重庆大学数学分析2002-2014

重庆大学2002数学分析
重庆大学2003数学分析
重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题 科目代码:329
科目名称:数学分析
特别提醒考生:
答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题、、选择题选择题、、改错题等)，直接做在试题上按零分计分计。

第一部分 计算题计算题（（共70分）
一、（10分）求极限x
x x x sin 1
sin lim 20→， 并说明能否使用洛必达法则，为什么？ 二、（10分）设)(x y y =是由方程y x xy e 32=确定的隐函数，计算.)(2)2ln (2y y y ′−′′−
三、（10分）应用定积分求极限∑=∞→+n i n i n n 12
2lim 。

四、（10分）讨论函数43)1()3()(+−=x x x f 的严格单调区间与极值。

五、（10分）判断函数列),3,2,1()(2 ===n nxe x f nx n 在区间[]1,0上的一致收敛性，并说明理由。

六、（10分）计算不定积分∫++dx x x 1
142 七、（10分）化二重积分xdy d y x f D
∫∫+)(为单积分，其中D ：1≤+y x 。

第二部分 证明题证明题（（共80分）
八、（18分）写出极限)(lim x f x ∞
→存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述
结论：
（1）极限x
x x cos lim +∞→存在（有限）；（2）极限x x sin lim +∞→不存在。

九、（12分）叙述函数)(x f 闭区间[]b a ,上可积的定义，并据此证明函数
−=11)(x f Q
x Q x ∉∈，Q 是有理数集
在闭区间[]b a ,上不可积。

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十、（12分）设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续且变号（即非恒正，也非恒负），在开区间()b a ,二阶可导，且,0)()(==b f a f 证明：至少存在一点()0)(,,<′′∈ξξf b a 使得。

十一、（12分）设函数)(x f 在[]+∞,0可微，[)+∞′,0)(在x f 单调增加、无上界，证明：广义积分dx x f ∫+∞
+02)
(11收敛。

十二、（12分）证明：含参广义积分∫
+∞
−=02
)(dx e F x ααα在区间()+∞,0上，1）有连续的导函数；2）非一致收敛。

十三、（14分）设有函数项级数∑∞
=−−=2)1sin(2)(n n n x x f ，证明： （1） 函数()连续；，在区间10)(x f
（2）函数() ,4,3,21)(==k k
x x f k 处不可微在点，在区间()1,0内的其它点处皆可微。

重庆大学2008年硕士研究生入学考试试题科目代码：618
科目名称：数学分析
特别提醒考生：
答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等）），直接
做在试题上按零分记。

一、（12分）设{}n a 和{}n b 是两个数列，a ，b 是两个实数。

（1）叙述a a n n =∞
→lim 的定义；
（2）设,,lim lim b b a a n n n n ==∞
→∞→且b a >,证明:存在正整数0>N ,当N n >时,n n b a >。

二、（12分）
（1）叙述有限覆盖定理；
（2）利用有限覆盖定理证明:若()x f 在闭区间[]b a ，连续，则()x f 在[]b a ,有界。

三、（12分）设二元函数
()()(){}()(){}
⎪⎩⎪⎨⎧<<∈−∈<<∈∈=222220,,00,,1,x y R y x R y x x y R y x y x y x f ，，证明：()y x f ,在()0,0点极限不存在。

四、（12分）如果二元函数()y x f ,存在偏导数，但是不可微，那么复合函数的导数公式
dt
dy y f dt dx x f dt df ∂∂+∂∂=，其中：()t x x =，()t y y =（可导）是否成立？以函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
,00,,222222y x y x y x y x y x f 为例进行研究。

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五、（12分）设函数()x f 在[]1,0+M 上连续()0>M ，记
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=∫∫+x n x n dt t f dt t f n x f 010，[]M x ,0∈∀证明：()x f n 在[]M ,0上一致收敛于()x f 。

六、（12分）计算不定积分：∫
+−1cos 22αx x xdx （常数παk ≠，Z k ∈）。

七、（12分）计算积分∫∫Σ++dxdy z dxdz y dydz x 333。

其中，Σ为上半单位球外表面。

八、（14分）设函数()x f 在闭区间[]b a ，上可微，()0=a f 。

若存在常数0>α，使得
()()x f x f α≤′，[]
b a x ,∈∀证明：（1）当10<<α时，()0≡x f ，[]b a x ,∈∀；
（2）对于任意0>α，()0≡x f ，[]b a x ,∈∀。

九、（12分）讨论广义积分∫+∞0sin dx x
x λ的绝对与条件收敛性。

其中，λ为实常数。

十、（14分）设函数()x f 在区间[)+∞,0上可微，且()0>≥′K x f 。

证明：
（1）()+∞=+∞→x f x lim ；
（2）()∑+∞
=+1211n n f 收敛。

十一、（12分）设数列n n x n 214131211−+++++=⋯，证明：n n x lim ∞
→存在。

十二、（14分）（1）叙述函数()x f 区间[]b a ,上可积的第一充要条件；
（2）设函数列(){}x f n 在[]b a ,上定义，且()x f n 在[]b a ,上一致收敛于()x f 。

证明：
若()x f n 在[]b a ,上可积，则()x f 在[]b a ,上可积。

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