风险理论Chap_4 理赔额与理赔次数的分布
关于保险风险理论的研究
（） １
矩母 函数可以完全刻画随机变量 ｘ的分布特征 ：如果 的社会网络则具备了两个或以上社会网络的功能 ， 从而使得社会网 两个 随机 变量具有相矩母函数 ， 则它们 的分布函数也相同 。 络功能强化 。功能强化使得社会 网络 更好 的发挥 其社会功能 ， 创造 由于这种一一对应的关系 ，矩母函数便成为研 究随 机变量 社会价值。此外 ， 全民创业社会网络功能强化可以反作用于社会网 的一个得心应手的工具，以矩母函数表达的结论均可以转 矩母 函数有一个很好的性 质 ： 独 络 。功能强化为 强关 系的发生和增 强创造条件 ， 使得尚未发生强关 换成关于 分布 函数的关系 。
＝Ｆ１
＝ ｊ Ｆ一 Ｆ ”
（） ｎ
ｊ ２ ３ 一 ｎ ＝
，
Ｆ ＝Ｆ
７ ４８
《 ３代经济》Ｏ１ ０ 下） ＂ － ２１ 年１ 月（
瑗 论 探 索
＿＿ ＿ ＿ ＿ ● － － ＿＿ ＿ ＿ ｌ ＿ ＿＿ ＿ ＿ ● ● ■＿ ● ● ●
ＣＯＮ ＴＥＭ ＰＯＲＡ ＲＶ ＥＣＯ Ｎ
，
，
给定时间内保单的总理赔量为 ｓ则有： ，
二 ｓ ｘ １ ＋ｘ ２ ＋… ＋ｘ ＝ ｘ
。
设各年内的理赔总量均是复合 Ｐｉｏ 变量， ｏｓ ｓｎ 但各年理赔总量的 分布可能不同，则定理表明 ： ｍ年期的总理赔量也服从复合
（） ５
Ｐ ｉｏ ｏｓ ｎ分 布 。 ｓ 三、 长期 聚合 风 险模 型
【 关键词】风 险理论
一
风险模型 破 产概 率
、
短期 个别 风 险模 型
１ 函数 分 析 、
矩母函数对于一个 非负随机变量 ｘ，其分布 函数 为 Ｆ （ ）其矩母函数定义为 ： Ｘ， 会 网络结构 ； ， 其次 在强关 系弱关 系作用下 ， 使得社会网络不断进行
医疗保险精算和风险控制方法——王燕3
0.9492
2010年1月
则通货膨胀率引起的期望理赔额增长率为
E (Y X d ) E (Y X d ) 7520.97 6959.24 8.07%
E (Y X d )
6959.24
思考题 ❖ 通货膨胀因素会对索赔发生频率产生怎样的影响？ ❖ 如果原索赔发生频率的分布已知，在通货膨胀因
yu yu
2010年1月
带保单限额的理赔额期望
❖定义：设X为损失变量，u 为保单限额，则理赔
额变量 X u 的期望记作 E(X u)
u
E(X u) xfX (x)dx L P(X u)
0
u
xd 1 FX (x) u 1 FX (x)
0
u
x 1
FX
(x)
u 0
1
FX
( x) dx
❖ 只有免赔额的设置会显著影响索赔频率。 ❖ 免赔额越高，索赔频率越低，赔付额越低，索赔
频率越高。
2010年1月
免赔额对索赔次数的影响
❖ 假设N表示参保人的损失发生次数，X表示损失发 生额，d为免赔额，v表示导致赔付的概率，真实的 索赔发生次数记作 N~ ,则 N~ 可以表示为
N% IX1>d IX1>d L IXN >d IX1>d为01分布，P（X1>d）=v 则N%为N的分布和01分布的复合分布，有如下结果存在
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)， 保单限额为30000元，起付线d为750元，比 例分担系数为85%，假如损失分布不变，医 疗药品的通货膨胀率为20%，则期望理赔额 将会增长多少？
解：原期望理赔额为E (Y
X
d)
现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型
E[etX ] exp( et 1)
P(N
k)
r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]
1
p (1
p)et
r
E[ X
]
r (1 p
p)
,Var[ X
]
r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设
4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1
4
1 4
1, 2
4 1 2
2, 3
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
第3章 短期聚合风险模型
