温度场划分为若干个有限元素，通过求解每个元素上的温度分布来近似描述整个温度场。
有限元法的优点是可以灵活地处理复杂的几何形状和边界条件。
但是，它需要对模型进行离散化处理，计算量较大。
边界元法是一种特殊的计算方法。
它通过求解温度场的边界值来推导出整个温度场的分布。
边界元法的优点是计算量较小，适用于二维和三维问题。
但是，它对边界条件的要求较高，需要较精确的输入数据。
除了上述常用的计算方法外，还有一些其他的技术和方法可以用于温度场分布仿真计算，如Monte Carlo方法、遗传算法和人工神经网络等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和组合，以获得更准确和可靠的结果。
综上所述，温度场分布仿真计算方法是一种重要的工程分析工具。
它通过数值模拟和计算机仿真来预测和分析温度场的分布规律，为工程设计和科学研究提供了有力的支持。
随着计算机技术的不断发展和进步，温度场分布仿真计算方法将更加精确和高效，为解决实际问题提供更好的解决方案。
温度场的控制方程
温度场的控制方程1. 引言温度场的控制方程是描述温度分布和变化的数学模型。
它在许多领域中都具有重要的应用，例如热传导、流体力学、材料科学等。
本文将介绍温度场的控制方程及其应用。
2. 控制方程的基本形式温度场的控制方程可以用偏微分方程来表示。
一般而言，它可以写成以下形式：∂T=α∇2T+Q∂t其中，T表示温度场，t表示时间，α为热扩散系数，∇2T表示温度场的拉普拉斯算子，Q为外部热源项。
3. 热传导问题热传导是指物体内部由于温度差异而发生的热量传递现象。
在热传导问题中，我们通常关注如何计算物体内部各点的温度分布。
利用控制方程可以建立热传导问题的数学模型。
通过求解这个模型，我们可以得到物体内部各点的温度分布随时间变化的规律。
4. 热传导方程的求解方法热传导方程是一个偏微分方程，求解它需要借助适当的数值方法。
常用的求解方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法将连续的温度场离散化为一系列离散点上的温度值，并通过迭代计算来逼近真实的温度分布。
这样，我们就可以得到物体内部各点的温度随时间变化的数值解。
5. 温度场控制问题除了求解温度场的分布，控制方程还可以用于研究温度场的控制问题。
在某些应用中，我们希望通过调节外部条件或施加控制器来实现对温度场的控制。
在材料科学中，我们可以通过调节加热功率或冷却速率来控制材料内部的温度分布，以实现特定的材料性能。
在流体力学中，我们可以通过改变流体入口条件或施加外部力来控制流体中各点的温度。
6. 控制方程在工程中的应用控制方程在工程领域中具有广泛应用。
在建筑工程中，我们可以利用控制方程来研究建筑物内部的温度分布，以设计合理的供暖和通风系统。
在电子设备设计中，我们可以利用控制方程来优化散热系统，以保证电子设备在工作过程中的稳定温度。
在能源领域，我们可以通过控制方程来优化能源转换和传输过程中的热损失。
7. 结论温度场的控制方程是描述温度分布和变化的重要数学模型。
它在热传导问题、温度场控制问题和工程应用中具有广泛应用。
第三讲 温度场的有限元分析
2
...
