全国100所名校最新高考冲刺卷-理科数学(三)图片版含答案

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2019届全国100所名校最新高考冲刺卷(三)高三数学(理)试题(解析版)

A．20B．60C．120D．240
【答案】D
【解析】当或时，圆面被分成2块，当或时，圆面被分成3块，当时，圆面被分成4块，分别求出涂色的种数，再求和.
【详解】
当或时，圆面被分成2块，
此时不同的涂色方法有种，
当或时，圆面被分成3块，
此时不同的涂色方法有种，
当时，圆面被分成4块，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，利用复数的乘除法得到的形式，再利用共轭复数的概念求解.
【详解】
因为，
所以，
所以复数的共轭复数是．
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．向量，，若，则（）
A．5B． C． D．
【答案】A
【答案】C
【解析】先判断命题P，Q的真假，再利用复合命题的真假结论求解.
【详解】
只有当函数在上存在定义时，才有，故命题为假命题．则为真命题；
因为过点作圆的切线有且只有一条，所以点在圆上，故可得圆的方程为，圆心坐标为，，所以过点的切线方程为，化简可得．故命题为真命题.
故选：C
又因为，所以，
即周长的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．如图所示，在三棱柱中，为棱的中点．
（1）求证：平面．
（2）若平面，，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】（1）连接交于点，连接，则为的中点，为棱的中点，根据三角形中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明.

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)(含答案解析)

2020年百校联考高考考前冲刺数学试卷(理科)(三)(全国I卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x<1}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (0,2)D. [0,+∞)2.已知MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，M(−2,−1)，则点N的坐标为()A. (5,5)B. (−3,1)C. (1,3)D. (1,1)3.已知命题p：∃x∈R，使得x2−x+2<0；命题q：∀x∈[1,2]，使得x2≥1.以下命题为真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.已知点是角α终边上一点，则)A. √32+12B. −√32+12C. √32−12D. −√32−125.已知函数f(x)=xcosx+(a−1)x2是奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是()A. 2x−y=0B. x−y=0C. 2x+y=0D. x−2y=06.若直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为1，则函数y=tanωx图象的对称中心为()A. (k2,0),k∈Z B. (k,0)，k∈ZC. (kπ2,0),k∈Z D. (kπ,0)，k∈Z7.已知f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3(e为自然对数的底)，则函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为()A. 6B. 8C. 12D. 148.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].若，且，则面积为()A. √2B. 2C. 3D. √39.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°，且满足|a⃗−2b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 12B. 1C. 2D. 310. 已知a >1，三个数lna+1a、1a+1、1a 的大小关系是( )A. lna+1a >1a>1a+1B. 1a >lna+1a >1a+1C. 1a >1a+1>lna+1aD. 1a+1>1a >lna+1a11. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x =2π3对称，则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)12. 若方程x 3−3ax +2=0(a >0)有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a >0C. 1<a <3D. 0<a <1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x){1,x >0(12)x ,x ≤0则满足f(a)=2的实数a 的值为______．14. 化简1sin70∘−√3cos70°=______． 15. 在△ABC 中，∠B =∠C =60°，AB =2，且点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______________． 16. 在△ABC 中，若b =1，c =√3，∠C =2π3，则a =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α2)=45,0<α<π3，求cosα的值．18.对于任意非零实数x1，x2，函数f(x)满足f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，(1)求f(−1)的值；(2)求证：f(x)是偶函数；(3)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，若f(2x−1)<f(x)，求x取值范围．19.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．(Ⅰ)求证：BC=√2AC；(Ⅱ)若AB=√5，求BC的长．20.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的−1<x<0，都有f(x)<(a−2)x，求a的取值范围．21.如图，某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果同种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．(1)若围墙AP，AQ的总长度为200m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1m，AQ段围墙高1.5m，造价均为每平方米100元．若建围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22.已知函数f(x)=(x2+a)lnx．(1)当a=0时，求f(x)的最小值．(2)若f(x)在区间[1e2,+∞)上有两个极值点x1，x2(x1<x2)．(ⅰ)求实数a的取值范围．(ⅰ)求证：−2e2<f(x2)<−12e．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A ={x|0<x <2}，B ={y|y ≥0}； ∴A ∪B =[0,+∞)．故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.答案：C解析：本题考查向量的坐标，属于基础题．设N (a,b )，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，即可得N ．解：设N (a,b )，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )−(−2,−1)=(3,4)，所以{a +2=3b +1=4，解得{a =1b =3，所以N(1,3)．故选C ．3.答案：C解析：本题主要考查了复合命题的真假判断，属于基础题．解决此题的关键是分别判断命题p 和q 的真假，再结合复合命题的真假判断方法即可求解．解：对于命题p ，因为△=(−1)2−8<0，故不等式无解，所以p 为假命题；对于命题q ，因为函数y =x 2在[1,2]上为增函数，所以y min =1，所以∀x∈[1,2]，使得x2≥1为真命题，即q为真命题，故￢p∧q为真命题，故选C．4.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，属于基础题目．现由任意角的三角函数得出，再由诱导公式得出结果．解：由点是角α终边上一点，可得．故选D．5.答案：B解析：解：函数f(x)=xcosx+(a−1)x2，若f(x)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，则−xcosx+(a−1)x2=−xcosx−(a−1)x2，即为(a−1)x2=0恒成立，可得a=1，即f(x)=xcosx，f(0)=0函数的导数为f′(x)=cosx−xsinx，可得f(x)在x=0处的斜率为k=f′(0)=1，则f(x)在x=0处的切线方程为y=x．故选：B．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，可得a=1，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用正切函数的图象和性质，先求出ω，可得函数y=tanωx图象的对称中心．解：直线y=c(c∈R)与函数y=tanωx(ω>0)的图象相邻的两个交点之间的距离为πω=1，∴ω=π，函数y=tanωx=tanπx，令πx=kπ2，求得x=k2，可得它的对称中心为(k2,0)，k∈Z，故选：A．7.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数找到对称性求解，综合性较强．解：根据f(x)为奇函数，得到f(0)=0，又周期为4，所以f(4)=f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又周期为4，所以f(−2)=f(2)，故f(2)=0，当x∈(0,2)时，f(x)=e x−1+e1−x−3，令t=e x−1∈(1e ,e)，f(x)=e x−1+e1−x−3=1t+t−3=g(t)，g(t)在(1e,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，g(1e)=g(e)>0,g(1)<0,故g(t)=0有有两个解，即f(x)在(0,2)有两个零点记为x1,x2，则在(−2,0)内有两个零点为−x1,−x2，根据周期为4，得到在(2,4)内有两个零点为x3=4−x1,x4=4−x2，所以函数f(x)在区间[0,4]上的所有零点之和为0+2+4+x1+x2+4−x1+4−x2=14，故选D．8.答案：A解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．由正弦定理得ac=3，由余弦定理得a2+c2−b2=2，代入“三斜求积”公式计算求解即可．解：由c2sinA=3sinC，得ac=3，又cosB=a2+c2−b22ac =13，得a2+c2−b2=2．所以S=√14×[32−(22)2]=√2．故选A．9.答案：B解析：本题考查了向量的数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用向量的数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2，即可得出答案．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1，∴a⃗⋅b⃗ 的最大值为1，故选B．10.答案：B解析：本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．构造函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，利用导数判断f(x)的单调性，得出x>ln(1+x)，令x=1a得1 a >ln a+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x，x>0，得出ln a+1a>1a+1，即得1a>ln a+1a>1a+1.解：设函数f(x)=x−ln(1+x)，x>0，∴f′(x)=1−11+x>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴f(x)>f(0)=0， ∴x >ln(1+x)；令x =1a ，且a >1，则1a >ln(1+1a )=lna+1a；同理，设g(x)=ln(1+x)−x1+x ，x >0， ∴g′(x)=11+x −1(1+x)=x(1+x)>0， ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴g(x)>g(0)=0， ∴ln(1+x)>x1+x ；令x =1a ，a >1， ∴ln(1+1a )>1a1+1a，即lna+1a >1a+1；综上，1a >ln a+1a>1a+1．故选B ．11.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6，由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2，可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12，则f(x)=2sin(12x +π6)，由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错；由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x0)=cosπ2=0，故B错；f(x)≥1即2sin(12x+π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z，化为4kπ≤x≤4kπ+π3，k∈Z，故C错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D对．故选：D．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x+π6)，由正弦函数的单调性可判断A；由对称轴特点和导数，可判断B；由正弦函数的图象可得x的不等式组，解不等式可判断C；由对称中心的特点可判断D．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了导数的综合应用及函数思想的应用，同时考查了构造法的应用．易知a=x23+23x，从而令f(x)=x23+23x，求导得f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，从而判断函数的单调性与极值，从而解得．解：易知0不是方程x3−3ax+2=0的根，故3ax=x3+2，故a=x23+23x，令f(x)=x23+23x，则f′(x)=23·(x−1)(x2+x+1)x2，故当x∈(−∞,0)∪(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(1)=13+23=1，在直角坐标系中作出f(x)的示意图。

