第二十五次作业第二十二章曲面积分1第一型曲面积分

曲面积分习题课(供参考)

第二十二章曲面积分习题课一疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中；三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负．（2）类似地，当P 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧．解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰．又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧．解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向．解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

2202第一型曲面积分的计算(续)

z =z x2 + y2
下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面=z x2 + y2 ,
O
y
x
x2 + y2 = 2ax
图 22 − 2
有 zx
= x2x+ y2 , z y
y
, x2 + y2
1
+
z
2 x
+
z
2 y
=2;
而 S 在 xy 平面上的投影为 D( xy) : ( x − a)2 + y2 ≤ a2 . 因此
∫∫ f ( x, y, z( x, y))
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
.
S
D
(2)
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
例2 计算 ∫∫( xy + zx + yz)dS,
S
其中 S 为圆锥面=z x2 + y2
被圆柱面 x2 + y2 = 2ax 所割
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
EG − F 2 = 1 + u2 .
然后由公式 (3) 求得:
∫∫ ∫ ∫ =I
v 1= + u2dudv
2π
vdv
a
1 + u2du
0
0
D
( ) =
2π
2

u 2
1 + u2 + 1 ln u + 2

第一型曲面积分参数方程形式

第一型曲面积分参数方程形式【实用版】目录一、引言二、第一型曲面积分参数方程形式的概念1.参数方程的定义2.第一型曲面积分的定义三、第一型曲面积分参数方程形式的求解方法1.坐标变换法2.极坐标法3.参数方程法四、第一型曲面积分参数方程形式的应用五、总结正文一、引言在数学领域，曲面积分是一种重要的计算工具。

在解决实际问题时，常常需要对曲面进行积分运算。

而第一型曲面积分是曲面积分的一种，主要是对曲面上某一属性的积分。

为了更好地理解和解决第一型曲面积分问题，我们需要先了解其参数方程形式的概念。

二、第一型曲面积分参数方程形式的概念1.参数方程的定义参数方程是指用参数来表示空间中某一点的位置关系的方程，通常表示为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)。

参数方程中的参数 t 可以取遍全体实数，用于描述空间中某一点的位置。

2.第一型曲面积分的定义第一型曲面积分是对曲面上某一属性的积分，例如密度、温度等。

它是用曲面的面积分来表示该属性在曲面上的总和。

具体来说，假设曲面的参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则第一型曲面积分可以表示为：∫(x(t), y(t), z(t))dS三、第一型曲面积分参数方程形式的求解方法求解第一型曲面积分参数方程形式，通常有以下几种方法：1.坐标变换法坐标变换法是将参数方程转换为直角坐标方程，然后进行积分运算。

具体来说，假设参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则可以通过坐标变换，将其转换为直角坐标方程，然后进行积分运算。

2.极坐标法极坐标法是将参数方程转换为极坐标方程，然后进行积分运算。

具体来说，假设参数方程为 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，则可以通过极坐标变换，将其转换为极坐标方程，然后进行积分运算。

3.参数方程法参数方程法是直接对参数方程进行积分运算。

这种方法的优点是避免了坐标变换的过程，简化了计算过程。

但是，它要求曲面的参数方程满足一定的条件，例如参数的范围、连续性等。

第一型曲面积分

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D

第二十二章曲面积分习题解答)