年真题） 【例题3.2】（2005年真题）总损失额S服从复合分布，S的概率函数可表示为： 例题 】 年真题
n + 2 3 *( n fS ( x ) = ∑ f X n) ( x ) 1 2 L 0.2 × 0.8 ，x = 0 ， ， ， n n =0
∞
* 其中，个体损失额X的概率函数为：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。f X ( n ) 表示fX的n重卷
(3.2) (3.3)
M S (t ) = E (etS ) = M N ln M Ci (t ) (3.4) 只要已知理赔次数N的矩母函数MN(t)和理赔额Ci的矩母函数，便可由上式进行复合运算得
到S的矩母函数。
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e − λ λ n *n FS ( x) = ∑ P ( x) n! n =0
∞
e − λ λ n *n f S ( x) = ∑ p ( x) n! n =0 E ( S ) = λ p1
∞
Var ( S ) = λ p2 M S (t ) = e
（2）特殊性质 ①求和的封闭性： 已知S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，Si为参数λi的复合泊松分布，理赔额变量的 分布函数为Pi(x)=1，2，…，m。则S=S1+S2+…+Sm服从参数为 λ = 分布函数为：
λ [ M C ( t )−1]
∑ λ 的复合泊松分布，且S的
i =1 i
m
P( x) = ∑
λi P ( x) λ i i =1
m
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②可分解性： 假设随机变量S服从复合泊松分布，参数λ＞0，理赔额变量为离散型，概率函数为 πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi 表示理赔额变量的取值。若记Ni 为S中取值为xi 的次数， i=1，2，…，m，则有： N=N1+N2+…+Nm，N＞0，
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
风险因子和赔偿的关系模型
风险因子和赔偿的关系模型
风险因子和赔偿之间存在着复杂的关系模型，这涉及到保险、金融、法律等多个领域的知识。
从保险的角度来看，风险因子是指导致保险索赔发生的各种可能因素，而赔偿则是保险公司在发生索赔时向被保险人或受益人支付的金额。
风险因子和赔偿之间的关系可以通过以下几个角度来分析：
首先，风险因子的多少会直接影响到赔偿的大小。
一般来说，风险因子越高，赔偿金额也会相应增加。
例如，在汽车保险中，驾驶员年龄、驾龄、驾驶记录等都是影响赔偿大小的风险因子，年龄较小、驾龄较短、驾驶记录较差的驾驶员通常会导致保险公司支付更高的赔偿金额。
其次，风险因子和赔偿之间还存在非线性关系。
有些风险因子可能并不是简单的线性影响赔偿金额，而是呈现出复杂的非线性关系。
例如，在医疗保险中，患有某些严重疾病的患者可能会导致保险公司支付大额赔偿，而这种影响并不是简单的线性关系。
此外，风险因子的组合也会对赔偿产生影响。
不同的风险因子组合可能会导致不同的赔偿结果。
保险公司通常会通过建立风险评
估模型来综合考虑多个风险因子，从而更准确地预测赔偿金额。
最后，赔偿金额还受到法律法规和合同约定的影响。
在保险合同中通常会对赔偿金额的计算方法、赔偿限额等进行明确规定，这些法律和合同约定也会对风险因子和赔偿之间的关系产生影响。
总的来说，风险因子和赔偿之间的关系模型是一个复杂而多维的问题，需要综合考虑保险公司的风险评估模型、法律法规和合同约定等多个因素。
只有全面准确地评估和把握风险因子对赔偿的影响，才能更好地实现保险公司的风险管理和赔偿支付的合理性。
第2章 个别保单的理赔额与理赔次数模型分解
2.1 理赔额分布 2.2 理赔额次数分布
理赔过程的两个步骤:---（1）发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡， 被保险人提出索赔； （2）保险公司根据保险事故的实际情况进行理赔. 注：不是所有的保险事故都必然引起索赔； 保险公司的理赔额也并不是等于实际的损失额 本章的目的之一就是讨论如何根据一张保单的损失 额的分布来确定理赔额的分布。