2020届全国百强中学新高考原创精准模拟考试(三)理科数学试卷

2020届全国百强中学新高考原创精准模拟考试（三）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，分别求得集合A和B，再求其交集即可.【详解】由题，对于集合A，，所以集合对于集合B，，所以集合所以故选C【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.已知复数z 满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先解出复数并化简，找出复数z在复平面内对应的点，然后判断所在象限即可. 【详解】解：由，得所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限故选：A 【点睛】本题考查了复数的乘数法运算，复数的几何意义，属于基础题.3.已知平面向量，若向量与向量b共线，则x=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题，先求得向量，再向量与向量b共线解得x的值.【详解】因为平面向量，即=（6,2x+2）又因为向量与向量b，所以4x+4=12，解得x=故选B【点睛】本题考查了平面向量的共线，熟练公式是解题的关键，属于基础题.4.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）A. 60万元B. 63万元C. 65万元D. 69万元【答案】B【解析】【分析】由题求得样本中心，代入求得a的值，再将x=6代入解得结果.【详解】由题，因，将代入可得：所以回归方程，再将代入，解得故选B【点睛】本题考查了线性回归方程，属于较为基础题.5.程序框图如图，当输入x为2019时，输出y的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由流程图不断循环，找到其中规律，然后可得出输出值.【详解】解：输入，得，第1次判断为是，得；第2次判断为是，得……一直循环下去，每次判断为是，得都减3，直到，判断结果为否，得到输出值故选：A.【点睛】本题考查了循环结构流程图，看懂流程图，找到循环规律是关键，属于基础题.6.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若则△ABC的形状为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得：所以所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.7.在正方体中，E、F分别是的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，AD的中点为M，易证，即角为所求角，利用余弦定理可得答案. 【详解】在正方体中，取AD的中点为M，连接ME，设正方体的边长为1因为在正方体中，F点为的中点，M点为AD的中点，所以与CM平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以所以异面直线所成角也就是所成的角正方体边长设为1，所以所以故选D【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的夹角问题，平移直线到相交是解题的关键，属于较为基础题.8.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可.【详解】解：由，得，又，结合选项中图像，可直接排除B，C，D故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10.若a>0，b>0，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果. 【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为而定积分当且紧当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】分别有椭圆和双曲线的定义表示出AB和BC的长，再利用勾股定理化简可得结果.【详解】如图由题，设椭圆的长半轴为，双曲线的半实轴为，根据椭圆和双曲线定义：可得设在直角三角形ABC中，由勾股定理可得即即 2故选B【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，主要考查了定义以及离心率，熟悉定义和性质是解题的关键，属于中档偏上题目.12.已知函数为R上的偶函数，当时当时，且对恒成立，函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对恒成立得恒成立，由当时，；当时，，得函数在上单调递减，在单调递增，由函数为R上的偶函数，且时，，可得函数在上单调递减，在单调递增，且图像关于y轴对称，最小值为，又因为的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，且最大值为1，所以的最小正周期，且过点，然后可求出解析式.【详解】解：因为对恒成立，且的最大值为1所以恒成立又当时，；当时，所以函数在上单调递减，在单调递增又因为函数为R上的偶函数，且时，所以函数在上单调递减，在单调递增，且图像关于y轴对称所以函数的最小值为因为函数最大值为1且与的图像恰好有两个公共点，则这两个公共点必在和处所以函数的最小正周期，所以又过点，即,所以所以故选：A【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性得综合运用，三角函数的图像与性质，属于中档题.二、填空题.13.已知，则的值为________.【答案】【解析】【分析】先用二倍角展开，分母添上，然后分子分母同除以，代入即可. 【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，齐次弦化切，属于基础题.14.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书.最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是_____【答案】化学【解析】【分析】利用推理可得，乙、丙、丁均提到甲的信息，所以可以推得甲所获得的图书.【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，乙不正确说明甲没有得到英语书；丙不正确说明甲没有得到数学书；丁不正确说明甲没有得到物理书，综上可知甲得到的是化学书.【点睛】本题主要考查合情推理，结合逻辑进行推理，属于简单题.15.已知定义在R上的奇函数的图像关于点(2,0)对称，且,则_______【答案】3【解析】【分析】先由函数关于(2,0)对称，求出，然后由奇函数可求出.【详解】解：函数的图像关于点(2,0)对称，所以又因为函数为奇函数，所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的对称性和奇偶性，结合图像简图观察更加形象直观.16.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则|AB|=_____【答案】6【解析】【分析】先设直线方程联立抛物线方程得，由抛物线的焦半径公式写出列式可解出，然后由可求出答案.【详解】解：由抛物线，得，当直线AB垂直与x轴时，，不符合故可设直线AB：，联立抛物线得所以由抛物线的焦半径可知，所以所以，故答案为：6【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，抛物线的焦半径，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等差数列，是前n项和且.（I）求数列通项公式；(Ⅱ)若数列满足.求数列的前n项和【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列通项与求和公式直接列出方程组可解出，然后可求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，用裂项相消法求和即可.【详解】解：（Ⅰ）由得解得所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，裂项相消法求和，属于基础题.18.随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】(1)由题易知学习物理且学习化学的学生共有9人，学习生物的有4人，选3人至少两个人选生物就是恰好2个人生物或3个人都是生物，可得结果;(2)由题可得，选择地理还有2人，所以可得X=0,1,2，求其概率和分布列以及期望.【详解】解：(1)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率.(2)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X可取0,1,2..【点睛】本题考查了概率和离散随机变量，属于较为基础题.19.已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.(I)求动点P的轨迹E的方程(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明【解析】【分析】（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.【详解】解：（Ⅰ）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，所以，则，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，设该椭圆方程为，则，所以，可得动点P的轨迹E的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，点M是EC的中点．(1)求证:平面ADEF平面BDE.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)由勾股定理可得BD⊥AD，再利用面面垂直的性质可得ED⊥BD，结论得证；（2）建立直角坐标系，分别求出平面BDE和平面BDM的法向量，利用空间向量求其二面角可得答案.【详解】解：(1)由题可知AD=BD=2，AB=则AD2+BD2=AB²，根据勾股定理有BD⊥AD，又因正方形ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直，则ED⊥平面ABCD，则ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF.而BD平面BDE，所以平面ADEF⊥平面BDE.(2)以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系，由题可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0.2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M （-，，1）.由(1)可得AD⊥平面BDE，则可取平面BDE的法向量，设平面BDM的法向量为，=（-，，1），=（0，2，0），由n2·=0，n2·=0，.可得可取n2=（，0，2），则.设二面角E-BD-M的平面角为α，显然α为锐角，故【点睛】本题考查了面面垂直的判定和二面角的求法，熟悉判定定理、性质定理、法向量的求法是解题的关键，属于较为基础题.21.设函数.(1)判断的单调性，并求极值；(2)若，且对所有都成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】(1)求导，对参数a进行讨论求出单调性，即可得极值；（2）令，题目转变为F（x）≥0恒成立，求导，求得其单调性和最值，分类求得m的值.【详解】解：(1)，当a≤0时，，在R上单调递增，函数无极值；当a>0时，由得，，若，，单调递减，若，f'（x）>0，单调递增，的极小值为.(2)令，依题意，对所有的x≥0，都有F（x）≥0，易知，F（0）=0，求导可得，，令，由得，H（x）在[0，+∞）上为递增函数，即F'（x）在x∈[0，+∞）上为递增函数，若m≤2，，得在x∈[0，+∞）上为递增函数，有≥F（0）=0，符合题意，若m>2，令<0，得.所以在）上单调递减，有舍去，综上，实数m的取值范围为.【点睛】本题考查了导函数的应用，利用导函数求单调性，得极值和最值是解题的关键，属于较难题.22.选修4-4:坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线（t为参数)，曲线(I)求曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）由由，，代入曲线化简即可；（Ⅱ）将代入，设直线上的点对应的参数分别为，结合韦达定理，得出点M的轨迹方程的参数方程，转化为普通方程即可.【详解】解：（Ⅰ）由，，代入曲线得，即（Ⅱ）将代入得，，设直线上的点对应的参数分别为，则，所以中点M的轨迹方程为（为参数），消去参数，得M点的轨迹的普通方程为【点睛】本题考查了极坐标系方程与平面直角坐标系方程的转化，直线的参数方程，动点的轨迹方程，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数(1)求不等式解集；(2)关于x的不等式在实数范围内有解，求实数a的取值范围。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷和答案(理科)(三)(全国ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x∈N|x≤6}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{y|y＝x2，x∈A}，则∁M B＝（）A．{2，5，6}B．{2，3，6}C．{2，3，5，6}D．{0，2，3，5，6}2．（5分）已知i是虚数单位，z（2﹣i）＝5（1+i），则＝（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．（5分）在△ABC中C＝4，D为BC上一点，且，AD＝2，则BC的长为（）A．B．C．4D．4．（5分）在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形T，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，四边形OAFB为梯形，则双曲线C离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，）D．（，+∞）7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤4034？B．i≤4036？C．i≤4038？D．i≤4042？9．（5分）已知大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，则下列结论正确的是（）A．B．ln（x2+1）＜ln（y2+1）C．tanx＜tany D．10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x﹣y﹣2＝0对称的不同两点P 和Q，则线段PQ的中点坐标为（）A．（1，﹣1）B．（2，0）C．（，﹣）D．（1，1）11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形，M，N分别是C 1B1，CC1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝asinωx+bcosωx（ω＞0）在区间上单调，且，当时，f（x）取到最大值4，若将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g（x）的图象，则函数零点的个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（2，﹣1），则•（2﹣）＝．14．（5分）已知曲线f（x）＝ln（a+x）（a∈R）在（0，0）处的切线方程为y＝x，则满足0≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围为．15．（5分）若，则＝．16．（5分）某饮料厂生产A、B两种饮料．生产1桶A饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间，每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时（m，n∈N*）利润最大，则m+n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a3a7＝322，数列{b n}的前n项和为S n＝n2﹣n，（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．18．（12分）已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表：表1（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹重量（kg）包裹数402520105损坏件数13230表2（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹重量（kg）出厂价（元2025304050 /件）60657090110卖价（元/件）（Ⅰ）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；（Ⅱ）将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间（2，3]和（3，4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．19．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD是等边三角形，BC⊥CD，BC＝CD＝，E为三棱锥A﹣BCD外一点，且△CDE 为等边三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．求BE的长．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的四个顶点围成的四边形面积为，圆O：x2+y2＝1经过椭圆E 的短轴端点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过椭圆E的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E相交于A，C和B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值．21．（12分）已知函数f的最小值为0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣﹣m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A，B，C的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），且△ABC的顶点都在圆C2上，将圆C2向右平移3个单位长度后，得到曲线C3．（Ⅰ）求曲线C3的直角坐标方程（Ⅱ）设M（1，1），曲线C1与C3相交于P，Q两点，求|MP|•|MQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，对∀x∈R，不等式恒成立，求mn的最小值．2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】求出集合M，B，再计算即可．【解答】解：已知集合M＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0，1，4}，则∁M B＝{2，3，5，6}，故选：C．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（2﹣i）＝5（1+i），得z＝，则．故选：B．3．【分析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．【解答】解：在△ABC中C＝4，D为BC上一点，如图所示：设BD＝x，且，所以DC＝2x，AD＝2，在△ABD中，利用余弦定理：①，在△ADC中，利用余弦定理：42＝22+（2x）2﹣2×2×2x•cos∠ADC②，由于cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由①得：，代入②得：，解得x＝．所以BC＝3x＝，故选：D．4．【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可．【解答】解：设正方形的边长为1；则对应正三角形的边长也为1；整个图形是有三个正方形和7个三角形组合而成；所以在T内随机取一点，则此点取自正方形的概率P＝＝＝；故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为．再由球与棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为．则该组合体的体积V＝．故选：A．6．【分析】求出A的坐标，然后求解B的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，四边形OAFB为梯形，可得A（c，），BF的方程为：y＝，与y＝﹣联立，可得B（，﹣），，可得（﹣）•（，）＜0，可得：，，可得3c2＜4a2，所以1＜e＜．故选：A．7．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数，排除C，计算f（1）的值，排除AD，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝（x2﹣2|x|）e|x|，则有f（﹣x）＝（x2﹣2|x|）e|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除C，又由f（1）＝（1﹣2）e＝﹣e，排除AD；故选：B．8．【分析】根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件式子．【解答】解：算法的功能是计算的值，易知正项的分母为2，6，10，…，4038成等差数列，所以判断框中i＝4038，继续执行，故终止程序运行的i值为4038，∴判断框内处应为i≤4038．故选：C．9．【分析】大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，可得log x2＝log y3，1＜x＜y．再利用函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：大于1的实数x，y满足log x2x＝log y3y，∴log x2＝log y3，∴1＜x＜y．∴ln（x2+1）＜ln（y2+1）．故选：B．10．【分析】曲线C：y2＝2x．设P（x1，y1），Q（x1，y1），线段PQ 的中点M（x0，y0），直线l垂直平分线段PQ，设其方程为y＝﹣x+b，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理转化求解即可．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0）因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为﹣1，设其方程为y＝﹣x+b，由，消去x得y2+2y﹣2b＝0，由P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2，从而△＝4﹣4×1×（﹣2b）＝8b+4＞0（*），因此y1+y2＝﹣2，所以y0＝﹣1，又M（x0，y0）在直线l上，所以x0＝1，所以点M（1，﹣1），此时b＝0满足（*）式，故线段PQ的中点M的坐标为（1，﹣1）．故选：A．11．【分析】推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y 轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，四边形A1ACC1与B1BCC1均为边长为2的正方形，M，N分别是C 1B1，CC1的中点，∴AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），M（0，1，2），A（2，0，0），N（0，0，1），＝（0，﹣1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线BM与AN所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BM与AN所成角的余弦值．故选：B．12．【分析】由题知f（x）＝asinωx+bcosωx＝，由得出对称中心及对称轴，得出T，再得出f （x）解析式，再由变换得出g（x），再分别画出g（x）与图象，即可得出结论．【解答】解：f（x）＝asinωx+bcosωx＝（ω＞0），所以，即0＜ω≤3，又，所以为f（x）对称轴；且，则为f（x）的一个对称中心，由于0＜ω≤3，所以与为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，则，∴ω＝2，又，且，解得，故，由图象变换得，g（x）在处的切线斜率为，又在处的切线斜率不存在，即切线方程为，所以右侧g（x）图象较缓，如图所示：同时时，，所以的零点有7个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．【分析】直接代入数量积求解即可．【解答】解：因为向量＝（2，1），＝（2，﹣1），∴2﹣＝（2，3）；则•（2﹣）＝2×2+（﹣1）×3＝1；故答案为：1．14．【分析】根据切线方程可求得参数a，进而解出不等式组即可【解答】解：因为f′（x）＝，所以f′（0）＝，f（0）＝lna，则曲线在（0，0）处的切线方程为y＝x+lna，所以＝1，lna＝0，解得a＝1，所以f（x）＝ln（x+1），则0≤f（x﹣2）≤1即0≤ln（x﹣1）≤1，所以1≤x﹣1≤e解得2≤x≤e+1，故答案为[2，e+1]．15．【分析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（+2α）的值．【解答】解：由，即sinα+cosα+cosα＝﹣，所以sinα+cosα＝﹣，即sin（α+）＝﹣，所以＝1﹣2sin2（α+）＝1﹣2×＝．故答案为：．16．【分析】设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，作出可行域，目标函数为z＝1.5x+y，则y＝﹣1.5x+z，z表示直线在y轴上的截距，求出当直线y＝﹣1.5x+z 经过点（4，3），即m＝4，n＝3时，利润最大，由此能求出结果．【解答】解：设每天A，B两种饮料的生产数量分别是x桶，y桶，则有，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z＝1.5x+y，则y＝﹣1.5x+z，z表示直线在y轴上的截距，∵x，y只取整数，∴当直线y＝﹣1.5x+z经过点（4，3），即m＝4，n＝3时，利润最大，∴该饮料厂每天生产A饮料m桶，B饮料n桶时（m，n∈N*）利润最大时，m+n＝7．故答案为：7．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【分析】本题第（Ⅰ）题设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），然后根据等比中项的性质a3a7＝＝322，进一步计算可得公比q 的值，即可得到数列{a n}的通项公式，然后利用公式b n＝可计算出数列{b n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果写出数列{c n}的通项公式，然后运用奇偶项分别求和的分组求和法计算出前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a 3a7＝＝322，故a5＝32．q4＝＝16＝24．解得q＝2．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．当n＝1时，b1＝S1＝12﹣1＝0，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣n﹣（n﹣1）2+（n﹣1）＝2n﹣2．∴数列{b n}的通项公式为b n＝2n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝．∴T2n＝c1+c2+c3+c4+…+c2n﹣1+c2n＝21+2+23+6+…+22n﹣1+（4n﹣2）＝（21+23+…+22n﹣1）+[2+6+…+（4n﹣2）]＝+＝•22n+1+2n2﹣．18．【分析】（Ⅰ）由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值．（Ⅱ）重量在（2，3]的产品数为20，其损坏率为＝0.1，重量在（3，4]的产品数为10，其损坏率为，设重量在（2，3]的这件产品的利润记为X，重量在（3，4]的这件产品的利润记为Y，X+Y的可能取值为45，2，﹣9，﹣52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：＝（40×10+25×15+20×20+10×25+5×30）＝15.75（元）．（Ⅱ）重量在（2，3]的产品数为20，其损坏率为＝0.1，重量在（3，4]的产品数为10，其损坏率为，设重量在（2，3]的这件产品的利润记为X，则X1＝70﹣30﹣20＝20，X2＝﹣（30+20）+30×0.9＝﹣23．设重量在（3，4]的这件产品的利润记为Y，则Y1＝90﹣40﹣25＝25，Y2＝﹣（40+25）+40×0.9＝﹣29，∴X+Y的可能取值为45，2，﹣9，﹣52，∴P（X+Y＝45）＝0.9×0.7＝0.63，P（X+Y＝2）＝0.1×0.7＝0.07，P（X+Y＝﹣9）＝0.9×0.3＝0.27，P（X+Y＝﹣52）＝0.1×0.3＝0.03，∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：利润452﹣9﹣52P0.630.070.270.03期望E（X+Y）＝45×0.63+2×0.07+（﹣9）×0.27+（﹣52）×0.03＝24.5．19．【分析】（I））取BD的中点O，连接OC，OA，现证明BD⊥平面AOC，再得到结论；（II）以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设∠EFG＝θ，求出平面ECD和平面ABD的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出E的坐标，得出结论．【解答】解：（I）取BD的中点O，连接OC，OA，根据题意，AO⊥BD，又BC＝CD，故CO⊥BD，又CO∩AO＝O，所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，所以AC⊥BD；（II）由平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BD＝2，AO＝，取CD的中点F，连接OF，显然CD⊥平面EOF，故OF＝，EF＝CD＝，则O（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），B（0，﹣1，0），F（），设∠EFG＝θ，则E（，cosθ+），设平面ECD的法向量为，则，即，得，平面ABD的法向量为，由|cos＜＞|＝，sinθ＝，cosθ＝，故E（1，1，1）或者（0，0，1）（舍弃），故BE＝．20．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）对直线AC的斜率分情况讨论，当直线AC的斜率不存在或为0时，S四边形ABCD＝2，当直线AC的斜率存在时，不妨设为k （k ≠0），则直线BD的斜率为﹣，直线AC的方程为：y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AC|＝，将k替换为﹣，得|BD|＝，所以S四边形ABCD＝，令t＝1+k2，则t＞1，利用二次函数的性质即可求出S四边形ABCD≥，因为2，所以四边形ABCD 的面积的最小值为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得，∴椭圆E的方程为：；（Ⅱ）易知椭圆E的右焦点坐标为（1，0），①当直线AC的斜率不存在或为0时，S四边形ABCD＝＝，②当直线AC的斜率存在时，不妨设为k （k≠0），则直线BD的斜率为﹣，直线AC的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，消去y得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，右焦点在椭圆E内，故此方程的△＞0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则有，，∴|AC|＝＝，将k替换为﹣，得|BD|＝，∴S四边形ABCD＝＝，令t＝1+k2，则t＞1，∴S四边形ABCD＝＝，当t＝2，即k＝±1时，等号成立，∵2，∴四边形ABCD 的面积的最小值为．21．【分析】（I）先对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求最小值，然后结合已知即可求解a；（II）由题意可得，0＝lnx1+﹣1﹣m，，两式相减可得ln＝，然后结合式子特点适当构造函数，即可证明【解答】解：（I）因为f＝ln（ax）+，x ＞0＝，易得当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（a，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝a时，函数取得最小值f（a）＝lna2＝0，故a＝1，f（x）＝lnx+．（II）由（I）可得f（x）＝lnx+，所以g（x）＝lnx+﹣1﹣m，因为g（x）＝f（x）﹣﹣m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，所以0＝lnx1+﹣1﹣m，，两式相减可得ln＝，故x1x2＝，则x1＝，，令t＝，则0＜t＜1，x1+x2＝，令h（t）＝，0＜t＜1，则＝＞0恒成立，故h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）＜h（1）＝0，所以t﹣＜2lnt＜0，所以，故x1+x2＞1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A，B，C的极坐标分别为（4，），（4，），（4，），转换为直角坐标为A（2，2），B（﹣2），C（0，﹣4）设经过的圆的方程为x2+（y﹣m）2＝r2，将直角坐标A（2，2），B（﹣2），C（0，﹣4），代入圆的方程得到：解得m＝0，r＝4，所以圆C2的直角坐标方程为x2+y2＝16．将圆C2向右平移3个单位长度后，得到曲线C3，得到（x﹣3）2+y2＝16．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：把曲线C1的参数方程为（t为参数），代入（x﹣3）2+y2＝16．得到：，整理得：，所以|MP|•|MQ|＝|t1t2|＝11．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（（1））原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|．通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号解对应的不等式，最后取并即可；Ⅱ）由f（x）＝，可求得f（x）min＝f（）＝，恒成立⇔log2m•log2n≥1恒成立，利用基本不等式即可求得mn的最小值．【解答】解：（1））原不等式可化为|3x﹣1|+|x﹣2≥3|．①当x≤时，原不等式可化为﹣3x+1+2﹣x≥3，解得x≤0，∴x≤0……（2分）②当＜x＜2时，原不等式可化为3x﹣1+2﹣x≥3，解得x≥1，∴1≤x≤2…（…3分）③当x≥2时，原不等式可化为3x﹣1﹣2+x≥3，解得x≥，∴x≥2……（4分）综上，原不等式的解集为：{x|x≤0或x≥1}…（5分）Ⅱ）∵f（x）＝，∴f（x）min＝f（）＝，…（…6分）∴由恒成立可知，不等式log2m•log2n≥1恒成立…（8分）∵log 2m+log2n≥2≥2，∴log2（m•n）≥2，∴mn≥4，当且仅当m＝n＝2时等号成立，∴mn的最小值是4……（10分）．。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =()A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]答案：D根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 解：解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 点评：本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则|z|=（）A ．15B C ．125D ．25答案：B根据复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，求出||z 即可. 解：1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--，22125||55z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 点评：本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9730S S -=，22a =，则2019a =（） A ．2017 B ．2019C ．4036D ．4038答案：C设等差数列{}n a 公差为d ，可得8930a a +=，结合22a =，建立1,a d 方程组，求解得到通项公式，即可求出结论. 解：由9730S S -=，得8930a a +=，所以121530a d +=，又12a d +=，所以2d =，10a =，所以02(1)22n a n n =+-=-，所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 点评：本题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．23答案：B设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=. 解：设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4= ∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选：B. 点评：本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(D ．()+∞答案：A求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 解：解：设(),0F c ，所以c =OB 的方程为by x a=-，直线BF 的方程为()b y x c a =-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0BO BA ⋅<，所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，2313e ∴<<.故选：A. 点评：本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题. 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．233π- B ．223π- C ．23π D ．413π- 答案：B由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 解：解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体， 2，高为1，所以四棱锥的体积为1222133=，半球的体积为322133ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为223π-. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：B判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 解：易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 点评：本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 8．已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A ．log 2log 2log 2x y z x y z >>B ．log 2log 2log 2y z x y z x >>C ．log 2log 2log 2x z y x z y >>D ．log 2log 2log 2y x z y x z >>答案：B由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.解：∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．点评：本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．31B ．39C ．47D ．60答案：D根据循环程序框图，循环计算到11n =时，输出T ，即可得出答案. 解：解：根据题意，0T =，1n =；8T =，2n =；84T =+，3n =；844T =++，4n =；8448T =+++，5n =；84480T =++++，6n =； 8448+012T =++++，7n =； 84480124T =+++++-，8n =； 8448012416T =+++++-+，9n =； 84480124168T =+++++-+-，10n =； 8448012416820T =+++++-+-+，11n =，故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选：D. 点评：本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.10．已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||22AB =物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(1,1)答案：A根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标，代入抛物线方程，求出p ，设点()11,P x y ，()22,Q x y 代入抛物线方程作差，得到PQ 斜率与12,y y 关系，即可求解. 解：因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为，横坐标为1，代入22(0)y px p =>，可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-，又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 点评：本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，注意相交弦中点问题“点差法”的应用，属于中档题.11．已知三棱柱111ABC A B C -的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．310BC ．710D答案：B画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC=CA=CC 1， ∵三棱柱111ABC A B C -3的球，设BC=CA=CC 1=a,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球， 22223a a a ++=a=2， ∴BC=CA=CC 1=2,55()222211226NO MB B M BB ==+=+=在△ANO 中,由余弦定理可得：222302256AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅⨯⨯故选：B. 点评：本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12．设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =-A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D由已知可得()()f x x ωϕ=+，由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出()f x 的解析式，再有变换得出()g x ，再分别画出()g x与y =图象，得出结论. 解：解：设()()f x x ωϕ=+()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤，又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴，且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心，由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=．4=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3y x π=+在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-．所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示，同时43x π+>时，163x π>-，所以()3y g x x π=-+的零点有7个．故选：D.点评：本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(,1)()b m m =-∈R ，且(2)b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为______.答案：2210由向量垂直的坐标关系，求出m ，再由向量的投影公式，即可求解.解：根据题意，2(4,3)a b m -=-，(2)b a b ⊥-，(4)30m m ∴--=，1m ∴=或3m =，所以向量a在b方向上的投影为||2abb⋅===.故答案为:2或2.点评：本题考查向量的坐标运算、向量的投影，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知91xax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含3x项的系数为212-，则实数a=______.答案：2求出二项展开式通项公式，得到3x项的系数，建立a的方程，求解即可.解：99219911C Cr rr r r rrT x xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由9233r r-=⇒=，得系数为339121C2a⎛⎫-=-⎪⎝⎭，2a∴=.故答案为:2.点评：本题考查二项展开式定理通项公式，熟记公式是解题关键，属于基础题.15．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且1234··n nT a a a a a=⋅⋅⋅⋯，若72a=，1016a=，则满足n nS T>的最大正整数n的值为______.答案：12根据已知求出{}n a通项公式，进而求出,n nS T，得到不等式21110*2221,nnnn N-+∈>+，等价转化为21110*222,nnnn N-+>∈，即211102n nn-+>，求解即可得出结论.解：根据题意，72a=，1016a=，2q∴=，所以62nna-=，记()1211221321232nnn nS a a a--=++⋯+==-，(11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=，由题意n n S T >，即(11)252122n n n -->， 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=， 211102221n n n -+∴->，因此只需211102n n n -+>， 213100n n ∴-+<，n <<，由于n 为整数，因此n最大为132+的整数部分，即为12. 故答案为:12.点评：本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式，合理放缩是解题的关键也是难点，属于中档题.16．某饮料厂生产A ，B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大，则m n +=_________.答案：7 设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩，画出可行域，结合已知，即可求得答案.解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩ 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设B 饮料每桶利润为1，则目标函数为 1.5z x y =+，则 1.5y x z =-+，z 表示直线在y 轴上的截距，x ，y 只取整数，∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =，3n =时，z 取得最大值，故7m n +=.故答案为：7.点评：本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．三、解答题17．在ABC 中，23AB =D 为BC 上一点，且3BC BD =，2AD =.（Ⅰ）若30B =︒，ADB ∠为钝角，求CD 的长；（Ⅱ）若sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠，求ABC 的周长. 答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）3442++（Ⅰ）在ABD △中，根据正弦定理，结合ADB ∠范围，求出,ADB BAD ∠∠，即可求出结论；（Ⅱ）由已知可得12BAD CAD S S =△△，由sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式，求出4AC =，设BC x =，分别在,ADC ADB ∆∆中，用余弦定理表示,AC AB ，再由,ADC ADB ∠∠互补，建立x 的方程，求解即可.解：（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，2sin 30=︒，解得sin ADB ∠=，则120ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，所以2AD BD ==，所以24CD BD ==.（Ⅱ）由3BC BD =，得12BAD CAD S S =△△，所以1sin 1212sin 2BAD CAD AB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△，因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠，AB =4AC =，设BD x = 由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠；2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠，22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠；222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠，可得3x =，所以BC = 故ABC的周长为4+点评：本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；()2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．答案：()115.75元；()2见解析，24.5. ()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值；()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=，重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，45X Y +=，2，9-，52-，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．解：解：()1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ，401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）． ()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=．重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，则170302020X =--=，()23020300.923X =-++⨯=-，设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，则190402525Y =--=，()24025400.929Y =-++⨯=-，所以45X Y +=，2，9-，52-，则()450.90.70.63P X Y +==⨯=，()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=，()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=，所以其分布列为：利润 452 9- 52- P 0.63 0.07 0.27 0.03根据题意，()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=．点评：本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，2BC CD ==，E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE △为等边三角形．()1证明：AC BD ⊥；()2若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为33，求BE 的长．答案：()1证明见解析；()26BE =()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，证明BD ⊥平面AOC ，可得到结论；()2以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.解：解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，所以AO BD ⊥，又因为BC CD =，所以CO BD ⊥，因为CO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥．()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =，设EFO πθ∠=-，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-，31122CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0311cos cos 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭．因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =，所以cos ,3OC n 〈〉==，22cos 1sin 2θθ∴= 所以3cos 3θ=±，sin 6θ=，所以()1,1,1E 或()0,0,1E ．因为E 为三棱锥A BCD -外一点，所以()1,1,1E ，所以6BE =．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ，过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ，且4MA MB k k +=，求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离.答案：（Ⅰ）2212x y +=51- （Ⅰ）根据椭圆的对称性可得2b a =，再由1b =，即可求出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,A B 坐标关系，将4MA MB k k +=用坐标表示，化简得出,m k 关系，求出直线AB 过定点，当直线AB 斜率不存在时，求出其方程也过同一定点，即可求出结论. 解：（Ⅰ）根据题意，1b =，又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直，所以sin 45b a ︒==，所以a =1C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， (),A A A x y ，(),B B B x y ，代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，所以2212A B km x x k -+=+，22112A B m x x k -⋅=+，故1A MA A y k x -=，1B MB By k x -=，所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-， ∴将12k m =-代入y kx m =+得：12k y kx =+-，所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.②当直线AB斜率不存在时，A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，24MA MB k k t+==-=，解得12t =-，则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而点P 到点Q 的最小距离为12-. 点评：本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，相交弦问题注意根与系数关系的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 答案：（Ⅰ）()ln f x x x =-（Ⅱ）见解析（Ⅰ）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出极大值，最大值，建立a 的方程关系，求解即可；（Ⅱ）12,x x 代入方程1ln 202x x +-=，整理得到1212122ln x x x x x x -=，进而有1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，01t <<，转化为证明112ln t t t->，构造函数1()2ln h t t t t =--，根据函数单调性证明()0h t <即可.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(0)f x a x x '=->，当0a 时，1()0f x a x'=->，即函()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值.当0a >时，令1()0f x a x ，可得1x a =，当10x a<<时，1()0ax f x x '-=>；当1x a>时，1()0ax f x x '-=<，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以ln 11a --=-，1a .故()ln f x x x =-. （Ⅱ）设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点，所以111ln 202x x +-=，221ln 202x x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=.构造函数1()2ln h t t t t =--，则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<，()0h t '>恒成立，故()(1)h t h <，所以12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<，因为ln 0t <，可知112ln t t t ->，故121x x +>.点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明，构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值.答案：（1）22(3)16x y -+=（2）11（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；（2）由（1）联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A的直角坐标系为2)A ，点B的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=，代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.（2）由（1）联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)1622t --++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．23．已知函数()|31||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值. 答案：（1）{|0x x ≤或1}x ≥.（2）4（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用基本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．解：（1）原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤；②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥， 2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知，不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.点评：本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。

