微积分第六章-定积分的应用

第六章 定积分的应用

本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。

一、教学目标与基本要求：

使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）

二、本章教学内容的重点难点：

找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法

§6.1定积分的微小元素法

一、内容要点

1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义

面积A ⎰∑=∆==→b

a

n

i i i dx x f x f )()(lim 1

ξλ

面积元素dA =dx x f )(

2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形；

（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者

扇形；

（3）计算出面积元素；

（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点

掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一

个实际问题的步骤。

§6.2 定积分在几何中的应用

一、内容要点

1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一

面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积

A =

x x x b

a

d )]()([12ϕϕ-⎰

第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=.

第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出，

b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x b a

d )]()([12ϕϕ-⎰

方法二

面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积

A =

y y y d

c

d )]()([12ϕϕ-⎰

第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.

第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)

(2y ϕ=解出，

d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y d

c d )]()([12ϕϕ-⎰

例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积

解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1

22

2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是

面积⎰--=+-=--+=3

1

313223

210)331

()]2()12[(x x x dx x x

例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积

解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时

)

45.02+

面积=⎰--+4

2

2]5.04[dy y y =18。

2、在曲边梯形)(x f y =、0=y 、a x =、b x =（b a x f <≥,0)(）中，

如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩

⎨⎧==)()

(t y t x φϕ，

则其面积dx y A b

a ⎰= =dt t t )(')(ϕφβ

α

⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a

例3 求x 轴与摆线⎩

⎨

⎧-=-=)cos 1()

sin (t a y t t a x ,π20≤≤t 围成的面积

解 面积⎰⋅-=π20

2)cos 1(dt t a ⎰++

-=π20

2)2

2cos 1cos 21(dt t

t a π

202)2

2cos 1sin 223(t t t a ++

-=23a π= 例4 星形线⎪⎩⎪⎨⎧==t

a y t

a x 3

3sin cos (0>a )围成的面积.

解 面积⎰⎰-==a dt t t t a ydx 0

2

232)sin )(cos 3(sin 44π

=⎰=

-20

3

6428

3)sin (sin 12π

πa dt t t a

3、极坐标系下计算平面图形的面积。

极坐标曲线)(θρρ=围成的面积的计算方法： 解不等式0)(≥θρ，得到βθα≤≤。面积=θθρβ

α

d 2)]([21⎰ 4、平行截面面积为已知的空间物体的体积

过x 轴一点x 作垂直于x 轴的平面，该平面截空间物体的 截面面积为)(x A ，b x a ≤≤,则该物体的体积dx x A V b

a )(⎰=

例1 一空间物体的底面是长半轴10=a ，短半轴5=b 的椭 圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。 解 截面面积)1001(2533221)(2

x y y x A -⋅=⋅=

⎰-==10

10325)(dx x A V ⎰-=-10

10233

100

)1001(dx x

5、旋转体体积

在],[b a 上0)(≥x f ，

y

x