含参数含绝对值的函数综合题
[数学]-专题41 含绝对值的一次函数(原版)
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专题41 含绝对值的一次函数1．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y x =的图象和性质，并解决问题： （1）完成下列步骤，画出函数y x =的图象； ①列表、填空：②描点； ③连线．（2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质．2．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数|1|y x =+的图象和性质，并解决问题．(1)按照下列步骤，画出函数|1|y x =+的图象； ①列表；②描点； ③连线．(2)观察图象，填空；①当x ___________时，y 随x 的增大而减小；x ___________时，y 随x 的增大而增大； ②此函数有最 ___________值（填“大”或“小” ），其值是 ___________； (3)根据图象，不等式11|1|22x x +>+的解集为 ___________．3．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象； ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象；(2)结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质；(3)1102x -=的近似解． 4．某班“数学兴趣小组”对函数11y x =---的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：其中，m = ___________，n = ___________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．(3)观察这个函数图象，写出它的两条性质：①___________；②___________．(4)请根据函数图象，直接写出当方程111x m ---=-有解时，m 的取值范围___________． 5．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数13y x =+-的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：表格中m 的值为__________，n 的值为___________．(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；①当自变量x ________时，函数y 随x 的增大而增大； ②方程132x +-=的解是x =____________； ③不等式14x +<的解集为________．6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数1y x a =-+的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．(1)列表：请根据表格中的信息，可得=a __________，b = __________．(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．②若点()11,A x y ，()22,B x y 在函数图象上，且121x x <<，观察图像写出1y 、2y 的大小关系． 并说明理由．(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程112x a x m -+=+有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m 取值范围是___________．7．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数1(3)2(3)x x y x -<⎧=⎨≥⎩的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有 ． ①函数图象关于y 轴对称； ②此函数无最小值；③当x ＜3时，y 随x 的增大而增大；当x ≥3时，y 的值不变．（3）若直线y ＝12x +b 与函数y ＝1(3)2(3)x x x -<⎧⎨≥⎩的图象只有一个交点，则b ＝ ．8．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数312y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）如图，在平面直角坐标系xoy 中，请同学们自己列表并画出函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的两条性质： ①____________②_____________（3）若关于x 的方程312x b +-=有两个互不相等的实数根，则实数b 的取值范围是______． 9．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象： ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象：（2）结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质； （3）结合所画函数图象，当x =________时，|1|1x -=． 10．已知函数32x ky -+=，且当1x =时2y =；请对该函数及其图像进行如下探究： (1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为___________； (2)根据解折式，求出如表的m ，n 的值；m =___________，n =___________．(3)根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图像； (4)写出函数图像一条性质___________； (5)请根据函数图像写出当312x kx -+>+时，x 的取值范围．11．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数1y x =-的图象和性质，并解决问题． (1)根据函数数表达式，填写下表：m =______，n =______．(2)利用（1）中表格画出函数1y x =-的图象．(3)观察图象，当x ______时，y 随x 的增大而减小． (4)利用图象，直接写出不等式1112x x -<+的解集． 12．小颖根据学习函数的经验，对函数11y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表：①k =______；②若()7,5A -，(),5B m -为该函数图象上不同的两点，则m =______． (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得： ①该函数的最大值为______；②观察函数11y x =--的图象，写出该图象的两条性质：______，______； ③已知直线1112y x =-与函数11y x =--的图象相交，则当1y y ≤时x 的取值范围是______． 13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在y a x b =+中，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求a 、b 的值；(2)m =______，n =______；(3)在给出的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______；②写出该函数的另一条性质____________；(4)已知直线14y x =+与函数y a x b =+的图象交于两点，则当1y y >时，x 的取值范围为______． 14．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数21y x =--及其图像进行如下探究．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如表：其中m = ，n = ．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．(3)当112133x x --≤+时，x 的取值范围为___________．15．小颖根据学习函数的经验，对函数1|1|y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颍的探究过程，请你补充完整．