二维单元
Ni ( x)ui
1
n
注：Ni可为Lagrange、 Hamiton多项式或形函 数，在+1~-1间变化
u ( x, y ) N i ui
1
n
v( x, y ) N i vi
1
n
第三讲 温度场的有限元分析
参考： 《有限单元法在传热学中的应用》，孔祥谦 编著， 北京：科学出版社，第三版，1998.9 （TK124/7）
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
温度场基本方程推导
• 整理得：
c T T T T (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 t x x y y z z
• 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真 实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布， 即初始条件，称为第一类边界条件 T ( x, y, z, t )t 0 T ( x, y, z ) • 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换 的规律，即边界条件，有三类边界条件。
边界面上的热流密度q[w/m2]为已知
2T 2T 2 0 2 x y
T k n
q 0
1
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第三类边界条件平面稳态温度场
13教学3--多物理场有限元-温度场问题有限单元法
对稳态问题，由于温度不随时间变化，因此热平衡方程为：
x
k
x
T x
y
ky
T y
rQ
0
构造满足第一类边界条件的近似温度场函数 T ，并代入到热平 衡方程以及第二和第三类边界条件式当中，将得到如下的余量:
RW
x
kx
T x
y
ky
T y
rQ
R2
kx
T x
nx
ky
T y
ny
q
T
T
R3 kx x nx k y y ny h(Ta T )
令余量的加权积分和为零（加权余量法）：
W RW1dΩ 2 R2 2dΓ 3 R3 3dΓ 0
使热平衡方程和第二、第三类边界条 件在加权积分的意义上得到满足。
将余量的表达式代入上式，通过分部积分，可以得到：
-
W
1
x
kx
7、在ANSYS中施加温度载荷和边界条件的方法
（1）给定温度自由度 对已知温度的节点，给定温度自由度约束。
D, NODE, LAB, VALUE
NODE——给定温度的节点号
ALL，所有选择的节点 节点component名 LAB——TEMP，给定温度自由度
VALUE——温度值
（2）对流热交换 对流边界条件作为面载荷施加于实体的表面，用于施加
z
系统从外界吸收的热量等于系 统内能的增量和系统对外界做功 之和。
对热传导问题，可以表示为：
s v
Q1 Q2 Q3
x
y
Q1 ——单位时间内，经外表面s传入微元体的热量 Q2 ——单位时间在微元体内的热源所产生的热量 Q3 ——单位时间内微元体热焓的增量
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究热传导是自然界中常见的一种热量传递方式，其具有重要的理论和应用价值。
在很多现代工业领域中，如材料加工、熔炼、焊接、注塑、电子散热等，热传导的研究与应用都是必不可少的工作。
热传导问题的研究建立在热传导的基本方程式上，其中最基本的方程式就是温度场传输方程。
本文主要探讨温度场传输方程及定解条件的求解方法研究。
一、温度场传输方程的基本理论温度场传输方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它的基本形式可以表示为：∂T/∂t - α ∇²T = q其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，∇²表示拉普拉斯算子，q表示热源项。
在一些情况下，比如固定边界条件下的热传导问题，T的变化只与时间有关，因此，温度场传输方程可以简化为：∂T/∂t - α ∇²T = 0二、求解温度场传输方程的方法1. 分离变量法利用分离变量法可以将温度场传输方程简化为一系列常微分方程，从而容易求解。
具体地，假设温度场T有一个可分离变量的解，即：T(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)带入温度场传输方程，可以得到以下结果：X''/X + Y''/Y + Z''/Z + λ = γT/T其中，λ和γ是常数。
由于每个部分只与自己对应的坐标有关，因此可以把它们看作是互相独立的问题。
接着，利用定解条件求解每个常微分方程，最后组合在一起得到温度场的解。
2. 有限差分法有限差分法是利用网格点函数逼近微分方程的一种数值方法。
将连续的物理空间离散化为网格，利用差分近似代替微分，继而求解差分方程。
对于温度场传输方程，可利用有限差分法求解。
具体地，将温度场的各个变量在网格上离散化，然后利用差分公式近似替代微分项，从而得到离散方程。
接着利用初值和边界条件求解出网格点的温度。
三、定解条件的求解方法定解条件是温度场传输方程求解的必要条件。
温度场分析理论总结
温度场分析理论总结温度场分析理论是研究温度分布和传热的一种方法，广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