直观看来，损失额概率密度函数的尾部较厚
满足上述性质的随机变量很多，常见的分布有 指数分布 伽玛分布 对数正态分布 帕累托分布 韦伯分布
2.2 常见的理赔额分布
几种常见的理赔形式：
(1)保单限额
(2)免赔额
(3)保单限额+免赔额
(4)相对免赔额
(5)比例分担免陪
(6)保单限额+免赔额+比例分担免陪
跳跃函数
Y的期望
定义2-1 设X是一个随机变量，给定实数d，定义 有限期望函数为：
E( X d )
d
xf X ( x)dx d 1 FX (d )
对于非负随机变量X，对
d 0 E ( X d )都存在
d
E( X d )
d
0
xf X ( x)dx d 1 FX (d )
设保险事故的实际损失为
为 ，保单规定免赔额为 到的实际赔付记为
，其分布函数
，则被保险人得
则
X (X d)
按这种方式投保，则投保人自身承担的损失， 即承担的风险为：
X d
这里我们看到实际损失 X 由保险人和被保险人共同 承担，保险人承担的部分为 担 的部分。 此理赔额可以写成 ，被保险人承
保险精算风险理论课件第3章 聚合风险模型
指数分布的混合／组合（Coxian 分布 ） 混合指数分布的密度函数
对每一个 q，0 q 1 ，函数 p . 是一个概率密度函数．
不过当 q < O 或者 q > 1 时，( 3 . 60)中的 p . 有时仍然是一个概率密度函数
现在再假设 , ，
其中 p / 1 ，从而 N 服从参数为 和 / 1的负二项分 布（记为 NB, / 1 ）.
例 3 .3 .2（负二项分布也是复合泊松分布） 在某个交叉路口 一年之中发生 N 次重大交通事故．第 i 次事故中伤亡人数是
Li ，所以总伤亡人数为 S L1 L2 LN ．设 N Poisson ,
Li 服从参数为 c 的对数分布，即
其中 hc log1 c 。现问 S 的分布是什么？
注意到 Li 的矩母函数是
于是S 的矩母函数为
这是一个参数为 / hc / log1c 和 1 c
bi 的次数Ii ．
在个体模型中，考虑理赔总额
（2）考虑下面的近似随机变量：
（3）如果取 i qi ，则在两个模型中保单 i 的期望赔付次 数相同．为了安全起见我们也可以取i log 1 qi qi ．
•在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等． •比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。
以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数
值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应
的分数部分的影响是可以忽略不计的.
为使用近似方法，我们需要S 的半不变 量． 记 k 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布， 我们有
我们知上式 t k 的系数即为所需要的半不变量 k!
常利率风险模型中盈余回复为正的理赔次数
则Ｇ （ ：Ｐｅ乳 １ ８ ＝ＰＺ ８乩 ：Ｆ ｓ ． ｔ ） （ Ｚ ） （１ ｅ ） （ ） ｓ 一 ｅ
首先得到关于 （ ｔ的递推关系式． ＋） 对任意 ，， ， ＝１２… 因为 ＋ ＝ ＋ ， ｛ 所以
ｍ（． 式有 １） １ （ ） 乱 ｅ 呈
ＯБайду номын сангаас
本文２ ０ 年４ １ ０ ５ 月２ 日收到， ０ ７ 月３ ２ ０ 年９ 日收到修改稿．
应用概率统计
第二十四卷
定义７＝ｉｆｎ： ） ， ＿ ｎ｛ ％（ ＜０佗＝１２… ） 则 ，， ， 为破产发生时的理赔次数， 于是破产时
刻乃 ＝ｉｆ ： （ ＜０ ：ｉ ｛ｍ： （ ） ） ， ｎ｛ ｔ ） ｝ ｎ Ｔ ＜０ ： ｆ 这里约定ｉ ＝＋ 当７＜∞ ｎ ｆ ∞． －
＋ ｃ
０
ｅ
一
ｊ 一 ＝ｌ
ｅ ＋ ｃ ６
ｅ
￥ ￣－ １ Ｔ
０
—
一
６ ６一 一ｒ ｔ 壹ｅＴ ∑ ｅ ＋ （乃 Ｔ ＋６ 一 ｉ
ｊ ＝１ ｊ ＋ｌ ＝ｒ
一
（ ｅ ＋ｃＳｇ－１ ） ｅ ＴＴ
记 （ ＋） ｅ 一 （ ＋）则 ｔ ，
