伴侣矩阵的多项式与多项式的整除性
矩阵多项式与多项式矩阵[新版]
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§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。
eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010110201A 试计算EA A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即AE f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。
显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。
②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。
由此可得，求最小多项式的一个方法：设nn CA ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为kss k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中si k n ii ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
高等代数课件-§13整除的概念
04 整除的应用
在多项式分解中的应用
01
整除是多项式分解的重要工具，通过整除可以找到 多项式的根，从而将其分解为因式。
02
利用整除性质，可以将多项式中的项进行分组，从 而简化多项式的结构。
03
在进行因式分解时，整除可以帮助确定公因式，使 分解过程更加简便。
在矩阵运算中的应用
01 在矩阵运算中，整除可以用来计算行列式值，从 而判断矩阵是否可逆。
应用场景
在高等代数中，最大公因式主要用于 解决多项式的整除问题，而最小多项 式则更多地应用于矩阵的特征值计算 和求解方程组等领域。
03 欧几里得算法
欧几里得算法的原理
欧几里得算法基于辗转相除法的 原理，通过不断将大数除以小数， 直到余数为0，最终得到两个数
的最大公约数。
该算法基于数学归纳法的原理， 通过递归的方式不断缩小问题规
最小多项式的定义与性质
最小多项式的定义
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是满足条件的最小次数的 多项式。
唯一性
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是唯一的。
整除性
最小多项
关系描述
最大公因式和最小多项式在数学上存 在一定的联系，但它们分别描述了不 同的概念。
，从而找到方程组的解向量。
03
整除还可以用来验证解的正确性，确保找到的解满足
原方程组。
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模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的原理还可以用数 学公式表示，即gcd(a, b) =
gcd(b, a mod b)，其中mod表 示取余操作。
欧几里得算法的实现步骤
1 2
初始化
选择两个需要求最大公约数的数a和b，其中a>b。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
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第八章 二次型 § 8.1 定 义 和 基 本 性 质 § 8.2 复 二 次 型 与 实 二 次 型 § 8.3 正 定 二 次 型
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第一章 一元多项式 § 1.1 定 义 和 基 本 性 质 § 1.2 多 项 式 的 整 除 性 § 1.3 最 大 公 因 式 § 1.4 因 式 分 解 § 1.5 重 因 式 § 1.6 多 项 式 函 数
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§ 1.7 复 系 数 多 项 式 和 实 系 数 多 项 式 § 1.8 有 理 系 数 多 项 式 § 1.9 部 分分 式
高 等 代 数 讲 义
(详 细 版)
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清华大学出版社
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预备知识 第一章 一元多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩 阵 第五章 线性空间 第六章 线性映射 第七章 欧氏空间 第八章 二次型
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预备知识 § 0.1 常 用 概 念 · 方法 和 符 号 § 0.2 整 数 的 整 除 性 § 0.3 数 环 和 数 域
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第五章 线性空间 § 5.1 定 义 和 基 本 性 质 § 5.2 线 性 相 关 性 § 5.3 向 量 组 的 秩 § 5.4 基 · 维 数 和 坐 标 § 5.5 子 空 间 § 5.6 子 空 间 的 交 与 和 § 5.7 线 性 空 间 的 同 构
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第六章 线性映射 § 6.1 定 义 和 基 本 性 质 § 6.2 线 性 映 射 的 运 算 § 6.3 线 性 映 射 的 矩 阵 表 示 § 6.4 不变 子 空 间 § 6.5 特 征值 和 特 征 向 量 § 6.6 可 对 角 化 的 线 性 变 换
不可约多项式之间的关系
不可约多项式之间的关系
两个不可约多项式之间的关系可以通过以下几个方面来描述：
1. 互素关系：如果两个不可约多项式没有公共的因式，即它们的最大公因式为常数，则称它们互素。
互素的多项式之间没有任何关系。
2. 除尽关系：如果一个不可约多项式能够整除另一个不可约多项式，即它们的商式是一个整数多项式，则称它们存在除尽关系。
除尽关系意味着一个多项式可以被另一个多项式整除。
例如，多项式x+1可以整除多项式x^2 +1。
3. 相伴关系：如果一个不可约多项式是另一个不可约多项式的常数倍，则称它们存在相伴关系。
相伴关系意味着两个多项式具有相似的性质，但并不相等。
总的来说，不可约多项式之间的关系是多种多样的，可以通过不同的因式关系来描述它们之间的联系。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
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若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。
它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。
本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。
首先，我们来定义多项式矩阵。
一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。
多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。
这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。
接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。
首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。
例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。
同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。
多项式矩阵的乘法也有所不同。
在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。
而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。
具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。
注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。
多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。
一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
这个性质类似于实数矩阵的可逆性。
当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。
多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。
在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。
多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
多项式的整除
证明：由f(x)=
1 c
(cf(x)),可得。
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F)
g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
若是 r(x)r(x)0 那么，
q(x)q(x)0
这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左 边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。 因此必有：
r(x)r(x)0
因而 q(x)q(x)0
即 r(x ) r(x )q ,(x ) q (x )
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。
若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).