本文将对温度场分析理论进行总结，包括温度场分析的基本原理、常见的温度场分析方法以及其应用领域和发展趋势。
温度场分析的基本原理是通过对传热方程的求解，得到系统内不同位置上的温度分布。
传热方程一般为热传导方程，描述了热量在系统中的传递过程。
根据热传导方程，可以得到温度场的分布情况，并通过对温度场进行求解，得到系统内不同位置上的温度值。
常见的温度场分析方法包括解析解法和数值解法。
解析解法是通过解析求解热传导方程，得到温度场的解析表达式。
这种方法通常适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到温度场分布。
但对于复杂的几何形状和边界条件的情况，解析解法往往无法得到解析表达式，需要使用数值解法进行求解。
数值解法是通过将区域离散化为有限的网格，将热传导方程离散化为一组代数方程，并通过迭代方法求解这些方程，得到温度场分布。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是将区域划分为有限个节点，并在每个节点上近似热传导方程的导数，从而得到一组代数方程。
有限元法和边界元法则是将区域划分为有限个单元，通过对单元内部的温度进行逼近，得到温度场的数值解。
温度场分析理论广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
比如，在电子器件的散热设计中，通过对温度场的分析，可以评估器件的散热性能，优化散热结构，提高器件的工作效率和寿命。
在热处理过程的温度控制中，通过对温度场的分析，可以控制加热行程和时间，保证材料达到所需的热处理效果。
在建筑空调系统的设计中，通过对温度场的分析，可以确定合理的风流设计，提高空调系统的能效。
温度场分析理论的发展趋势主要体现在以下几个方面。
首先，随着计算机技术的快速发展，数值解法在温度场分析中的应用越来越广泛。
计算机能够快速进行大量数据的计算和处理，大大提高了温度场分析的效率和精度。
热处理过程中温度场的数值模拟及分析
热处理过程中温度场的数值模拟及分析热处理是一种常用的金属加工工艺，通过控制金属材料的加热与冷却过程，可以改变金属材料的组织结构和性能。
温度场是热处理过程中重要的参数之一，直接影响着金属材料的组织和性能的形成与变化。
因此，准确地模拟和分析热处理过程中的温度场对于优化工艺、改善产品质量具有重要意义。
数值模拟是研究温度场的有效方法之一。
它基于数学模型和计算方法，通过计算机的数值计算来获得温度场的分布情况。
在热处理过程中，温度场的分布受到多个因素的影响，如加热功率、材料热导率、热辐射、对流散热等。
数值模拟通过建立数学模型，考虑这些因素，并进行相应的计算，可以得到较为准确的温度场分布。
首先，进行数值模拟需要选择适当的数学模型。
在热处理过程中，常用的模型有热传导方程、能量方程等。
热传导方程是研究物体内部温度分布的基本方程，它考虑了热传导过程中的温度梯度对热流的影响。
能量方程则是考虑了热源与物体之间的热交换过程，可以更全面地描述温度场的变化。
其次，进行数值模拟需要确定边界条件。
边界条件是指在模拟过程中与外界接触的部分，它对于温度场的分布起着重要的影响。
常见的边界条件有热流、热辐射和对流散热等。
热流边界条件是指物体表面受到的外部热量输入或输出，热辐射边界条件是指物体表面受到的辐射热量，而对流散热边界条件则是指物体与周围介质间的热交换。
然后，进行数值模拟需要进行网格剖分。
网格剖分是将模拟区域分成小的单元，用于离散方程和计算。
在温度场的数值模拟中，常用的网格剖分方法有结构化网格和非结构化网格。
结构化网格是指将模拟区域划分为规则的矩形或立方体单元，易于计算和分析。
非结构化网格则是将模拟区域划分为任意形状的单元，适用于复杂几何形状和不均匀材料性质的模拟。
最后，进行数值模拟需要选择合适的求解方法。
在热处理过程中，常用的求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是基于差分逼近的一种方法，将参与方程离散化成代数方程，并通过迭代计算得到数值解。
温度场计算
温度场计算
温度场计算是一种用数学模型和计算方法来模拟和预测物体内
部和周围的温度分布的科学技术。
温度场计算可以应用于多个领域，例如工程热力学、气候学、能源系统等。
在工程热力学中，温度场计算可以用于优化建筑或设备的热设计。
通过模拟建筑物内部的温度分布，可以确定最佳的隔热材料、窗户尺寸和朝向，以最大限度地减少热能的损失和耗费。
此外，温度场计算还可以帮助工程师预测设备在运行过程中的温度变化，从而提前发现可能的故障或设计缺陷。
在气候学中，温度场计算可以用于研究和预测地球的气候变化。
通过建立气候模型，科学家可以模拟全球各地的温度分布，并预测未来的气候趋势。
这对于制定应对气候变化的政策和措施至关重要。
在能源系统中，温度场计算可以用于优化能源的利用和转换。
例如，在太阳能热水器中，通过计算太阳能集热器表面的温度分布，可以确定最佳的设计参数，以最大限度地提高太阳能的吸收效率。
类似地，在核能或火力发电站中，温度场计算可以帮助工程师确定最佳的冷却系统设计，以确保设备运行在安全和高效的温度范围内。
温度场计算通常基于热传导方程和边界条件进行。
热传导方程描述了
温度随时间和空间的变化规律，而边界条件则规定了系统边界上的温度值或温度梯度。