第二十二章曲面积分§1 第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲面积分:(1)()⎰⎰++SdS z y x ,其中S 是上半球面0,2222≥=++z a z y x;解由对称性得0==⎰⎰⎰⎰SSydSxdS ,只要计算⎰⎰SzdS 即可.因为222222222,,yx a y z yx a x z y x a z y x ---=---=--=,所以3222222a dxdy azdS dxdy y x a adS a y x Sπ==⇒--=⎰⎰⎰⎰≤+, 则()3a dS z y x Sπ=++⎰⎰. (2)()⎰⎰+SdS y x22,其中S 为立体122≤≤+z y x ;的边界曲面;解因为曲面S 是由1,1:,:222221≤+=+=y x z S y x z S 组成,它们在xOy 平面上的投影区域是122≤+y x .故()()()()()()122220132010312222222222222221+=+=+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+πθθππdr r d dr r d dxdy y xdxdy y xdSy x dS y x dS y xy x zy x S S S(3)⎰⎰+S y x dS 22,其中S 是柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分; 解R HRH R dS R y x dS SSππ22112222===+⎰⎰⎰⎰.(4)⎰⎰SxyzdS ,其中S 是平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.解()()1203163111031010=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y y x y xdx dS xyz xS. 2. 求均匀曲面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x a z y x 的重心. 解设重心坐标为()z y x ,,,由对称性得:z y x ==,SzdSdSzdS z SSS⎰⎰⎰⎰⎰⎰==,其中221a S π=.而dxdy yx a a z z dS y x 222221--=++=.则341a adxdy zdS DS π==⎰⎰⎰⎰(D 为S 在xOy 平面上的投影),2a z =.因而重心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2a a a . 3. 求密度为ρ的均匀球面0,2222≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量.解()()420223222222222223412222222222a dr r a r d a dxdy yx a y x adxdyz z y xadS y xJ aa y x ay x y x az y x z πρθρρρρπ=-=--+=+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+=++4. 计算⎰⎰SdS z 2,其中S 为圆锥表面的一部分: ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:.cos ,sin sin ,sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ. 解这里S 的参量方程以ϕ,r 为参量.因为.sin sin cos sin sin ,0sin cos sin sin cos sin ,1cos sin sin sin cos 222222222222222222222θθϕθϕθϕϕθϕϕθθϕθϕϕϕϕϕϕϕr r r z y x G r r z z y y x x F z y x E r r r r r r =+=++==+-=++==++=++=所以,根据公式(1.2)得θθπθθϕϕθπ24022202222cos sin 21sin cos cos a dr r r d drd F EG r dS z aSS =⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. §2 第二型曲面积分1. 计算下列第二型曲面积分:(1)()()⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx xdydz z x y 22,其中S 为由,0===z y x z y x ===a 六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向;解 ()()2224020220000a dy y a dy y a y a yzdz dy dz z a y dy dydz z x y a aaaaaS=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 002022=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰a aa aSdx x dz dx x dz dzdx x;()()240222a dy y dx dy ax y dx dxdy xz yaaa aS=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以 ()()422a dxdy xz y dzdx x dydz z x y S=+++-⎰⎰. (2)()()()⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正向;解由被积表达式的结构和积分曲面的对称性知,z y x ,,两两对称.由对称性知,只需计算其中之一即可.又()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=+--+=+11111111811dz y dy dz y dy dydz y x S,故()()()2483=⨯=+++++⎰⎰Sdxdy x z dzdx z y dydz y x .(3)⎰⎰++Sxzdxdy yzdzdx xydydz,其中S 为由平面0===z y x 和1=++z y x 所围成的四面体表面并取外侧为正向;解由对称性知,只需计算⎰⎰Sxzdxdy 即可.而()()()()24112111102210102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x x x dy xy xx dx dxdy y x x xzdxdy xD Sxy故812413=⨯=++⎰⎰Sxzdxdy yzdzdx xydydz . (4)⎰⎰Syzdzdx ,其中S 是球面1222=++z y x的上半部分并取外侧为正向;解由于曲面S 是上半球面,积分运算应作球坐标变换,令ϕϕθϕθcos ,sin sin ,sin cos ===z y x ,其中πθπϕ20,20≤≤≤≤.故4cos sin sin 202022πθϕϕθϕππ==⎰⎰⎰⎰d d yzdzdx S.(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222,其中S 是球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向. 解对于⎰⎰Sdydz x 2,S 可表示为()()()yz D z y c z b y R a x ∈-+--±=,,222.