概率的基本性质(经典)

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概率的基本性质

（2）从6名学生中选出4人参加数学竞赛，共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算：（1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间。基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一面向上，这个试验的基本事件空间就是集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，

概率的定义和基本性质

(1)A1 没有红球; (2) A2 恰好有两个红球; (3) A3 至少有两个红球;
(4) A4 至多有两个红球; (5) A5 颜色相同的球;
12
(2) 有放回地摸球(有放回抽样)
例2 一个口袋中装有10个外形相同的球,其中6个是白球, 4个是红球."有放回"地从袋中取出3个球(所谓"有放回"是指第一次取出一个球,记录下这个球的颜色后,再把这个球放回袋中,然后再去任取一个球,依次类推), 求下述事件发生的概率.
这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件发生的概率.
6
定义（概率的统计定义）
在一组不变的条件S下, 独立地重复做n次试验.
当试验次数n很大时,如果A的频率fn A稳定地在某一数值p
附近摆动; 而且一般来说随着试验次数的增多, 这种摆动的幅度会越来越小, 则称数值p为事件A在条件组S下发生的概率.
3
实验者
德.摩根蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
4
性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件,则当试验次数n 固定时,事件A的频率满足
21
作业(12-27)
P176 2. 4. 5. 6. 7.
22
排列组合的几个定理
1. 加法原理定理 1 设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中的一种方法,这件事就可完成.若第一类方法有m1种, 第二类方法有m2种, ,第n类方法有mn种,并且这些方法里, 任何两种方法都不相同,则完成这件事就有m1 m2 mn种方法.

3.1.3-概率的基本性质知识点试题及答案

一、知识要点及方法1、基本概念:(2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥;（3）若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A与事件B互为对立事件；概率加法公式：当事件A与B互斥时,满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P(A∪B）= P(A)+ P（B）=1，于是有P（A)=1—P(B）2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P(B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P（A∪B）= P（A)+ P（B)=1，于是有P(A）=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生;（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；(2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

二、试题课时训练1．如果事件A、B互斥，记错误!、错误!分别为事件A、B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B.A∪错误!是必然事件C.错误!与错误!一定互斥D.A与错误!一定不互斥2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，由甲、乙两人下成和棋的概率为(）A．60%B．30％C．10% D．50%4．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为错误!。

高中数学必修二课件：概率的基本性质

一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解．答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.

人教版高中数学必修三概率的基本性质(经典)ppt课件

[解析]
因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率
1 都是 2 ，被调查者中大约有300人回答了问题(1)，有300人回答 1 了问题(2)；又因为学号为奇数或偶数的概率也是 2 ，故在回答问题(1)的300人中，大约有150人回答“是”，在回答问题(2) 30 的300人中，大约有180－150＝30(人)回答了“是”，即有 300 的被调查者闯红灯，则被调查者中的600人中大约有60人闯过红灯．故选B.
• (5)遗传机理中的统计规律. • 奥地利遗传学家孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与 __________的关系，以及频率与________的关系. 规律性
概率
• ●温故知新 • 旧知再现 • 1．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？ (2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面朝上，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．
• 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化
• [答案] A
(2)国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：抽取球数目优等品数目优等品频率 ①计算表中优等品的各个频率． ②从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？ 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

概率的基本性质(614)

P244-练习10 ：抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” （1）求事件A，B，C的概率；（2）求 A B, A B 的概率.
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”
的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． ( × )
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( × )
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5} A,B既不互斥也不对立
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
能中奖的样本数为18个， P(能中奖) 18 3. 30 5
巩固——概率性质的运用
P242-1.已知， (1)若B⊆A，则P(A∪B)=_____，P(AB)=_______.
命中环数
6
7
8
9 10
(2)若A,B互斥，则(A∪B)=_____，P(AB)=__0_____.
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
P244-13 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中
10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数
不超过5环.
分析：事件为命中某一环数互斥
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
1 P(x 10) 0.2
解：样本空间可表示为 {(x, y) | x, y {1, 2,3, 4,5,6}} . ,n 36

