勾股定理单元 易错题专项训练检测试卷

勾股定理单元 易错题专项训练检测试卷

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ）

A ．5

B ．35

C ．332+

D ．213

2．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A ．3

B ．3

C ．5

D ．3或5

3．已知,,a b c 是ABC ?的三边，且满足2

2

2

()()0a b a b c ---=，则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

4．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，

直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2

a b （）

+的值为（ ）

A ．13

B ．19

C ．25

D ．169 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）

A ．9，7，12

B ．2，3，4

C ．1，2，3

D ．5，11，12 6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）

A ．30,40,60

B ．7,12,13

C ．6,8,10

D ．3,4,6

7．在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）

A ．

222221

a b h

+= B ．

222111

a b h

+= C ．2h ab = D ．222h a b =+

8．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）

A．7

2

B．

7

4

C．

25

4

D．

15

4

9．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（）

A．0.6米B．0.7米C．0.8米D．0.9米

10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）

A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米二、填空题

11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E 是AC边上的动点，则BE＋ED的最小值为．

12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

14．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 15．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.

16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．

17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，

且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2

．

18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2

2

22

()0c a b a b --+-=，则

△ABC 的形状为___________

19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=?，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，

32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．

20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．

三、解答题

21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．

（1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．

（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；

（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；

（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．

23．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF

①求证：△AED≌△AFD；

②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．

24．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是

ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．

（1）则BC =____________cm ；

（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

25．已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，过顶点A 作射线AP .

（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知

21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.

①试证明ABD ?是直角三角形；

②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）

（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.

26．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…

（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；

（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．

27．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．

（1）如图1，求∠BGD的度数；

（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；

（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．

28．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．

（1）求证：∠ABE＝∠CAD；

（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．

ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；

ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．

29．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE2DE；（3）如图3，若m＝3AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．

（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；

（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

首先由PAB PCD S =3S △△，得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，则BE 的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值． 【详解】

解：∵PAB PCD S =3S △△， 设点P 到CD 的距离为h ，则点P 到AB 的距离为(4-h ),

则

11

AB (4-h)=3CD h 22

?????，解得：h=1，∴点P 到CD 的距离1，到AB 的距离为3， ∴如下图所示，动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，且两点之间线段最短，

∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，

根据勾股定理：22222

BE=AE AB=63=35

++，

故选：B．

【点睛】

本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键．

2．D

解析：D

【解析】

当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；

当两直角边长为1和2时，第三边==；

故选：D．

3．D

解析：D

【分析】

由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

【详解】

解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，

∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，

即a=b或a2=b2+c2，

∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．

4．C

解析：C

【解析】

试题分析：根据题意得：222

c a b

=+=13，4×1

2

ab=13﹣1=12，即2ab=12，则

2

()

a b

+=22

2

a a

b b

++=13+12=25，故选C．

考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．

5．C

解析：C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

解：A 、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B 、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C 、因为12= 22，所以三条线段能组成直角三角形；

D 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选C ． 【点睛】

此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．

6．C

解析：C 【分析】

根据勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】

A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；

B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；

C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；

D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形； 故选：C . 【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.

7．B

解析：B 【分析】

设斜边为c ，根据勾股定理得出 【详解】

解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵

12ab=1

2

ch ，

∴，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2，

∴22222a b a b h =22222a h a b h +22

222b h a b h

， 即

21a +21b ＝21h ． 故选：B ． 【点睛】

本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．

解析：C

【分析】

根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度．

【详解】

解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，

∴AE＝BE，

设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，

在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，

即x2＝62+（8﹣x）2，

解得，x＝25

4

，

∴BE＝25

4

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

9．B

解析：B

【解析】

试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定

（米）．

故选B．

10．A

解析：A

【解析】

分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

详解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

∴这块沙田面积为：1

2

×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

故选A．

点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．二、填空题

11．

【解析】

试题分析：作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，

连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=22

AC BC

+=13，

∵S△ABB′=1

2?AB?B′D=

1

2

?BB′?AC，∴B′D=

B1012120

1313

B AC

AB

'??

==,∴BE+ED= B′D=

120

13

.

考点：轴对称-最短路线问题.

12．310或10

【详解】

分两种情况：

（1）顶角是钝角时，如图1所示：

在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，

OB=AB+AO=5+4=9，

在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC=310；

（2）顶角是锐角时，如图2所示：

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，

∴AD=4， DB=AB-AD=5-4=1．

在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10， ∴BC=10 ；

综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10． 【点睛】

本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键． 13．（0，21009） 【解析】

【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，

∴OA 1=2，OA 2=（2）2，…，OA 2018=（2）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2

∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=()

2018

2=21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号． 14．1425+或825+ 【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长． 【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253+，

∴△ABC 的周长为：652531425+++=+； 如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253-，

∴△ABC 的周长为：65253825++=+ 综合上述，△ABC 的周长为：145+85+ 故答案为：145+825+ 【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

15．

103. 【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，

CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，2

2S GF =，()2

3S NG NF =-，

12310S S S ++=，即可得出答案.