若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是，
（(x) (x)）=0，从而（(x)）=0，
（ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
则有：f(x)=cg(x).
说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项 式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质 判定两首项系数为1的多项式是否相等。
二 带余除法定理
三 定理2.2.1.设f(x)和g(x)是F[x]的任意两 个多项式，并且g(x) 0,那么在F[x]中 可以找到多项式g(x)和r(x),使
四
f(x)=g(x)q(x)+r(x) ……（*）
两个多项式整除的特征
两个多项式整除的特征下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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多项式的整除性
4）若h( x)| fi ( x),ci ( x) F ( x), i 1,2,3, , n,
n
则h( x) | ci ( x) fi ( x)； (整除倍式和) i 1
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5） f (x) F[x],c F,c 0 c | f (x);cf (x) | f (x). 6）若 f ( x) | g( x), g( x) | f ( x),,则存在c F ,c 0,
使 f ( x) cg( x). 二.带余除法
1.实例（中学中的多项式除多项式）
重复对 f1( x)的同样讨论，由于
( f ( x)) ( f1( x)) ( f2( x)) ，
而( f (x))有限，因此在进行了有限步后，必有 fk ( x) 适合 fk ( x) 0或( fk ( x)) ( g( x))。于是可得到
一串等式：
f ( x) g( x) a0b01 xnm f1( x), f1( x) g( x) a10b01 xn1m f2( x),
a b x , 1 nk1m k1,0 0
r(x)
fk ( x)
适合式（1），并且r( x) 0，或
(r( x)) (g( x))
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3）现证唯一性
设还能找到F[ x]的多项式q1( x), r1( x)，使
f ( x) g( x)q1( x) r1( x)
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但 ( g( x)(q( x) q1( x)) ( g( x))， 而显然有 (r1( x) r( x)) ( g( x))，
多项式的整除性
1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x + (3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x (4)成立,由于()(),()()f x g x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f xg x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒ 12()()()h x r x r x -但1212[()()]m ax{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中 00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0n =时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n xx x xx x x x +++++++=+++++-221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()kkkf x xf x c xg x c =+=+,由|()|k kx f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ 于是由于111|nn n n x a x a xa x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a xa x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|dnx x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是 11111()()ndq rdqr r r r dqrx xxx x x x xx +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n .。