通过数值方法如有限元法或有限差分法，可以离散化热传导方程，然后求解得到温度分布的数值解。
随着计算机技术的不断发展，温度场计算已经成为一种强大的工具，可以帮助科学家和工程师更好地理解和应用热力学原理。
它不仅可以提高设备和系统的效率，减少能源消耗和环境影响，还可以为气候变化研究和能源规划提供重要的参考依据。
温度场数值模拟与分析
温度场数值模拟与分析一、引言温度场是工业制造、自然环境等领域中经常涉及到的现象，通过数值模拟和分析可以深入了解温度场的变化规律，并为后续的研究工作提供有效的参考。
本文将介绍温度场的数值模拟方法和分析技术，并结合实际案例进行分析和讨论。
二、数值模拟方法1.有限元方法有限元方法是数值模拟的一种常用方法，其核心思想是将复杂的物理问题抽象为有限个单元，通过单元之间的相对运动以及单元内部的运动来计算物理量的变化。
在温度场的数值模拟中，有限元方法可以通过建立合适的有限元模型、选择适当的数值方法和求解器来计算温度场的分布和变化规律。
2.计算流体力学方法计算流体力学方法是将物理问题建模为一系列守恒方程和运动方程的数学问题，通过求解这些方程来计算物理量的分布和变化。
在温度场的数值模拟中，计算流体力学方法可以通过建立流体系统的数值模型、指定流体系统的初始和边界条件以及选择适当的求解算法来计算温度场。
3.反向传播神经网络方法反向传播神经网络方法是在深度学习技术的支持下，将物理问题转化为神经网络的训练问题，通过优化网络的结构和参数，实现对物理问题的数值模拟。
在温度场的数值模拟中，反向传播神经网络方法可以通过建立网络模型、选择适当的损失函数和优化算法，来计算温度场的分布和变化规律。
三、分析技术1.可视化分析可视化分析是通过图表、图像和动画等可视化方式来展示温度场的分布和变化规律，通过可视化分析可以直观地了解温度场的变化情况，并且可以更好地理解温度场的复杂性。
2.数据挖掘分析数据挖掘分析是通过分析温度场数据中的模式和关联规则，来发现与温度场相关的重要信息和规律。
通过数据挖掘分析可以发现温度场的非线性规律、异常状态和趋势等信息，为后续的研究工作提供有效的参考。
3.时间序列分析时间序列分析是通过分析温度场数据的时间波动和趋势变化，来了解温度场的周期性和逐渐变化趋势。
通过时间序列分析可以发现温度场中的周期性波动规律和变化趋势，为后续的预测和控制工作提供有效的参考。
温度场数学表达式
温度场数学表达式
温度场是描述空间中温度分布的数学表达式。
具体的表达式会根据具体的温度场问题而有所不同，以下是一些常见的温度场数学表达式：
1. 一维线性温度场：在一维空间中，温度随位置的变化可以用线性函数表示。
例如，对于一个杆状物体，温度场可以表示为T(x) = a + bx，其中a和b是常数，x是位置。
2. 二维平面温度场：在二维空间中，温度随位置的变化可以用二元函数表示。
例如，对于一个平面板，温度场可以表示为T(x, y) = f(x, y)，其中f是一个二元函数，表示温度随位置的变化规律。
3. 三维空间温度场：在三维空间中，温度随位置的变化可以用三元函数表示。
例如，对于一个立方体物体，温度场可以表示为T(x, y, z) = g(x, y, z)，其中g是一个三元函数，表示温度随位置的变化规律。
除了上述基本的数学表达式外，还可以根据具体的物理模型和边界条件，采用更复杂的数学方程来描述温度场。
这些方程可能是偏微分方程，如热传导方程或热平衡方程，需要考虑材料的热性质、边界条件和初始条件等因素。
在实际问题中，通常需要借助数值方法或解析方法来求解温度场的数学表达式。
温度场计算
温度场计算
温度场计算是一种基于数学模型和计算方法的技术，用于预测和分析各种物体或区域内的温度分布。
它在多个领域中得到广泛应用，包括工程、环境、气象、材料科学等。
温度场计算的基本原理是根据热传导方程，结合边界条件和初始条件，利用数值方法求解出物体或区域内的温度分布。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
在工程领域，温度场计算广泛应用于热力学分析、传热与传质过程的研究等。
例如，在汽车工程中，温度场计算可以用于模拟发动机的燃烧过程中的温度分布，以便优化发动机的设计和性能。
在环境科学领域，温度场计算可以用于模拟大气层中的温度变化，从而预测天气变化和气候模式。
这对于气象预报和气候变化研究具有重要意义。
在材料科学领域，温度场计算可以用于预测材料在加热或冷却过程中的温度分布，以及热应力和应变的分布。
这对于材料的设计和制造过程中的温度控制和应力分析非常关键。
温度场计算的发展离不开计算机技术的进步。
随着计算机性能的提高
和数值算法的不断优化，温度场计算已经成为工程和科学研究中不可或缺的一部分。
它为我们提供了更准确、更全面的温度分布信息，为工程优化和科学研究提供了有力的支持。
温度场资料
温度场
温度场是描述空间中温度分布的一种物理概念。
在自然界中，物体的温度通常是不均匀的，不同位置的温度有所差异。
温度场这一概念可以帮助我们研究和理解这种分布规律。
温度场的基本概念
温度场可以用数学模型来描述。
在一个三维空间中，我们可以将温度场表示为一个函数T(x, y, z)，其中x、y、z表示空间中的坐标。
这个函数告诉我们在每个空间点的温度是多少。
温度场的形成
温度场的形成受到多种因素的影响。
首先是热量的传导。
热量会自高温区传导至低温区，导致温度场的形成。
同时，热辐射和对流也会对温度场产生影响。
