风险理论Chap_4 理赔额与理赔次数的分布
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f Y ( y)
Xd 0 X YD d Y X d X d
d YDd X
Xd X d 证明：
EY y xd yf Y ( y ) dy
EY EX E ( X d )
未定义 X d Y Xd X - d
E(X ) E(X d ) E Y 1 F (d )
部分理赔 考虑因素
比例赔付k：
保单约定的比例k(0<k<1)进行赔付。
不考虑d, D 则赔付kX 不赔 X d 理赔额Y 考虑d, D 则 X D k (D d ) d X D k(X d)
4.1.2常见的损失额分布
对于保险公司关心的是理赔，要研究理赔分布，必须先研究损 失分布。
方差
1 (1 ) (1 ) VarX 2 1 k
EX k (1 )
1
3.5
K阶原点矩
k
§4.2理赔额分布
1.带有保单限额D的理赔额分布； 2.带有免赔额d的理赔额分布； 3.带有免赔额d、保单限额D； 4.带有免赔额d、保单限额D和比例赔偿的理赔额分布； 4. 通货膨胀对理赔额分布的影响
则X Y ~ N ( 1 2 , 1 2 )
2 2 2 2
x R , 0, R
EX
VarX 2
MX t e
t 2t 2
1 2
2、指数分布
常常表示寿命的分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
F ( x) 1 e
EX e
2
2
X ~ N ( , 2 ), 则Y e X ~ LN ( , 2 )
VarX e
2 2
(e
2
2
1)
X ~ LN ( , 2 ), 则Y aX b ~ Ln(b ln a, b 2 2 )
EX e
k
k k
2
2
Chap 4 理赔额与理赔次数的分布
目标
了解“理赔额、损失额、免赔额、保单限额、比例赔偿”概念 了解不同赔偿方式对理赔额和理赔次数造成的影响 熟悉常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布 熟悉单个保单理赔次数的分布以及(a,b,0)分布类和(a,b,1)分布类 熟悉不同结构函数下保单组合理赔次数的分布以及相关性保单 组合理赔次数的分布 掌握并运用各种条件下理赔额和理赔次数的分布解决实际问题
f ( x) (1 F ( x))'
E (Y ) E ( X D)
Y=
D X
XD XD
=min(X,D)
损失X非负 0
Y取值 D
D
0
f ( x) Y D f Y ( y) X 1 - F(D) Y D p(Y D) p(X D) 1 - F(D)
6、韦伯分布 分布函数 密度函数 期望
2
F ( x) 1 e
x
X ~ Weibull( , )
， 0， 0
x 0, 0
1 (1 )
密度函数图
f ( x) x e
1 x
EX
2
较小，分布呈左偏 较大，分布呈右偏 分布近似对称
例4.1
解：理赔额
EX
设某险种的损失额X（万元）具有密度函数
f ( xຫໍສະໝຸດ Baidu
324 ，x 0 5 (3 x)
，假定免赔额为d为0.2万元，求理赔额的期望。
EX E ( X 0.2) 未定义 X d E (Y ) 理赔额的期望 Y 1 F (0.2) Xd X-d 324 324 324 324 324 x dx ( 3 x ) dx 3 dx | | 4 3 1 0 5 5 5 3 4 0 0 0 (3 x) (3 x) (3 x) 3 (3 x) 4 (3 x)
性质：当
2
x 0, 0, 0
EX
不变时，
1
， 1
2
，则
Pareto分布收敛到指数分布。
2 VarX [ EX ] ， 2 ( - 2) 1 ( - 2)
k (k 1)( k ) EX ， k ( )
平均理赔额 EY=kE(X)
Xd DXd XD
EY k E ( X D ) E ( X d )
未定义 Y k ( X d ) k ( D d )
EY
xd DXd XD
平均理赔额
k E ( X D) E ( X d ) 1 F (d )
d
其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数。
xfX (x ) E X E(X D ) dx 1 F d 1 F d
证明： 1、只考虑最高理赔额D 理赔 变量取值 Y的分布 有限期望函数：
E (Y ) E ( X D) E (Y ) E ( X D)
5、对数正态分布
X ~ LN ( , 2 )
密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
f ( x)
1 2 x
e
(ln x ) 2 2 2
性质
X ~ LN ( , 2 ), 则Y ln X ~ N ( , 2 )
x 0, 0, R
xd ( (1 F ( x))) D(1 F ( D)) D D x(1 F ( x)) (1 F ( x))dx 0 0
E (Y ) E ( X D)
D
D
0
D(1 F ( D)) (1 F ( x ))dx
0
yf Y ( y ) dy DP (Y D)
DEF：承保的标的 可能发生的实际损失 大小
并不是所有的保险事故都必然引起索赔。
完全理赔
理赔额Y
部分理赔
理赔额=实际损失额X 考虑因素
保单限额D： 保单约定的最高赔偿金额。
X XD 理赔额Y D XD
免赔额d:
保单约定免赔的额度（最低起配额）。
理赔额Y 不赔 X-d D-d Xd DXd XD
EX
k
( k ) ( ) k
4、Pareto分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
k
X ~ Pareto( , )
F ( x) 1 x
f ( x) x
1
1 ( x ) 1 x
§4.1损失额分布
理赔过程的两个步骤 (1)发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡； (2)被保险人提出索赔，保险公司根据保险事故的实际情 况进行理赔. 注：不是所有的保险事故都必然引起索赔； 保险公司的理赔额也并不是等于实际的损失额
4.1.1理赔额和损失额
损失额
理赔额
DEF：保险公司 按照合同规定的保险责任 所支付的实际费用
EX E ( X d ) 1 F (d )
F ( y d ) F (d ) 1 F (d )
当y=0时，
fY ( y) 0
3、考虑D,d 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额
0 Y X - d D-d Xd DXd XD
EY E ( X D) E ( X d )
EX
VarX
1
1
2
假设人的寿命服从指数分布，则人的寿命活过
EX
k
k!