【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(三)-理科数学(附答案及答题卡)

上有
且仅有"个零点$则符合条件的正整数的值为!!!!!! 三解答题共7$分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
一必考题共6$分
!7!本小题满分!#分
如图所示$在平面四边形 "$)+ 中$+"*"$$)+)"5)
#5+)#$+"+))#'$+$5))'$+)5+)!
!!"求:4;的值-
.!"
/!#
0!"#
3!"(
!!!在长方体 "$)+*"!$!)!+! 中"$)#$))""!)槡#点 , 为"$! 的中点点 ( 为对角线 ")! 上的动点点 0 为底面 "$)+ 上的动点点(0 可以重合则 ,(1(0 的最小值为
.!!
/!槡#6
0!'(槡#
'&回答第卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回#
第卷
一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的
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专题06 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国III卷)(理)(解析版)

1第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=．故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(三)高三数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（三）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{|10}A x x =->，{|lg }B x y x ==，则A B =I ( ) A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞答案：B首先解不等式求出集合A ，求对数函数的定义域得集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 解：因为10x ->.所以1x <，所以(,1)A =-∞，因为0x >，所以(0,)B =+∞，所以(0,1)A B =I . 故选：B 点评：本题考查了集合的交集概念以及基本运算、对数函数的定义域，属于基础题. 2．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 解：因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限故选A 点评：本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.3．已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<答案：C利用指对数函数的知识得出,a b 的范围即可. 解：因为3log 0.30a =<， 4.13(0,1)b -=∈，312c =>，所以a b c <<．故选：C 点评：本题考查指数、对数的大小比较，较简单. 4．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（） A ．83- B ．43- C ．83D ．43答案：A由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 解：3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A . 点评：本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题. 5．已知||||a b ==r r21a a b +⋅=r r r，则向量a r ，b r 的夹角θ=（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C首先算出1a b ⋅=-r r，然后求出cos θ即可. 解：因为21a a b +⋅=r r r ，所以1a b ⋅=-r r ，所以1cos 2||||a b a b θ=⋅=-r r r r，所以23θπ=故选：C 点评：本题考查的是向量的数量积的有关计算，较简单.6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p áo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（） A ．314B ．1114C ．114D ．27答案：B分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 解：从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 点评：本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.7．函数()3ln ||xf x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．答案：A由函数()f x 为非奇非偶函数可排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，可排除选项B ．解：因为函数()f x 为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y 轴对称，排除选项C ，D ，当x →+∞时，函数值()f x →+∞，故排除选项B ．故选：A 点评：解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.8．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥答案：C根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 解：对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 点评：本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.9．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（） A ．32B ．12C ．14D ．18答案：D利用余弦定理角化边整理可得结果. 解：由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D . 点评：本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.10．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．12ω=-，23ϕπ=B ．12ω=-，3πϕ=C ．2ω=-，23ϕπ=D ．2ω=-，3πϕ=答案：C由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，首先利用函数()g x 的最小正周期是π可求出ω，然后利用3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ 解：由题意可得()3sin 6g x x πωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的最小正周期是π，所以2||ππω=，所以2ω=±，因为0ω<，所以2ω=-，所以()3sin 23g x x πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin 62πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2k ϕ=π或22()3k k Z ππ+∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=．故选：C 点评：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.11．在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．3π B ．9π C ．12πD ．24π答案：B根据题意，确定CP 为三棱锥P ABC -的外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解. 解：因为AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB B ⋂=，所以PA ⊥底面ABC ，因为点P 到底面ABC 的距离为1.所以1AP =. 因为CB AP ⊥，CB AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，故BC PB ⊥，90PBC PAC ∠=∠=︒，即该球的直径为3CP ===，所以球的半径为32R =，249S R ππ==. 故选：B 点评：本题考查了多面体的外接球问题、球的表面积公式，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25B ．2C ．72D ．3答案：B过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 解：过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 点评：本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．答案：32根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大；由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 点评：本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14．已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O 为坐标原点，且||2OP =，则点P 的坐标是_______. 答案：()2,2首先求出双曲线过第一象限的渐近线方程y x =，利用两点间的距离公式即可求解. 解：双曲线224y x -=过第一象限的渐近线方程为y x =，设(),P x x ，0x >因为||2OP =P 的坐标为()2,2. 故答案为：()2,2 点评：本题考查了双曲线的几何性质、两点间的距离公式，属于基础题.15．已知函数[]22()(0)x f x f e kx '=-（e 为自然对数的底数，()f x '为函数()f x 的导函数且(0)0f '≠，()f x 至少有两个零点，则实数k 的取值范围是__________.答案：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭令0x =，求出()01f '=，可得函数 ()2xf x e kx =-，分离参数可得2xek x=，记2()x e g x x=，利用导数作出()g x 的大致图像，数形结合可得2(2)4k g e =…，从而求出实数k 的取值范围. 解：因为[]2()(0)2x f x f e kx ''=-，所以2(0)[(0)]f f ''=，解得()01f '=或()00f '=（不合题意，舍去），所以()2xf x e kx =-，由()y f x =至少有两个零点，所以20x e kx -=至少有两根，因为0x =不是方程的根，所以方程可化为2xe k x =，记2()xe g x x=，因为()22222(2)()x xx e x xe e x g x x x --'==，所以()g x 在区间()0,2单调递减，在区间(,0)-∞和(2,)+∞单调递增，函数()g x 大致图象如图，所以当2(2)4k g e =…时，函数()f x 至少有2个零点，所以实数k 的取值范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、双空题16．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________. 答案：15815根据相互独立事件的概率乘法求出甲、乙被录取的概率，再次利用概率的乘法运算可求出甲、乙同时被录取的概率；分类并利用概率的乘法以及加法可求出只有一人被录取的概率. 解：甲被录取的概率为1433545P =⨯=，乙被录取的概率为2211323P =⨯=，则该次考试甲，乙同时被录取的概率是12311535P PP ==⨯=，只有一人被录取的概率是()()22113221815353115P P P P P +-=⨯+⨯==-. 故答案为：15；815点评：本题考查了相互独立事件的概率乘法运算，考查了分析以及基本运算能力，属于基础题.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．答案：（1）2n a n =；（2）211343n nS n n =+-+⨯. （1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 解：（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯．点评：本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD .（1）证明1//AO 平面11B CD . （2）若1AB AA =，求二面角1A A B D --的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）63. （1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，证出11//A O O C ，再利用线面平行的判定定理即可证出结论.（2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面1AA B 的一个法向量，平面1DA B 的一个法向量，利用空间向量的数量积由2112|cos |n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r 即可求解. 解：（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，所以11//OC A O ，11OC AO =，所以四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//A O O C ，因为1AO ⊄平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CB . （2）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设1OA =.因为1AB AA -，所以11OA =，所以(0,1,0)A -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，所以1(0,1,1)AA =u u u r ，()1,1,0AB =u u u r ，设()1111,,n x y z =u r为平面1AA B 的一个法向量，因为11100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，所以111100y z x y +=⎧⎨+=⎩，令11y =，所以1(1,1,1)n =--u r，因为平面1DA B 的一个法向量为2(0,1,0)n =u u r，设二面角1A A B D --的平面角为θ，所以21123|cos |31n n n n θ⋅===⨯u r u u u r ur ur ，所以sin 6θ=.点评：本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求面面角，属于中档题.19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生 60 20 女士 4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.0010k3.841 6.635 10.828答案：（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. （1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 解：（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．点评：本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．已知函数2()(ln )2f x a x x x x =-+-，e 为自然对数的底数. （1）当2a e =-时，求函数()f x 的极值；（2）若2x π…，求证：()22(sin ln )2x e x e x π>-+--.答案：（1）当1x =时，极大值21e --，当x e =时，极小值2e -；（2）证明见解析. （1）首先求出导函数()f x '，将2a e =-代入，求出()f x '的正负，从而确定函数的单调区间，再根据极值的定义即可求解.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，可得222(ln )2e x x x x e --+--…，即2()22ln e x x e x --…，构造()sin 12g x x x π=--+，利用导数可得函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，即()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，证出sin 12x x π+-…，进而证出不等式. 解：（1）因为1(1)(2)()122x x a f x a x x x-+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，所以当2a e =-时，2(1)()()x x e f x x--'=，因为当01x <<时，()0f x '>；当1x e <<时，()0f x '<；当x e >时，()0f x '>；所以函数()y f x =在(0,1)和(,)e +∞上单调递增，在(1,)e 上单调递减，所以当1x =时，函数有极大值(1)21f e =--，当x e =时，函数有极小值2()f e e =-.（2）由（1）知，当2a e =-，2x π…时，函数()y f x =在x e =时取得极小值，即最小值2e -，所以222(ln )2e x x x x e --+--…，化简可得2()22ln e x x e x --…，令()sin 12g x x x π=--+，则()1cos 0g x x '=-…，所以函数()g x 在,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()02g x g π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，所以sin 12x x π+-…，从而可得2)22ln 2sin (12ln 2x x e x x e x e π⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭-厖，因为不等式的两个等号不同时成立，所以2()2(sin ln )2e x x e x π->-+-. 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、最值，构造函数求导函数证明不等式，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B V 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求OMN V 面积的取值范围.答案：（1）2213x y +=；（2）364⎛ ⎝⎦.（1）由题意可得1b =，3a b ，根据椭圆的标准方程即可求解.（2）分类讨论：当直线MN 的斜率不存在时，求出OMN V 的面积；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，直线MN 的方程为(1)y k x =-，将直线与椭圆联立，利用韦达定理结合121||12S y y =⨯-⨯即可求出面积的最值. 解：（1）因为1()0,1B ，所以1b =，因为112A B B V 为等边三角形，所以3a b ，所以3a =所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）设OMN V 的面积为S .①当直线MN的斜率不存在时，可得1,M ⎛ ⎝⎭，N ⎛⎝⎭，所以112S ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程为(1)y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得()2222316330k x k x k +-+-=，所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()12122|31k y y k x x k -=-=+，因为1>0x ，20x >，所以||1k >，面积121||12S y y =⨯-⨯22|313k k k ==++令t =21S t =+，t ∈，由())()22211t S t t -'=+则()S t 在定义域内单调递减，所以343S <<OMN V面积的取值范围是34⎛ ⎝⎦.点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了学生的计算能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.答案：（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可. 解：（1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，Q 0απ≤≤，∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=点评：本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．答案：（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫--⎪⎝⎭. （1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．点评：本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(三)(教师版)