(1)列表：①k =__________；②若(8,6),(,6)A B m --为该函数图象上不同的两点，则m =___________； (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得：该的数的最大值为_____________；观察函数1|1|y x =--的图象，写出该图象的一条性质：_____________________； (4)已知直线1112y x =-与函数1|1|y x =--的图象相交，则当1y y <时x 的取值范围是__________．16．九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数1y x =+的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m = ．描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而减小； ②1y x =+关于y 轴对称； ③1y x =+有最小值1． (3)在上图中，若直线1522y x =+交函数1y x =+的图象于A ，B 两点（A 在B 左侧），记()0,1为C 点．则ABC S ∆= ．17．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数13y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：(1)①表中a 的值为 ，b 的值为 ；②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ； (2)在函数13y x =+-的图象所在坐标系中，作13y x =的图象，交13y x =+-的图象于点A ，B （A 在B 的左侧），并观察图象，直接写出下列结果： ①方程组1313y x y x ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩的解为 ； ②不等式1133x x +-＜的解集为 ．18．有这样一个问题：探究函数21y x =-+的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数21y x =-+的图像与性质进行了探究．(1)①函数21y x =-+的自变量x 的取值范围是_____________；②若点A （－7，a ），B （9，b ）是该函数图像上的两点，则a ___________b （填“＞”“＜”或“＝”）；(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图像：(3)函数12y x =-和函数2211y x =-++的图像如图所示，观察函数图像可发现：①12y x =-的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+，2211y x =-++的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+； ②当21211x x -+=-++时，x ＝_____________；③观察函数2211y x =-++的图像，写出该图像的一条性质．19．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数2y x =-+的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：y 与x 的部分对应值如下表，则m =______，n =______；(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数2y x =-+的图象；(3)结合图象，写一条函数2y x =-+的性质：________________； (4)根据函数图象填空：①方程22x -+=有______个解；②若关于x 的方程2x a -+=无解，则a 的取值范围是______．20．小慧根据学习函数的经验，对函数y ＝|x ﹣1|+1的图象与性质进行了探究，下面是小慧的探究过程，请补充完整．（1）函数y ＝|x ﹣1|+1的自变量x 可以取 ； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值．若A （8，8），B （m ，8）为该函数图象上不同的两点，则m ＝ ；（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，根据函数图象可得： ①该函数的最小值为 ；x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象交于C，D两点，当y1≥y时x的取值范围②已知直线y1＝12是．。
含绝对值的三角函数题型归纳
含绝对值的三角函数题型归纳1.sin .y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.3.tan y x =的图象.4.sin y x y x ==与的图象.5.tan y x y x ==与的图象.题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；对于④，()coscos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（）A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |y x =-【答案】C【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.D.函数2cos sin y x x =+的最小值为1-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,故C 错误;对于D：函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．3．函数sin sin y x x =-的值域是（）A.0B.[]1,1- C.[]0,1D.[]2,0-【答案】D【解析】：00y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨<⎩，，，由此值域为[]y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（）A.3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）A.()f x 的值域为[]1,1- B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调C.π为()f x 的周期D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 是偶函数C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．2．方程3sin ([2,2])xx x ππ=∈-的实数解有_______________个.【答案】2.【解析】在区间[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间[]2π,2π-上有两个交点，也即3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。
绝对值不等式中的含参问题(原创)
绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
7年级含有绝对值、参数的不等式的解法例题
一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。
下面举例说明，以供同学们学习。
一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0≠及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 24410x x -+=轴的上方，不等式的解集为。
∅解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为；⎭⎫⎩⎨⎧=21|x x 当m>3时, 原不等式的解集为。
含参数的绝对值不等式的解法
含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。
对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。
绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。
含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。
1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。
2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。