于是 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=yzyzyzDD DS dydzc z b y R a dydz c z b y R a dydz c z b y R a dydz x 2222222222224作变量替换:θθsin ,cos r c z r b y +=+=,得a R dr r R r d a dydz x R S3200222384πθπ=-=⎰⎰⎰⎰. 同理可得.38,383232c R dxdy z b R dzdx y SSππ==⎰⎰⎰⎰ 所以()c b a R dxdy z dzdx y dydz x S++=++⎰⎰322238π. 2. 设某流体的流速为()0,,y k v =,求单位时间内从球面4222=++z y x 的内部流过球面的流量.解设流量为E ,则ππ33223403=⋅+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS ydzdx k ydzdx kdydz E 球前球后. 3. 计算第二型曲面积分()()()⎰⎰++=Sdxdy z h dzdx y g dydz x f I 其中S 是平行六面体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面并取外侧为正向,()()()z h y g x f ,,为S 上的连续函数.解设平行六面体在xOy zOx yoz ,,面上的投影区域分别为xy zx yz D D D ,,,则有()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]abh c h ca g b g bc f a f dxdyh c h dydz f a f I xyyzD D 00000-+-+-=-+-=⎰⎰∑⎰⎰4. 设磁场强度为()z y x E ,, ,球从球内发出通过上半球面0,2222≥=++z a z y x 的磁通量.解所求磁通量⎰⎰++=ΦSzdxdy ydzdx xdydz .其中S 为题目所给的上半球面并取上侧为正向.首先().322230022222222222a dr r a r d dydzz y a dydz z y a dydz z y a xdydz a D D D Syzyzyzπθπ=-=--=------=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰类似地,有332a ydzdx Sπ=⎰⎰.又 .32320022222a dr r a r d dxdy y x a zdxdy a D S xyπθπ=-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故 33332323232a a a a ππππ=++=Φ. §3 高斯公式和斯托克斯公式1. 应用高斯公式计算下列曲面积分:(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面1222=++z y x的外侧;解 00==++⎰⎰⎰⎰⎰VSdxdydzxydxdy zxdzdx yzdydz .(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧;解()()()()4032002000222322222a dx a x a dy a a y x dx dzz y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a aaaaaVS =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域()h z ≤≤0的表面,方向取外侧;解()⎰⎰⎰⎰⎰++=++VSdxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x 2222, 由柱面坐标变换z z r y r x ===,sin ,cos θθ,其中h z r h r ≤≤≤≤≤≤,0,20πθ得原式()4202sin cos 2h dz z r r dr d h hrπθθθπ=++=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333,其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧; 解原式()πϕθϕππ512sin 302014222==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d d dxdydz z y xV. (5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ,其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧;解因为S 不是封闭曲面,故需补一个曲面2221,0:a y x z S ≤+=.则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=++-++=+++vS S S Sa dv zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz 320311π. 2. 应用高斯公式计算三重积分()⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ,其中V 是有10,0,0≤≤≥≥z y x 与122≤+y x 所确定的空间区域.解(方法1) 记.0,10,10:;0,10,10:;0,1,10,0,0:32221=≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤+≤≤≥≥y z x D x z y D z y x z y x D根据高斯公式,得()⎰⎰⎰⎰⎰++=++SVxyzdxdy xyzdzdx xyzdydzdxdydz zx yz xy ,其中S 为V 的边界曲面,并取外侧.因为81cos sin 201031===⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθθθdr r d xydxdy dxdy xyz D S, 6111101222=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz y yz dy dydz y yz dydz xyz D S, 6111101223=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz x xz dx dzdx x xz dzdx xyz D S, 所以()2411616181=++=++⎰⎰⎰Vdxdydz zx yz xy . 方法2()()()()()()().24111121121112111212110210210210101010210102222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dx x ydy y dy xdx zdz x dx ydz y dy xdxdy zdzdx x ydydz y xdxdyz zdzdx y ydydz x dxdydz zx yz xy x D D D SVxyzx yz3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:(1)()()()⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y222222,其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的侧;解 L 可看成为曲面()1,0,01:≤+≥≥--=y x y x y x z S 的边界,所以由斯托克斯公式()()()()()()⎰⎰⎰-+-+-=+++++SLdxdy y x dzdx x z dydz z y dz y x dy z x dx z y2222222.