概率的基本性质

描述事件发生的可能性大小的量度，记作 P(E)，其中E为事件。
必然事件
不可能事件
指在一定条件下，一定发生的事件。其概率为1。
指在一定条件下，一定不发生的事件。其概率为0。
概率的公理化定义
公理化定义
基于公理体系的定义方式，通过公理化方法，将概率定义为一种满足特定性质的数学对象
。
可数性公理
所有的可能结果都是可数的，即可以列出所有可能的结果。
04
CATALOGUE
概率的乘法规则
独立事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B相互独立，那么 P(A∩B) = P(A)P(B)。
解释
如果事件A和B是独立的，那么事件A 的发生与否不会影响事件B的发生，反之亦然。因此，两个独立事件的概率乘积等于它们各自的概率。
互斥事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B互斥，那么P(A∩B) = 0 。
02
CATALOGUE
概率的基本性质
非负性
总结词
所有概率值都是非负的。
详细描述
根据概率的定义，任何事件的概率值都是非负的，即大于等于零。这是因为概率被定义为事件发生的次数除以所有可能事件的次数，因此其值不可能为负数。
规范性
总结词
所有事件的概率总和为1。
详细描述
在一个有限概率空间中，所有事件的概率总和等于1。这是概率的规范性性质，它确保了所有可能的后果被完全考虑在内，并且每个后果的概率都被正确地分配。
方差的性质
方差的大小取决于随机变量的取值范围和分布形状，方差越小，随机变量的取值越集中，分布越稳定。
方差的计算公式
方差是每个样本点与均值的差的平方的平均值。

1014概率的基本性质(精练)(原卷版)

2．（2023·全国·高三专题练习）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
3．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（）
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
B能力提升
16．（2022春·全国·高一期末）下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
A． B． C． D．1
4．（2022·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
5．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（）
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1

概率的基本性质

概率的基本性质事件的关系：1.包含：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B⊇A ( 或A⊆B )；注：不可能事件记作Φ，任何事件都包含不可能事件.2.相等事件：若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.和事件：当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).4.积事件：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）5.互斥事件：两个事件的交事件为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B 互斥，其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.6.对立事件：若A∩B＝Ф，A B＝必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.7. 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则（A∪B）＝P（A）＋ P（B）8. 对立事件公式：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.9. 相互独立事件：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件，即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。

例1 某射手进行射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶例3 某射手连续射击两次，试判断下列事件的关系？事件A：第一次命中环数大于7环；事件B：第二次命中环数为10环；事件C：第一次命中环数都小于6环；事件D：两次命中环数都小于6环．练习1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有一名女生的概率为.A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有BA,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.B3. 甲、乙二人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是（）A.P 1+P 2B.P 1·P 2C.1-P 1P 2D.1-（1-P 1）·（1-P 2）4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率是0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问至少一根熔断的概率为 .5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 .6. 有三个形状相同的小罐，在第一罐中有2个白球和1个黑球，在第二罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，从中各摸一个球，3个球都不是白球的概率为____ _.7. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为_______8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是73和41, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______9. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率；（Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．3只果蝇的概率.10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是_______11.12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同色球的概率及三个颜色互不相同的概率.13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.1/24 7/3011．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32，43假设两人每次射击是否击中相互之间没有有影响，求：（1）求甲射击5次，有两次未击中的概率（2）假设某人连续2次未击中目标，就停止射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率12．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．概率练习二1. 在一次试验中，事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为__ __.k n k k n p p C --)1(2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为_ _.p p n 1)1(--3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标的概率为_ _.k n k k n p p C ----)1(11 4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 1,3 （写出所有正确结论的序号）5. 某气象站对天气预报的准确率为60%，那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.25926. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为12581 7. 在一次考试中出了6道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号，若某生完全随机记上6个符号，则全部是正确的概率为 1/64 ；正确解答不少于4道的概率为 11/32 ；至少正确解答一半的概率为 21/32 .8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为32,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/279. 下列各图中，每个开关闭合的概率都是0.75，且是相互独立的，分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/2562． 2．1条件概率学案一、教学目标：条件概率定义的理解。