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-1．答案：C 解析：212i (12i)i i 211i 2i 2i 22++⋅-===-+--． 2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -2．答案：D解析：{|1M x x =>或0},{|2}x N y y =-≤≥，所以MN ={|1x x >或20}≤≤x -．3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（）A ．3 BC ．4D ．53．答案：B解析：由12(1,2)(3,4)(3,24)(5,6)xe ye x y x y x y +=+=++=，所以35246x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以向量(,)a x y =4．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件4．答案：A解析：由22x x +>，得220x x +->，即(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x > ，由(2)x x x +>，得20x x +>，解得1x <-或0x >，由于{|2x x <-或1}x >{|1x x <-或0}x >，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的充分不必要条件．解法2：由22x x +>，得222x x x +>+，即(2)2x x x x +>+>，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>” 成立的充分不必要条件．5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（）A ．37 B ．314C ．38D ．3165．答案：B 解析：易知八卦中至少含有两条“”的有4个，所以在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是2428314C C =．6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（） A ．8πB ．32πC ．4π D ．2π6．答案：C解析：不妨设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则1422rh rl π⨯⨯=，所以该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为4h l π=． 7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（） A ．1112a b c-=B ．1112b c a-=C ．1112c a b-=D ．1112c b a -=7．答案：D解析：设4714abct ===，则1111111224,7,14,2,2714,abcaa bct t t ttt +===∴=⨯=∴=，111111,22a b c c b a∴+=∴-=． 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-8．答案：A解析：设过第一象限的渐近线的倾斜角为α，则tan 2α=，则将渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒后的直线的倾斜角为45α-︒，所以旋转后的直线的斜率为tan tan 45211tan(45)1tan tan 45213ααα-︒--︒===+︒+，所以所求直线方程为13y x =． 9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-9．答案：B解析：对于A 选项，定义域内不包括0x =，另外当0x →时，y →-∞，显然A 选项不可能；对于C 选项，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，tan x 会取遍[0,)+∞内所有的点，所以函数()sin tan f x x =-会无数次经过x 轴，且值域为[1,1]-，显然C 选项不可能；对于D 选项，(0)tan10f =-≠，显然D 选项不可能，故只能是B 选项有可能． 10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++开始1,1,1i m T ===①T T m=⨯②1i i =+输出T 结束是否10．答案：A解析：由已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据数列的递推公式1n n a a n +=+，因为T 是数列的前10项的积，故可知要执行循环10次，由于循环变量的初始值为1，每项循环增加1，故中值应为10，即①处应填入10i ≤？又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即112+=，第3个数比第2个数大2，即224+=，第4个数比第3个数大3，即437+=，第5个数比第4个数大4，即7411+=，……，故②中应填写m m i =+．11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（）A ．56x π=B ．6x π=C ．53x π=D ．23x π=11．答案：A解析：曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，故曲线2C 的周期为π，故2:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,3x k k Z ππ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈，当1k =时，56x π=． 12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（）A ．23B ．3C ．863D ．59312．答案：C解析：该多面体为如图所示的四棱锥E ABCD -，其中4,22,25AD DC DE EC ====O 外接于四棱锥E ABCD -等价于球O 外接于三棱柱ABF DCE -，三棱柱的高4h =，设CDE △的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，2222020843cos ,sin 222055CE DE CD CED CED CE DE +-+-∠===∴∠=⨯⨯⨯， 2210223sin 35DC r CED ===∠，所以52r =2250864293h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．ABCDEF二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．12(23)xx dx +=⎰ ．13．答案：136解析：1123200232313(23)32326x x dx x x ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于．14．答案：40-解析：展开式的常数项为33251(2)40x C x x ⎛⎫⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为．15．答案：26解析：作可行域为如图所示的四边形OABC ，其中(2,0),(4,6),(0,2)A B C ，显然23z x y =+在点(4,6)B 处取得最大值，最大值为243626⨯+⨯=．O xyA BC16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为．16．答案：224133x y +=解析：由条件，2F 关于直线PQ 的对称点2F '在1F P 的延长线上，且1221212F F PF PF PF PF a ''=+=+==所以2112OQ F F '==设(,)M x y ，则(2,)Q x y ，22（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解析：（1）由1(21)2(1)n a n a n =-+-，解得11a =，所以21n a n =-．……………………6分（2）2[1(21)]2n n n S n +-==，212111212211224na n nn n n S n n b a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⨯ ⎪ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1111(1)2144(12)211243414n n n n n T n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++=+- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ．（2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 118．解析：（1）因为1A D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC A D ⊥，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1A DBD D =，所以AC ⊥平面1A BD ．又因为11AA CC ，所以四边形11AAC C 是平行四边形，所以11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1A BD ．又因为11A C ⊂平面11AC D ，所以平面1A BD ⊥平面11AC D ．………………………………6分（2）以点D 为原点，1,,DA DC DA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则1111(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,1,2),(0,1,0),(1,1,2),(0,0,2)D C A C DC DC DA -==-=，设平面1CC D 的法向量为111(,,)m x y z =，则11111020m DC y m DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11z =，得(2,0,1)m =，…………………………………………………………………………9分设平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z =，则1212222020n DA z n DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令21x =，得(1,1,0)n =．所以2cos ,5m n m m m n⋅===⨯⋅，所以二面角11C C D A --的正弦值为5．…………………………………………………………12分1x19．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望．19．解析：（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，则22916n C C =，得4n =，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为11542959C C C =．…………………………6分（2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为111153442288455999C C C C C C ⨯+⨯=，所以53,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭～， 3354()(0,1,2,3)99k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以()393E X =⨯=．………………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3OM ON k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 20．解析：（1）因为抛物线C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线122y x =+的一般方程为240x y -+=，=2p =，所以抛物线C 的准线方程为1x =-．………………………………6分（2）联立24240y x x y ⎧=⎨-+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩．设直线2l 的方程为x ty a =+，将它代入24y x =，得2440y ty a --=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4y y t y y a +==-，所以12121222212121212443()()()OM ON y y y y y y a k k x x ty a ty a y y t at y y a a a⋅====-=-=-+++++，解得43a =，又直线2l 过点(4,4)，所以4443t =+，解得23t =，所以直线2l 的方程为322y x =-，所以直线2l 的斜率为32，点A 的坐标为4,03⎛⎫⎪⎝⎭．………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数1()(ln )()R x f x x a x ea -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立． 21．解析：（1）当2a =时，11()2ln ,()ln 3x x f x x x x ef x x e --'=+-=-+，所以(1)1,(1)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．………………6分（2）()10f x +<，即1ln 10x x x eax --++<，当1x >时，即11ln x e a x x x-<--，设11()ln x e h x x x x -=--，则111221(1)(1)()0x x x xe e x x e h x x x -----+--'==>，所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，而(1)0h =，所以当(1,)x ∈+∞时，11()ln 0x e h x x x x-=-->恒成立，即当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．…………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．22．解析：（1）直线l2240y -+=cos 2sin 240θρθ-+=，曲线1C 的标准方程为22(2)4x y +-=，极坐标方程为4sin ρθ=．………………………………5分（2）将3πθ=cos 2sin 240θρθ-+=和4sin ρθ=，得A B ρρ==16A B AB ρρ=-==．…………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++．（1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．23．解析：（1）由()20f x a +->，得22,22x a x a ->-∴->-或22x a -<-，4x a ∴>-或x a <，故不等式的解集为{|x x a <或4}x a >-．………………………………5分（2）因为函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，所以()()f x g x >恒成立，则23m x x <-++恒成立，23(2)(3)5x x x x -++--+=≥，所以m 的取值范围为(,5)-∞．……………………………………………………………………10分。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．i B ．2iC ．1D ．2答案：D根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 解：∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2．故选：D. 点评：本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．2．集合1(,)|2xP x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2(,)|2Q x y y x ==-+，则集合P Q 中元素的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C画出指数函数和二次函数的图像，根据交集的含义，即可容易求得. 解：作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与22y x =-+的图象可知两个函数有两个公共点，故集合PQ 中元素的个数为2．故选：C. 点评：本题考查集合的交运算，指数函数的图像，属综合基础题. 3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3答案：C根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积. 解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．点评：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(答案：C根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 解：∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，∴233=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,．故选：C. 点评：本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低答案：B根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论.解：选项A，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值，因此冰箱类销售亏损，所以A项正确；选项B，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B项错误；选项C，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多，因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C项正确；选项D，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大，而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D正确.故选：B.点评：本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．6．运行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）．A ．10-B ．57-C ．11-D ．26-答案：D模拟执行程序，即可容易求得结果. 解：第一次循环，1s =-，2k =；第二次循环，4s =-，3k =；第三次循环，11s =-，4k =；第四次循环，26s =-，5k =；不满足5k <，输出26s =-．故选：D. 点评：本题考查由程序框图计算输出结果，属基础题.7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．解：∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ，故选A ．点评：本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 答案：D根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 解：因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称，所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=．故选：D. 点评：本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >答案：D根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 解：∵1b a <<，∴xy a =和xy b =均为增函数，∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵b y x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >，C 项正确；b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==<，故D 项不正确．故选：D. 点评：本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 答案：B根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．解：解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+；所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．点评：本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 靠近点B 的三等分点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）．A ．3B ．5 C ．30 D ．6 答案：B连接,AD ED ，找出异面直线所成的角为EAD ∠，再由余弦定理，即可解三角形求得结果. 解：取BC 的中点H ，连接EH ，BE ，CE ，DE ，则60BHE ∠=︒，120CHE ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，1BE =，3CE 所以5AE =7DE =因为//BC AD ，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠．在EAD 中，5cos 225EAD ∠==⨯⨯．故选：B. 点评：本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题.12．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解. 解：法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为221 32x y+=，故选B．点评：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．二、填空题13．设x，y满足约束条件1030xyx yx y>⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y=-的取值范围为_________．答案：(1,9)-做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 解：做出满足不等式组1030 xyx yx y>⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时，取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时，取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 点评：本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．92x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．答案：672-根据二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 解：92x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为93921992(2)rrr r r r r T C C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9302r-=，得3r =，故常数项为339(2)672C -=-．故答案为：672-. 点评：本题考查利用二项式定理求指定项，属基础题.15．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________. 答案：画画以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步，则D 在画画，故答案为画画16．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC 的周长为________. 答案：15运用正弦定理可得45b c =，再次根据正弦定理以及()2sin3sin 4cos 1C C C =-可得cos C 的值，进而得sin C 和sin A ，再次运用正弦定理即可得到所求周长.解：由6a =，4sin 5sin B C =，2A C =，可得3B C π=-，由正弦定理可得45b c =，可得54cb =，而()sin3sin 2cos cos2sin C C C C C =+()2sin cos cos cos2sin C C C C C =+()()22sin 2cos cos2sin 4cos 1C C C C C =+=-由sin sin b c B C =，可得()25544sin(3)sin sin 4cos 1c cc C C C C π==--，由sin 0C ≠，可得：254cos 41C -=，解得：3cos 4C =或34-（舍去），sin 4C ==，可得3sin 2sin cos 24A C C ==⨯=，84，可得：4c =，5b =，则15a b c ++=，故答案为：15. 点评：本题考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足关于x 的不等式24360a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．答案：（1）21n a n =+；（2）()2823413nn T n n =++-．（1）根据题意，得到34,S a ，根据基本量即可容易求得通项公式；（2）由（1）中所求，即可由分组求和求得n T . 解：（1）依题意可得3453S a =，且4623a =，所以49a =，315S =，则139a d +=，13315a d +=，解得13a =，2d =，故21n a n =+．（2）∵21412n n c n +=++，∴()()2814(541)823412143nnnn n T nn -++=+=++--．点评：本题考查利用基本量求等差数列的通项公式，求等比数列的前n 项和，以及由分组求和求数列的前n 项和，属综合基础题.18．在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===，2AD AB PD PB ====．（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．答案：（1）见解析；（213. (I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM 平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD 和平面PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可. 解：(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥. ∵2AD AB ==，23BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=， ∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD . ∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD.(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，30)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()1100n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴220n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()33DC =，，，()031DP =，，，∴33030x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.令3y =13x z =-=-，，∴()2133n ，，=--， ∴12121213cos 1313n n n n n n ⋅===⋅，.设二面角C PD B --的大小为θ，则13cos 13θ=.点评：本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证:2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.答案：（1）见解析；（2）24y x =（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.解：（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得201120ix==∑x i＝9.96，s==≈0.19；其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20.用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望.附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.答案：（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P（X＝1）≈0.0494；E（X）≈0.052 （1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X=，以及求得X的数学期望.解：（1）由x=9.96，s＝0.19.可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494.X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052. 点评：本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题. 21．已知函数()32()ln ,==++g x a x f x x x bx ．（1）若()f x 在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；答案：（1）165b -<<-；（2）1a ≤-．解：试题分析：（1）已知条件()f x 在区间[1,2]上不是单调函数，说明'()f x 在(1,2)上有零点，2'()32f x x b =++，因此有'()f x 在区间[1,2]上最大值，最小值小于0，由二次函数的性质可得b 的范围；（2）不等式恒成立，求参数范围问题，首先对不等式进行等价变形，不等式2()(2)g x x a x ≥-++可变形为2(ln )2x x a x x -≤-，在[1,e]x ∈时，ln x x >，从而可分离参数为22ln -≤-x x a x x，因此下面只要求得22ln x x x x --的最小值即可得a 的范围，这可由导数的知识求得．试题解析：（1）由32()f x x x bx =++得2()32f x x x b '=++因()f x 在区间[1，2]上不是单调函数则(1)50(2)160f b f b =+<⎧⎨=+>''⎩∴165b -<<-．（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x -> 22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x-≤-令22(),([1,])ln x x t x x e x x-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x '-+-=-当[1,e]x ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数，min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．【考点】导数与函数的单调性，导数与函数的最值，不等式恒成立问题．【名师点睛】(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域；(2)不等式恒成立问题一般都是转化为函数在区间上的最值问题，然后利用导数研究．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值．答案：（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=（2）4πα=（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.解：（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=，又4OBOA =sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=．点评：本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--，()22g x x a x b =++-，其中a ，b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．答案：（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集．（Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立．解：（Ⅰ）由题意，()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）当x R ∈时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时，()()f x g x ≤．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(三)(全国Ⅱ卷)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{x ∈N|x ≤6}，A ＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B ＝{y|y ＝x 2, x ∈A}，则∁M B ＝（） A.{2, 5, 6} B.{2, 3, 6} C.{2, 3, 5, 6} D.{0, 2, 3, 5, 6}2. 已知i 是虚数单位，z(2−i)＝5(1+i)，则z ¯=( ) A.1+3i B.1−3i C.−1+3i D.−1−3i3. 在△ABC 中,AB =2√3,AC ＝4，D 为BC 上一点，且BC →=3BD →，AD ＝2，则BC 的长为（） A.