各种因素综合作用，形成了复杂的温度场。
应用与意义
温度场的研究在很多领域有着广泛的应用。
在工程领域中，了解物体表面的温度分布可以帮助设计更合理的散热系统；在气象学中，温度场的研究可以帮助预测天气变化；在地质学中，温度场可以用来推断地球内部的结构等等。
温度场的数学模型
为了更准确地描述温度场，我们可以利用热传导方程等数学模型来进行计算。
这些模型可以考虑不同的热源、导热系数等因素，从而更好地反映真实情况。
结语
温度场是一个复杂而又有趣的物理概念。
通过深入研究温度场，我们可以更好地理解物体之间的热力交换过程，为各种领域的应用提供理论支持。
希望大家对温度场有了更深入的了解，从而能够在实际工作中更好地应用和发展这一概念。
采空区稳态流场及温度场的数学模型
采空区稳态流场及温度场的数学模型采空区稳态流场及温度场的数学模型是指在采空区内的流场中求解稳态流场和温度场的数学模型。
稳态流场及温度场的模拟是建立矿山安全防护工作的一个重要基础，在这里我们将深入探讨采空区稳态流场及温度场的数学模型。
首先，对采空区稳态流场和温度场的数学模型进行讨论。
采空区稳态流场及温度场的数学模型是由质量守恒方程和能量守恒方程构成的。
稳态流场模型通过考虑涡流阻力、压力阻力、喷流损失、湍流损失等因素，从几何形式上，用解析法或数值法求解流场的流动情况。
另外，稳态温度场模型主要是通过考虑对流换热、辐射换热、潜热换热等方式，从物理形式上，用解析法或数值法求解温度场的温度分布情况。
接着，我们来看看采空区内稳态流场及温度场模型的应用。
采空区稳态流场及温度场模型应用于分析采空区内空气对灰尘的传输，对污染物的传输，维护采空区内空气质量的稳定，预测和模拟火灾的发生及发展，以及其他研究。
此外，采空区内稳态流场及温度场模型也可以应用于节能优化，空调系统的设计，采空区内气象条件的监测等。
最后，我们来看看采空区稳态流场及温度场模型的研究前景。
随着采空区稳态流场及温度场的数学模型在实际应用中的日益深入，为研究工作带来的挑战也在增加。
为了满足采空区安全监督和节能优化的要求，研究者们正不断尝试更丰富的模型，并为模型的参数匹配、计算的性能及实际应用上的适应性等领域提出新的模型。
此外，研究人员还运用采空区稳态流场及温度场模型，在研究过程中将其与新兴技术如无人机、虚拟现实等相结合，探索更深层次的应用场景和可能性。
以上就是关于采空区稳态流场及温度场的数学模型的介绍，希望能够对大家有所帮助。
由于采空区从地质学，物理学，化学，机械，数学等方面都复杂且深刻，所以研究采空区稳态流场及温度场的数学模型要更加深入，以达到更好的研究成果。
3温度场有限元分析理论基础
第3章温度场有限元法分析理论基础在制造加工领域中，通过计算机模拟各种加工过程是非常方便有效的方法之一。
磨削过程也可以通过建立数值分析模型模拟整个磨削的过程，不仅可以预测实验可能发生的情况也可以减少实验的次数。
于是，越来越多的学者使用有限元技术对磨削过程进行分析、研究。
通过有限元法分析磨削区温度场既有利于对磨削机理的理解，也是一种优化机械加工工艺的有力工具，而且在考虑多种因素、非线性、动态过程分析等复杂情况时其优势尤为显著。
3.1有限元法简介3.1.1 有限元法的基本思想有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法之一。
目前在工程领域内常用都是数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。
有限元单元法的基本思想就是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，讲连续体看做是节点处连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题。
求解法就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。
有限元分析的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元法不仅仅计算精度高而且能够适应各种复杂形状，因此称为行之有效的工程分析手段。
3.1.2有限元热分析简介热分析是指用热力学参数或者物理参数随着温度变化的关系进行的分析方法。
国际热分析协会在1977年将热分析定义为：“热分析是测量在程序控制温度下，物质的物理性质与温度依赖关系的一类技术。
”程序控制温度指的是按某种规律加热或冷却，通常是线性升温或降温。
三维热传导问题温度场分布的数值分析
02
导热微分方程及定解条件
02
导热微分方程及定解条件
02
导热微分方程及定解条件
定解条件
02
导热微分方程及定解条件
通过无限大平壁的导热
02
02
（二）用傅里叶定律求解
03
导热问题的数值 求解基础
03
导热问题的数值求解基础
原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程 方程式在规定的边界和初 始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只 能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热问题。 对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于 数学上的困难还无法得出其分析解。
线不会相交.
