六年级奥数蝴蝶模型(供参考)

蝴蝶模型

一、蝴蝶模型与任意四边形

在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：

二、蝴蝶模型与梯形

①

②

推导：① 同上

② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作

△BCD 的高2h

21h h =∴（两平行线之间高

相

等）

三、蝴蝶模型与平行四边形

（一） ①

②

推导：① 同上

② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）

即：对角平行四边形面积乘积相等

（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M

同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 42

1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯

四、蝴蝶模型与长方形

（一） ①

②

即：对角长方形面积乘积相等

五、蝴蝶模型与正方形

“子母图”——两共线相邻的正

方形

在上面两个图形中，每组正方形的对

角线均互相平行，即a//b 、c//d

重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？

分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6

∴S ∆DOC =6×6÷4=9

∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25

答：梯形ABCD 的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm 2）

分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）

答：阴影部分的面积为14平方厘米。 例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC ，所以AC 平行于GE ，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG 和三角形COE 面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE 的面积，即小正方形面积的一半。

解：连接AC D F

∵AC ∥GE

∴由梯形的蝴蝶定理可知：S ∆AOG =S ∆COE

∴S 阴=S ∆COE +S ∆GOE =S ∆GCE =12×6×6=18（cm 2） 答：阴影部分的面积为18平方厘米。

练习题

1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC ，BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？

2. 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3

块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边

形OFBC 的面积。

3. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为30 cm 2，

△CDQ 的面积为80 cm 2，求阴影部分的面积。

4. 如图，四边形ABCG 和CDEF 都是正方形，DC 等于

12厘米，CB 等于10厘米，求阴影部分的面积。

B C E

O