3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。
例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。
江苏省高三数学一轮复习之 含绝对值的函数的解答题)
含绝对值的函数的解答题类型一简单的前面系数确定的绝对值函数1.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在所给的坐标系中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、单调增区间、单调减区间(不要求证明).2.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、单调区间(不要求证明).3.（1（2.（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）4.（1（2.5.（1）指出函数的单调区间并求出函数最小值；（2）若0)(>+x f a 恒成立，求a 的取值范围.6. 设函数|4||12|)(--+=x x x f .（1）解不等式2)(>x f ；（2）求函数)(x f y =的值域.7. 设函数a x x x f -+++=|2||1|)(.（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围.8. 已知函数ax x x f ++=|1|)((R a ∈).（1）画出当2=a 时的函数)(x f 的图象；（2）若函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围. 9. 对a 、R b ∈，记⎪⎩⎪⎨⎧<≥=ba b b a a b a , ,},max{，函数)( |}2| |,1max{|)(R x x x x f ∈-+=. （1）作出)(x f 的图像，并写出)(x f 的解析式；（2）若函数)()(2x f x x h λ-=在(]1,-∞-上是单调函数，求λ的的取值范围.10. 已知函数)4(||)(-=x x x f .（1）画出的图象；（2）利用图象写出函数的单调区间；（3）若关于x 的方程k x f =)(有三个不同的根，求k 的取值集合.11. 已知函数)1(||)(+=x x x f ，试画出函数)(x f 的图象，并根据图象解决下列两个问题.（1）写出函数)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 在区间]21 ,1[-的最大值. 12. 已知函数)33( 1||2)(2<<-++-=x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象，并根据图象写出)(x f 的单调区间；（2.13.（1（2.14.（1（2（3.15. ).（1（2.（316. ”：（1R上的”？（2R上的”？若存在，求（31）中的”.17.（1（2（3围．18.（1.（219.（1（2围；（3.20.（1（2.21.（1）求满足2)(=x f 的x 值；（2）是否存在实数a 、b ，且10<<<b a ，使得函数)(x f y =在区间],[b a 上的值域为]2 ,[b a ，若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由.22. 设函数)0( 11)(>-=x xx f . （1）求)(x f 的单调区间；（2）是否存在正实数a 、b （b a <），使函数)(x f 的定义域为],[b a 时值域为]6,6[b a ？若存在，求a 、b 的值，若不存在，请说明理由.23. 已知函数)0( 11)(>-=x xx f . （1）判断函数的单调性；（2）当b a <<0，且)()(b f a f =时，求ba 11+的值； （3）是否存在实数a 、b （b a <），使得函数)(x f y =的定义域、值域都是] ,[b a ？若存在，请求出a 、b的值，若不存在，请说明理由.24. 已知函数31)(-=xx f ，),0(+∞∈x . （1）画出)(x f y =的大致图象，并根据图像写出函数)(x f y =的单调区间；（2）设910<<a ，31>b ，试比较)(a f 、)(b f 的大小. （3）是否存在实数a 、b ，使得函数)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由.25. 已知函数|12|)(-=x x f .（1）求函数零点；（2；（3.26.（1（2.27. 如果满足：（1明理由；（2.28. 如果满足：（1）请说明理由；（2（33为上界的有界函数，29. 如果满足：（1理由；（2（3.类型二绝对值前有常系数1.（1（2（3．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．．）．2.（1（2（3.类型三绝对值内有参数、绝对值外系数确定1. .（1（2.2.（1（2（3.3.（1（2（3.4.（1（2（3.5.（1（2.6.相等.（1（2（37..（1（28. ).（1（2.9..（1类型四其他1.（1（2（3（4.2.（1（23.（1（2（3.4.（1（2（35.（1（2.6.（1（2（3明理由.7.（1（2（3.8.（1（2.9.（1m的取值范围；（2m的取值范围.10.（1（2（3.11.（1（2（3.12.（1（2（3.13.（1（2）(ⅰ)(ⅱ)14.（1（2.15.（1（2（3．．．．(不需给出演算步骤).16.（1（2.（317.（1（2（3.18.（1的值域；（2的最大值；（3.19.（1（2（3）对于（2取值范围.20.（13接近0（2（3.明）.。
高考数学函数能力型客观题220例：含绝对值的函数 含解析
四、含绝对值的函数高考解密：含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论，对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1.形如()f x 的函数，研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到；2。
形如()f x 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况，0x <的情况可以根据对称性得到；3。
函数解析式中部分含有绝对值，如1y x x a =-+,2y xx a =+- 等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再结合图像进行研究。
一、选择题 1．设12,x x 是方程ln 2x m -=（m 为实常数)的两根，则12x x +的值为（ ）A ．4B ．C ．4-D ．与m 有关2．函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为（ ）A ．{}3,1B 。
{}3,1-C 。
{}3,1--D 。
{}3,1-3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是（ ）A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称4.已知方程sin xk x =在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是（ ）A ．1tan()41πααα++=-B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 5.已知函数()2sin f x x x =，则函数()f x 在区间[]2π,2π-上的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66.已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b << C 。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】≤x≤【解析】由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.11.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．【答案】（1）M＝{x|0＜x＜1}（2）ab＋1＞a＋b【解析】(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.不等式的解集是 .【答案】【解析】由题意可得，，解得．【考点】绝对值不等式的解法．13.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.14.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.15.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．