豆 ＋ 一 一 ） ｅ 戛 ， （ 一 ） ， Ｓ 一瓦 一 ） 与（ ｕ ｅ 。 … ￣ ｕ 一 一 ， －（ ） 有相同的 维分布． 有限
本文得 到了国家 自然科学基金（Ｏ ７ １９ 以及湖北省教育厅青年人才项 目（ ２０ １０ ２￣ Ｉ １ ５１３ ） Ｑ ０ ７０ｏ ） ） ｔ Ｊ
应 用 概 率 统 计 第 二 十 四 卷 第五期 ２０ 年１ 月 ０８ Ｏ
Ｃｈ ｎ ｓ ｏ ｎａ ｉ ｅ ｅ Ｊ ｕｒ ｌｏｆＡｐｐ ｉｄ Ｐｒ ａ ｌｔ ｌｅ ｏｂ ｂｉｉｙ ａ ａ ｉｔｃ ｎｄ Ｓｔ ｔｓ ｉｓＶｏ１２ ．４ ＮＯ． ｔ ２ ０８ ５Ｏｃ ． ０
精算师试题 风险理论
05 试题 第 7 页（共 15 页）
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2008 年春季-05
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13. 现已利用 Box-Muller 方法产生了标准正态分布随机数 0.8082，需生成模拟随 机利率的随机数Y = X ，X 服从参数为 μ = 5,σ 2 = 4 的对数正态分布。得到 的随机数为( )。 (A) 27.34 (B) 31.34 (C) 41.34 (D) 51.34 (E) 67.34
Y
=
⎧ ⎨ ⎩
X, 2000,
0 < X < 2000 。
X ≥ 2000
保险人对这类保单损失的免赔额为 200。保险人赔付随机变量的均值为（ ）。
(A) 327.5
(B) 769.5
(C) 683.4
(D) 487.2
(E) 688.4
18. 假设某保险人和投保人的效用函数分别为： 000 u1(x) = 1− e−2ax , x > 0 .1 m u2 (x) = 1− e−ax , x > 0
ww co 现投保人面临一均值为 90 的正态随机损失。对于此损失的标准差，保险人 //w x. 认为是σ ，而投保人认为是 6。假设保险人提供该损失的全额保险。为了使 p: 00b 保险人收取的保费能被投保人接受，σ 的最大值为 ( )。 tt 10 (A) 1.68 h w. (B) 2.86 /ww (C) 2.62 :/ (D) 3.58 http (E) 4.24
05 试题 第 4 页（共 15 页）
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精算师考试参考书目
01数学基础I考试时间：3小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：考生应掌握微积分、线性代数和运筹学的基本概念和主要内容。
A.微积分（分数比例约为60％）1.函数、极限、连续2.一元函数微积分3.多元函数微积分4.级数5.常微分方程B.线性代数（分数比例约为30％）1.行列式2.矩阵3.线性方程组4.向量空间5.特征值和特征向量6.二次型C.运筹学（分数比例约为10％）1.线性规划2.整数规划3.动态规划参考书目：1.《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社（本书可网上购买）或其他包含内容A 的高等数学教材2.《线性代数》胡显佑四川人民出版社（本书可网上购买）或其他包含内容B的线性代数教材3.《运筹学》（修订版） 1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社（本书可网上购买）或其他包含内容C的运筹学教材02数学基础II考试时间：3小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：A.概率论（分数比例约为50％）1.概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式2.随机变量的数字特征，特征函数；3.联合分布律、边际分布函数及边际概率密度的计算4.大数定律及其应用5.条件期望和条件方差6.混合型随机变量的分布函数、期望和方差等B.数理统计（分数比例约为35％）1.统计量及其分布2.参数估计3.假设检验4.方差分析5.列联分析C.应用统计（分数比例约为15％）1.回归分析2.时间序列分析(移动平滑，指数平滑法及ARIMA模型)参考书目：1、《概率论与数理统计》茆诗松，周纪芗编著，中国统计出版社 1999年12月第2版。