• 观察一物体内温度为t及t+Δ t的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δ t与法向距离Δ n比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
Δt t gradt n lim n Δ n 0Δ n n
01
热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
A
04
各种数值解法的介绍
• 定义:一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合,以求解 连续体力学问题的数值方法。 • 有限元法：是将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单 元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似 函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表 达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
03
导热问题的数值求解基础
节点方Байду номын сангаас组的求解
03
导热问题的数值求解基础
高斯-赛德尔迭代法:用最新值进行迭代计算
《传热学》第三章 非稳态热传导
第3章 非稳态导热
3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法-集中参数法 3-3 典型一维物体非稳态导热问题的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导 热。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ∂τ ρcp
（3-1b）
初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例
f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
第3章 非稳态导热
许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化， 或确定其内部温度到达某一限值所需的时间。——非稳态导热 问题 本章讨论非稳态导热问题。首先简述非稳态导热的基本概念， 然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物 体以及多维问题的导热微分方程的分析解法。最后总结求解非 稳态导热问题的一般策略以及应用实例。 与稳态导热类似，非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬 时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传到热量的计算方 法。
第3章-温度场数学模型与数值求解
t 1 ai 0 i C pi x
式中： ai
j 1
4
1 x x 2i 2 j
整理得：
t i C pi x / a i , 且t 0
14
第四节 基于有限差分方法的离散（5/8）- 三维场合
在三维场合下，对傅立叶热传导微分方程进行基于有限差分法的离散。如下图所 示，单元i是一边长为△x的正六面体单元，它与相邻的六个单元进行热量交换。
17
第四节 基于有限差分方法的离散（8/8）- 三维场合
与二维情况一样，Δt必须满足一定条件才能保证数值解的稳定。由上式知，单元i 在t+Δt时刻的温度等于t时刻自身温度以及相邻6个单元温度的线性组合。显而易 见，相邻6个单元温度的高低，直接影响了单元i在t+Δt时刻温度的大小；同样， 单元i在t时刻温度高，则其在t+Δt时刻的温度也应该高，即等式右边第一项系数必 须不小于零，即
t 1 ai 0 i C pi x
式中：
ai
j 1
6
1 x x 2i 2 j
整理得：
t i C pi x / a i , 且t 0
对于立方体单元i来说时间步长Δt满足下式
:
t Cp (x)2 /(6),且t 0
18
i
x 2
(T jt Ti t )t
j
12
第四节 基于有限差分方法的离散（3/8）- 二维场合 根据能量守恒定定律得:
i C pi (x) 2 (Ti t t
t t x ( T T j i ) t Ti t ) x x j 1 2i 2 j 4
温度场有限元计算的研究(1)
温度场有限元计算的研究（1）温度场有限元计算的研究（1）温度场有限元计算是一种常用的研究方法，通过对温度场进行数值模拟，可以预测和分析材料的温度分布和热传导行为。
在工程领域中，温度场有限元计算在热处理过程、电子元器件设计、建筑能耗分析等方面具有广泛的应用。
温度场有限元计算的基本原理是将具体问题抽象为数学模型，并使用有限元方法进行数值求解。