16.不等式的解集为 .【答案】【解析】即两边平方得，，，所以，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法17.已知函数f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若关于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围【答案】（1）不等式的解是{x|0＜x＜}；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题试题解析：（I）由题设知：当时，不等式等价与，即； 2分当时，不等式等价与，即； 4分当时，不等式等价与，即无解所以满足不等式的解是 6分（II）由图像或者分类讨论可得的最小值为4 8分则，解之得，【考点】1 绝对值不等式的解法；2 恒成立问题；3 分段函数的最值问题18.设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】由题意当时，，当时，，即，由，则或，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式.19.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1，若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1＞1，解得x＜-1或x＞0.∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.函数恒成立问题20.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.21.已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)不等式的解集为;(2)【解析】（1）将代入得一绝对值不等式：，解此不等式即可.（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数是数学中的一种基本函数，它表示一个数与零的距离。
下面是一些绝对值函数的基础练题，每个题目都包含了答案和解析。
1. 求解以下绝对值方程：
a) |2x - 3| = 5
b) |4 - 3x| = 7
答案解析：
a) 2x - 3 = 5 或者 2x - 3 = -5
解得 x = 4 或者 x = -1
b) 4 - 3x = 7 或者 4 - 3x = -7
解得 x = -1 或者 x = 11/3
2. 求解以下绝对值不等式：
a) |3x + 2| > 10
b) |5 - 2x| ≤ 8
答案解析：
a) 3x + 2 > 10 或者 3x + 2 < -10
解得 x > 8/3 或者 x < -4
b) 5 - 2x ≤ 8 或者 5 - 2x ≥ -8
解得x ≤ -1/2 或者x ≥ 13/2
3. 求以下函数的定义域：
a) f(x) = |x - 1|
b) g(x) = |2x + 3|
答案解析：
a) f(x) = |x - 1| 为一个绝对值函数，对于任意实数 x，f(x) 都有定义。
因此，f(x) 的定义域为所有实数。
b) g(x) = |2x + 3| 为一个绝对值函数，对于任意实数 x，g(x) 都有定义。
因此，g(x) 的定义域为所有实数。
以上就是绝对值函数基础练题的答案解析部分。
希望这些练题能够帮助你更好地理解和应用绝对值函数。
2015年高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺
[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案诸暨里浦中学蔡军挺整理1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0∴f（x）为奇函数，故充分性成立必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=x|x﹣a|，由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．∴a2+b2=0．故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0（2）解：由b＜﹣1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．∴1+b＜a＜1﹣b2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。
（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增3、已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性（2）求f（x）最小值。
解：（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：f(x)=x^2+|x-a|+1f(-x)=x^2+|x+a|+1显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数综上：当a=0时，函数为偶函数；当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
高考专用二次含参绝对值函数16个题及参考答案蔡军挺
[高考专用]二次含参绝对值函数16个题及参考答案诸暨里浦中学蔡军挺整理1、设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0∴f（x）为奇函数，故充分性成立必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，∴f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=x|x﹣a|，由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．∴a2+b2=0．故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0（2）解：由b＜﹣1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=1﹣b．∴1+b＜a＜1﹣b2、已知函数f(x)=∣x-a∣-9/x+a,x∈【1,6】，a∈R。
（1).a=1,试判断并证明函数f(x)的单调性；（2).当a∈（1,6）时，求函数f（x)的最大值的表达式M(a).(1)∵函数f(x)=|x-a|-9/x+a, x∈[1，6]，a∈R.令a=1，f(x)=|x-1|-9/x+1当x>=1时，f(x)=x-9/xF’(x)=1+9/x^2>0∴函数f(x)单调递增3、已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R） a是实数，（1）判断f(x)的奇偶性（2）求f（x）最小值。
解：（1）首先看函数定义域，函数定义域为R，因此根据函数奇偶性的定义，只要判断f(-x)与f(x)的关系即可：f(x)=x^2+|x-a|+1f(-x)=x^2+|x+a|+1显然，当a=0时，f(x)=f(-x），函数为偶函数；当a不等于0时，f(x)不等于f(-x）也不等于-f(-x），函数既不是奇函数，也不是偶函数综上：当a=0时，函数为偶函数；当a不等于0时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
专题3与绝对值函数相关的参数最值 (学生版)
专题3 与绝对值函数相关的参数最值及范围问题类型三 二次项系数含参数1．（2015•丽水一模）已知函数f （x ）=|a 2x 2﹣1|+ax （a ∈R ，且a≠0）．（Ⅰ）当a ＜0时，若函数y=f （x ）﹣c 恰有x 1，x 2，x 3，x 4四个零点，求x 1+x 2+x 3+x 4的值； （Ⅱ）若不等式f （x ）≥|x|对一切x ∈[b ，+∞）都成立，求a 2b 2+（b ﹣）2的最小值．2.函数f （x ）=mx|x ﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a=1，试讨论f （x ）的零点的个数．3已知函数c bx mx x f ++=2)()0(≠m 满足,对于任意R 都有,且,令. (Ⅰ)求函数的表达式； (Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数ax ax ax f y ---=|1)(| )0(<a 的最大值)(a M ．4 已知（Ⅰ）求证：函数的图象与轴恒有公共点；（Ⅱ）当时，求函数的定义域； （Ⅲ）若存在使的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围。