2、《统计预测——方法与应用》，易丹辉编著，中国统计出版社，2001年4月第一版。
除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。
03复利数学考试时间：2小时考试形式：客观判断题考试内容和要求：1.利息的基本概念（分数比例：8%-15%）2.年金（分数比例：20%-25%）3.收益率（分数比例：15%-25%）4.债务偿还（分数比例：15%-25%）5.债券与其他证券（分数比例：20-25%）6.利息理论的应用与金融分析（分数比例：6%-15%）7.利率风险的估量：久期、凸性及其在债券价值分析中的应用（分数比例：3%-5%）参考书目：《利息理论》（中国精算师资格考试用书）主编刘占国，中国财政经济出版社，2006年11月第1版第1～5章、第6章第6.1节05风险理论考试时间: 2小时考试形式: 客观判断题考试内容和要求：考生应深入理解与掌握基本的保险风险模型：短期个体风险模型、短期聚合风险模型、长期聚合风险模型，以及这些模型的相关性质；掌握效用函数与期望效用原理，以及期望效用原理在保险定价中的应用；掌握随机模拟的基本方法。
风险理论
一、风险的含义对于我们来说，那些影响我们个人命运的诸事件间的关系不能看作是确定性的，且只能运用概率的术语来刻画。
在这一随机的视角内，风险是一关键的概念。
风险的定义方式及其决策过程中所起的作用是因学科的不同而相异的。
在相关的学科中，对于风险主要有如下几种说法：(1)风险是一种损失机会或损失的可能性。
这意味着有损失机会存在就有风险存在。
它表明风险是一种面临损失的可能性状况，是在这个状况下损失发生的概率。
当这个概率是0或l时，就没有风险；当这个概率介于0与1之间，则存在风险。
(2)风险是一种损失的不确定性。
这种不确定性又可分为客观的不确定性和主观的不确定性。
客观的不确定性是实际结果与预期结果的相对差异，它可以用统计学中的方差或标准差来衡量。
主观的不确定性是人为的对客观风险的评估，它同个人的知识、经验、精神和心理状态有关，不同的人面临相同的客观风险时，可能会有不同的主观的不确定性。
(3)风险是一种可能发生的损害。
这种损害的幅度与发生损害的可能性的大小共同衡量了风险的大小。
当损害的幅度大，发生损害的可能性也大时，风险就大，反之风险就小。
(4)风险是一种不能预期的结果。
这种未知结果可能是有利的好结果，也可能是不利的坏结果。
在保险学中，风险被分为两大类，一类是纯粹风险，另一类是投机风险。
纯粹风险是一种只有损失机会的风险，而投机风险则是一种既有损失机会也有盈利机会的风险。
在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，所以在投资领域主要涉及的是投机风险。
在保险领域所涉及的均是只有损失可能性的纯粹风险，因此在保险学中，风险通常被认为是“潜在的损失及其发生损失的概率”。
这里我们讨论保险领域的风险，即纯粹风险，所以风险可定义为：可能发生的损失及其发生损失的概率。
用损失的程度和发生损失的概率来共同度量风险的大小。
损失程度大而且发生的概率也大，则属高风险，反之则属低风险。
二、风险理论的含义保险公司承保了某个保险标的，也就承保了这个标的所具有的风险，因而弄清楚保险标的的损失分布，对于保险人来说是非常重要的，它是保险产品定价和提取责任准备金以及再保险的分保安排的重要依据。
风险统计分析
风险统计分析1.案例描述一家经营旅馆业务的公司，旗下有两家旅馆，一家在上海，另一家在杭州。
其索赔记录只涉及旅客的人身伤害和财产损失，不考虑保险得情况，假设所有索赔都有旅馆赔付。
2．风险统计分析2.1频数分布根据赔付成本将数据进行分组，得到频数分布如下：分析：从频数分布见表中可以看到，当赔付成本较低时，发生索赔的次数相对较多；相反，当赔付成本较高时，发生索赔的次数相对较少。
2.2频数分布比较将索赔数按杭州和上海分开，进行横向比较分析：从分布中我们可以看出，杭州的索赔次数明显高于上海，但在索赔成本很高时，上海的索赔数要比杭州的高很多。
2.3相对频数分布将上面的频数分布中的数值百分比化：分析：从相对频数分布表中可以看出，大于2400元的索赔占全部索赔的18%。
虽然杭州在1200～1800元之间的索赔数为7次，而上海为5次，但二者的相对频数都是20%。