因()()()()012111021010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dz z y dy dydz z y yS,同理()()0⎰⎰⎰⎰=-=-SSdxdy y x dzdx x z ,所以原式0=.(2)⎰++Lzdz dy dx y x 32,其中L 为y x z y ==+,122所交的椭圆正向;解设S 为由122=+z y 与y x =所交椭圆面,L 为其边界.S 在xOy 平面上的投影区域11,0,:≤≤-==x z x y D xy ,则原式()033300222222=-=-=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD SSdxdy y x dxdy y x dxdy y xdzdx dydz .(3)()()()⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z ,其中L 为以()()()a C a B a A ,0,0,0,,0,0,0,为顶点的三角形沿ABCA 的方向;解()()()2222321212122111111a a a a dxdydzdx dydz dxdy dzdx dydz SS=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+++++=⎰⎰⎰⎰原式4. 求下列全微分的原函数:(1) xydz xzdy yzdx ++; (2) ()()()dz xy z dy xz y dx yz x 222222-+-+-.解 (1) 因为()()C xyz z y x u xydz zxdy yzdx xyz d +=⇒++=,,. (2) 因为()()()()dz xy z xz y dx yz x xyz z y x d 222231222333-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++, 所以原函数()()C xyz z y x z y x u +-++=231,,333. 5. 验证下列曲线积分与路线无关,并计算其值: (1) ()()⎰--+4,3,21,1,132dz z dy y xdx ;(2)()()⎰++++222111,,,,222z y x z y x z y x zdzydy xdx ,其中()()222111,,,,,z y x z y x 在球面2222a z y x =++上.解 (1) 在3R 内有dz z dy y xdx z y x d 32432413121-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+.所以所给曲线积分与路线无关,且可得原积分1275341331221-=++=⎰⎰⎰-dz z dy y xdx . (2) 在(){}0,0,0\3R =Ω内有()222222zy x zdz ydy xdx z y xd ++++=++,所以所给曲线积分与路线无关,且可得212121212121222222122221212222222122221212=++++++++=++++++++=⎰⎰⎰z z y y x x z z y y x x z y x z y x z y x z y x zdzz y x ydydx z y x x 原积分.6. 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积V ∆为()⎰⎰++=∆SdS z y x V γβαcos cos cos 31,其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面S 的外法线方向余弦.证()()V dxdydzzdxdy ydzdx xdydz dS z y x VSS∆=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3111cos cos cos γβα.7. 证明:若S 为封闭曲面,l 为任何固定方向,则()0,cos =⎰⎰SdS l n ,其中n为曲面S 的外法线方向.证设n 和l的方向余弦是γβαγβα'''cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,则()γγββαα'+'+'=cos cos cos cos cos cos ,cos l n.所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'+'='+'+'=外S SS dxdydzdx dydz dSdS l n γβαγγββααcos cos cos cos cos cos cos cos cos ,cos又因l的方向固定()()()γβα'='='=cos ,,,cos ,,,cos ,,z y x R z y x Q z y x P 都是常数,故0=++z y x R Q P ,由高斯公式原式()0=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰Vz y xSdxdydz R Q PRdxdy Qdzdx Pdydz .8. 证明公式()dS n r r dxdydz SV ⎰⎰⎰⎰⎰= ,cos 21,其中S 是包围V 的曲面,n是S 的外法线方向. 证 ()()()()()()()z n z r y n y r x n x r n r ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos++=,而()()()rzz r r y y r r x x r ===,cos ,,cos ,,cos ,所以()()()()[].12,cos ,cos ,cos 1,cos ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++=++=VV S SS dxdydz r dxdydz r z z r y y r x x dxdy r zdzdx r y dydz r x dS z n z y n y x n x r dS n r 外9. 若L 是平面0cos cos cos =-++p z y x γβα上的闭曲线,它所包围区域的面积为S ,求⎰Lzyxdzdy dxγβαcos cos cos ,其中L 依正向进行. 解(方法1) 因为()()()βααγγβcos cos ,,,cos 2cos ,,,cos cos 2,,x y z y x R x z y x Q y z y x P -=-=-=,由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分的关系,得().2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz x y x y z yx dxdy dzdxdydz z yx dzdy dx SSSL =++=++=---∂∂∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα方法2().2cos cos cos 2cos cos cos 2)cos cos ()cos cos ()cos cos (cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz dzx y dy z x dx y z zy x dz dydx S S L L =++=++=-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα。