√423B.√422C.4D.√424. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形T ，在T 内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A.23 B.√37+4√3C.7+4√3D.125. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2π+4√33B.2π+12√33C.4π+4√33D.4π+12√336. 已知O 为坐标原点，双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BO →⋅BA →<0，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（） A.(1,2√33) B.(2√33, +∞) C.(1, 2√3) D.(2√3, +∞)7. 函数f(x)＝(x 2−2|x|)e |x|的图象大致为（）A. B.C. D.8.如图给出的是计算12−14+16⋯+14038−14040的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A.i ≤4034？B.i ≤4036？C.i ≤4038？D.i ≤4042？9. 已知大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，则下列结论正确的是（） A.1x 2+1<1y 2+1B.ln (x 2+1)<ln (y 2+1)C.tan x <tan yD.√x 3>√y 310. 已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线l:x −y −2＝0对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（） A.(1, −1) B.(2, 0) C.(12, −32)D.(1, 1)11. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形，M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点,CA →⋅CB →=0，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A.15 B.25C.45D.√21512. 设函数f(x)=a sin ωx +b cos ωx(ω>0)在区间[π6,π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，当x =π12时，f(x)取到最大值4，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y =g(x)−√x +π3零点的个数为( ) A.4 B.5C.6D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知向量a →=(2, 1)，b →=(2, −1)，则b →⋅(2a →−b →)＝________．已知曲线f(x)＝ln (a +x)(a ∈R)在(0, 0)处的切线方程为y ＝x ，则满足0≤f(x −2)≤1的x 的取值范围为________．若sin (α+π6)+cos α=−√33，则cos (2π3+2α)=________．某饮料厂生产A 、B 两种饮料．生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时(m, n ∈N ∗)利润最大，则m +n =________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知正项等比数列{a n }满足a 1=2，a 3a 7=322，数列{b n }的前n 项和S n =n 2−n ． (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ={a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如表：表1(1)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；(2)将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2, 3]和(3, 4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABD 是等边三角形，BC ⊥CD ，BC =CD =√2，E 为三棱锥A −BCD 外一点，且△CDE 为等边三角形．(1)证明：AC ⊥BD ；(2)若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为√33．求BE 的长．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点围成的四边形面积为2√2，圆O:x 2+y 2＝1经过椭圆E 的短轴端点． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过椭圆E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E 相交于A ，C 和B ，D 四点，求四边形ABCD 面积的最小值．已知函数f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)的最小值为0．(Ⅰ)求f(x)的解析式； (Ⅱ)若函数g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1+x 2>1．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，且△ABC 的顶点都在圆C 2上，将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3． (1)求曲线C 3的直角坐标方程；(2)设M(1, 1)，曲线C 1与C 3相交于P ，Q 两点，求|MP|⋅|MQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|+|x −2|． (1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若m >1，n >1，对∀x ∈R ，不等式3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立，求mn 的最小值．参考答案与试题解析2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（理科）（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合M，B，再计算即可．【解答】已知集合M＝{x∈N|x≤6}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{y|y＝x2, x∈A}＝{0, 1, 4}，则∁M B＝{2, 3, 5, 6}，2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由z(2−i)＝5(1+i)，得z=5(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i，则z¯=1−3i．3.【答案】【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】首先利用平面向量的线性运算的应用和余弦定理的应用求出BC的值．【解答】在△ABC中,AB=2√3,AC＝4，D为BC上一点，如图所示：设BD＝x，且BC→=3BD→，所以DC＝2x，AD＝2，在△ABD中，利用余弦定理：(2√3)2=22+x2−2×2x⋅cos∠BDA①，在△ADC中，利用余弦定理：42＝22+(2x)2−2×2×2x⋅cos∠ADC②，由于cos∠ADB＝−cos∠ADC，由①得：cos∠BDA=x2−84x，代入②得：16=4+4x2+8x⋅x2−84x，解得x=√423．所以BC＝3x=√42，故选：D．4.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可．【解答】设正方形的边长为1；则对应正三角形的边长也为1；整个图形是有三个正方形和7个三角形组合而成；所以在T内随机取一点，则此点取自正方形的概率P=3S3S+7S=3×123×12+7×12×1×1×sin60=√34√3+7；5.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3．再由球与棱锥体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3．则该组合体的体积V =12×43π×13+13×2×2×√3=2π+4√33． 6.【答案】 A【考点】双曲线的离心率【解析】求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：O 为坐标原点，双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上， AF ⊥x 轴，四边形OAFB 为梯形，可得A(c, bca )，BF 的方程为：y =ba (x −c)，与y =−ba x 联立，可得B(c2, −bc2a )， BO →⋅BA →<0，可得(−c 2,bc 2a)⋅(c 2, 3bc 2a)<0，可得：−c 24+3b 2c 24a 2<0，3b 2a <1，可得3c 2<4a 2，所以1<e <2√33．故选A . 7.【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数，排除C ，计算f(1)的值，排除AD ，即可得答案．【解答】故选：B ． 8.【答案】 C【考点】程序框图【解析】根据算法的功能确定跳出循环的i 值，可得判断框内的条件式子．【解答】算法的功能是计算12−14+16⋯+14038−14040的值，易知正项的分母为2，6，10，…，4038成等差数列，所以判断框中i ＝4038，继续执行，故终止程序运行的i 值为4038， ∴ 判断框内处应为i ≤40(38) 9.【答案】 B【考点】对数值大小的比较【解析】大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ，可得log x 2＝log y 3，1<x <y ．再利用函数的单调性即可判断出结论．【解答】大于1的实数x ，y 满足log x 2x ＝log y 3y ， ∴ log x 2＝log y 3，∴ 1<x <y ．∴ ln (x 2+1)<ln (y 2+1)． 10.【答案】 A【考点】抛物线的性质【解析】曲线C:y 2＝2x ．设P(x 1, y 1)，Q(x 1, y 1)，线段PQ 的中点M(x 0, y 0)，直线l 垂直平分线段PQ ，设其方程为y ＝−x +b ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理转化求解即可．【解答】设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，线段PQ 的中点M(x 0, y 0)因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为−1，设其方程为y ＝−x +b ，由{y =−x +b y 2=2x ，消去x 得y 2+2y −2b ＝0，由P 和Q 是抛物线C 的两相异点，得y 1≠y 2，从而△＝4−4×1×(−2b)＝8b +4>0(∗)，因此y 1+y 2＝−2，所以y 0＝−1，又M(x 0, y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，所以点M(1, −1)，此时b ＝0满足(∗)式，故线段PQ 的中点M 的坐标为(1, −1)． 11.【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出AC ⊥BC ，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为边长为2的正方形， M ，N 分别是C 1B 1，CC 1的中点,CA →⋅CB →=0，∴ AC ⊥BC ，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0, 2, 0)，M(0, 1, 2)，A(2, 0, 0)，N(0, 0, 1)， BM →=(0, −1, 2)，AN →=(−2, 0, 1)，设异面直线BM 与AN 所成角为θ，则cos θ=|BM →⋅AN →||BM →|⋅|AN →|=5⋅5=25．∴ 异面直线BM 与AN 所成角的余弦值25． 12.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换根的存在性及根的个数判断函数的零点【解析】由题知f(x)＝a sin ωx +b cos ωx =√a 2+b 2sin (ωx +φ)，由f(π2)=f(2π3)=−f(π6)得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出f(x)解析式，再由变换得出g(x)，再分别画出g(x)与y =√x +π3图象，即可得出结论．【解答】解：f(x)=a sin ωx +b cos ωx =√a 2+b 2sin (ωx +φ)(ω>0)，所以π2−π6≤T 2=12⋅2πω=πω，即0<ω≤3，又f(π2)=f(2π3)=−f(π6)，所以x =π2+2π32=7π12为f(x)对称轴,且π2+π62=π3，则(π3,0)为f(x)的一个对称中心，由于0<ω≤3，所以x =7π12与(π3,0)为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，则T =4(7π12−π3)=π， ∴ ω=2，又√a 2+b 2=4，且f(π12)=a sin2π12+b cos2π12，解得a =2,b =2√3，故f(x)=2sin 2x +2√3cos 2x =4sin (2x +π3)，由图象变换得g(x)=4sin (x +π3)，g(x)在(−π3,0)处的切线斜率为g ′(−π3)=4cos (−π3+π3)=4，又y =√x +π3在(−π3,0)处的切线斜率不存在，即切线方程为x =−π3，所以x =−π3右侧g(x)图象较缓，如图所示：同时√x +π3>4时，x >16−π3，所以的零点有7个. 故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接代入数量积求解即可．【解答】因为向量a →=(2, 1)，b →=(2, −1)， ∴ 2a →−b →=(2, 3)；则b →⋅(2a →−b →)＝2×2+(−1)×3＝1；【答案】 [2, e +1] 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据切线方程可求得参数a ，进而解出不等式组即可【解答】因为f′(x)=1a+x ，所以f′(0)=1a ，f(0)＝ln a ，则曲线在(0, 0)处的切线方程为y =1a x +ln a ，所以1a =1，ln a ＝0，解得a ＝1，所以f(x)＝ln (x +1)，则0≤f(x −2)≤1即0≤ln (x −1)≤1，所以1≤x −1≤e 解得2≤x ≤e +1，【答案】79【考点】两角和与差的三角函数【解析】由条件利用两角和的正弦公式求得sin (α+π3)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos (2π3+2α)的值．【解答】由sin (α+π6)+cos α=−√33，即√32sin α+12cos α+cos α=−√33，所以12sin α+√32cos α=−13，即sin (α+π3)=−13，所以cos (2π3+2α)=1−2sin 2(α+π3)＝1−2×(−13)2=79．【答案】7【考点】简单线性规划线性规划的实际应用【解析】设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0x ≤2y3x ≥y100y +100x −750≤0 ，作出可行域，目标函数为z ＝1.5x +y ，则y ＝−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，求出当直线y ＝−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m ＝4，n ＝3时，利润最大，由此能求出结果．【解答】解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别是x 桶，y 桶，则有{x ≥0,y ≥0，x ≤2y ，3x ≥y ，100y +100x −750≤0，则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为z =1.5x +y ，则y =−1.5x +z ，z 表示直线在y 轴上的截距，∵ x ，y 只取整数，∴ 当直线y =−1.5x +z 经过点(4, 3)，即m =4，n =3时，利润最大， ∴ m +n =7．故答案为：7.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q(q >0)，∴ a 3a 7=a 52=322， ∴ a 5=32．又a 1=2， ∴ q 4=a 5a 1=322=16=24，解得q =2．∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n (n ∈N ∗)．当n ≥2时，b n =S n −S n−1=n 2−n −(n −1)2+(n −1)=2n −2，当n =1时，b 1=S 1=12−1=0，满足b n =2n −2， ∴ 数列{b n }的通项公式为b n =2n −2(n ∈N ∗)．(2)由(1)得，a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)，b n=2n−2(n∈N∗)，∴c n={a n，n为奇数，b n，n为偶数，={2n，n为奇数，2n−2，n为偶数，．∴T2n=c1+c2+c3+c4+⋯+c2n−1+c2n=21+2+23+6+⋯+22n−1+(4n−2)=(21+23+⋯+22n−1)+[2+6+⋯+(4n−2)]=2−22n−1⋅221−22+n⋅[2+(4n−2)]2=13⋅22n+1+2n2−23．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的性质等比数列的通项公式【解析】本题第(1)题设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，然后根据等比中项的性质a3a7=a52=322，进一步计算可得公比q的值，即可得到数列{a n}的通项公式，然后利用公式b n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2可计算出数列{b n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果写出数列{c n}的通项公式，然后运用奇偶项分别求和的分组求和法计算出前2n项和T2n．【解答】解：(1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0)，∴a3a7=a52=322，∴a5=32．又a1=2，∴q4=a5a1=322=16=24，解得q=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)．当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2−n−(n−1)2+(n−1)=2n−2，当n=1时，b1=S1=12−1=0，满足b n=2n−2，∴数列{b n}的通项公式为b n=2n−2(n∈N∗)．(2)由(1)得，a n=2⋅2n−1=2n(n∈N∗)，∴c n={a n，n为奇数，b n，n为偶数，={2n，n为奇数，2n−2，n为偶数，．∴T2n=c1+c2+c3+c4+⋯+c2n−1+c2n=21+2+23+6+⋯+22n−1+(4n−2)=(21+23+⋯+22n−1)+[2+6+⋯+(4n−2)]=2−22n−1⋅221−22+n⋅[2+(4n−2)]2=13⋅22n+1+2n2−23．【答案】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X1=70−30−20=20，X2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，则Y1=90−40−25=25，Y2=−(40+25)+40×0.9=−29，∴X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，∴P(X+Y=45)=0.9×0.7=0.63，P(X+Y=2)=0.1×0.7=0.07，P(X+Y=−9)=0.9×0.3=0.27，P(X+Y=−52)=0.1×0.3=0.03，∴该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：期望E(X+Y)=45×0.63+2×0.07+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【考点】众数、中位数、平均数离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由统计表能估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值．(Ⅱ)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y，X+Y的可能取值为45，2，−9，−52，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．【解答】解：(1)由统计表估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值为：x¯=1100(40×10+25×15+20×20+10×25+5×30)=15.75（元）．(2)重量在(2, 3]的产品数为20，其损坏率为220=0.1，重量在(3, 4]的产品数为10，其损坏率为310=0.3，设重量在(2, 3]的这件产品的利润记为X，则X 1=70−30−20=20，X 2=−(30+20)+30×0.9=−23．设重量在(3, 4]的这件产品的利润记为Y ，则Y 1=90−40−25=25，Y 2=−(40+25)+40×0.9=−29， ∴ X +Y 的可能取值为45，2，−9，−52， ∴ P(X +Y =45)=0.9×0.7=0.63， P(X +Y =2)=0.1×0.7=0.07， P(X +Y =−9)=0.9×0.3=0.27， P(X +Y =−52)=0.1×0.3=0.03，∴ 该厂家这两件工艺品获得利润的分布列为：+(−9)×0.27+(−52)×0.03=24.5．【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0, 得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=√2=√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【考点】用空间向量求平面间的夹角两条直线垂直的判定【解析】（I ））取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，现证明BD ⊥平面AOC ，再得到结论；(II)以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设∠EFG ＝θ，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出E 的坐标，得出结论．【解答】(1)证明：取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，根据题意，AO ⊥BD ，又BC =CD ，故CO ⊥BD ，又CO ∩AO =O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以AC ⊥BD ； (2)解：由平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：BD =2，AO =√3，取CD 的中点F ，连接OF ，显然CD ⊥平面EOF ，故OF =√22，EF =CD ⋅√32=√62，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， A(0, 0, √3)，B(0, −1, 0)，F(12,12,0)，设∠EFG =θ，则E(√32cos θ+12,√32cos θ+12,√62sin θ)， CD →=(−1,1,0)，CE →=(√32cos θ−12,√32cos θ+12,√62sin θ)，设平面ECD 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅CD →=0,m →⋅CE →=0,即{−x +y =0,(√32cos θ−12)x +(√32cos θ+12)y +√62sin θz =0,得m →=(1,1,−√2cot θ)，平面ABD 的法向量为OC →=(1,0,0)，由|cos <OC →,m →>|=1√2=sin θ√2=√33， sin θ=√63，cos θ=±√33，故E(1, 1, 1)或者(0, 0, 1)（舍弃），故BE =√6．【答案】（1）由题意可知：{2ab =2√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得{a =√2b =1c =1， ∴ 椭圆E 的方程为：x 22+y 2=1；（2）易知椭圆E 的右焦点坐标为(1, 0)，①当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=12×2a ×2b 2a=2b 2=2，②当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，联立方程{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +2(k 2−1)＝0，右焦点在椭圆E 内，故此方程的△>0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，∴ |AC|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=2√2(k 2+1)2k 2+1，将k 替换为−1k ，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，∴ S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)，令t ＝1+k 2，则t >1， ∴ S 四边形ABCD =4t 22t 2+t−1=4−(1t −12)2+94≥169，当t ＝2，即k ＝±1时，等号成立，∵ 2>169，∴ 四边形ABCD 的面积的最小值为169．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆E 的方程；(Ⅱ)对直线AC 的斜率分情况讨论，当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD ＝2，当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k ，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AC|=2√2(k 2+1)2k 2+1，将k 替换为−1k，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，所以S 四边形ABCD=4(k 2+1)(2k 2+1)(k 2+2)，令t ＝1+k 2，则t >1，利用二次函数的性质即可求出S 四边形ABCD ≥169，因为2>169，所以四边形ABCD 的面积的最小值为169．【解答】（1）由题意可知：{2ab =2√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得{a =√2b =1c =1 ， ∴ 椭圆E 的方程为：x 22+y 2=1；（2）易知椭圆E 的右焦点坐标为(1, 0)，①当直线AC 的斜率不存在或为0时，S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=12×2a ×2b 2a=2b 2=2，②当直线AC 的斜率存在时，不妨设为k (k ≠0)，则直线BD 的斜率为−1k ，直线AC 的方程为：y ＝k(x −1)，联立方程{y =k(x −1)x 22+y 2=1 ，消去y 得：(2k 2+1)x 2−4k 2x +2(k 2−1)＝0，右焦点在椭圆E 内，故此方程的△>0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1，∴ |AC|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=2√2(k 2+1)2k +1，将k 替换为−1k ，得|BD|=2√2(k 2+1)k 2+2，∴ S 四边形ABCD =12×|AC|×|BD|=4(k 2+1)2(2k +1)(k +2)，令t ＝1+k 2，则t >1， ∴ S 四边形ABCD =4t 22t 2+t−1=4−(1t −12)2+94≥169，当t ＝2，即k ＝±1时，等号成立，∵ 2>169，∴ 四边形ABCD 的面积的最小值为169．【答案】（I ）因为f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)=ln (ax)+ax −1，x >0f ′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，易得当x ∈(0, a)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(a, +∞)，f′(x)>0，函数单调递增，故当x ＝a 时，函数取得最小值f(a)＝ln a 2＝0，故a ＝1，f(x)＝ln x +1x −1．(II)由( I)可得f(x)＝ln x +1x −1，所以g(x)＝ln x +12x −1−m ，因为g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，所以0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得ln x1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2，则x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2，令t =x 1x 2，则0<t <1，x 1+x 2=t−1t21nt，令ℎ(t)=t −1t−21nt ，0<t <1，则ℎ′(t)=1+1t 2−2t=(t−1)2t 2>0恒成立，故ℎ(t)在(0, 1)上单调递增，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，所以t −1t <2ln t <0，所以t−1t21nt >1，故x 1+x 2>(1) 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】（I ）先对函数求导，结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求最小值，然后结合已知即可求解a ； (II)由题意可得，0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得lnx 1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，然后结合式子特点适当构造函数，即可证明【解答】（I ）因为f(x)=ln (ax)−x−a x(a >0)=ln (ax)+ax−1，x >0f ′(x)=1x −a x 2=x−a x 2，易得当x ∈(0, a)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(a, +∞)，f′(x)>0，函数单调递增，故当x ＝a 时，函数取得最小值f(a)＝ln a 2＝0，故a ＝1，f(x)＝ln x +1x −1．(II)由( I)可得f(x)＝ln x +1x −1，所以g(x)＝ln x +12x −1−m ，因为g(x)＝f(x)−12x −m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，所以0＝ln x 1+12x 1−1−m ，ln x 2+12x 2−1−m =0，两式相减可得ln x 1x 2=12×x 1−x 2x 1x 2，故x 1x 2=x 1−x 221nx 1x 2，则x 1=x 1x 2−121n x 1x 2，x 2=1−x 2x 121n x 1x 2，令t =x 1x 2，则0<t <1，x 1+x 2=t−1t21nt ，令ℎ(t)=t −1t −21nt ，0<t <1，则ℎ′(t)=1+1t 2−2t =(t−1)2t 2>0恒成立，故ℎ(t)在(0, 1)上单调递增，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，所以t −1t <2ln t <0，所以t−1t21nt>1，故x 1+x 2>(1)请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t（t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：(1)已知点A ，B ，C 的极坐标分别为(4, π6)，(4, 5π6)，(4, 3π2)，转换为直角坐标为A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4) 设经过的圆的方程为x 2+(y −m)2=r 2，将直角坐标A(2√3, 2)，B(−2√3,2)，C(0, −4)，代入圆的方程得到：{12+(2−m)2=r 2，(−4−m)2=r 2，解得m =0，r =4，所以圆C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=16．将圆C 2向右平移3个单位长度后，得到曲线C 3，得到(x −3)2+y 2=16．(2)由(1)得：把曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t ，y =1+√22t （t 为参数），代入(x −3)2+y 2=16．得到：(√22t −2)2+(√22t +1)2=16，整理得：t 2−√2t −11=0，所以|MP|⋅|MQ|=|t 1t 2|=11． [选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1， ∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32，∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4. 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】【解答】解：(1)原不等式可化为|3x −1|+|x −2|≥3． ①当x ≤13时，原不等式可化为−3x +1+2−x ≥3，解得x ≤0，∴ x ≤0，②当13<x <2时，原不等式可化为3x −1+2−x ≥3，解得x ≥1， ∴ 1≤x <2，③当x ≥2时，原不等式可化为3x −1−2+x ≥3，解得x ≥32， ∴ x ≥2，综上，原不等式的解集为：{x|x ≤0或x ≥1}.(2)∵ f(x)={−4x +3,x ≤13,2x +1,13<x <2,4x −3,x ≥2,∴ f(x)min =f(13)=53，∴ 由3log 2m ⋅log 2n ≥5f(x)恒成立可知，不等式log 2m ⋅log 2n ≥1恒成立，∵ log 2m +log 2n ≥2√log 2m ⋅log 2n ≥2， ∴ log 2(m ⋅n)≥2，∴ mn ≥4，当且仅当m =n =2时等号成立， ∴ mn 的最小值是4.。