5.已知函数x x x f +-=|1|)(2．(Ⅰ)若函数c x f y -=)(恰有两个零点，求实数c 的取值范围；(Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数)(ax f y = )0(<a 的最大值)(a M ．6.设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点.（Ⅰ）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；（Ⅱ）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；（Ⅲ）若2a ≥，212x x -=,且当12(,)x x x ∈时，2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最小值.2()(1)1,f x ax a x a R =-++∈()f x x 0a >y 0m >x 1()f x m m =+a。
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析
高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析1.函数y=sinxcosxtanx的值域为（）+（）A．{1,3} B.{-1,3} C.{-1,-3} D.{1,-3}答案】B解析】当sinx>0,cosx>0时y=3，sinx>0,cosx0时y=-1，sinx<0,cosx<0时y=3，所以值域为{-1,3}。
2．函数f(x)=lnx-1/(1-x)的图像大致为()A． B． C． D．答案】D解析】由于f(3)>ln2/2，排除C选项，f(-1)>0，排除B选项，f(1/2)<0，不选A选项，所以选D。
3．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)=f(x-1)+g(x-1)，则下列结论中正确的是() A．h(x)关于(1,)对称 B．h(x)关于(-1,)对称 C．h(x)关于x=1对称 D．h(x)关于x=-1对称答案】C解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(x-1)是偶函数，即f(x-1)与g(x-1)均为偶函数，其图像均关于y轴对称，所以f(x-1)与g(x-1)的图像都关于直线x=1对称，即h(x)=f(x-1)+g(x-1)的图像关于直线x=1对称，故选C。
4.已知f(x)=ax+x-a(-1≤x≤1)且a≤1，则f(x)的最大值为()A．5/4 B．3/4 C．3 D．1答案】A解析】由题意得：f(x)=ax-1+x≤ax-1+x≤x-1+x/2，-1≤x≤1.所以当x=±1时，x-1+x=±2，f(x)max=5/4，即f(x)≤5/4，所以选A。
5．若函数f(x)=1(x≠1)，f(x+)=2x-1，则关于x的方程f(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数根，则（）A．b0 B．b-2且c>0 D．b>-2且c<0答案】C解析】因为f(x+)=2x-1，所以当x>1时，f(x)=2x-1；当x1时，f(x)max=2x-1；当x1时，f(x)≤2x-1；当x1时，f(x)≤2x-1，即b≥2；当x-2且c>0，所以选C。
高三提优班：函数的零点,含绝对值函数问题
【高三】提优讲义函数零点讲义 +含绝对值函数问题1. 设f(x)={x 2−mx +2,x <0lnx −mx,x >0，若方程f(x)=x 恰有三个零点，则实数m 的取值范围为______．2. 函数，函数g(x)=k(x −2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为3. 已知函数f(x)={−x 2−4x +1,x ≤03x ,x >0，则函数f(f(x))=3的零点的个数是________． 4. 已知函数f(x)={2√x,0≤x ≤1,1x,x >1．若关于x 的方程f(x)=−14x +a(a ∈R)恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A. [54,94]B. (54,94]C. (54,94]∪{1}D. [54,94]∪{1} 5. 设函数f(x)=lg(1+2|x|)−11+x 4，则使得f(3x −2)>f(x −4)成立的x 的取值范围是______6. 已知函数f(x)=x |x −a |，若f(x)在区间[1 , 32]上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞)B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 设a,k ∈R ，已知函数f(x)=x 2−|x −a |+ka ．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)若对任意a ∈[0,16]，函数f(x)至少有三个零点，求实数k 的取值范围．9. 已知函数f(x)=x 2+(x −1)|x −a|．(1)若a =−1，解方程f(x)=1；(2)若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x−3对一切实数x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】1.设f(x)={x 2−mx+2,x<0lnx−mx,x>0，若方程f(x)=x恰有三个零点，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综较难题．将问题转化为与图像交点个数有3个的问题，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果．【详解】解：当时，，等价于；当时，，等价于；令，则方程恰有三个零点，等价于与直线有三个交点．当时，则，令，解得，故该函数在区间单调递增，在单调递减．且时，；又时，；而当时，由对勾函数性质，容易知：当时，函数取得最大值．故的图象如下所示：数形结合可知，要满足题意，只需，解得．故答案为．2.函数，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为．【答案】(0,4−2√3)【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．x2+2x，画，的图象，结合直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k的范围即可．【解答】解：依题意，画出的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0−2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2−2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4−2√3)，故答案为(0,4−2√3)．3.已知函数f(x)={−x 2−4x+1,x≤03x,x>0，则函数f(f(x))=3的零点的个数是________．【答案】4【解析】【分析】此题考查函数的零点与方程的根个数的求法，是基础题，易错点是分类不全，容量出现丢解，解题时要注意分段函数的性质和应用，注意分类讨论、数形结合的合理运用．【解答】解：函数y=f(f(x))−3的零点的个数与方程f(f(x))=3的根的个数相同，若f (x )≤0，则−f 2(x )−4f (x )+1=3，则f (x )=−2±√2≤0，由函数的图象可得，方程f (x )=−2±√2，有两个根；当f(x)>0时，3f (x )=3，则f(x)=1，由函数的图象可得，f(x)=1有两个根，所以函数y =f(f (x ))−3的零点个数，即f(f(x))=3的根的个数为4．故答案为4．4. 已知函数f(x)={2√x,0≤x ≤1,1x,x >1．若关于x 的方程f(x)=−14x +a(a ∈R)恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A. [54,94]B. (54,94]C. (54,94]∪{1}D. [54,94]∪{1} 【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．分别作出y =f(x)和y =−14x 的图象，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，直线与y =1x 在x >1相切，求得a 的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f(x)={2√x,0≤x ≤11x,x >1的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f(x)=−14x +a(a ∈R)恰有两个互异的实数解， 即为y =f(x)和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时， 有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x >1相切，可得ax −14x 2=1， 由△=a 2−1=0，解得a =1(−1舍去)，综上可得a 的范围是[54,94]∪{1}． 