曲面积分总结

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)，以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在，且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

(完整版)(整理)第一类曲面积分

第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分．一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量．求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1．设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22．这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解：曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS．所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节对坐标的曲面积分一对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积）于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号．简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算．例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。

第一型曲面积分

解1: : z
x2

y2， D :
x2

y2

2x
z 0

dS= 1 zx2 zy2dxdy 2dxdy,
原式 ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy o
D1
Dxy
x

2

2
d
2cos ( 2 sin cos 2 sin 2 cos )d
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
1
0
4
A. dx
x 2
0
5!! 15 5 31
例3. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,

Dxy
简述为：一代、二换、三投影
代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1
计算

S
1 z
dS
,
其中 S
z h

数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。

第一类曲面积分

对面积的曲面积分）1. 定义i S ∆(上为设点i i i i S ∆ζηξ),,(,),,(i i i i S f ∆ζηξ,),,(1ii i ni i S f ∆ζηξ∑=,0时→λi S ∆函数f (x , y , z )在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④二、对面积的曲面积分的定义第i 小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n 小块x yOz∙∙),(:y x z z =∑),,(i i i ζηξ),,(iiηξi S ∆xyD xy i )(σ∆2在),,(z y x f 或.d ),,(⎰⎰∑S z y x f 记为即如曲面是⎰⎰∑曲面元素被积函数则积分号写成iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ⎰⎰∑S z y x f d ),,(积分曲面i i i ni i S f ∆ζηξ⋅∑=),,(1称极限为函数上在曲面∑对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,Sz y x M d ),,(⎰⎰∑=ρ据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为34o xyz定理: 设有光滑曲面f (x, y, z ) 在∑上连续,存在, 且有⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=yx D y x f ),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知∑=nk 1lim→λyx D ),,(k k k ζηξy x k )(σ∆∑=x f ((f fxyzOyz -=5}|),{(=x y x D xy 2522=+y x 所截得的部分:++S z y x d )y -5x d ++)y x +yx x d d )5(π2125=y x d d 5二重积分的对称性设分片光滑的⎰⎰∑Sz y x f d ),,(x 的奇函数x 的偶函数.d ),,(21⎰⎰∑S z y x f .0),(:1≥=z y x x ∑其中⎩⎨⎧=,0则曲面Σ关于yOz 面对称,为当),,(z y x f 为当),,(z y x f 10解依对称性知=⎰⎰∑成立⎰⎰1∑422yx z +=||xyz .为偶函数、关于x y ⎰⎰∑,d ||S xyz 计算).10(22≤≤+=z y x z 为抛物面其中∑例面均对称；面、关于yOz xOz 抛物面有被积函数1∑为第一卦限部分曲面.xyzO11xyz d 214drr +42015125-uxyzO12zxyOzxyOzxyO⎰⎰1∑⎰⎰2∑0==对称性zxyOzxyOzx y y S zxd d 1d 22++=z x xd d 112-=面上注2+=x z xzO11-15zxyOΣ222zxyOΣ2222:ha y x -≤+于是222yx a z --=172222:az y x =++∑解积分曲面方程轮序对称S z y x d )222++S z y x x d )222⎰⎰++∑提示即三个变量轮换位置方程不变⎰⎰=∑x 22243aa π=轮换对称性,中的变量x 、y 、z 3S d 2azxyOΣy x y x y x d d )22222---222:ay x D xy ≤+20极坐标4aπy x d d y d 222:ay x D xy ≤+21被平面截出的顶部解:2222:h a y x D y x -≤+⎰=a --y x y x a 22d d是球面出的上下两部分,则坐标面所围成的四面体的表面ox11⎛原式=25xo,z y 2y x --22为上半球面夹于锥面间的部分xoy 面上的1∑yx Dx o1∑y x D计算结果如何?++S z y d )22⎰⎰∑++=z y x d )(34显然球心为,)1,1,1(半径为).z y ++解:,2:22≤+y x D y x S M d μ∑⎰⎰=r r 4122+4122r +y x )(4122++π13=y x D 2∑xzy2., 计算解:在四面体的四个面上yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:1zyx11O=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域12122ln)13(233-+=-321例3∑解(方法1)y R -2221∑+∑=∑y R -22oxyHzR ∑1∑2yz ORHD yzD z y y R x ∈-=∑),(,:221yzORHD注∑参数方程为：]),(),([]),(),([]),(),([222v u z y v u x z v u z y ∂∂+∂∂+∂∂(方法2)z z y z x z z z y ]),(),([]),(),([]),(),([222θθθ∂∂+∂∂+∂∂例,22y x z +=∑是锥面其中,d )1(⎰⎰∑+=S xyz I .)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOy a ax y x >=+解321∑+∑+∑=∑关于zOx 面对称关于y奇函数∑3∑2∑1xyz O∑的面积.0=xyD y x y x z ∈+=∑),(,:)1(221∑3∑2∑1xyzO2a22axyOD xy2π2a=∑3∑2∑1xyzO2a，222)2(∑''+∑'=∑x ax -22，x ax-22，(方法1)+y x22消去y ⎨22∑2xO2a z x x ax y ∈-=∑'),(2:22，2axzOD xzax z 2=⎰⎰∑2d S 28a=(方法2)∑3∑2∑1xyzO2a⎰⎰∑2d S ⎰+y x 22Lπθθ20cos ≤≤⎧=-a a x θcos 12a +θ228a=2π2a =.π822a a ++三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:⎰bax x f d )(二重积分:⎰⎰Dy x f σd ),(三重积分:vz y x f d ),,(⎰⎰⎰Ω第一类曲线积分:⎰Lsy x f d ),(⎰⎰∑S z y x f d ),,(直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义→→→→→被积函数为常数1时的几何含义→→→→→zOx y。

数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)，以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在，且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

第一型曲面积分

类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得

D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意

是球面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS

(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函则 f ( x , y , z )dS 0 数若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS

第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分1．1．计算下列第一型曲面...