当杭州低于600元的索赔占40%时，上海在这一范围仅为4%。
2.4累计频数分布按索赔成本分别升序和降序表示索赔数如下：分析：从累计频数的第一栏中可以看出，小于600元的索赔有15次，在600元与1200元之间的索赔数有12次，因此，小于1200元索赔有27次，以此类推。
在第二栏中，大于0元索赔有60次，大于600元的索赔有45次，依次类推。
2.5直方图用画图的方式来表示数据，其中所测变量以横轴表示，变量发生的频数以纵轴表示。
所有索赔的频数分布杭州的索赔上海的索赔分析：从直方图可以看到，索赔数相当均衡地散布在0至3000元的值域。
对比杭州与上海的索赔图，可以看到，杭州的索赔数主要向低索赔成本集中，而上海的索赔成本主要向高索赔成本集中。
2.6饼状图、曲线图和柱状图这三种图提供了一种更易于理解和直观的数据表示方式。
男性和女性索赔者在赔付总成本中所占的比例分析：饼状图表示了男性和女性的索赔比例，整个圆圈代表所有的索赔，从饼状图中可以看出，男性索赔占26%，女性索赔占74%。
第二章-1 精算数学
§2.2 理赔额的分布 一、损失额与理赔额的区别联系
损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 际损失大小。 际损失大小。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 险责任所支付的实际费用， 险责任所支付的实际费用，由实际损失决 一般不超过损失额。 定，一般不超过损失额。
20
3
100 F (20) = 1 − = 0.4213 20 + 100
3
1）假定保单规定免赔额为20，理赔额 ）假定保单规定免赔额为 ，
即为非零赔款的均值！ 即为非零赔款的均值！
定理2.1 定理 表示实际损失额， 设X表示实际损失额，若保单规定了免赔额 表示实际损失额 为d，最高赔偿限额为 ，比例分担额为 α ， ，最高赔偿限额为u， 则平均理赔额为
E (Y ) =
α [ E ( X ∧ u) − E ( X ∧ d )]
1 − F (d )
其均值 E ( X ) = θ
τ
Γ(1 + )
1
τ
Weibull分布密度函数 分布密度函数
性质1
当 τ = 1 时，Weibull分布就是参数为 θ 分布就是参数为 的指数分布。 的指数分布。
性质2
Weibull分布乘以正常数r后，仍然是 分布乘以正常数 后 仍然是Weibull 分布乘以正常数 分布， 分布，参数为 (θ / r τ ,τ ) 。
θ α −1 αθ
2 2
α > 2 ， Var ( X ) =
(α − 1) (α − 2)
性质1
第三章总理赔额模型-2
解：根据免赔额将医疗费用分为两类
C 1 ( X X 50), C 2 ( X X 50)
N1，N2分别表示C1，C2类型发生的次数， N1服从泊松分布，参数为
1 P ( X 50) 100 0.36 36
N2服从泊松分布，参数为
2 P ( X 50) 100 0.64 64
S X1 X 2 X N
X
i 1
N
i
本节在下面假定基础上研究S的分布： （1）随机变量序列Xi独立同分布； （2）随机变量N与{ Xi} 相互独立。
一、理赔总量 S 的均值、方差及其分布
S X1 X 2 X N
X
i 1
N
i
E ( S ) E [ E ( S N )] E [ NE ( X )] E ( N )E ( X ) X N
n0
1
P ( N n ) FX * n ( x )
离散情况下：
f S ( x ) P ( N n) f X *n ( x )
n 0
例1：设有一保单组合，在单位时间内可能 发生的理赔次数的分布如下：
1 2 0 0.1 0.3 0.4 3 0.2
理赔额X的分布如下：
三、 S的近似分布
主要问题：讨论复合Poisson和复合负二项分 布下理赔总量的近似分布。 在理赔总量分布基本对称的情形（偏度系数 接近于零）采用正态近似，在理赔总量分布 右偏斜时采用平移Gamma分布近似。
1.正态近似 定理4：（1） 如果S是复合Poisson分布，Poisson参数 为 ，个别理赔额分布函数为f(x)，则
利用S的分布是个体理赔额X和理赔次数N的 复合分布。（两种方法）
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EX