具体而言，温度场有限元计算包括以下几个步骤：建立几何模型、划分网格、确定边界条件、建立求解方程、求解方程组、分析结果。
首先，建立几何模型是温度场有限元计算的基础。
根据具体问题的几何形状，可以建立相应的三维或二维模型，如直线、圆柱、矩形等。
随后，将几何模型划分为有限个单元，每个单元用于近似表示整个模型。
常用的单元包括三角形单元、四边形单元等。
然后，确定边界条件是温度场有限元计算的重要一步。
边界条件包括温度边界条件和热流边界条件。
温度边界条件是指在边界上给定的温度值，如固定温度、恒定流体温度等。
热流边界条件是指在边界上给定的热流密度，如散热器边界、辐射边界等。
接下来，建立求解方程是温度场有限元计算的核心。
常用的求解方程包括热传导方程和边界条件方程。
热传导方程描述了温度场的传热行为，可以根据材料的热传导性质和几何模型的特征进行推导。
边界条件方程则根据具体问题的边界条件进行建立。
在建立求解方程后，进行方程组的求解。
由于常规的求解方法通常难以精确求解大规模的方程组，因此需要使用数值方法进行求解，如有限元法。
有限元法将求解域分为有限个单元，每个单元内部采用多项式函数进行近似，从而将原问题转化为离散的代数问题。
最后，进行结果分析。
通过求解方程组得到的温度场数据可以进一步分析，如计算平均温度、最大温度等。
此外，还可以分析材料的温度分布特征和热传导行为，为工程设计和优化提供参考。
综上所述，温度场有限元计算是一种有效的研究方法，能够预测和分析温度场的变化规律和热传导行为。
在实际应用中，温度场有限元计算可以用于解决各种与温度相关的工程问题，为优化设计和节能减排提供支持。
温度场的建立
温度场的建立温度场是指物体或空间中各点温度的分布情况。
温度场的建立是通过实验或数值计算等方法得到的，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍温度场的建立过程以及其在实际应用中的意义。
一、温度场的建立方法1. 实验方法实验方法是建立温度场的常用手段之一。
通过在物体表面或空间中布置一系列温度传感器，可以测量不同位置的温度值，并绘制出温度分布图。
实验方法的优点是可以直观地观察温度场的形态和变化规律，但通常需要耗费较多的时间和资源。
2. 数值计算方法数值计算方法是建立温度场的另一种常用手段。
通过建立物理模型和数学模型，运用数值计算方法求解温度分布方程，得到各点的温度数值。
数值计算方法的优点是可以高效地计算大规模的温度场，并可以考虑多个因素对温度场的影响。
二、温度场的实际应用1. 工程设计在工程设计中，温度场的建立对于材料选择、结构设计等方面起着重要的指导作用。
例如，在建筑工程中，温度场的分布对于室内空调系统的设计和热防护结构的选择具有重要意义。
通过建立温度场，可以优化工程设计，提高工程的安全性和舒适性。
2. 环境保护温度场的建立对于环境保护和能源利用具有重要意义。
例如，在城市规划中，建立城市温度场可以研究城市热岛效应，并采取相应的措施减少热岛效应对城市气候和环境的影响。
此外，在能源利用方面，建立温度场可以优化能源系统的设计和运行，提高能源的利用效率。
3. 医学研究温度场的建立在医学研究中也具有重要的应用价值。
例如，在医学影像学中，通过建立温度场可以研究人体组织的热分布，了解疾病的发展过程和治疗效果，并指导临床诊断和治疗。
此外，在生物医学工程中，建立温度场可以研究热疗技术和热效应对生物组织的影响，推动医学技术的发展和应用。
三、温度场建立中的注意事项1. 数据采集在建立温度场时，需要进行准确的数据采集。
应选择合适的温度传感器，并注意传感器的安装位置和精度。
此外，还需要考虑温度场的时空分辨率，以及温度场的稳定性和可重复性。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
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第二节 传热分析的常用数值分析方法 （3/3）
2 有限元法 有限元法求解导热问题是利用微分方程边
值问题等价于相应变分问题这一特点的。用有限 元法求解不稳定导热过程可归纳为如下的步骤： 将不稳定导热过程所涉及的区域在空间和时间上 进行离散化处理；物性条件、初始条件和边界条 件的设定；写出单元泛函数表达式；构造每个单 元的插值函数；求得泛函数极值条件的代数方程 表达式；构造代数方程组；将求解的过程编成计 算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
只有在物体处于不同温度时，热量才能从一个物体传递到另一个物体，或从 物体的某一部分传递到物体的另一部分。热总是从温度高的地方流向温度低的 地方，铸件凝固冷却时，铸件内部的温度高于外界，因此铸件内部向其外侧以 及铸型传递热量。
在三维迪卡尔坐标系统，连续介质各点在同一时刻的温度分布叫做温度场， 温度场的一般可表达为T=ƒ(x,y,z,t)。若温度场不随时间变化，则称做稳定温度 场，由此产生的导热为稳定导热；若温度场随时间改变，则称做不稳定温度场， 不稳定温度场的导热为不稳定导热。
主要内容