故选：D ．5. 设函数f(x)=lg(1+2|x|)−11+x 4，则使得f(3x −2)>f(x −4)成立的x 的取值范围是______．【答案】(−∞,−1)∪(32,+∞)【解析】解：因为f(−x)=lg(1+2|−x|)−11+(−x)4=lg(1+2|x|)−11+x 4=f(x)，故f(x)为偶函数，且x ≥0时，f(x)=lg(1+2x)−11+x 4单调递增，由f(3x −2)>f(x −4)可得|3x −2|>|x −4|，两边平方整理可得，2x 2−x −3>0，解可得，x <−1或x >32．故答案为{x|x <−1或x >32}. 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6. 已知函数f(x)=x |x −a |，若f(x)在区间[1 , 32]上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(−∞,1]∪[3,+∞)【解析】【分析】本题考查分段函数的图像，考查函数的单调性，属于难题．化简f(x)=x|x −a|={x (x −a ),x ⩾a x (a −x ),x <a，分a ⩽0，和a >0给合图像分析即可． 【解答】解：f(x)=x|x −a|={x (x −a ),x ⩾a x (a −x ),x <a ,(1)当a ⩽0时，如图所示，给合图像，f(x)在区间[1 , 32]上是单调递增函数恒成立，(2)当a >0时，如图所示，给合图像，要使f(x)在区间[1 , 32]上是单调递增函数，则a 2⩾32或a ⩽1， 即0<a ⩽1或a ⩾3，综合(1)(2)知，实数a 的取值范围是a ⩽1或a ⩾3．故答案为：(−∞,1]∪[3,+∞)．1. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞)B. (−∞,−12)∪(0,2√2)C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞) 【答案】D【解析】解：若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx 2−2x|有四个根，即y =f(x)与y =ℎ(x)=|kx 2−2x|有四个交点，当k =0时，y =f(x)与y =|−2x|=2|x|图象如下：两图象只有一个交点，不符合题意，当k <0时，y =|kx 2−2x|与x 轴交于两点x 1=0，x 2=2k (x 2<x 1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k >0时，y =|kx 2−2x|与x 轴交于两点x 1=0，x 2=2k (x 2>x 1) 在[0,2k )内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y =x 3与y =kx 2−2x 在(2k ,+∞)还有两个交点，即可，即x 3=kx 2−2x 在(2k ,+∞)还有两个根，即k =x +2x 在(2k ,+∞)还有两个根，函数y =x +2x ≥2√2，(当且仅当x =√2时，取等号)，所以0<2k <√2，且k >2√2，所以k >2√2，综上所述，k 的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D ．问题转化为f(x)=|kx 2−2x|有四个根，⇒y =f(x)与y =ℎ(x)=|kx 2−2x|有四个交点，再分三种情况当k =0时，当k <0时，当k >0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k 的取值范围．本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．7. 设a,k ∈R ，已知函数f(x)=x 2−|x −a |+ka ．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)若对任意a ∈[0,16]，函数f(x)至少有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−|x −1|+k ={x 2−x +k +1,x ≥1x 2+x +k −1,x <1, ∴f(x)的单调增区间为(−12,+∞)；(Ⅱ)∵f(x)=x 2−|x −a|+ka ={x 2−x +a(k +1),x ≥a x 2+x +a(k −1),x <a ，且a ∈[0,16]， 可知f(x)在(−∞,−12)和(a,12)(a,12)上单调递减，在(−12,a)和(12,+∞)上单调递增，若f(a)<0，则f(x)在(−12,a)和(a,12)上无零点，由f(x)的单调性及零点存在性定理可知，f(x)至多有两个零点，故f(a)≥0，即a 2+ak ≥0对任意a ∈[0,16]恒成立，可知k ≥0，当f(a)≥0时，若f(12)>0或f(−12)>0成立，则由f(x)的单调性及零点存在性定理可知，f(x)至多有两个零点，故{f(12)≤0f(−12)≤0，即{−14+a(k +1)≤0−14+a(k −1)≤0成立， 注意到−14+a(k +1)≥−14+a(k −1)，故−14+a(k +1)≤0，即k ≤14a −1对于任意a ∈[0,16]成立，∴k ≤12，综上k 的取值范围为[0,12]．【解析】本题考查了绝对值不等式单调性的求法和函数零点的判定，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−|x −1|+k ={x 2−x +k +1,x ≥1x 2+x +k −1,x <1，根据二次函数的单调性可得其增区间；(Ⅱ)对f(x)去绝对值，然后判断单调性，再结合零点存在性定理判断f(x)的零点即可．8. 已知函数f(x)=x 2+(x −1)|x −a|．(1)若a =−1，解方程f(x)=1；(2)若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使不等式f(x)≥2x −3对一切实数x ∈R 恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=x 2+(x −1)|x +1|，故有f(x)={2x 2−1,x ≥−11,x <−1， 当x ≥−1时，由f(x)=1，有2x 2−1=1，解得x =1或x =−1．当x <−1时，f(x)=1恒成立．∴方程的解集为{x|x ≤−1或x =1}；(2)f(x)={2x 2−(a +1)x +a,x ≥a (a +1)x −a,x <a， 若f(x)在R 上单调递增，则有{a+14≤a a +1>0， 解得，a ≥13． ∴当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；(3)设g(x)=f(x)−(2x −3)，则g(x)={2x 2−(a +3)x +a +3,x ≥a (a −1)x −a +3,x <a， 不等式f(x)≥2x −3对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式g(x)≥0对一切实数x ∈R 恒成立．①若a >1，则1−a <0，即21−a <0，取x 0=21−a ，此时x 0∈(−∞,a)，g(x 0)=g(21−a )=(a −1)⋅21−a −a +3=1−a <0，即对任意的a >1，总能找到x 0=21−a ，使得g(x 0)<0，∴不存在a >1，使得g(x)≥0恒成立．②若a =1，g(x)={2x 2−4x +4,x ≥12,x <1，g(x)值域为[2,+∞)， ∴g(x)≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(−∞,a)时，g(x)单调递减，其值域为(a 2−2a +3,+∞)，由于a 2−2a +3=(a −1)2+2≥2，∴g(x)≥0成立．当x ∈[a,+∞)时，由a <1，知a <a+34，g(x)在x =a+34处取最小值， 令g(a+34)=a +3−(a+3)28≥0，得−3≤a ≤5，又a <1，∴−3≤a <1．综上，a ∈[−3,1]．【解析】本题考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性求参数的取值范围，属难度较大的题目．(1)把a =−1代入函数解析式，分段后分段求解方程f(x)=1的解集，取并集后得答案；(2)分段写出函数f(x)的解析式，由f(x)在R 上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于a ，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解a 的取值范围；(3)把不等式f(x)≥2x −3对一切实数x ∈R 恒成立转化为函数g(x)=f(x)−(2x −3)≥0对一切实数x ∈R 恒成立．然后对a 进行分类讨论，利用函数单调性求得a 的范围，取并集后得答案．。