岁而没有死亡的话，
继续存活的时间仍服从相同的指数分布
k
3、Gamma分布
X ~ Gamma( , )
性质：（1）当
固定时，
密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
f ( x) x 1e x ( )
损失次数N —离散型随机变量
损失分布
一次损失额X —连续型随机变量 理赔次数N 理赔分布 一次理赔额Y
完全理赔
部分理赔
单个保单损失额分布特征 P X 0 1 1. 损失额是非负的， 2. 损失额应该是连续变化的，因此 f x 是连续的； 3. 损失额较小的保险事故发生的可能性 较大，损失额较大的保险事故发生的 可能性较小，损失额概率密度函数的 尾部较厚。
0
x f ( x)dx
0.2
0
E ( X 0.2)
0
(1 F ( x))dx
F ( x)
0.2 4
x
0
324 324 3 x dx (3 x) 4 | 0 1 5 4 3 x (3 x)
4
E ( X 0.2)
Xd 未定义 Y X - d DXd D - d XD
E ( X D) E ( X d ) EY 1 F (d )
4、比例分担理赔 只考虑理赔额Y=kX 理赔额 平均理赔额 理赔额
0 Y k(X - d) k ( D d )
D
0
xf X ( x) dx D(1 F ( D )) (1 F ( x ))dx
D
0
2、只考虑免赔额d:保单约定免赔的金额 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额 理赔Y的分布
当y>0时
FY ( y) P( X d y X d )
P(d X y d ) 1 F (d )
二、几种常见的损失分布 正态分布 指数分布 Gamma分布 Pareto分布 对数正态分布 韦伯分布
1、正态分布
X ~ N ( , 2 )
密度函数 参数说明 期望 方差 矩母函数
f (x )
1 2
e
( x )2 2 2
性质
X ~ N ( 1 , 1 ),Y ~ N ( 2 , 2 ),
x 0, 0, 0
EX
VarX 2
越大，则分布越左偏；
（2）
越大，则分布越右偏； 当 固定时，
Ga(1, ) E ( ) 指数分布
Ga ( n 1 , ) 2 ( n) 卡方分布 2 2
（3）可加性
Ga(1 , ) Ga( 2 , ) .... Ga( n , ) Ga(1 ... n , )
xd
d
(x d )
f ( x) dx 1 F (d )
d
xf ( x)dx d (1 F (d )) 1 F (d )
d o
f (y d) 1 F (d )
xf ( x)dx ( xf(x)dx d(1 F(d))) 1 - F(d)
0.2
0
(1 F ( x))dx
0
27 3 4 1 .2 3 x 3 |0 1 0.176 dx 3 0 3 (3 0.2) 3 3 x
定义1、设X是一个随机变量，给定实数D，定义有限期望函数
E(X D )
D
-
xfX (x ) dx D(1 F(D ))
D
X 其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数， 是X和D的最小值。
的含义
定义2、设X是一个随机变量，给定实数d，定义剩余期望函数
e x d
f ( x) e x
x 0, 0
x
X ~ E ( )
性质“无记忆性”
T X a; T表人活过a岁后，再活过的时间 X表示人的总寿命 F(t) P(T t | T 0) P ( X a t | X a ) P ( a X t a ) e a e ( t a ) P( X a) e a 1 e t T ~ E ( )
Xd 0 X YD d Y X d X d
d YDd X
Xd X d 证明：
EY y xd yf Y ( y ) dy
EY EX E ( X d )
未定义 X d Y Xd X - d
E(X ) E(X d ) E Y 1 F (d )
部分理赔 考虑因素
比例赔付k：
保单约定的比例k(0<k<1)进行赔付。
不考虑d, D 则赔付kX 不赔 X d 理赔额Y 考虑d, D 则 X D k (D d ) d X D k(X d)
4.1.2常见的损失额分布
对于保险公司关心的是理赔，要研究理赔分布，必须先研究损 失分布。
方差
1 (1 ) (1 ) VarX 2 1 k
EX k (1 )
1
3.5
K阶原点矩
k
§4.2理赔额分布
1.带有保单限额D的理赔额分布； 2.带有免赔额d的理赔额分布； 3.带有免赔额d、保单限额D； 4.带有免赔额d、保单限额D和比例赔偿的理赔额分布； 4. 通货膨胀对理赔额分布的影响
则X Y ~ N ( 1 2 , 1 2 )
2 2 2 2
x R , 0, R
EX
VarX 2
MX t e
t 2t 2
1 2
2、指数分布
常常表示寿命的分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
F ( x) 1 e
EX e
2
2
X ~ N ( , 2 ), 则Y e X ~ LN ( , 2 )