百师联盟全国Ⅰ卷2020届全国高三冲刺考(三)理科数学试卷(解析版)

百师联盟全国Ⅰ卷2020届全国高三冲刺考（三）理科数学本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2},{|2,}A B y y x x A =-==∈，则A B =U （） A. {}0,2 B. {}2,1,0,1,2,4--C. {}1,0,1,2-D. {}1,2-【答案】B【分析】由已知可求得{2,0,2,4}B =-,根据并集定义即可得出结果. 【详解】{2,0,2,4},{2,1,0,1,2,4}B A B =-=--U .故选:B. 【点睛】本题考查并集运算,难度容易.2.已知复数()(1)z a i i =-+为纯虚数，则a =（） A. 1- B. 1C. 0D. 2【答案】A【分析】利用复数的乘法运算化简得1(1) z a a i =++-,根据纯虚数的定义,即可得到结果. 【详解】()(1)1(1) z a i i a a i =-+=++-，因为z 为纯虚数，所以1a =-. 故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,和纯虚数的定义,难度容易. 3.下列函数中，是奇函数且单调递减的是（） A. |lg |y x = B. 2y x=- C. 22x x y -=- D. 33y x x =-【答案】C【分析】根据奇函数的定义及函数的单调性排除法可求得结果.【详解】|lg |y x =()()f x f x -≠ 且()()f x f x -≠-,所以既不是奇函数也不是偶函数,排除A;2y x=-在()0+∞，上为增函数,排除B; 33y x x =-,233=0y x '=- ,可知33y x x =-在()1-∞-，为增函数,排除D. 故选:C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判定,熟悉掌握函数性质是解题的关键,难度容易. 4.“000,,cos 3x x m π⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的取值范围为（）A. (1,)+∞B. .(,1]B -∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由已知命题为假,可知命题的否定为真,写出对应命题的否定,进而求出参数的取值范围.【详解】因为“000,,cos 3x x mπ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，所以0,,cos 3x x m π⎡⎤∀∈≥⎢⎥⎣⎦，所以12m ≤.故选:D.【点睛】本题考查特称命题的否定为全称命题,通过全称命题为真求解参数取值范围问题,难度较易.5.已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫+> ⎪⎝⎭和()3cos(2)g x x ϕ=+图象的对称中心完全相同.当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域是（） A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 32⎤⎥⎣⎦C. ⎣D. 12⎡⎢⎣【答案】C【分析】由于两函数的对称中心完全相同,则周期相同即2ω=，即可求得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域即可求得值域.【详解】因为两函数的对称中心完全相同，所以两函数的周期相同，所以2ω=，即()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x ∴∈⎣. 故选:C.【点睛】本题考查三角函数的对称性,周期,定义域值域,综合考查了三角函数的基本性质,难度较易.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12 ,F F ，点P 为C 上一点，12PF PF ⊥，12 tan PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（） A.2B.C.D.【答案】B【分析】由已知可得12PF F △为直角三角形,设,结合双曲线定义及勾股定理,即可求得结果.【详解】由12PF PF ⊥知12PF F △为直角三角形，设122,PF m PF m ==， 22121221612,22PF PF m a F F m m m c ⎛⎫-=-==+== ⎪ ⎪⎝⎭，2632c e a ∴==+. 故选:B.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质,考查求离心率问题,难度较易. 7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A.10092009B.20182019C.20192020D.10082018【答案】B【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结果.【详解】模拟程序框图的运行，可得程序框图的功能是计算出1111012233420182019S =++++⋯⨯⨯⨯⨯的值.111111111111201801112233420182019223342018201920192019S =++++=-+-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯⨯Q L∴输出的S 的值20182019. 故选:B.【点睛】本题考查程序框图的应用,考查裂项相消法求和,难度较易. 8.已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（） A. 252-B. 8-C. 172-D. 1758-【答案】A 【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值.【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r，则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭.故选:A.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.9.已知某四棱锥的三视图如图所示（每个小正方形的边长均为1），则此四棱锥的四个侧面三角形中，最大三角形的面积为（）A. 26B. 53C. 6D. 82【答案】C 【分析】由三视图借助长方体还原直观图,几何体即为四棱锥A BCDE -,根据已知即可求得结果.【详解】如图为四棱锥A BCDE -的直观图，在四个侧面三角形中，由三视图可知4AB =,4AE =,2DE =,在ACDV 中25AC AD ==,42CD =,14242ABC ADE S S ==⨯⨯=V V ,14482ABE S =⨯⨯=V ,142208462ACDS=⨯⨯-=V所以ACDV面积最大,ACDV 面积为46.故选:C.【点睛】本题考查三视图还原几何体,借助长方体还原几何体是解决本题的关键,考查学生的空间想象能力,难度一般.10.设函数()244f x x x=-+-的最大值为M，最小值为m，则mn的值为（）A. 2B.263C.21+ D. 3【答案】D【分析】求导,判断函数在定义域上的单调性,进而求出最值,即可求得结果.【详解】定义域[]2,4，()2424f xx x'=---,令()0f x'>，得103x<；()0f x'<，得103x>，所以()f x在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在10,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.即1063M f⎛⎫==⎪⎝⎭，又知(2)2,(4)2f f==，所以2m=，即3Mm=.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数极值和最值中的应用,考查学生运算求解能力,难度一般.11.在矩形ABCD中，4, 5AD AB==，Q为CD边上一点，将点D以AQ为轴旋转至点P的位置，且点P 在面ABC内的投影恰为AC的中点O，则此时三棱锥P ABC-外接球的表面积为（）A.96121π B. 8123π C. 6423π D. 102423π【答案】D 【分析】设外接球的球心H ,半径为r ,ABC V 所在截面圆的半径即为OA ,则222PO AP AO =-,222,AH OH AO =+()22=r-,OH PO 由已知即可求得r ,即可求得结果.【详解】414123251641,,164AC AO PO =+===-=. 设外接球的球心H ，则222222341,4AH OH AO r r ⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 2561024,432323r S ππ∴==⨯=. 故选:D.【点睛】本题考查几何体外接球的表面积,考查学生的空间想象能力,难度一般.12.已知函数32,0()691,0x e x f x x x x x ⎧≤=⎨-++>⎩，若方程2[()](1)()0f x m f x m -++=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围为（） A. ()1,5 B. ()()1,55,9UC. (1,5]D. (0,1){5}U【答案】A 【分析】先根据题意求导判断()f x 的单调性,作出()f x 的简图,由题意可得方程可化简为(()1)(())0f x f x m --=即()1f x =或()f x m =.由图像可知()y f x =与1y =有两个公共点,结合图象只需只需()y f x =与y m=有3个公共点即可.【详解】当0x >时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，易知函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，(1)5,(3)1f f ==.由2[()](1)()0f x m f x m -++=，可得(()1)(())0f x f x m --=，即()1f x =或()f x m =. 由图像可知()y f x =与1y =有两个公共点，所以只需()y f x =与y m =有3个公共点，所以15m <<. 故选:A.【点睛】本题主要考查方程的根的存在性以及根的个数判断,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,难度较难.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x y ，满足约束条件20200x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =-的最大值为2，则实数a =___________.【答案】2 【分析】画出满足条件的平面区域,求出最优解的坐标,讨论a ,代入目标函数即可解得参数. 【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示:联立解得42,33A ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,2B ,目标函数z ax y =-可化为y ax z =-,当0a >时,过点42,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时, z 有最大值代入得:42=233z a =-,解得2a =;当0a ≤时,过点()0,0O 时, z 有最大值代入得:02z =≠与已知不符,故0a ≤不成立. 故答案为:2.【点睛】本题考查简单的线性规划中求解未知参数问题,考查数形结合思想,是一道中档题． 14.在ABC V 中，,7sin 3sin ,143B A B b π===，则ABC V 面积为____________.【答案】3【分析】由已知利用正弦定理可求得6a =,再利用余弦定理求得16c =,借助面积公式即可求得结果. 【详解】由正弦定理得73a b =，6a ∴=.由余弦定理得22366196b c c =+-=，即261600c c --=，16c ∴=或10-（舍）.所以11sin 61622ABC S ac B ==⨯⨯=△故答案为:【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形问题中的应用,考查三角形的面积公式,难度较易.15.“干支纪年法”是中国历法自古以来就使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸为十天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为十二地支.“干支纪年法”是以一个天干和一个地支按上述顺序相配排列起来，天干在前，地支在后，已知2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是已亥年，依此类推，则2080年是____________年. 【答案】庚子【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【详解】从2017年到2080年经过63年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项, 则63106÷=余3,则2080的天干为庚, 63125÷=余3,则2080的地支为子,所以2080年为庚子年.故答案为: 庚子.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用,考查了周期性的应用以及归纳推理的应用,属于中档题.16.已知F 和l 为抛物线2:4C y x =的焦点和准线，点P 为C 上一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，若PQOF 四点共圆（O 为原点)，则该圆的半径为____________.【答案】4【分析】作出函数图象,由PQOF 四点共圆可知,圆心为垂直平分线的交点,由已知可求得直线MN 的方程,由N 为PQ 中点,可求得P 点横坐标代入抛物线方程即可求得P 点坐标,进而知道Q 点坐标,求出OQ 的垂直平分线方程和直线MN 联立即可求得圆心坐标,进而求得结果.【详解】PQOF 四点共圆，所以圆心A 在OF 和OQ 的垂直平分线上，设OF 和PQ 的垂直平分线为MN ，由()1,0F 知1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即N 点的横坐标为12，又知Q 点的横坐标为1-，所以点P 横坐标为2代入抛物线易得()2,22P （设P 在第一象限），则()1,22Q -，则知线段OQ 的垂直平分线方程为292:l y x =+，将l 与直线12x =联立得圆心152,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以圆的半径36||r OA ==. 故答案为:36. 【点睛】本题考查直线和抛物线的关系,考查四点共圆圆心的求法,考查学生分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}n a 满足()2*123234n a a a na n n n ++++=+∈N L ，等比数列{}n b 满足12462,b b b b =⋅=. （1）求n a 和n b ；（2）求数列{}n n na b ⋅的前n 项和n S . 【答案】（1）23n n a n+=；2nn b =（2）1(21)22n n S n +=+⨯- 【分析】(1)由等式令1n =,求得15a =;当2n ≥时,将n 换为1n -,相减可得数列{}n a 的通项公式;再由等比数列{}n b 的公比设为q ,解方程可得公比q ,进而得到{}n b 的通项公式;(2)求得(23)2n n n na b n ⋅=+⨯再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理,即可得到所求和.【详解】解：（1）当1n =时，15a =；当2n ≥时，2123234n a a a na n n ++++=+L ①2123123(1)(1)4(1)n a a a n a n n -++++-=-+-L ② ①-②得23n n a n +=，当1n =时符合，即23n n a n+= 由12462b b b b =⎧⎨⋅=⎩，得2q =，2nn b ∴= （2）(23)2n n n na b n ⋅=+⨯.所以123527292(23)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ③23412527292(23)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ④③-④得()234111022222(23)22(21)2n n n n S n n ++-=+⨯++++-+⨯=-+⨯L 所以1(21)22n n S n +=+⨯-.【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,难度一般. 18.如图在四面体A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，24BC CD BC CBD π⊥=∠=，，，E F Q 、、分别为BC BD AB 、、边的中点，P 为AD 边上任意一点.（1）证明：//CP 平面QEF ；（2）当二面角B QF E --的平面角为3π时，求AB 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2）2AB = 【分析】(1)由已知证明面//QEF 面ACD ,由CP ⊂面ACD 即可证得//CP 面QEF ;(2)设=AB a ,根据已知条件建系如图,求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式代入即可求得a . 【详解】解：（1）证明：因为E F Q 、、分别为BC BD AB 、、边的中点，所以////QF AD EF CD ，. 又因为QF EF F AD CD D ==I I ，，所以面//QEF 面ACD .又因为CP ⊂面ACD ，所以//CP 面QEF （2）设=AB a .,2,4BC CD BC CBD π⊥=∠=Q ，2,22BC CDBD ∴===.在底面作直线垂直于BD ，如图建立空间直角坐标系，则22(0,0,),(2,2,0),(0,22,0),,,0,(0,2,0)A a C D E F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，220,0,,,,0,0,2,22a a Q EF QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r . 设面EQF 的法向量()1,,n x y z =u r所以1122022202n EF x y a n QF y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，令1x =，1221,1,n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u r . 又知面BFQ 的法向量2(1,0,0)n =u u r. 所以1221cos ,282n n a 〈〉==+u u r u u r ，2822,2a a∴+==.综上可知2AB =.【点睛】本题主要考查面面平行的判定和性质定理,考查向量法在求解二面角中的应用,考查了转化化归的思想和运算求解的能力,-属于中档题.19.某农场更新技术培育了一批新型的“盆栽果树”，这种“盆栽果树”将一改陆地栽植果树只在秋季结果的特性，能够一年四季都有花、四季都结果.现为了了解果树的结果情况，从该批果树中随机抽取了容量为120的样本，测量这些果树的高度（单位：厘米），经统计将所有数据分组后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a ；（2）已知所抽取的样本来自A B 、两个实验基地，规定高度不低于40厘米的果树为“优品盆栽”，（i ）请将图中列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“优品盆栽”与A B 、两个实验基地有关？优品非优品合计 A 基地60 B 基地20 合计（ii ）用样本数据来估计这批果树的生长情况，若从该农场培育的这批“盆栽果树”中随机抽取4棵，求其中“优品盆栽”的棵树ξ的分布列和数学期望. 附：()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.【答案】（1）0.025a =（2）（i ）填表见解析；有99%的把握认为“优品盆栽”与A B 、两个实验基地有关（ii ）详见解析【分析】(1)利用小长方形面积之和为1列方程，解方程求得a 的值.(2)（i ）补全列联表, 计算2K 即可得到答案;（ii ）由题意可知样本中优品果树的概率为14可知1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭然后计算相对应颗数的概率,画出分布列,最后根据期望的计算公式,可得结果. 【详解】解：（1）(0.20.120.052)21a +⨯++⨯=，0.025a ∴= （2）高度不低于40厘米的果树有120(0.10.025)230⨯+⨯=棵. 补充完整的列联表如图所示22120(10302060)10.286 6.63530907050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“优品盆栽”与A B 、两个实验基地有关. （3）样本中优品果树的概率为3011204=，即从总体中抽取一棵盆栽为优品盆栽的概率为14. ξ的所有可能取值为10,1,2,3,4,~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭43143811327(0),(1)42564464P P C ξξ⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22241327(2)44128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 343413311(3),(4)44644256P C P ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为1414E ξ=⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查了分布列以及二项分布,还考查了统计量2K 的计算，重在于掌握公式,考验对数据的处理,难度较易.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在椭圆C 上，132PF =，21257,cos 215PF F PF =∠=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点()4,0Q -且与椭圆C 交于A B 、两点，若||||t QA QB =⋅，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=（2）39,124t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】(1)由椭圆定义可求出a ,借助余弦定理可求出c ,进而求得结果;(2)当直线l 的斜率为0时可求得||||12t QA QB =⋅=,当直线l 的斜率不为0时，设直线:4l x my =-代入2214x y +=,得()2248120m y my +-+=由此利用根的判别式可知212m >,由韦达定理及弦长公式化简可求得231214t m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,进而可求得结果.【详解】解：（1）由题1224a PF PF =+=，2a ∴=，在12PF F △中，2129254744cos 3515222c F PF +-∠==-⨯⨯，解得c =1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，||||2612t QA QB =⋅=⨯=.当直线l 的斜率不为0时，设直线:4l x my =-，()()1122,,,A x y B x y联立方程224,1,4x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2248120m y my +-+=，122124y y m =+， 0>Q △，212m ∴>.所以()21212||||1t QA QB y y m y y =⋅==+ ()222121312144m m m +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由212m >，得2330416<<+m ，所以39124t <<. 综上所述，t 的取值范围为39124t <≤，即39,124t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查了弦长公式韦达定理在直线和椭圆的关系中的应用,考查学生的计算能力和逻辑推理能力,难度一般. 21.已知函数2()2(1)x f x xe a x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）02ea ≤< 【分析】(1) 求导函数,对其进行因式分解,对a 分成0a ≤,10a e <<,1a e =,1a e>几类进行讨论,从而可确定函数()f x 的单调性与单调区间；(2) 对a 分成0a <,0a =,10a e <<,1a e =,1a e>几类,利用函数的单调性和零点存在性定理,由()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点,求解参数范围.【详解】解：（1）定义域为R ，()()2(1)2(1)2(1)x xf x x e a x x e a '=+-+=+-，（Ⅰ）当0a ≤时，()0,1f x x '<<-；()0,1f x x '>>-，即()f x 在(,1)-∞-上单调递减，()f x 在(1,)-+∞上单调递增；（Ⅱ）当0a >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x a =，（i ）若1a e=，则1()2(1)0x f x x e e ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增；（ii ）若1a e>，则ln 1,()0a f x '>->，1x <-或ln x a >；()0,1ln f x x a '<-<<，即()f x 在(,1)-∞-，(ln ,)a +∞上单调递增，()f x 在()1,ln a -上单调递减，（iii ）若10a e<<，则ln 1,()0,ln a f x x a '<-><或1x >-；()0,ln 1f x a x '<<<-，即()f x 在(,ln )a -∞，(1,)-+∞上单调递增，()f x 在()ln ,1a -上单调递减.（2）（Ⅰ）当0a <时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，()f x 在(1,)-+∞上单调递增； x →-∞时，y →+∞，2(1)0,(0)0ef f a -=-<=->，所以()f x 在(,1)-∞上有两个零点；（Ⅱ）当0a =时，()2x f x xe =，令()0f x =得0x =，又知当0x <时()0f x <，当0x >时，()0f x >，此时()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时, （i ）当1a e=时，由（1）知()f x 在R 上单调递增，22(1)0,(1)20f f e e e ⎛⎫-=-<=-> ⎪⎝⎭，此时()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点；（ii ）当1a e>时，由（1）结合()f x 的单调性(1)0,(ln )(1)0,(1)24f f a f f e a -<<-<=-，只需讨论(1)24f e a =-的符号，当12ea e <<时，()10f >，()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点；当2ea ≥时，(1)0f <，()f x 在(,1)-∞上无零点；（iii ）若10a e<<由（1）结合()f x 的单调性，(1)0, (1)240f f e a -<=->，2(ln )(ln )0f a a a a =--<，此时()f x 在(,1)-∞上有且只有一个零点. 综上所述，02e a ≤<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知函数的零点求参数取值范围,考查学生逻辑推理与数学运算能力,是一道较难的压轴题.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.l 与曲线C 交于A B 、两点. （1）求曲线C 的普通方程和A B 、两点的极坐标；（2）求AOB V 的面积.【答案】（1）22:20C x y y +-=；51,,63A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭（2）2【分析】(1) 在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程,利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线C 的普通方程,直线和曲线C 联立求出A B 、直角坐标再利用转化公式即可求得A B 、的极坐标； (2)利用三角形的面积公式及极坐标的几何意义可知151sin 263AOB A B S ρρππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△,计算即可求得结果. 【详解】（1）将直线l的参数方程消参得0x +=，曲线2:2sin C ρρθ=，所以22:20C x y y +-=，联立直线和圆的直角坐标方程得24830y y -+=即12y =或32，即13,22A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化为极坐标为51,,63A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭.（2）1511sin 12632AOB A B S ρρππ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化,点的坐标的转化,同时也考查了极坐标的几何意义在三角形面积公式中的应用,考查计算能力和转化与划归能力,属于中等题. 23.已知函数2()||(0)f x x m x m m=-++>. （1）证明：()f x ≥（2）若函数2()2f x x x m-+≥的解集为(,2]-∞，求实数m 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）6m =【分析】(1) 根据绝对值不等式和基本不等式即可证得;(2)由已知化简得||2x m x -≥,由绝对值的定义分类讨论即可求得不等式解集,进而求得参数. 【详解】解：（1）222||()x m x x m x m m m m ⎛⎫-++≥--+=+≥ ⎪⎝⎭m =时等号成立.（2）2()2f x x x m-+≥，即||2x m x -≥，所有,2,x m x m x ≥⎧⎨-≥⎩或,2,x m m x x <⎧⎨-≥⎩解得3m x ≤.因为解集为(,2]-∞，所以6m =.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式在不等式证明的应用,考查绝对值不等式求解参数问题,难度较易.。

