积分敛散性的判断

目录

摘要 (2)

引言 (3)

1无穷积分 (5)

1.1无穷积分的概念 (5)

1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5)

1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6)

1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7)

2瑕积分 (8)

2.1瑕积分的定义 (9)

2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10)

2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10)

2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12)

3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13)

总结.................................................................................................... .. (13)

参考文献.............................................................................................. .. (14)

判断反常积分敛散性的方法

谢鹏数学与计算机科学学院

摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.

关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法

On Convergence of The Method of Judging

Abnormal Integral

Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science

Abstract : The convergence of improper integrals is one of the difficulties in

mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. What's more, it also describes the concept of absolute convergence and conditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison Tests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function, Dirichlet, Abel Discriminant discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better.

Key words : Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flaw

integral

1 引言

定积分⎰b

a dx )x (f 有两个明显的缺陷：其一,积分区间]

b ,a [必须是有限区间；

其二,若]b ,a [R f ∈,则0M >∃,使得对于任意的]b ,a [x ∈,M )x (f ≤（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.

反常积分的概述：

例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v 至少多大？

解 设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g ，按万有引力定律，在距地心x 处火箭受到的引力为

2

2

x mgR )x (F =

于是火箭上升到距地心()R r r >处需作的功为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎰r R mgR dx x mgR r

R 1122

2. 当+∞→r 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功

mgR dx x mgR dx x mgR r R r R

==⎰⎰

+∞→∞+2

2

22

lim

再由能量守恒定律，可求得初速度0v 至少应使

mgR mv =2

02

1 ⇒ ()s km gR v /2.1120≈=. 例

2 圆柱形桶的壁高为h ,半径为R ,桶底有一半径为r 的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？

解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为x h -时，水从小孔里流出的速度为