整系数多项式与本原多项式的关系
整系数多项式与本原多项式的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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mat矩阵除法
mat矩阵除法矩阵除法是矩阵运算中的一种重要操作，它在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。
本文将从矩阵除法的基本概念、性质和条件、计算方法、实际应用例子以及提高矩阵除法效率的技巧等方面进行详细介绍。
一、矩阵除法的基本概念矩阵除法是指在一个矩阵与另一个矩阵相除的过程中，将相除的矩阵的每一个元素分别除以除数矩阵的对应元素，然后将所得商矩阵的每个元素乘以除数矩阵的转置矩阵的对应元素，最后得到一个新的矩阵。
需要注意的是，矩阵除法仅在除数矩阵的行列式不为零时才有意义。
二、矩阵除法的性质和条件1.矩阵除法满足结合律。
2.设A、B为矩阵，C为标量，则有CAB = A(CB)。
3.设A、B为方阵，且A的行列式不为零，则存在唯一矩阵X使得AX = B。
三、矩阵除法的计算方法1.高斯消元法：通过初等行变换将矩阵转化为阶梯形矩阵或行最简矩阵，然后进行矩阵除法。
2.列主元高斯消元法：类似于高斯消元法，但先对列进行消元。
3.矩阵分解法：将矩阵分解为若干个矩阵的乘积，然后依次计算得到结果矩阵。
四、矩阵除法在实际应用中的例子1.线性方程组求解：设线性方程组为Ax = b，若A的行列式不为零，则可通过矩阵除法求解方程组。
2.矩阵的逆：若矩阵A满足AA^T = I（I为单位矩阵），则可以通过求解方程组AAx = I来得到矩阵A的逆矩阵。
五、提高矩阵除法效率的技巧1.选择合适的算法：根据矩阵的特点，选择最适合的计算方法。
2.利用矩阵分解：将矩阵分解为几个简单矩阵的乘积，可以降低矩阵除法的复杂度。
3.预处理矩阵：通过对矩阵进行预处理，如高斯消元、LU分解等，可以提高矩阵除法的计算速度。
总之，矩阵除法在理论和实际应用中具有重要意义。
了解矩阵除法的基本概念、性质、计算方法和实际应用例子，可以帮助我们更好地运用矩阵除法解决实际问题。
多项式的伴侣矩阵的应用
多项式的伴侣矩阵的应用曾庆怡【期刊名称】《《韶关学院学报》》【年(卷),期】2019(040)009【总页数】4页(P7-10)【关键词】多项式的根; 伴侣矩阵; 特征多项式【作者】曾庆怡【作者单位】韶关学院数学与统计学院广东韶关512005【正文语种】中文【中图分类】O153中学数学一元二次方程的根与系数的关系就是耳熟能详的Vieta(韦达)定理，这个定理常见的应用是在已知方程的解未知的条件下，求做与已知方程根有某种关系的另一个方程以及相应的计算问题.对于次数高于2次的根与系数的关系问题，在大学高等代数教材中有相应的结果.设f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0是数域F上的首项系数为1的n次多项式，而α1,α2,…,αn是f(x)的全部复根，则：对于多项式的根的相应的式子的计算问题［1-3］，当多项式f(x)的次数比较高的时候，计算量是比较大的，但是如果用高等代数的相应知识来解决就要快捷很多.笔者整理了部分高校的考研试题，利用多项式的伴侣矩阵的性质解决这类问题.1 问题介绍问题1：设ξ1,ξ2,…,ξn是有理系数多项式g(x)在复数域上的全部根，问对任意有理系数多项f(ξi)一定是有理数？证明你的结论(北京大学2012年高等代数考研试题).再看问题1的延伸，问题2：条件同问题1，对任意正整数问c是有理数吗?问题3：条件同问 a,b 和 a2都是有理数吗?问题4：设1,a1,a2,…,a2n是多项式x2n+1-1在复数域上C的全部根，证明北京师范大学1988年高等代数考研试题).问题5：设f是数域F上的多项式，x1,…,xn是f(x)的全部复根，求作以为根的多项式g(x).如果a0≠0，求作以根的多项式h(x).