1、传热的基本方式 2、传热分析的常用数值分析方法 3、温度场数学模型 4、基于有限差分方法的离散 5、初始条件与边界条件 6、潜热处理 7、温度场数值模拟流程图
1
第一节 传热的基本方式（1/4）
1. 热传导 2. 热对流 3. 热辐射
2
第一节 传热的基本方式（2/4）-热传导
物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒 子的热运动进行的热量传递称为热传导，简称导热。在紧密地不透明的物体内 部，热量只能依靠导热方式传递。
8
第三节 温度场数学模型
Fourier equation:
三维场合：
Cp T t
2T ( x2
2T y 2
2T z 2
)
L t
二维场合：
Cp T ( 2T 2T ) L
t
x2 y2 t
一维场合：
Cp T t
2T x 2
4 j 1
T
t j
Tit
x x
2i 2 j
变形得：
T tt i
1
t iC pi x
4 j 1
x 2i
1 x
2 j
ห้องสมุดไป่ตู้it
t iC pi x
4 j 1
T
t j
q 0Ts4
式中，q为热流密度; Ts为表面的绝对温度；
为辐射黑度；
0为Stefen-Boltsman常数。
5
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （1/3）
数值方法是进行数值模拟的重要方面，前面提到目前 比较常用的数值方法有：有限差分法、有限元法、直接差 分法、边界元法。对于铸造凝固过程CAE技术来说，主要 是采用有限差分法、有限元法，前面的章节已对这两种方 面进行了较为详细地介绍，下面对采用这两种方法如何进 行传热分析做一个简要说明。
4
第一节 传热的基本方式（4/4）- 热辐射
物体通过电磁波传递能量的方式称为辐射。物体会因各种原因发出辐射 能，其中因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。自然界中各个物体都不停 地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其它物体发出的热辐射。发出与吸收 过程的综合效果造成了物体间以辐射方式进行了热量传递。辐射换热可以用 Stefen-Boltsman定律来描述，即
6
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （2/3）
1 有限差分法 有限差分法，又称泰勒展开差分法，是最早用于传
热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本 低等优点，目前已成为应用最为广泛的一种数值分析方法。 有限差分方法，其实质就是将求解区域划分为有限个网格 单元，将微分问题化为差分问题，离散化得到差分格式， 利用差分格式来求解相应问题。用有限差分来求解不稳定 导热过程可按如下的步骤进行：将不稳定导热过程所涉及 的区域在空间和时间上进行离散化处理；物性条件、初始 条件和边界条件的设定；写出单元差分格式；将求解的过 程编成计算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
L t
其中：T ——温度 t ——时间 x,y,z ——空间坐标 ρ——密度
Cp——比热 λ——导热系数
L——潜热
9
第四节 基于有限差分方法的离散（1/8）- 二维场合
在二维情况下， 对傅立叶热传导 微分方程进行基 于有限差分法的 离散。如右图所 示，单元i是一 边长为△x的正 四边形单元，它 与相邻的四个单 元进行热量交换。
t j
Tit )t
i
j
11
第四节 基于有限差分方法的离散（3/8）- 二维场合
根据能量守恒定定律得:
iC pi (x)2 (Titt
Tit )
4
x
(T
t j
Tit
)t
j1 x x
2i 2 j
整理得：
T tt i
Tit
t iC pi x
律来描述，即
q Tf Tw
式中，q为热流密度； 为对流换热系数；
T f 为流体的特征温度； Tw 为固体边界温度。
对流换热按引起流动运动的不同原因可分为自然对流和强制对流两大类。 自然对流是由于流体冷、热部分的密度不同而引起的，如暖气片表面附近热 空气向上流动就是自然对流。如果流体的流动是由于水泵或其他压差所造成 的，则称为强制对流。
二维差分单元i的的热平衡关系图
10
第四节 基于有限差分方法的离散（2/8）- 二维场合
在微小的时间△t内，单元i吸收的的热量Q为：
Q iCpi (x)2 (Titt Tit )
从相邻的单元1、2、3、4单元i的热量总和QSUM为：
Qsum
4 j 1
x
x 2 x
2
(T
导热的基本定律是Fourier定律，Fourier定律的具体内容我们在后面再阐述。
3
第一节 传热的基本方式（3/4）- 热对流
热对流是指流体中温度不同的各部分相互混合的宏观运动引起热量传递 的现象。热对流总与流体的导热同时发生，可以看作是流体流动时的导热。 对流换热的情况比只有热传导的情况复杂。对流换热可以用Newton冷却定