第一讲矩阵的概念、运算

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高等数学教材矩阵

高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。

矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。

本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。

我们用大写字母A、B等来表示矩阵。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。

3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。

三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。

2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。

3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。

4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。

五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。

2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。

3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。

总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]

所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2，，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2

第1讲用矩阵消元法求解线性方程组

a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间数域上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。

线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。

因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。

二阶矩阵、二阶矩阵

；第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 — ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3初赛复赛 < 甲80 90 乙 86 88③ (概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）$⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。

练习1：1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m nx y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：2 3 # m 3 －2 4 y x 2 3OP (2, — 2— 3@⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2.}二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 &问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。

线性代数总结笔记

对于非齐次线性方程组
a11x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
*1
Di D
（1）若 D aij 0 则 *1 有唯一解， xi

， Di 为 D 的第 i 列换为常数列；
6th
（2）若 *1 无解或有无穷多解，则 D 0 ；注： D 0 仅是 *1 有无穷多解或无解的必要条件而非充分条件；对于齐次方程组
a11 a12 a1n
例 1 计算上三角行列式 Dn
0
a22 a2 n ann
Dn 1
j 1
n
j1 j2 jn
a11a22 ann
注：同样地
n a11 0 aii * ann i1
类似地
* an1
1
a1n 0

0 an1
【分析】数学归纳法递推公式解： D2 a2 a1 ，
1 D3 a1 a
2 1
1 a2 a2
2
1 1 a3 a1 a3
2
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2
1 a3
1 0
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2 a1
1 a3 a1
注：1）在降阶时运用展开定理，降阶之前应先用性质将某一行（列）只剩一个非零元素； 2） a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13 则 a a a a A a A a A 0 21 22 23 21 21 22 22 23 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

第三章矩阵第一讲

则X=X1 X 2，其中X1 V1，X 2 V2，
3、设A、B、C、是三个n阶方阵r(A)=r(BA), 证明：AX=0的解显然是BAX=0的解.
则(AC)= r(BAC).
又r(A)=r(BA), AX=0与BAX=0的解空间的维数相同，故 AX=0与ABX=0同解.
又 ACX=0的解是BACX=0的解，反之若X是BACX=0 的解，令 CX=X1，则BAX1=0，即X1也是AX=0的解，即AX1=0，于是 ACX=0，即BACX=0与ACX=0同解，于是 r(AC)=r(BAC).
6. 若AX=0与BX=0同解，则r A =r B . 7. r A =r AA =r AA .
二、例题
1. 设A= a ij
sn
, B bij
n m
, 证明：r AB r A +r B n 0 ， 0
书上的题看P49 起 3.5, 3.9, 3.10, 3.15
第一讲矩阵的秩之间的关系
一、矩阵的秩之间的关系
I 0 1.r A r 存在可逆矩阵P、Q使PAQ= r （初等变换不改变矩阵的秩） . 0 0 若C=AB，其中A=Asn，B=Bnm，则r A +r B n r (c) min{r A ,r B }；若A -1存在，则r AB =r B ；若A B 0，则r A +r B n. 2. r A +r B r A+B .
6.设A、B、C是三个可乘的矩阵，证明： r ABC r AB r BC r B 证：设A=Asn，B=A nk，C=Ckm， I 令r B r1，则存在可逆矩阵P、Q使B=P r 0 0 Q. 0

线性代数第二章第1讲

称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11 a12 a1n
A

a21
a22
a2n
副对角线 am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij

mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
例2 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之间的关系式
4 是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an , 称为行矩阵(或行向量).
a1
因为n为奇数，得即奇数阶反对称矩阵行列式为零。
注：当A,B均为对称矩阵时，A＋B，kA仍为对称矩阵。均为反对称矩阵时，有类似的结论。
5、方阵的行列式定义6 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA 。
设A,B为n阶方阵,为实数,则有下列等式成立
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
B
城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A

第一章矩阵的运算与初等变换(第一讲)