问题6：设x1,x2,x3是多项式f(x)=5x3-6x2+7x-8的三个根，求的值(昆明理工大学2007年考研真题).问题7：设f(x)是首项系数和常数项都是1的n次整系数多项式，f(x)的全部复根是α1,α2,…,αn，证明对任意整数k是整数.这7个问题看似是多项式的根的问题，但是每个首项系数为1的多项式一定是某个矩阵的特征多项式，这个矩阵就是多项式的伴侣矩阵.而多项式的根就是这个伴侣矩阵的特征值，于是多项式的根的问题就转化为伴侣矩阵的特征值的问题.利用矩阵的特征值的相关性质，可以解决上述问题，而且比纯粹用多项式的方法简单快捷.2 多项式的伴侣矩阵的应用命题1 设f(x)是数域F上首项系数为1的n(n≥1)次多项式，则f(x)一定是数域F 上某个n阶矩阵的特征多项式［1］.证是数域F上的n次多项式.取：则容易计算有：矩阵A就是多项式f(x)的伴侣矩阵，而多项式f(x)的根就是A的特征值.f(x)的所有根的和就是矩阵A的迹tr(A)，而所有根的积就是A的行列式|A|.设λ是A的任意特征值，则对任意正整数k,Ak的特征值就是λk，于是对任意非零多项式g(x),g(A)的特征值就是g(λ).因为A是有理数域上的矩阵，Ak还是有理数域上的矩阵，因此tr(Ak)也是有理数，解决了问题(2).问题(1)，(3)的解答：证问题(1)，一定是有理数.不失一般性可设g(x)的首项系数为1.由命题1存在有理数域上的n阶矩阵A使得g(x)为A的特征多项式，因此ξ1,ξ2,…,ξn为A的全部特征值.对任意有理系数多项式f(x),f(A)的特征值是f(ξ1),f(ξ2),…,f(ξn).而 f(A)是有理数域上的矩阵是有理数.问题(3)，a未必是有理数，a2一定是有理数.令g(x)=x2-2，则g(x)的两个根是都不是有理数.由命题1，设A是g(x)伴侣矩阵，而ξ1,ξ2,…,ξn就是的全部特征值，因此对任意正整数k,Ak的特征值是一定是有理数.考虑以下有理数域上的行列式：等式左边是一个有理数域上的行列式，其值是有理数，因此a一定是有理数.因为因此 b 是有理数.问题(4)的解答：证令 g(x)=x2n+x2n-1+…+x+1，则 x2n+1-1=(x-1)g(x)，从而a1,…,a2n 就是g(x)的全部根.令α=(1,1,…,1)T∈R2n-1，则g(x)的伴侣矩阵是因此a,…,a就是A 的全部特征值，从而E-A的特征值是1-a,1-12n2n-11 a2,…,1-a2n，而这些特征值的乘积就是|E2n-1-A|.于是：问题(5)的解答：证设A是f(x)的伴侣矩阵，x1,…,xn就是A的特征值，从而的特征值就是A2，因此A2的特征多项式g(x)就是以为根的多项式.如果a0≠0，则f(x)的每个根非零，A可逆，而A-1的特征值就是因此A-1的特征多项式h(x)是所求的多项式.例1 设f(x)=x3+2x2+3x+1,x1,x2,x3为f(x)的根，求作以为根的多项式g(x)；以及以为根的多项式h(x).解因为f(x)的伴侣矩阵A是：简单计算可得A2的特征多项式是g(x)=x3+2x2+5x-1，而A-1的特征多项式h(x)=x3+3x2+2x+1.问题(6)的解答：解所求式子整理后变成，按照根与系数的关系可以求的这个式子的值，只是在计算的时候计算量比较大，这个问题采取伴侣矩阵的办法计算比较简单.显然x1,x2,x3是多项式的根，g(x)的伴侣矩阵是：于是x1,x2,x3就是A的特征值，从而：显然问题7的解答：证令A为f(x)的伴侣矩阵，则A是整数矩阵，α1,α2,…,αn是A的特征值，从而对任意正整数的特征值.由于A是整数矩阵，Ak也是整数矩阵，因也是整数.因为|A|=(-1)n，所以A-1=|A|-1A*也是整数矩阵，这里A*是A的伴随矩阵，而A-1的特征值是是整数.于是对任意正整数k,A-k=(A-1)k是整数矩阵，从而3 结语首项系数为1的多项式f(x)根的相关问题可以转化为f(x)的伴侣矩阵的特征值的相应问题，利用伴侣矩阵的相应结果解决多项式对应的问题，这种办法有时候比用单纯的多项式理论解决来的简单快捷.当然，这要求读者本身要对多项式与其伴侣矩阵方面的知识点要能融会贯通.参考文献：【相关文献】［1］北京大学数学系几何与代数教研室前代数组.高等代数［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003：126.［2］Hom R A，Johnson C R.矩阵分析［M］.张明尧，张凡，译.北京：机械工业出版社，2014：223.［3］曾庆怡，宋杰，王兆顺.高等代数考研辅导讲义［M］.长沙：湖南科学技术出版社，2018：167.。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。