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(三)

2
2
50 86 D 4 9 3
C
E
三视图还原七字口诀：三线交汇得顶点。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. (2 x 3 x )dx
2 0
1

13 6
.
1
2 3 13 2 3 3 2 x x 0 (2 x 3 x )dx 2 0 3 2 6 3
全国100所名校最新高考模拟示范卷
理科数学（三）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2i 1. ( C ) 2i 1 1 A. 1 i B. 1 i 2 2
1 C. 1 i 2
1 D. 1 i 2
an
(1) 由an (2n 1)a1 2(n 1), 解得a1 1, 所以an 2n 1
n[1 (2n 1)] (2) Sn n2 , 2 Sn n 1 1 bn an 1 2 2n 1 1 2
设平面CC1 D的法向量为 m ( x1 , y1 , z1 ) m DC y1 0 则 , m DC1 x1 y1 2 z1 0 A x 令z1 1, 得 m (2, 0,1) B y
数列{an }, a1 1, an1 an n T 是{an }前10项的和, 故①处填i ≤ 10
46, 若右边的框图是
开始
i 1, m 1, T 1
计算T的程序框图, 则框图中①处和②处可以分别填入
① 是
T T m
否
输出T 结束

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(一二三)【附答案】

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2021届全国100所名校(新高考)高三最新高考冲刺卷数学试题(三)(解析版)