教学要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算，会用矩阵解决各种实际问题. 教学重点：正确理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算. 教学难点：矩阵的乘法运算与矩阵的初等变换.分块矩阵，特别是分块矩阵的乘法运算.
教学时间：6学时.
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§1
1.1
矩阵与向量的概念
矩阵的概念
1. 矩阵的引出考察线性方程组
x1 x 2 2 x 3 1 2 x1 3 x 2 x 3 2 x 2x 3x 4 2 3 1
隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，
1 2 1 1 3 2 2 1 3 1 2 4
线性代数
绪论
课程的性质
线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。
内容与任务
线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括矩阵及矩阵的初等变换、方阵的行列式、可逆矩阵的逆矩阵、线性方程组与向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。
3. 基本向量
1 0 0 0 1 0 , e , , e , 基本列向量: e1 2 n 0 0 1 基本行向量：f1=(1,0,…,0)，f2=(0,1, …,0)， …，
1 0 1
1 1 2
2 3 1 1 1 2
2 1 3
5 2 , 1
6 3 , 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E

1.二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵1.矩阵的概念① =OP → →[23][23]初赛复赛甲8090乙8688③概念一：象的矩形数字（或字母）阵列称为矩[23]80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：（仅有一列）[a11a21]⑤向量＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵或a →[,]x y 列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。

x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习1：1.已知,，若A=B ，试求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B z y x ,,2.设，，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵。

a,b,c,d a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。

0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦②二阶单位矩阵：，记为E 2.1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23m 3－24—2—3—[80 9086 88]23324x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即＝＝ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α→a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021（2）＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3110212.=，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P在此旋转变换作用下的象。

矩阵运算性质及其应用

第一讲矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。

矩阵原理

矩阵原理
矩阵是数学中的一个重要概念，它是一个由数值按照规则排列成的矩形阵列。

一个矩阵可以由行和列组成，每个元素具有固定的位置，通常用小写字母表示。

在矩阵中，第i行和第j列
的交叉点处的元素可以表示为a(i,j)或者A(ij)。

矩阵可以进行多种操作，如加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

矩阵加法和减法的运算规则是将对应位置上的元素相加或相减。

数乘是指将矩阵中的每个元素乘以一个常数。

矩阵乘法是将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其规则是前一个矩阵的行乘以后一个矩阵的列，并将结果相加。

矩阵还可以进行转置、求逆和求行列式等操作。

矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

求矩阵的逆是指找到一个矩阵，使其与原矩阵相乘得到单位矩阵。

矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵的性质，如是否可逆等。

矩阵在各个领域中都有广泛应用，例如线性代数、统计学、物理学和计算机科学等。

在线性代数中，矩阵是用于描述线性方程组的工具，通过矩阵的运算可以求解线性方程组的解。

在计算机图形学中，矩阵用于表示旋转、缩放和平移等变换操作。

总之，矩阵是一种重要的数学工具，它具有丰富的运算法则和广泛的应用领域，对于理解和解决各种数学和工程问题起着重要的作用。

第一讲行列与矩阵

第一讲行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=，则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开（1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

深入了解矩阵的性质及计算方法

性质：矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求出非零行的行数即为矩阵的秩应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量空间维数等方面有重要应用
04 矩阵的应用
在线性方程组中的应用
在线性方程组中的应用：矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵运算可以求解线性方程组
根据矩阵的特殊性质选择计算方法，如对角矩阵可以使用特征值分解
结合实际应用场景选择计算方法，如机器学习算法中常用奇异值分解
利用矩阵的性质简化计算
利用矩阵的行简化计算利用矩阵的列简化计算利用矩阵的转置简化计算利用矩阵的逆简化计算
利用计算机软件进行矩阵运算
Python：通过NumPy库进行矩阵运算，功能丰富
Octave：与MATL AB类似，可以进行矩阵运算的开源软件
MATL AB：一款强大的数学计算软件，支持矩阵运算
R：统计计算软件，也支持矩阵运算
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性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质，如相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值，矩阵可对角化的充分必要条件是其所有特征值都是实数等。
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应用：特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，如数值分析、控制理论、信号处理等。
矩阵的秩
定义：矩阵的秩是其行向量组或列向量组的最大线性无关组的个数
矩阵的性质及计算方法
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录 /目录
01
矩阵的基本性质
02
特殊类型的矩阵
03
矩阵的计算方法
04
矩阵的应用
05
矩阵的运算技巧