第二十二章曲面积分§1第一型曲面积分1． 1．计算下列第一型曲面积分（1）⎰⎰++s,dS )z y x (其中S 是上半球面x ；0z ,a z y 2222≥=++解 z=222y x a --x z '=222y x a x---,y z '=222y x a y---所以dS=,dxdy y x a a222--,adxdy azdS 3Sa y x 222π==⎰⎰⎰⎰≤+⎰⎰=++S3adS )z y x (π(2),dS )y x (S22⎰⎰+其中S 为立体1z y x 22≤≤+的边界曲面；解dS)y x (f dS )y x (dS )y x (22S 2S 222S2(1+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dxdy)y (xdxdy )y (x1y x 222y x 22z22⎰⎰⎰⎰≤+++++==drr dy dr r dy 22010310320⎰⎰⎰⎰+ππ=1)2(2+π(3)⎰⎰+S 22y x dS ,其中S 为主面x 2+y 2=R 2被平面z=0,z=H 所截取得部分解 R H2RH 2R 1dS R 1dS y x 1(S22S 22ππ===+⎰⎰⎰⎰ （4）,xyzdS S⎰⎰其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分解1203dS )x 1(x 63dy 1y )y x 1(y xdx xyzdS 1031x-10S=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰2 求均匀曲面x 2+y 2+z 2=a 2,x ,0≥y 0≥,z 0≥的重心解设重心坐标为（)z ,y ,x ,由对称性：,z y x ==,SzdSdSzdS z SS S⎰⎰⎰⎰⎰⎰==其中S 为所求曲面的面积，S=2a 21π.而dS=dxdy y x a a dxdy z z 12222y 2x --='+'+，则⎰⎰s zd s=dxdy z z 1y 2x 2'+'+=dxdyy x a a 222--.则3S D a 41adxdy zdS π==⎰⎰⎰⎰（D 为S 在xoy 面投影z =2a ,所以，重心坐标为,2a ()2a ,2a3 求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2_+z 2=a 2(z 0≥)对x 轴的转动惯量解因z=222y x a --,dS=dxdy 2aJ 2=dxdy 2y x adS )y x(222a y x 22S22⎰⎰⎰⎰=++=+ρρ=a ρdrra r d a33320⎰⎰-πθ=2πdtt sin a 2034⎰πρ=ρπ4a 34§2 第二型曲面积分 1 计算下列第二型曲面积分（1）dxdy)x y (dzdx xdydx )z x (y 22S2+++-⎰⎰，其中S 为由x=y=z=0.x=y=z=a 六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向解⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=-aaaSayzdzdy dz )z a (y dy dydz )z x (y=2a dy 2y a dy )2y a y a 4a 022a02=+-⎰⎰（ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==a2a2aaS20dx x dz -dx x dz dzdx x2a dy y dx -ax)dy y (dx dxdy )xz y 4a0a02a0a022S=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（故 =+=+++-⎰⎰2a 2a dxdy )xz y (dzdx x dydx )z x (y 442S 2a 4(2)⎰⎰+++++s,dxdy )x z (dzdy )z y (dydz )y x （其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正方向；解⎰⎰+syx (）dydz=⎰⎰⎰⎰---+-+11111111-dz)y 1(dy -y)dx (1dy=2⎰⎰-=+-+1111-8y)dy (-12dy )y 1(则⎰⎰=⨯=+++++S2483dxdy )x z (dzdx )z y (dydz )y x ((3)⎰⎰++S,xzdxdy yzdzdx xydydz 其中S 是由平面x=y=x=0,x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向解dy)xy x x (dx dxdy )y x 1(x xzdxdy 2x-10SDxy1--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=dx ]x)-x(121)x 1(x [2102--⎰=241故812413xzdxdy yzdzdx xydydz S=⨯=++⎰⎰(4)⎰⎰S,yzdzdx 其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向J 解令x=cos θsin ϕ,y=sin θsin ϕ,z=cos ϕ,其中02πϕ≤≤，0πθ2≤≤故⎰⎰Syzdzdx=πθϕϕθϕππ41d cos sin sin d 220220=⎰⎰(5)dxdy,z dzdx y dydx x22S2++⎰⎰其中S 是球面（x-a 2222R )x z ()b y (=-+-+并取外侧为正向解 z-c=222)()(b y a x R ----±曲面S 在xoy 面的投影区域Dxy:(x-a)2+(y-b)22R ≤2[]SDxyz dxdy c dxdy=+⎰⎰⎰⎰_dxdyb y a x Rc Dxy])()([222⎰⎰-----=4c 230083Rd R c πϕπ=⎰⎰故 22238()3s x dydx y dydx z dxdy R a b c π++=++⎰⎰2设某流体的流速为v=(k,y ,0)，求单位时间内从球面2224x y z ++=的内部流过球面的流量解设流量为E ，则E=3432(0233sS kdydz ydzdx k dydz ydzdx ππ+=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球前球后）§3 高斯公式和斯托克斯公式 1. 