2021届全国100所名校（新高考）高三最新高考冲刺卷数学试题（三）一、单选题1．已知zi +1=2i ，则|z |=（）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为12zi i +=，所以()212122i ii z i i i -+-+===+所以z =故选：B2．已知集合{2R A x x =≤或}4x ≥，{}290,B x x x +=-≤∈N ，则A B ⋂＝（）A ．{23}x x <≤∣B ．{23}x x <<∣C ．{2,3}D ．{3}【答案】D【分析】先求出集合A 、B ，再根据交集定义求出. 【详解】{2RA x x =≤或}4x ≥，{24}A x x =<<∴∣，{}{}33,1,2,3B x x x +=-≤≤∈=N ∣，故{}3.A B ⋂=故选：D.3．设x ∈R ，则“42x x >”是“1x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】把命题42x x >化简为0x >，再考查以0x >，1x >分别为题设，结论和结论，题设的两个命题真假即可作答.【详解】因2422220x x x x x x x >⇔>⇔>⇔>，又01x x >>，而10x x >⇒>，即“0x >”是“1x >”的必要不充分条件，所以“42x x >”是“1x >”的必要不充分条件．故选：B4．某市为了对学生的初中与高中数学学习能力进行分析，从全市学生中随机抽出五位学生，并跟踪测试他们在初二和高二某一时段数学学习能力等级分数(10分制)，初二等级分数用x 表示，高二等级分数用y 表示，获得数据如表： x 3 4 6 8 9 y33879据此得出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx =，则下列的点到回归直线距离最远的是（）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(6,8)D ．(8,7)【答案】C【分析】先求出线性回归方程，再结合选项，即可得出答案. 【详解】本题考查线性回归方程．因为34689338796,655x y ++++++++====，所以ˆ1b=，所以回归直线方程为ˆy x =，因为选项C 中x 与y 的差距最大，所以点(6，8)到回归直线距离最远．故选：C5．如图，已知一底面半径为1，体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内)，则球O 的表面积为（）A ．1009π B ．209π C ．203π D ．503π 【答案】A【分析】取底面圆心，即线段AB 的中点O 1，则有SOO 1共线且垂直于底面，再根据勾股定理即可解得. 【详解】如图所示，设圆锥的底面圆心为1O ，连接11,,SO O B OB .因为V 圆锥=21113SO ππ⨯⨯=，所以13SO =，设球O 的半径为R ，则22(3)1R R -+=，解得53R =，所以球O 的表面积22510044.99S R πππ==⨯=故选：A.6．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为（）A ．12B ．26C ．30D ．40【答案】B【分析】由题意依次求出6()x y +中33x y ，5x y 项的系数，求和即可【详解】本题考查二项式定理．因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26．故选B.7．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（）A 3555BG -++ B 3555BA BG --+ C 5155BG --+ D 355BA BG -+ 【答案】D【分析】由黄金分割比可得51EO BE -=，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==，因51BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()EO BE BO BO ---===，于是得55BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有55BO BG +=，同理有51AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155()AF BG BA -+=-51BG BA =--，从而有513555BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+，所以355BF BA BG -=+. 故选：D8．已知函数()ln(ln (1))f x x e x m =+--，若曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，则实数m 的最大值是（）A ．0B ．3C ．2-D ．1-【答案】D【分析】根据函数22311x y x +=+的值域可以确定[)11,3y ∈，然后换元令()1f y c =，进而根据()()11y f f y =讨论得出()11f y y =，代入可得()()111ln ln e 1y y m y +--=，解出m ，转化为用导数求值域的问题.【详解】由题意，曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，所以[)11,3y ∈．记()1f y c =，若1c y >，则()()1f c f y >，所以()()()()111f f y f c f y c y =>=>，不满足()()11y f f y =，同理1c y <也不满足，所以()11f y y =，所以()()111ln ln 1y e y m y +--=，所以()111ln 1yy e y m e +--=，所以()[)1111ln 1,1,3.y m y e e y y =-+-∈记()()ln 1x g x x e e x =-+-，则()11xg x e e x=-+-'，记()1h x x=-1x e e +-，因为()210x h x e x -'=-<，所以()h x 在[)1,3上单调递减，因为()10g '=，所以()1,3x ∈时，()g x '0<，因为()()311,333ln3g g e e =-=-+-+，所以333ln31e e m -+-+<-，所以m 的最大值为 1.- 故选：D.【点睛】①嵌套函数一般采用换元法，对于基本初等函数复合而成的函数我们要用换元法尽快得出函数的性质，比如单调性、值域等等； ②当解析式里有多个变量时，我们应该首先想到要消元；③涉及到复杂函数的最值或者值域的求法我们往往借助导数进行处理.二、多选题9．两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（） A ．第5个月甲的月工资低于乙 B ．甲与乙在第11个月时月工资相等 C ．甲､乙前11个月的工资总收入相等 D ．甲比乙前11个月的工资总收入要低【答案】ABD【分析】利用等差数列的前n 项和，逐一验证即可出答案.【详解】本题考查等差数列．设甲各月工资组成数列{}n a ，乙各月工资组成数列{}n b ，易知1003900,n n a n b =+504450.n =+因为5544004700a b =<=，所以选项A 正确；因为11115000a b ==，所以选项B 正确；因为甲前11个月工资总收入为()1140005000495002⨯+=元，乙前11个月工资总收人为()1145005000522502⨯+=元，所以选项C 不正确，选项D 正确．10．已知椭圆()222:1309x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是椭圆上一点，延长2PF 与椭圆交于点A ，若1OF OA =，1OF A 的面积为2，则1AF 的值可以为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BD【分析】连接1AF ，分析得出122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于m 、n ，解出m 的值，即为所求.【详解】连接1AF ，因为12OA OF OF ==，则11OAF OF A ∠=∠，22OAF OF A ∠=∠，因为1122122OAF OF A OAF OF A F AF π∠+∠+∠+∠=∠=，122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，则1211242F AF OAF S S mn ===△△，由椭圆的定义可得6m n +=，所以，86mn m n =⎧⎨+=⎩，解得42m n =⎧⎨=⎩或24m n =⎧⎨=⎩，所以12AF =或4.故选：BD.11．已知a ，b 为正数，2243a b +=，则（）A ．ab 的最大值为34B ．2211a b +的最小值为3C ．74D ．11a b + 【答案】AB【分析】选项A ：直接利用公式222a b ab +≥即可求得；选项B ：用“1”代换来求，即把求2211a b +的最小值转化为求 ()222211143a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值；选项C ：利用公式a b +≥ 选项D ：利用选项A 和选项B 的结论来求.【详解】因为2244a b ab +，所以43ab ，即34ab ，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以选项A 正确；因为()22222222221111114141493333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a ==时，等号成立，所以选项B 正确；因为22114472224a b ++=⨯=，当2244a b =+时，即281b =-时等号成立，显然等号不成立，所以选项C 不正确；因为22211112817333a b a b ab⎛⎫+=++>+=⎪⎝⎭，所以11a b +>>，所以选项D 不正确．故选：AB.12．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()y g x =的图象，则下列关于函数()f x 和()g x 的说法正确的是（） A ．函数()f x 与()g x 有相同的周期B ．函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的对称中心一定不同C ．若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2ω≥D ．若函数()g x的图象与直线y =,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则162099ω< 【答案】ACD【分析】先求出()g x 的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()g x sin 4x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 与()g x 的周期都为2πω，所以选项A正确；函数()f x 的对称中心为1,0k πω⎛⎫⎪⎝⎭，函数()g x 的对称中心为()212,0,4k k k ππω⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，当()1212,4k k k k ω-=∈Z 时，对称中心可以相同，所以选项B 不正确；若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2423242πππωπππω⎧+⎪⎪⎨-⎪+-⎪⎩，解得2ω，所以选项C 正确;记,,422t x x πππω⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()31sin ,,.44ht t t πωπω⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦函数()h t 的图象与直线y =右边最近两个交点横坐标为3π和23π，左边最近两个交点横坐标为43π-和53π-，令3452,,,433433πππωππωπ-=--=，得162048,,,9933ω=，所以162099ω<，所以D 正确．故选：ACD.三、填空题13．设α为第二象限角，若sin α=tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】12-【分析】根据条件先求出tanα，再将tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，代入即可求得.【详解】因为α为第二象限角，sin α=，所以tan 3α=-，所以tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan31141321tan tan 4παπα+-+==-+-.故答案为：12-.14．某港口有A ､B ､C ､D 四个码头，每个码头一次只能停一艘船，A 码头最大可以停靠600吨总重量的船舶，B 码头最大可以停靠900吨总重量的船舶，C 码头最大可以停靠1500吨总重量的船舶，D 码头最大可以停靠3000吨总重量的船舶，现仅有甲､乙总重量分别为500吨和1400吨的船舶要安排停靠该港口，则甲船舶安排停靠在B 码头的概率为___________．【答案】13【分析】根据题意列举出每一种可能的停靠情况，然后选出甲船停靠在B 码头的情况，分别数出各自的数量，再根据古典概型公式相比即可.【详解】本题考查古典概型．当甲停靠在A 或B 码头时，乙可停靠C 或D 码头，所以甲、乙共4种停法；当甲停靠在C 或D 码头时，乙对应可停靠D 或C 码头，所以甲、乙共2种停法．甲、乙总共有6种停法，其中甲船停靠B 码头有2种停法，所以甲船舶停靠在B 码头的概率为2163P ==. 故答案为：13.15．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________．【答案】2⎤⎦【分析】由垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以22b a>1，所以e >得2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B ab a b ，从而根据AB AF λ=即可建立关于,,a bc 的方程，又1λ，即可建立离心率e 的不等关系，从而可解.【详解】解：因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以a b b a ->-，所以22b a >1，所以e >在直角AOF 中，,,OA a AF b OF c ===，所以2,A A ab a y x c c ==，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()ay x cbby xa⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,⎛⎫-⎪--⎝⎭a c abcBa b a b，因为AB AFλ=，所以22222a a c acc a b cλ⎛⎫-=-⎪-⎝⎭，故2222ab aλ=-222e=-，因为1λ，所以2212e-，解得 2.e综上，可得(2,2.e⎤∈⎦故答案为：(2,2⎤⎦四、双空题16．如图，在正方体1111-ABCD A B C D中，点P在线段11C D上运动，M，N分别为AD，AB的中点，记异面直线PM与DN所成的角为θ．当点P与1C重合时，cosθ=___________；cosθ的取值范围是___________．【答案】020,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角，当点P与点1C重合时，连接MC，可证得DN⊥平面1MCC，所以可得异面直线PM 与DN垂直，从而可得cos0.θ=当点P由1C向1D方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D重合时，角θ最小，然后在三角形1MED可求得cosθ的最大值，从而可求得其范围【详解】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角．当点P与点1C重合时，连接MC，因为1,DN MC DN CC⊥⊥，所以DN⊥平面1MCC，所以()1DN MP C ⊥，此时异面直线PM 与DN 所成的角最大，即为2π，所以cos 0.θ= 当点P 由1C 向1D 方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D 重合时，角θ最小，连接11,D M D E ，设2AD =，可得15,D M ME ==1533,D E =，所以()222533(5)2cos 55252πθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==-⨯⨯，所以2cos 0,.5θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为：0，20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos()cos 3sin cos a B C a A b C A -+=（1）求A ；（2）若234,cos 28a c B b ==+，求b 的值．【答案】（1）3π；（2）43b = 【分析】（1）等式左边将A 化为B C +，根据两角和的余弦公式化简，再用正弦定理即可解得；（2）结合第二问条件及余弦定理可以得到2c b =，再根据第一问可得3A π=，再次利用余弦定理，得到b ,c 的第二个关系式，联立方程组即可解得. 【详解】（1）因为()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=，所以()()cos cos 23a B C a B C b --+=sin cos C A ，所以sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =．由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=．（2）因为23cos 28c B b =+，4a =，由余弦定理222163288c b c b c +-⋅=+，解得2c b =，由（1），3A π=，所以由余弦定理：2216b c bc =+-，所以2163b =，即b =18．从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212n n b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）根据3244,10a a a =+=-可得关于1,a q 的方程，两个方程解出两个未知数；（2）若选①②，结合132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，()()2121(1)2132(2)nn n n nn a b n +⋅-⋅==-⋅+-，可用分组求和法解题. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为3244,10a a a =+=-，故3310a a q q+=-，即4410q q +=-，解得12q =-或q =2(-舍去1),16a =，所以1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）设132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若选①211121,,32(2)2(2)(2)n n nn n n n a b T ---⋅==++++----(2)nn -，23111212(2)(2)(2)(2)n n n n nT +--=++++----，两式相减得2311122(2)(2)n n T =+++----11111(2)3(2)(2)n n n n n++⎡⎤=---⎢⎥---⎣⎦ 所以3229(2)9n n n T +=-⋅-若选②231(6),3,1323333,32(2)nn n n n n nn a b n T n ⋅--⋅==⋅=⋅+⋅+⋅++⋅-234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-，所以1321344n n n T +-=+⋅．若选③()()()2121,(1)21,35721(1)32(2)n nn n n n n n a b n T n +⋅-⋅==-⋅+=-+-+++⋅--当n 为偶数时，2;2n n T n =⨯=当n 为奇数时，()122122n n T n n -=⨯-+=--，所以,{2,nn n T n n =--为偶数为奇数19．2021年初疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如图频率分布直方图所示．（1）求a 的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；（2）现从年龄为[20，30)的人中随机抽取7个人，按答题情况有4人成绩优秀，3人成绩不优秀，优秀得2分，不优秀得1分．若从这7人中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中测试得分的和，求随机变量X 的分布列与数学期望．【答案】（1）0.005a =；中位数为38.33；（2）分布列见解析；期望为337．【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得0.005a =，结合中位数的概念，列出求得x 的值，即可求解；（2）得出随机变量X 的所有取值，求得相应的概率，得出分布列，结合公式，即可求解.【详解】（1）由题意得()100.0200.0300.0250.020101a ⨯++++⨯=，解得0.005a =；设该组数据的中位数是x ，则()()100.0050.020300.0300.5x ⨯++-⨯=，经计算得1153x =，故该组数据的中位数为11538.33.3≈ （2）随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6，可得()()031243433377C C C C 1123,4C 35C 35P X P X ======，()()213043433377C C C C 1845,6C 35C 35P X P X ======，所以随机变量X 的分布列为 X3 4 5 6 P13512351835435所以期望为：()11218416533345635353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 20．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，底面ABCD 为正方形，1,2,3AP DP AD CP ====，F 为线段PD 的中点．（1）求证：CD AF ⊥（2）求直线PB 与平面CFB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2102【分析】（1）首先易证CD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明CD AF ⊥. （2）首先，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解线面成角即可.【详解】（1）在PCD 中，因为3,1,2PC DP CD AD ==== 所以222CD DP CP +=，所以CD DP ⊥，因为,CD AD AD DP D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，因为AF ⊂平面P AD ，所以CD AF ⊥．（2）由（1）知CD DP ⊥，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图所示：.D xyz -在APD △中，因为1,2AP DP AD ===222AP DP AD +=，所以AP DP ⊥；因为CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以CD AP ⊥. 因为CD DP D =，所以AP ⊥平面.PCD可得()()()()10,0,0,1,0,0,2,0,,0,0,1,0,1.2D P C F A ⎛⎫⎪⎝⎭因为()1,2,1DB DC DA =+=，所以()2,1B ，所以12,02FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,2,1PB =.设平面CFB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以12021202x x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令4x =，则2,y z ==-4，所以()2,4.n =-设直线PB 与平面CFB 所成的角为θ，则102sin 334n PB n PBθ⋅===⨯ 21．已知抛物线()2:20G y px p =>的焦点为F ，斜率为k 的直线l 过点F ，且与G 交于A ，B 两点，当1k =时，16AB =．（1）求p 的值；（2）直线11:(2)l y k x =-与G 相交于C ，D 两点，M ､N 分别为AB ､CD 的中点，若直线MN 恒过定点(2,2)，求1k k +的值．【答案】（1）4；（2）1 2.k k +=．【分析】（1）当1k =时，得到直线l 的方程为2py x =-，联立方程组得到123x x p +=，结合抛物焦点弦的性质，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到28y x =，设直线l ：()2y k x =-，联立方程组求得212248k x x k ++=，得出点22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合斜率公式和题设条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，当1k =时，直线l 的方程为2py x =-，联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22304p x px -+=，所以123x x p +=，因为AB 16=，可得1216x x p ++=，所以416p =，解得4p =．（2）由（1）知，可得曲线G 的方程为28y x =，设直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程组()228y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理得()22224840k x k x k -++=，则212248k x x k ++=，所以2224M k x k +=，所以4M y k =，即22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以112211221442424MNk k kk k k k k k k k -==+++-，所以直线MN 的方程为2121424(kk k y x k k k k ⎫+-=-⎪+⎭，因为直线MN 过点()2,2，所以212142422kk k k k k k ⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，解得1 2.k k +=【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()2(1)x f x ae a =-+．（1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）若不等式()10(0)xf x a a ++>在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1e 1a-．【分析】（1）求出()g x 的解析式，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()1e 22,x a k x a a x +=⋅--+求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】（1）因为()e 222x g x a x a =---，所以() 2.xg x ae -'=当0a 时，()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 20xg x a '=-=，解得2lnx a=，所以函数()g x 在2,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增（2）由题知不等式可转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()()1e 22,xa k x a a k x x +⋅-+'=-=()22e 1x ax a x-+，令()()2e 1xm x ax a =-+，则()()2e 0x m x ax x =+>'，所以()m x 在()0,+∞上是增函数．因为()()010m a =-+<，当x →+∞时，()0m x >，所以存在()00x ∈+∞,，使得()00m x =，所以()k x 在()00,x 上单调递减，()k x 在()0,x +∞上单调递增，因为()()0200e 10x m x ax a =-+=，即0201e x a a x +=，因为在()0,x ∈+∞上()0k x 恒成立，故()0min 001()e 220x a k x k x a a x +==⋅--+，所以20011220a a a x x +++--，故2001120x x +-，所以200210x x --，解得0112x -，因为020e 1x ax a =+，所以0201e x a x a +=，令()0h x 020e x x =，易知()0h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,1上单调递增，所以11e a a +<，所以1e 1a -．【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.。

2020届联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷(三)数学(理)试题(解析版)

画出 g x 与 y x 图象，得出结论.
用，属于中档题.
11．已知三棱柱 ABC A1B1C1 内接于一个半径为 3 的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1
均为正方形，M , N
分别是
A1B1 ，A1C1 的中点，C1M
1 2
A1B1 ，则异面直线 BM
与
AN
所成角的余弦值为（）
3
A．
10
B． 30 10
7
C．
10
D． 70 10
的大小关系 0 x 1 y z ，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.
【详解】
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∵a＞b＞0， ab 1 ，
∴可得 a= 1 ，且 a＞1＞b＞0， b
∴x
b 2a
1 a 2a
1
，
2
y log2 (a b) log2 2 ab log2 2 1 ，
【详解】
因为 A, B 关于 x 轴对称，所以 A, B 纵坐标为 2 ，
横坐标为 1，代入 y2 2 px( p 0) ，
可得 y2 2x .设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 .
则
y12 y22
2x1, 2x2 ,
则
y1
y2
y1
y2
2 x1
x2
，
kPQ
2 y1
∴ a2 a2 a2 2 3 ，解得 a=2，
∴BC=CA=CC1=2,
CO=1,AO= 5 ,AN= 5 , NO MB B1M 2 BB12
2 2 22 6 ，
在△ANO 中,由余弦定理可得：
cosANO AN 2 NO2 AO2