概率的基本性质

一、知识概述（一）事件的关系与运算1、包含关系对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B A（或A B）．事件的包含关系与集合的包含关系：与集合的包含关系类似，B包含事件A（B A或A B）可用下图表示．不可能事件记作，显然（C为任一事件）．事件A也包含于事件A，即A A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现1点}{出现的点数为奇数}．2、相等事件如果B A且B A，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．（1）两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生；（2）所谓A＝B，就是A、B是同一事件，这在验证两个事件是否相等时，是非常有用的，在许多情况中可以说是唯一的一种方法．例如事件C发生，那么事件D一定发生，反之亦然，则C＝D．3、并（和）事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A＋B）．并（和）事件与集合的并集的关系：与两个集合的并集类似，并事件A∪B（或A＋B）可用下图表示．并事件具有三层意思：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生；③事件A、B同时发生．即事件A、B至少有一个发生．事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件．即A∪B＝B∪A．例如：在投掷骰子的试验中，事件C、D分别表示投掷骰子出现1点、5点，则C∪D＝{出现1点或5点}．4、交（积）事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）．交（积）事件与两个集合的交集类似，交事件A∩B（或AB）可用下图表示．事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}＝{出现的点数为4}.5、互斥事件若A∩B为不可能事件，即A∩B＝，那么称事件A与事件B互斥．思考：如何判断两个事件互斥？探究：在任何条件下都不可能同时发生的事件才是互斥事件．互斥事件与集合的关系：与两个集合类似，互斥事件可用下图表示．（1）A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生；（2）如果A与B是互斥事件，那么A与B两个事件同时发生的概率为0；（3）推广：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件互斥，就称事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合角度看，n个事件互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．例如：在投掷骰子的试验中，若C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，则事件C1与事件C2互斥，C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥．6、对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件．对立事件与集合：与两个集合类似，对立事件可用下图表示．（1）从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所包含结果组成的集合的补集；例如：在投掷骰子的试验中，C＝{出现2点}，则C的对立事件是D＝{出现1，3，4，5，6点}．（2）事件A、B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A 与事件B在一次试验中不会同时发生．（3）对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必为互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件．（4）对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A ∪B（或A＋B）为必然事件．（5）在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．（二）概率的几个基本性质1、概率P（A）的取值范围由于事件的频数总小于或等于试验的次数，所以频率在0到1之间，从而任何事件的概率都在0到1之间，即0≤P（A）≤1．联想·引申：（1）必然事件B一定发生，则P（B）＝1；（2）不可能事件C一定不发生，则P（C）＝0；（3）若A B，则P（A）≤P（B）．2、概率的加法公式当事件A与B事件互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率f n(A∪B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）联想·发散：（1）事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．例如：抛掷一颗骰子，观察掷出点数，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“出现的点数不超过3”，那么A与B就不互斥．因为如果出现1或3，就表示A与B同时发生了．事件A∪B包括4种结果：出现1，2，3和5，因而P（A∪B）＝，而P（A）＝，P（B）＝，显然，P（A∪B）≠P（A）＋P（B）；（2）如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P（A1＋A2＋…＋A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n），即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和；（3）在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．3、对立事件的概率公式若事件A与事件B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝1，又P（A ∪B）＝P（A）＋P（B），故P（A）＝1－P（B）．注：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件一定是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．二、例题讲解：例1、判断下列事件是否是对立事件，是否是互斥事件．从扑克牌40张（黑红梅方各10张）中任取一张．（1）抽出的是红桃与抽出的是黑桃；（2）抽出的红色牌与抽出的是黑色牌；（3）抽出的牌点数为5的倍数与抽出的牌点数大于9.答案：互斥不对立，互斥对立，不互斥不对立例2、福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为________．例3、某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在[100，200)(mm)内的概率；（2）求年降水量在[150，300)(mm)内的概率．解：（1）记这个地区的年降水量在、、、范围内分别为事件，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是0.37．（2）年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是0.55．例4、某工厂的产品中，出现二级品的概率是0.07，出现三级品的概率是0.03，其余都是一级品和次品，并且一级品数量是次品的9倍，求出现一级品的概率．解：设出现一级品的概率是P（A），因为一级品数量是次品的9倍，故出现一级品的概率也是次品的概率的9倍，出现次品的概率为P(A)．根据题意，应有P(A)＋P(A)＋0.07＋0.03＝1，解得P(A)＝0.81．∴出现一级品的概率是0.81．例5、同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．计算：（1）向上的数相同的概率；（2）向上的数之积为偶数的概率．解：每掷一个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36种．（1）向上的数相同的结果有6种，故其概率为．（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本事件有：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为；根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为．例6、射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(1)记：“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A 与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49．(2)记“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件．∴＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－＝1－0.97＝0.03，所以不够7环的概率为0.03．。