VarX e
2 2
(e
2
2
1)
X ~ LN ( , 2 ), 则Y aX b ~ Ln(b ln a, b 2 2 )
EX e
k
k k
2
2
Chap 4 理赔额与理赔次数的分布
目标
了解“理赔额、损失额、免赔额、保单限额、比例赔偿”概念 了解不同赔偿方式对理赔额和理赔次数造成的影响 熟悉常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布 熟悉单个保单理赔次数的分布以及(a,b,0)分布类和(a,b,1)分布类 熟悉不同结构函数下保单组合理赔次数的分布以及相关性保单 组合理赔次数的分布 掌握并运用各种条件下理赔额和理赔次数的分布解决实际问题
f ( x) (1 F ( x))'
E (Y ) E ( X D)
Y=
D X
XD XD
=min(X,D)
损失X非负 0
Y取值 D
D
0
f ( x) Y D f Y ( y) X 1 - F(D) Y D p(Y D) p(X D) 1 - F(D)
6、韦伯分布 分布函数 密度函数 期望
2
F ( x) 1 e
x
X ~ Weibull( , )
， 0， 0
x 0, 0
1 (1 )
密度函数图
f ( x) x e
1 x
EX
2
较小，分布呈左偏 较大，分布呈右偏 分布近似对称
例4.1
解：理赔额
EX
设某险种的损失额X（万元）具有密度函数
f ( xຫໍສະໝຸດ Baidu
324 ，x 0 5 (3 x)
，假定免赔额为d为0.2万元，求理赔额的期望。
EX E ( X 0.2) 未定义 X d E (Y ) 理赔额的期望 Y 1 F (0.2) Xd X-d 324 324 324 324 324 x dx ( 3 x ) dx 3 dx | | 4 3 1 0 5 5 5 3 4 0 0 0 (3 x) (3 x) (3 x) 3 (3 x) 4 (3 x)
性质：当
2
x 0, 0, 0
EX
不变时，
1
， 1
2
，则
Pareto分布收敛到指数分布。
2 VarX [ EX ] ， 2 ( - 2) 1 ( - 2)
k (k 1)( k ) EX ， k ( )
平均理赔额 EY=kE(X)
Xd DXd XD
EY k E ( X D ) E ( X d )
未定义 Y k ( X d ) k ( D d )
EY
xd DXd XD
平均理赔额
k E ( X D) E ( X d ) 1 F (d )
d
其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数。
xfX (x ) E X E(X D ) dx 1 F d 1 F d
证明： 1、只考虑最高理赔额D 理赔 变量取值 Y的分布 有限期望函数：
E (Y ) E ( X D) E (Y ) E ( X D)
5、对数正态分布
X ~ LN ( , 2 )
密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
f ( x)
1 2 x
e
(ln x ) 2 2 2
性质
X ~ LN ( , 2 ), 则Y ln X ~ N ( , 2 )
x 0, 0, R
xd ( (1 F ( x))) D(1 F ( D)) D D x(1 F ( x)) (1 F ( x))dx 0 0
E (Y ) E ( X D)
D
D
0
D(1 F ( D)) (1 F ( x ))dx
0
yf Y ( y ) dy DP (Y D)
DEF：承保的标的 可能发生的实际损失 大小
并不是所有的保险事故都必然引起索赔。
完全理赔
理赔额Y
部分理赔
理赔额=实际损失额X 考虑因素
保单限额D： 保单约定的最高赔偿金额。
X XD 理赔额Y D XD
免赔额d:
保单约定免赔的额度（最低起配额）。
理赔额Y 不赔 X-d D-d Xd DXd XD
EX
k
( k ) ( ) k
4、Pareto分布 分布函数 密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
k
X ~ Pareto( , )
F ( x) 1 x
f ( x) x
1
1 ( x ) 1 x
§4.1损失额分布
理赔过程的两个步骤 (1)发生保险事故，造成财产损失或人身伤亡； (2)被保险人提出索赔，保险公司根据保险事故的实际情 况进行理赔. 注：不是所有的保险事故都必然引起索赔； 保险公司的理赔额也并不是等于实际的损失额
4.1.1理赔额和损失额
损失额
理赔额
DEF：保险公司 按照合同规定的保险责任 所支付的实际费用
EX E ( X d ) 1 F (d )
F ( y d ) F (d ) 1 F (d )
当y=0时，
fY ( y) 0
3、考虑D,d 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额
0 Y X - d D-d Xd DXd XD
EY E ( X D) E ( X d )
EX
VarX
1
1
2
假设人的寿命服从指数分布，则人的寿命活过
EX
k
k!