1. 应用高斯公式计算下列曲面积分: (1)⎰⎰++Sxydxdyzxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解：⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =dxdydzV⎰⎰⎰0=0(2)dxdydzdx dydz z yx S222++⎰⎰,其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；解：原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（ =2⎰⎰⎰++a aa dzz y x dy dx 00)(=2dya y x dx aaa ⎰⎰++02]2)[(=2()d x x aa a⎰+032=3a 4(3)dxdy dzdx dydz z y xS222++⎰⎰,其中S是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域(0h z ≤≤)的表面,方向取外侧；解：原式 =2⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x ）（由柱面坐标变换x=rcos θ,y=rsin θ,z=x,其中0πθ2≤≤,0h r ≤≤,r h z ≤≤, 原式=2()rdz z r r dr d hhr ⎰⎰⎰++020sin cos θθθπ=h 42π(4)⎰⎰Sx3dydz+y3dzdx+z 3dxdy,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；解：原式 =+⎰⎰⎰X 2（+Y 2Z 2)dxdydz =3 ϕθϕππsin 02014⎰⎰⎰r d d dr=512π(5)⎰⎰++Szdxdyydzdx xdydz ,其中S 是上半球面z=yx a222--的外侧.解：补z=0的圆S 1：x 2+y2≤a 2则原式=⎰⎰+s S 1-⎰⎰s 1=3⎰⎰⎰Vdv -0=2πa32．应用高斯公式计算三重积分⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ）（，其中V 是由ｘ，0≥ｙ0≥，≤0ｚ1≤与x 2+y2≤1所确定的空间区域．解：原式=21dxdyzdzdx ydydz z y x22S2++⎰⎰=21[⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++D dxdyzdzdx D )-(1ydydz D )1(Xy Z X yz x y 22]=21[ydz )1(dy 10210y ⎰⎰-+zdz _)-(1dx 10210x ⎰⎰+⎰⎰-1010x dy xdx 2]=21[ydy )1(102y ⎰-+21dx x ⎰-1021）（+dx x x ⎰-1021] =2411。

曲面积分的第一型和第二型

曲面积分的第一型和第二型曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和工程学中。

曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。

本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。

一、第一型曲面积分第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。

换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。

其计算公式为：∬S f(x,y,z) dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。

在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。

通常，参数方程可以表示为：x = g(u,v)y = h(u,v)z = k(u,v)其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。

对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为一个二重积分：∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。

值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用微积分技巧对其进行简化。

此外，在计算第一型曲面积分时，我们还需要考虑曲面的方向。

有时候，我们需要在某个指定方向上计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。

如果曲面法向量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。

二、第二型曲面积分第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。

也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。

其计算公式为：∬S F · dS其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。

与第一型曲面积分相比，第二型曲面积分更加复杂一些。

在计算第二型曲面积分时，我们需要对被积函数进行向量积分。

我们需要将向量函数投影到曲面切平面上，然后再计算切平面上的积分。

这样才能得到正确的曲面积分结果。

与第一型曲面积分类似，对于第二型曲面积分我们也需要考虑曲面的法向量。

如果曲面法向量朝上，则为正方向；反之，则为负方向。