概率的基本性质1

集合知识回顾： 1、集合之间的包含关系： A B B A
2、集合之间的运算：
（1）交集： A∩B （2）并集： A ∪ B （3）补集： CuA B
A∩B A
B
A
A∪B
CuA
A
两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，
我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合，那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，
4 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，
请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，（1）故P(A∪D)=0.7；（2）设他不乘轮船去的概率为P，则 P=1－P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。
（2）事件B发生事件A不发生.
对立事件是互斥事件的特殊情形.
互斥事件与对立事件的区别与联系联系：都是两个事件的关系对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况
但互斥事件不一定是对立事件
区别：互斥事件：不同时发生，但并非至少有一个发生; 对立事件：两个事件不同时发生，必有一个发生
练习
１. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶” 的互斥事件是D ( ) (A) 至多有一次中靶 (C) 只有一次中靶 (B) 两次ห้องสมุดไป่ตู้中靶 (D) 两次都不中靶

概率的定义和基本性质(二)

概率的定义和基本性质（二）引言概述：概率是概率论研究的基本概念，也是统计学中重要的概念之一。

它用来描述事件发生的可能性大小，并在统计推断和决策制定中起着关键作用。

本文将进一步介绍概率的定义和基本性质，以帮助读者更好地理解和应用概率理论。

正文内容：一、概率的定义1. 频率定义：概率是基于大量实验的观察结果，通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。

2. 古典定义：概率是基于等可能性假设，通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。

3. 主观定义：概率是基于个人主观判断和经验，通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。

二、概率的基本性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，表示事件发生的可能性不会是负数。

2. 零和性：对于必然事件，其概率值为1，表示该事件一定会发生。

3. 互斥性：对于两个互斥事件，其概率值之和为1，表示这两个事件有且只能发生一个。

4. 加法法则：对于两个不互斥事件，其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。

5. 乘法法则：对于两个独立事件，其概率值之积为两个事件发生概率之积。

三、条件概率和独立性1. 条件概率：给定一个条件下，事件发生的概率。

表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

2. 乘法法则的条件形式：根据条件概率定义，可以将乘法法则扩展为条件形式。

3. 独立性：表示两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。

4. 独立性的判定：根据条件概率和乘法法则，可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。

四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系：一个事件发生必然导致其包含事件的发生，而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。

2. 事件的并与交运算：事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况，交运算表示多个事件同时发生的情况。