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

线性代数考研第二讲

A1 O O A1k A2
k
k A2
方阵的行列式
A1 O O A2 A1 A1
方阵的逆矩阵
A1 O O A11 A2
1
1 A2
第二讲矩阵
分块矩阵
A O 例10 设 H C B
第二讲矩阵
矩阵的基本运算
5. 矩阵的转置 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 的转置 1. 定义: A = … … … … am1 am2 … amn a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn

AT =
…
…
…
第二讲矩阵
矩阵的基本运算
第二讲矩阵
矩阵的基本运算
1 0 1 例1 设 A 0 2 0 1 0 1
T
，求 An 2 An1 (n 2).
1 1 T T 例2 设 (1, 2, 3) , (1, , ) , A ，求A6. 2 3
1 1 1 例3 设 A 1 1 1 ，求A10. 1 1 1
… A1r +B1r … A2r +B2r . … … … Asr +Bsr
第二讲矩阵
分块矩阵
分块数乘
A11 A21 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , 为常数. As2 … Asr
则A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
第二讲矩阵
矩阵的基本运算
3. 矩阵的乘积定义A = (aij)ms与B =(bij)sn的乘积是一个 mn矩阵C = (cij)mn , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.

矩阵的性质与运算

矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等多个学科中发挥着重要的作用。

矩阵的性质和运算是我们研究和应用矩阵的基础，本文将详细介绍矩阵的性质和运算，使读者对矩阵有更加深入的理解。

一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

一个矩阵有m行和n列，我们通常以大写字母表示矩阵，如A、B等。

1.2 矩阵的维度如果一个矩阵有m行和n列，我们称其为m×n维矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

特殊地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们称其为方阵。

1.3 矩阵的元素矩阵中的每个数称为一个元素，我们通常用小写字母表示矩阵中的元素。

例如，矩阵A的第i行、第j列的元素用aij表示。

1.4 矩阵的转置对于一个m×n维矩阵A，将其行与列互换得到的n×m维矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。

即A的第i行第j列的元素aij在AT中就是第j行第i列的元素。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B。

矩阵A +B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的和。

即(A + B)ij = Aij + Bij。

2.2 矩阵的减法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的差记作A - B。

矩阵A - B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的差。

即(A - B)ij = Aij - Bij。

2.3 矩阵的数乘对于一个维度为m×n的矩阵A和一个实数或复数c，我们可以将A的每个元素都乘以c得到一个新的矩阵cA。

即(cA)ij = c·Aij。

2.4 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

要使得两个矩阵A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。

如果A是一个m×n维矩阵，B是一个n×p维矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p维矩阵。

等式两边取行列式可得因此同时充分...

第一讲矩阵及其运算矩阵第一讲矩阵及其运算教学目的:1.熟练掌握矩阵的概念,了解常用的特殊矩阵以及性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。