2022高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数
专题(1) 含绝对值的函数1.(2018浙江高考)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )2.若关于x 的不等式|x-2|+|2x+3|>a 对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,7)B.-∞,72C.[0,7)D.0,723.函数f (x )=x 2-2|x|+2的定义域是[a ,b ](a<b ),值域是[2a ,2b ],则符合条件的a ,b 的组数为( )A.0B.1C.2D.34.设函数f (x )=|x 2-2x-1|,若m>n>1,且f (m )=f (n ),则mn 的取值范围为( )A.(3,3+2√2)B.(3,3+2√2]C.(1,3)D.(1,3]5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ),满足f (x+1)=f (1-x ),且在区间[-1,0]上的最大值为3,若函数g (x )=|f (x )|-mx 有唯一零点,则实数m 的取值范围是( )A.[-2,0]B.[-2,0)∪[2,+∞)C.[-2,0)D.(-∞,0)∪[2,+∞)6.若函数f (x )=ax 2+bx+5(a<0)对任意实数t ,在闭区间[t-2,t+2]上总存在两个实数x 1,x 2,使得|f (x 1)-f (x 2)|≥8成立,则负数a 的最大值为 .7.直线y=a 与曲线y=x 2-|x|有四个交点,则a 的取值范围是 .8.设函数f(x)=1x+ax+b,若对任意的实数a,b,总存在x0∈12,2使得f(x0)≥m成立,则实数m的取值范围是 .9.(2019浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a的最大值是 .10.(2021新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.11.(2021新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.12.(2020新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.13.已知f(x)=x2+2|x-1|. (1)解关于x的不等式:f(x)>|2x|x;(2)若f(x)的最小值为M,且a+b=M(a,b∈R+),求证:a2b +b2a≥1.14.(2019年6月浙江学考)设a∈R,已知函数f(x)={a x2+(2a-4)x+2,x≤0,1+a+|x-1|,x>0.x(1)当a=1时,写出f(x)的单调递增区间;(2)对任意x≤2,不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立,求实数a的取值范围.15.设函数f(x)=ax2+|x-a|+b(a,b∈R).(1)若函数f (x )在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,求实数a 的值;(2)若对任意的实数b ∈[0,1]及任意的x ∈[-3,3],不等式|f (x )|≤2恒成立,求实数a 的取值范围.专题(1) 含绝对值的函数1.D 解析因为在函数y=2|x|sin2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin2x 为奇函数,所以y=2|x|sin2x 为奇函数.所以排除选项A,B .当x=0,x=π2,x=π时,sin2x=0,故函数y=2|x|sin2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D .2.B 解析由不等式恒成立转化为a<(|x-2|+|2x+3|)min ,即转化为求|x-2|+|2x+3|的最小值.|x-2|+|2x+3|=|x-2|+x+32+x+32≥(x-2)-x+32+x+32=72+x+32≥72,当x=-32时,等号成立,即|x-2|+|2x+3|的最小值是72,因为不等式|x-2|+|2x+3|>a对任意x∈R恒成立,所以a<(|x-2|+|2x+3|)min,即a<72.故选B.3.B 解析∵f(x)=x2-2|x|+2=(|x|-1)2+1≥1,∴a≥12.若函数f(x)=x2-2|x|+2的定义域为[a,b](a<b),值域是[2a,2b],则①当12≤a<b<1时,∵f(a)=2b,f(b)=2a,则{a2-2a+2=2b,b2-2b+2=2a,两式相减得(a-b)(a+b)-2(a-b)=2(b-a),即(a-b)(a+b)=0,∴a<b,a-b≠0,而b>a≥12,a+b>0,∴不存在满足条件的a,b.②当12≤a<1<b时,函数最小值即为顶点纵坐标,2a=1,a=12,若b-1<1-a,则f(a)=2b,2b=54⇒b=58(舍去);若b-1>1-a,则f(b)=2b,b2-4b+2=0,b=2+√2或b=2-√2(舍去);③当1<a<b时,∵f(b)=2b,f(a)=2a,则{a2-2a+2=2a,b2-2b+2=2b,a,b必然有一根小于1,矛盾,∴不存在满足条件的a ,b ,综上所述,a=12,b=2+√2,即符合条件的a ,b 的组数为1,故选B.4.A 解析解方程x 2-2x-1=0得x=1±√2,作出f (x )的函数图象如图所示:∵m>n>1,f (m )=f (n ),∴1<n<1+√2,1+√2<m<3.∴f (m )=f (n ).∴m 2-2m-1+n 2-2n-1=0,即(m-1)2+(n-1)2=4,m -122+n -122=1,令m=2cos α+1,n=2sin α+1,α∈0,π4.mn=4sin αcos α+2sin α+2cos α+1,令t=sin α+cos α=√2sin α+π4,t ∈(1,√2),sin αcos α=t 2-12,得mn=2t 2+2t-1.∴mn ∈(3,3+2√2).5.C 解析由题知x=1为函数f (x )的对称轴,=1,①即有-b2a由f(x)在区间[-1,0]上的最大值为3,若a>0时,则f(x)在[-1,0]递减,f(-1)取得最大值,且为a-b=3,②若a<0时,f(x)在[-1,0]递增,f(0)取得最大值,且为0,不成立.由①②解得a=1,b=-2,则f(x)=x2-2x.作出y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象,当m=0时,有y=0与y=|f(x)|有两个交点,不合题意;当m>0时,由mx=2x-x2,由判别式Δ=(m-2)2-4×0=0,解得m=2.由图象可得m≥2时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象有两个交点;当0<m<2时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象有三个交点;当m<0,且y=mx为曲线y=|f(x)|的切线时,只有一个交点,即原点为切点,y=|f(x)|=x2-2x(x<0),可得m=-2.由图象可得当m<-2时,有两个交点,当-2≤m<0时,y=|f(x)|的图象和直线y=mx的图象只有一个交点,即为原点.综上可得,所求m的取值范围为[-2,0).6.-2 解析因为a<0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+5(a<0)的图象开口向下.在闭区间[t-2,t+2]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,只需t=-b2a 时,f (t+2)-f (t )≤-8,即4at+4a+2b ≤-8,得a ≤-2.7.-14,0 解析∵曲线y=x 2-|x|,f -12=f 12=-14,∴根据图象(图略)可得出:直线y=a 与曲线y=x 2-|x|有四个交点,则-14<a<0.8.-∞,14 解析∵f (x )=1x +ax+b ,∴f (x )在12,2上的最大值为M (a ,b ),可得M (a ,b )≥f (2)=12+2a+b ,M (a ,b )≥f 12=2+12a+b ,M (a ,b )≥f (1)=|1+a+b|,可得M (a ,b )+2M (a ,b )+3M (a ,b )≥12+2a+b +|4+a+2b|+|3+3a+3b|≥12+2a+b+(4+a+2b )-(3+3a+3b )=32,即6M (a ,b )≥32,∴M (a ,b )≥14.