VarX 2
越大，则分布越左偏；
（2）
越大，则分布越右偏； 当 固定时，
Ga(1, ) E ( ) 指数分布
Ga ( n 1 , ) 2 ( n) 卡方分布 2 2
（3）可加性
Ga(1 , ) Ga( 2 , ) .... Ga( n , ) Ga(1 ... n , )
则X Y ~ N ( 1 2 , 1 2 )
2 2 2 2
x R , 0, R
EX
VarX 2
MX t e
t 2t 2
1 2
2、指数分布
常常表示寿命的分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
F ( x) 1 e
f ( x) e x
x 0, 0
x
X ~ E ( )
性质“无记忆性”
T X a; T表人活过a岁后，再活过的时间 X表示人的总寿命 F(t) P(T t | T 0) P ( X a t | X a ) P ( a X t a ) e a e ( t a ) P( X a) e a 1 e t T ~ E ( )
f ( x) (1 F ( x))'
E (Y ) E ( X D)
Y=
D X
XD XD
=min(X,D)
损失X非负 0
Y取值 D
D
0
f ( x) Y D f Y ( y) X 1 - F(D) Y D p(Y D) p(X D) 1 - F(D)
xd ( (1 F ( x))) D(1 F ( D)) D D x(1 F ( x)) (1 F ( x))dx 0 0
E (Y ) E ( X D)
D
D
0
D(1 F ( D)) (1 F ( x ))dx
0
yf Y ( y ) dy DP (Y D)
d
其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数。
xfX (x ) E X E(X D ) dx 1 F d 1 F d
证明： 1、只考虑最高理赔额D 理赔 变量取值 Y的分布 有限期望函数：
E (Y ) E ( X D) E (Y ) E ( X D)
§4.1损失额分布
理赔过程的两个步骤 (1)发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡； (2)被保险人提出索赔，保险公司根据保险事故的实际情 况进行理赔. 注：不是所有的保险事故都必然引起索赔； 保险公司的理赔额也并不是等于实际的损失额
4.1.1理赔额和损失额
损失额
理赔额
DEF：保险公司 按照合同规定的保险责任 所支付的实际费用
方差
1 (1 ) (1 ) VarX 2 1 k
EX k (1 )
1
3.5
K阶原点矩
k
§4.2理赔额分布
1.带有保单限额D的理赔额分布； 2.带有免赔额d的理赔额分布； 3.带有免赔额d、保单限额D； 4.带有免赔额d、保单限额D和比例赔偿的理赔额分布； 4. 通货膨胀对理赔额分布的影响
0.2
0
(1 F ( x))dx
0
27 3 4 1 .2 3 x 3 |0 1 0.176 dx 3 0 3 (3 0.2) 3 3 x
定义1、设X是一个随机变量，给定实数D，定义有限期望函数
E(X D )
D
-
xfX (x ) dx D(1 F(D ))
D
X 其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数， 是X和D的最小值。
的含义
定义2、设X是一个随机变量，给定实数d，定义剩余期望函数
e x d
EX E ( X d ) 1 F (d )
F ( y d ) F (d ) 1 F (d )
当y=0时，
fY ( y) 0
3、考虑D,d 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额
0 Y X - d D-d Xd DXd XD
EY E ( X D) E ( X d )
EX
k
( k ) ( ) k
4、Pareto分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
k
X ~ Pareto( , )
F ( x) 1 x
f ( x) x
1
1 ( x ) 1 x
EX
VarX
1
1
2
假设人的寿命服从指数分布，则人的寿命活过
EX
k
k!