岁而没有死亡的话，
继续存活的时间仍服从相同的指数分布
k
3、Gamma分布
X ~ Gamma( , )
性质：（1）当
固定时，
密度函数 参数说明 期望 方差 K阶原点矩
f ( x) x 1e x ( )
损失次数N —离散型随机变量
损失分布
一次损失额X —连续型随机变量 理赔次数N 理赔分布 一次理赔额Y
完全理赔
部分理赔
单个保单损失额分布特征 P X 0 1 1. 损失额是非负的， 2. 损失额应该是连续变化的，因此 f x 是连续的； 3. 损失额较小的保险事故发生的可能性 较大，损失额较大的保险事故发生的 可能性较小，损失额概率密度函数的 尾部较厚。
0
x f ( x)dx
0.2
0
E ( X 0.2)
0
(1 F ( x))dx
F ( x)
0.2 4
x
0
324 324 3 x dx (3 x) 4 | 0 1 5 4 3 x (3 x)
4
E ( X 0.2)
Xd 未定义 Y X - d DXd D - d XD
E ( X D) E ( X d ) EY 1 F (d )
4、比例分担理赔 只考虑理赔额Y=kX 理赔额 平均理赔额 理赔额
0 Y k(X - d) k ( D d )
D
0
xf X ( x) dx D(1 F ( D )) (1 F ( x ))dx
D
0
2、只考虑免赔额d:保单约定免赔的金额 理赔额 平均理赔额 理赔额 平均理赔额 理赔Y的分布
当y>0时
FY ( y) P( X d y X d )
P(d X y d ) 1 F (d )
二、几种常见的损失分布 正态分布 指数分布 Gamma分布 Pareto分布 对数正态分布 韦伯分布
1、正态分布
X ~ N ( , 2 )
密度函数 参数说明 期望 方差 矩母函数
f (x )
1 2
e
( x )2 2 2
性质
X ~ N ( 1 , 1 ),Y ~ N ( 2 , 2 ),
x 0, 0, 0
EX
VarX 2
越大，则分布越左偏；
（2）
越大，则分布越右偏； 当 固定时，
Ga(1, ) E ( ) 指数分布
Ga ( n 1 , ) 2 ( n) 卡方分布 2 2
（3）可加性
Ga(1 , ) Ga( 2 , ) .... Ga( n , ) Ga(1 ... n , )
xd
d
(x d )
f ( x) dx 1 F (d )
d
xf ( x)dx d (1 F (d )) 1 F (d )
d o
f (y d) 1 F (d )
xf ( x)dx ( xf(x)dx d(1 F(d))) 1 - F(d)
0.2
0
(1 F ( x))dx
0
27 3 4 1 .2 3 x 3 |0 1 0.176 dx 3 0 3 (3 0.2) 3 3 x
定义1、设X是一个随机变量，给定实数D，定义有限期望函数
E(X D )
D
-
xfX (x ) dx D(1 F(D ))
D
X 其中 F x 和 f x 为X的分布函数和密度函数， 是X和D的最小值。
的含义
定义2、设X是一个随机变量，给定实数d，定义剩余期望函数
e x d
f ( x) e x
x 0, 0
x
X ~ E ( )
性质“无记忆性”
T X a; T表人活过a岁后，再活过的时间 X表示人的总寿命 F(t) P(T t | T 0) P ( X a t | X a ) P ( a X t a ) e a e ( t a ) P( X a) e a 1 e t T ~ E ( )