教学重点与难点:1.矩阵的乘积2.矩阵可交换,及相关结论。

教学计划时数:2学时教学过程:矩阵的概念定义1:由个数排成行(横向)、列(纵向)的数表:称为矩阵,记作简记为 ,或,这个数称为矩阵A的元素,简记为元.其中为A 的第i行第j列的元素.如是3行4列的矩阵(外加方括号或圆括号),就称它为34的矩阵,这里,34是一个记号,表明矩阵有3行4列.注意:1. 行列式是算式,其行列数必须相同;矩阵是数表,其行列数可不同2. 元素为实数的矩阵称为实矩阵,元素为复数的矩阵称为复矩阵,本书中所讲的矩阵除特别说明外,均指实矩阵.矩阵的一些相关概念定义2:两个矩阵的行数相等、列数也相等时,称它们为同型矩阵.如,是同型矩阵.2.矩阵的相等定义3:设矩阵,为同型矩阵,若则称矩阵与相等,记为.如,当时,.二、一些常用特殊矩阵(1)行矩阵:只有一行的矩阵称为行矩阵,又称行向量.为避免元素间的混淆,行矩阵也可记作 (2)列矩阵:只有一列的矩阵称为列矩阵,又称列向量.(3)零矩阵:所有元素都等于0的矩阵,称为零矩阵,记作.注意:不同型的零矩阵是不同的.如,为矩阵,是行矩阵;为矩阵,是列矩阵;为零矩阵,为零矩阵,但 (4)阶方阵:当时,称为矩阵或阶方阵,有时用表示.1阶矩阵被约定当作“数”(即“元素”本身)对待.(5)上(下)三角阵:设阶方阵,若时,,则称为上三角阵;若时,,则称为下三角阵.如,是一上三角形阵,是一下三角形阵.(6)对角矩阵既是上三角阵、又是下三角阵的矩阵称为对角矩阵,简称对角阵.对角矩阵可简记为.(7)数量矩阵又称标量阵对角阵中,若,则称之为数量矩阵.简记为.(8)单位矩阵数量矩阵中的矩阵称为单位矩阵,简称单位阵,记作或,即.如,为3阶对角阵,为3阶数量矩阵,为3阶单位阵.(9)对称矩阵:满足条件的方阵称为对称矩阵,简称对称阵.其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.(10)反对称矩阵:满足条件的方阵称为反对称矩阵,简称反对称阵.其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相反.如,为对称阵,为反对称阵.三、矩阵的运算1.矩阵的加法定义4:设两个矩阵,,定义与的和为,即注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.如, 对,记,称为的负矩阵.有以下结论1.2规定矩阵的减法为矩阵加法运算律 (设都是矩阵).(1);(2);(3);(4).2.矩阵的数乘定义5:设矩阵,为数,数与矩阵的乘积定义为,或记为.即矩阵数乘的运算律 (设都是矩阵,为数)(1);(2);(3);(4).矩阵的加法与矩阵的数乘合起来,统称为矩阵的线性运算.3.矩阵与矩阵相乘定义6:设,定义矩阵,其中为矩阵左乘矩阵之积,记作乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.例1 设,,求.解注意:1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘 2. 乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.矩阵乘法的运算律(假设运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).例2 设.求与.解 ;.由此例题可归纳:一般地,对于单位矩阵,有或简写为可见单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.关于矩阵的乘法,我们还要注意以下三点:(1)矩阵乘法不满足交换律,即在一般情形下,.如,设,则 (2)非零矩阵相乘,可能是零矩阵,即由,不能推出或.如,设,则,但且(3)两个矩阵乘法不满足消去律,即由,不能推出.如,设,,,有则,但.定义7:如果两个矩阵相乘,有,则称矩阵与矩阵可交换,简称与可换.由,可知数量矩阵与矩阵的乘积等于数与的乘积.并且当为阶方阵时,有这表明数量矩阵与任意同阶方阵都是可以交换的.4.方阵的幂定义8:设是阶方阵,定义其中为正整数,这就是说就是个连乘,称为的次幂.注:只有方阵,它的幂才有意义.方阵幂的运算律1);2)(为正整数)一般地,对于两个阶方阵与,为正整数,只有当它们可交换时,才有其中为正整数.类似可知,例如,等公式,也只有当时才成立.例3 设,求解 ,.5.方阵的多项式设为的次多项式,为阶方阵,记,称为矩阵的次多项式.因为矩阵和都是可交换的,所以矩阵的两个多项式和总是可交换的,即总有,从而的几个多项式可以像数的多项式一样相乘或分解因式.例如6.矩阵的转置定义9:把矩阵行列互换所得到的一个新矩阵,称为矩阵的转置矩阵,记为.注:若为对称矩阵,则;若为反对称矩阵,则.矩阵转置的运算律(假设运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).证明第4式.证设矩阵易知与都是矩阵.而位于的第行第列的元素就是位于的第行第列的元素,因此等于位于的第行第列的元素就是位于的第行元素与的第列的对应元素之积的和显然,上述两个式子相等,所以例4 已知求.解法1 因为所以解法2 .7.方阵的行列式定义10:由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或.如,,则.矩阵行列式的运算律(设是阶方阵,是数)(1);(2);(3);(4).例5 已知,验证:.证因为,,所以又故 8.共轭矩阵定义11:设为复(数)矩阵,用表示的共轭复数,记称为的共轭矩阵.共轭矩阵的运算律(设是复矩阵,是数,且运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).第二讲逆矩阵教学目的:1.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件。