3. 事件的补运算：事件的补运算表示不发生该事件的情况。

4. 事件的差运算：事件的差运算表示一个事件发生，而另一个事件不发生的情况。

概率的基本性质

保持积极心态的九个好习惯保持积极心态对于我们的生活和工作来说至关重要。

积极心态能帮助我们更好地应对困难和挑战，改善生活质量，提升自我成长。

然而，积极心态并不是一蹴而就的，它需要我们养成一些良好的习惯。

在本文中，我将介绍九个保持积极心态的好习惯。

一、培养感恩的心态感恩是一种能够帮助我们保持积极心态的强大力量。

每天花点时间思考并记录自己所感恩的事情，感激身边的人和事，能够让我们更加乐观和满足。

当我们把注意力放在积极的事物上时，我们就能够更好地应对生活中的压力和困难。

二、保持身心健康身心健康是保持积极心态的基础。

要保持积极心态，我们需要注重锻炼身体，保持良好的饮食习惯，并且合理安排休息时间。

此外，学会放松自己，通过冥想、旅行或者看书等活动来缓解压力，有助于保持积极心态。

三、树立目标和计划树立明确的目标和制定计划是保持积极心态的关键。

设定目标能够帮助我们保持动力和专注，而制定计划则能够让我们更好地规划自己的时间和资源。

当我们看到自己不断实现目标的过程，我们就会更有信心和积极性。

四、与积极的人交往与积极的人交往有助于我们保持积极心态。

积极的人能够带给我们更多的正能量，鼓励我们、支持我们，并分享他们的成功经验。

在与积极的人交往中，我们也能够学到更多的知识和技能，提高自己的能力。

五、学会积极思考积极思考是保持积极心态的基本要素之一。

将注意力放在解决问题和寻找解决方案上，而不是将其放在消极的情绪或困难上。

学会积极思考能够让我们更加乐观和自信，更好地应对生活中的挑战。

六、保持学习和成长保持学习和成长的心态是保持积极心态的关键。

通过不断学习新知识、掌握新技能，我们能够拓宽自己的视野，提高自己的能力。

不断进步和成长会让我们更加有自信和积极。

七、培养自我爱护的习惯自我爱护是保持积极心态的基础。

要培养自我爱护的习惯，我们需要关注自己的情感和需要，给自己适当的奖励和休息，培养良好的自尊与自信心。

当我们对自己有一份充分的关怀时，我们就会更加积极且愿意面对挑战。

概率论的基本概念和性质

概率论的基本概念和性质概率论，作为数学的一个分支，研究的是不确定性的规律性和可计量性。

它广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域，是现代科学和技术发展所必需的重要工具。

本文将探讨概率论的基本概念和性质，帮助读者更深入地理解概率论的应用。

一、概率的定义及其基本性质概率是描述随机事件发生可能性的数值。

它的定义可以由频率学派和古典学派给出。

1.1 频率学派的定义频率学派通过观察事件在大量重复试验中出现的频率来定义概率。

当试验次数无限增加时，事件发生的频率将趋近于一个确定的值，这个值就是事件的概率。

频率学派的定义使概率具有了客观性和可验证性。

1.2 古典学派的定义古典学派认为概率是事件在所有可能结果中占据的比例。

例如，掷一颗均匀骰子，每个点数出现的可能性均等，因此每个点数的概率为1/6。

古典学派的定义在一些简单情况下更为方便，但对于复杂问题可能不适用。

二、概率的性质2.1 非负性概率是非负的，即对于任意事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1。

概率取值在0到1之间，表示事件发生的可能性大小。

2.2 规范性对于必然事件（即一定会发生的事件），概率为1，即P(S) = 1，其中S为样本空间。

对于不可能事件（即一定不会发生的事件），概率为0，即P(Φ) = 0，其中Φ为不含任何样本点的空集。

2.3 可列可加性对于两个互不相容的事件A和B，它们的概率满足可列可加性，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

只要事件A和B没有共同的结果，它们的概率可直接相加。

2.4 完备性对于样本空间S中的所有事件的概率之和为1，即P(S) = 1。

样本空间中的事件包括必然事件和不可能事件，其概率之和包含了所有可能性。

三、条件概率条件概率指的是在给定某个相关事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

设A和B是两个事件，且P(B) > 0，那么事件A在事件B 发生的条件下的概率记为P(A|B)，它的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

概率的基本性质

6、由对立事件的意义： A
A
是一个必然事件，它
的概率等于１，又由于Ａ与 A 互斥，
P( A A) P( A) P( A) 1
对立事件的概率的和等于1
王新敞
奎屯新疆
从上面的公式还可得到：
P( A) 1 P( A)
三、讲解范例：
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随
机抽取一张，那么取道红心的概率是0.25，取
一、复习引入：
1 事件的定义：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率: 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发 m 生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这 n 时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P ( A)
3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频
率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为 0 P( A) 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个
结果(事件A)称为一个基本事件
都是互斥的，那么就说事件
A1 , A2 ,, An 彼此互斥.
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结
A
B
C
果组成的集合彼此互不
相交，如图。
2．对立事件的概念从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作由于事件Ａ和事件
A
A 不可能同时发生，它们是互 A