∵存在实数x 0∈12,2使不等式f (x 0)≥m ,∴m ≤f (x 0)max =M (a ,b ),又由对任意实数a ,b ,m ≤M (a ,b )恒成立,∴m ≤M (a ,b )min =14.9.4 3 解析由题意知,|f(t+2)-f(t)|=|a(6t2+12t+8)-2|≤23有解,即-23≤a(6t2+12t+8)-2≤23有解,所以43(6t2+12t+8)≤a≤83(6t2+12t+8)有解,因为6t2+12t+8∈[2,+∞),所以43(6t2+12t+8)∈0,23,83(6t2+12t+8)∈0,43,所以只需要0<a≤43,即a max=43.10.解(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,解得x≤-4;当-3<x<1时,不等式可化为1-x+x+3≥6,解得x∈⌀;当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,解得x≥2.综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).(2)若f(x)>-a,则f(x)min>-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>-a,即a+3<a或a+3>-a,解得a ∈-32,+∞.故a 的取值范围为-32,+∞.11.解(1)f(x)={x-2,x≥2,2-x,x<2;g(x)={-4,x≤-32,4x+2,-32<x<12,4,x≥12.(2)取临界状态,设Q (x ,0),P(12,4),由12-x=4,解得x=-72.由函数f (x )=|x-2|知f (x+a )=|x+a-2|=|x-(2-a )|,函数f (x+a )=|x-(2-a )|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a ≤-72,即a ≥112时,f (x+a )≥g (x )成立.所以a ∈[112,+∞).12.解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x≥112}.(2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,当且仅当(x-a 2)(x-2a+1)≤0时,等号成立.故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4.所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).13.解(1)不等式为x 2+2|x-1|>2|x |x ,x ≥1时,不等式为x 2+2(x-1)>2,x<-1-√5或x>-1+√5,所以x>-1+√5;0<x<1时,不等式为x 2-2(x-1)>2,x<0或x>2,无解;x<0时,不等式为x 2-2(x-1)>-2,(x-1)2+3>0恒成立,所以x<0.综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(-1+√5,+∞).(2)x ≥1时,f (x )=x 2+2(x-1)=(x+1)2-3,在[1,+∞)上单调递增,f (x )min =f (1)=1,x<1时,f (x )=x 2-2(x-1)=(x-1)2+1,在(-∞,1)上单调递减,所以f (x )>f (1)=1.综上,M=f (x )min =1.a 2b +b 2a +1=a 2b +b 2a +a+b=b 2a +a +a 2b +b ≥2√b 2a ·a +2√a 2b ·b =2(b+a )=2,当且仅当b 2a =a ,a 2b =b ,即a=b=12时等号成立.所以a 2b +b 2a ≥1.14.解(1)当a=1时,f (x )={x 2-2x +2,x ≤0,1x -x +2,0<x <1,1x +x ,x ≥1,所以,f (x )的单调递增区间是(1,+∞).(2)若x ≤0,ax 2+(2a-4)x+2≥(a-1)x+2,于是ax 2+(a-3)x ≥0在x ∈(-∞,0]上恒成立,则a=0或{a >0,3-a 2a≥0,得0≤a ≤3.若x>0,f (x )=1x +a+|x-1|={1x-x +a +1,0<x <1,1x +x +a -1,1≤x ≤2,当0<x<1时,f (x )≥(a-1)x+2,即1x -x+a+1≥(a-1)x+2,a (x-1)≤1-xx ,得a ≥-1x ,所以a ≥-1.当x=1时,a ∈R .当1<x ≤2时,f (x )≥(a-1)x+2,即1x +x+a-1≥(a-1)x+2,(x -1)(2x -1)x ≥a (x-1),得a ≤2x -1x =2-1x ,所以a ≤1.综上所述,0≤a ≤1,即a 的取值范围为[0,1].15.解(1)由题易知a<0,则f (x )={a x 2+x -a +b =a (x +12a )2-a +b -14a ,x ≥a ,a x 2-x +a +b =a (x -12a )2+a +b -14a ,x <a ,作出示意图,故可知-12a =1,所以a=-12.(2)因为|f(x)|≤2,所以-2≤ax2+|x-a|+b≤2,又因为对任意的实数b∈[0,1]及任意的x∈[-3,3],上式恒成立,所以-2≤ax2+|x-a|≤1,记g(x)=ax2+|x-a|,所以{-2≤g(0)≤1,-2≤g(3)≤1,-2≤g(-3)≤1,可得-12≤a≤-15,可化为-ax2-2≤|x-a|≤-ax2+1,记h1(x)=-ax2+1,h2(x)=-ax2-2,k(x)=-|x-a|,由-12≤a≤-15,可知,h2(x)<0,所以命题转化为:只需满足以下条件①-x+a=-ax2-2的较小根小于或等于-3,②x-a=-ax2+1的较小根大于或等于3(或是无实根),由①得1-√1-4a(a+1)2a≤-3,解得-12≤a≤0;由②得{1+4a(a+1)≥0,-1+√1+4a(a+1)2a≥3或1+4a (a+1)≤0,解得a=-12,综上可知实数a 的取值范围是-12.。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
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含参数含绝对值的函数综合题探究
一．解题策略：
1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。
2.分类讨论要“慢”；
3.能换元就“换”；
4.有函数就“画”。
二．精题例析
例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数)
f=3|x−a|+|ax−1|，其中a∈R
(x
①当a=1时，写出函数)
(x
f为偶函数，求实数a的值;
(x
f的单调区间;∈若函数)
∈若对任意的实数x∈[0，3]，不等式)
(x
f≥3x|x−a|恒成立，求实数a的取值范围.点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。
练习1 （2016年10月浙江省学考第25题） 设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1<a 。
（1）当3-=a 时，写出函数)(x f 的单调区间（不要求证明）；
（2）若对于任意的D x ⋂∈]2,0[，均有2
)(kx x f ≥成立，求实数k 的取值范围。
练习2 （2014年浙江高考理第22题第一问）
已知函数()).(33
R a a x x x f ∈-+= 若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(),(a m a M ，求)()(a m a M -.
例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题）
已知R ∈a .函数()a a x
x x f +-+
=4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值 范围是_____.
点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。
练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题） 若不等式2x 2−(x −a )|x −a |−2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________.
练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________.
练习3 （浙江省2008年浙江高考理填空题压轴题) 已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[]3,0上最大值为2，则实数t =_______
练习4 创新题
已知0>a ，函数2)(-+-=x a a x x x f 在区间[]4,0上的最大值是10，求实数a 的值.。