岁而没有死亡的话，
继续存活的时间仍服从相同的指数分布
k
3、Gamma分布
X ~ Gamma( , )
性质：（1）当
固定时，
密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
f ( x) x 1e x ( )
二、几种常见的损失分布 正态分布 指数分布 Gamma分布 Pareto分布 对数正态分布 韦伯分布
1、正态分布
X ~ N ( , 2 )
密度函数 参数说明 期望 方差 矩母函数
f (x )
1 2
e
( x )2 2 2
性质
X ~ N ( 1 , 1 ),Y ~ N ( 2 , 2 ),
损失次数N —离散型随机变量
损失分布
一次损失额X —连续型随机变量 理赔次数N 理赔分布 一次理赔额Y
完全理赔
部分理赔
单个保单损失额分布特征 P X 0 1 1. 损失额是非负的， 2. 损失额应该是连续变化的，因此 f x 是连续的； 3. 损失额较小的保险事故发生的可能性 较大，损失额较大的保险事故发生的 可能性较小，损失额概率密度函数的 尾部较厚。
Chap 4 理赔额与理赔次数的分布
目标
了解“理赔额、损失额、免赔额、保单限额、比例赔偿”概念 了解不同赔偿方式对理赔额和理赔次数造成的影响 熟悉常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布 熟悉单个保单理赔次数的分布以及(a,b,0)分布类和(a,b,1)分布类 熟悉不同结构函数下保单组合理赔次数的分布以及相关性保单 组合理赔次数的分布 掌握并运用各种条件下理赔额和理赔次数的分布解决实际问题
DEF：承保的标的 可能发生的实际损失 大小
并不是所有的保险事故
部分理赔
理赔额=实际损失额X 考虑因素
保单限额D： 保单约定的最高赔偿金额。
X XD 理赔额Y D XD
免赔额d:
保单约定免赔的额度（最低起配额）。
理赔额Y 不赔 X-d D-d Xd DXd XD
例4.1
解：理赔额
EX
设某险种的损失额X（万元）具有密度函数
f ( x)
324 ，x 0 5 (3 x)
，假定免赔额为d为0.2万元，求理赔额的期望。
EX E ( X 0.2) 未定义 X d E (Y ) 理赔额的期望 Y 1 F (0.2) Xd X-d 324 324 324 324 324 x dx ( 3 x ) dx 3 dx | | 4 3 1 0 5 5 5 3 4 0 0 0 (3 x) (3 x) (3 x) 3 (3 x) 4 (3 x)
f Y ( y)
Xd 0 X YD d Y X d X d
d YDd X
Xd X d 证明：
EY y xd yf Y ( y ) dy
EY EX E ( X d )
未定义 X d Y Xd X - d
E(X ) E(X d ) E Y 1 F (d )
D
0
xf X ( x) dx D(1 F ( D )) (1 F ( x ))dx
D
0
2、只考虑免赔额d:保单约定免赔的金额 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额 理赔Y的分布
当y>0时
FY ( y) P( X d y X d )
P(d X y d ) 1 F (d )
平均理赔额 EY=kE(X)
Xd DXd XD
EY k E ( X D ) E ( X d )
未定义 Y k ( X d ) k ( D d )
EY
xd DXd XD
平均理赔额
k E ( X D) E ( X d ) 1 F (d )
xd
d
(x d )
f ( x) dx 1 F (d )
d
xf ( x)dx d (1 F (d )) 1 F (d )
d o
f (y d) 1 F (d )
xf ( x)dx ( xf(x)dx d(1 F(d))) 1 - F(d)
性质：当
2
x 0, 0, 0
EX
不变时，
1
， 1
2
，则
Pareto分布收敛到指数分布。
2 VarX [ EX ] ， 2 ( - 2) 1 ( - 2)