【详解】

∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形 ∴CG=NG ，CF=DG=NF

∴()2

222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+

22S GF =

()2

2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-

∴22222

12322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+?+++-?==

∴2

103

GF = 故2103S =

故答案为

103

.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 16．10

【分析】

先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝35，c＝5代入即可求出ab的值．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，

∴a2+b2＝c2，

∴（a+b）2﹣2ab＝c2，

∵a+b＝35，c＝5，

∴（35）2﹣2ab＝52，

∴ab＝10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.

17．8或10或12或25 3

【详解】

解：①如图1：

当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，

此时等腰三角形绿地的面积：1

2

×6×4=12（m2）；

②如图2：

当AC=CD=4m时，AC⊥CB，

此时等腰三角形绿地的面积：1

2

×4×4=8（m 2）； ③如图3：

当AD=BD 时，设AD=BD=xm ， 在Rt △ACD 中，CD=（x-3）m ，AC=4m ， 由勾股定理，得AD 2=DC 2+CA 2，即(x-3)2+42=x 2， 解得x=

256

， 此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256

×4=253（m 2）；

④如图4，

延长BC 到D ，使BD=AB=5m ， 故CD=2m ，

此时等腰三角形绿地的面积：

12BD·AC=1

2

×5×4=10（m 2）； 综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或

253

m 2

． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形． 18．等腰直角三角形 【解析】

根据非负数的意义，由()

2

2220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角

形是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形.

点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后

结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式. 19．639+或639- 【分析】

通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF

AED

AEG

S S

S

=-即可求解．

【详解】

①当点D 在H 点上方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，

12AB = ，点E 是AB 中点，

1

62

AE AB ∴=

= ． ∵EH AC ⊥， 90AHE ∴∠=? ． 30,6A AE ∠=?=，

1

32

EH AE ∴=

= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，

2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，

DH EH ∴=，333AD AH DH =-=-， 45EDH ∴∠=?，

15AED EDH A ∴∠=∠-∠=? ．

由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=?，

230AEG AED ∴∠=∠=? ，

AEG A ∴∠=∠， AG GE ∴= ．

又

GQ AE ⊥ ，

1

32

AQ AE ∴=

= ． 30A ∠=? ，

1

2

GQ AG ∴=

． 222GQ AQ AG += ，

即2

2

2

3(2)GQ GQ +=，

3GQ ∴= ．

2DGF

AED

AEG

S

S

S

=- ，

112(333)36363922

DGF

S

∴=??-?-??=-； ②当点D 在H 点下方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，

12AB = ，点E 是AB 中点，

1

62

AE AB ∴=

= ． ∵EH AC ⊥， 90AHE ∴∠=?．

30,6A AE ∠=?= ，

1

32

EH AE ∴=

= ，

AH ∴===． 3DE =，

3DH ∴=== ，

DH EH ∴=，3AD AH DH =+=， 45DEH ∴∠=? ，

90105AED A DEH ∴∠=?-∠+∠=? ．

由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=?，

218030AEG AED ∴∠=∠-?=? ，

AEG A ∴∠=∠， AG GE ∴= ．

又

GQ AE ⊥ ，

1

32

AQ AE ∴=

= ． 30A ∠=?，

1

2

GQ AG ∴=

． 222GQ AQ AG += ，

即2

2

2

3(2)GQ GQ +=，

GQ ∴= ．

2DGF

AED

AEG

S

S

S

=- ，

11

23)36922

DGF

S

∴=???-?=，

综上所述，DGF △的面积为9或9．

故答案为：9或9． 【点睛】

本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 20．49

先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可. 【详解】

∵∠ACB=90?，25AB = ，24AC =, ∴22222252449BC AB AC =-=-=, ∴阴影部分的面积=249BC =， 故答案为：49. 【点睛】

此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.

三、解答题

21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米 【解析】

试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离； （2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可. 试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米， 梯子距离地面的高度AE=22257-=24米． 答：此时梯子顶端离地面24米；

（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米， ∴22CD CE -222520-， ∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米． 答：梯子底端将向左滑动了8米．

22．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析 【分析】

（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；

（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；

（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝

2CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．

解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AB＝AC＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，

∵∠AED＝20°，

∴∠ABE＝∠AED＝20°，

∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°

∴∠CAE＝50°，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，

∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，

故答案为：45；

（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，

理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，

∴∠BAE＝180°﹣2α，

∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，

∴∠AEC﹣∠AED＝45°；

（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，

∴∠FEH＝45°，

∵AH⊥BE，

∴∠FHE＝∠FEH＝45°，

∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，

∴EH2EF，

∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，

∴∠GCH＝∠FHE＝45°，

∴GC＝GH，

∴CH2CG，

∵∠BAC＝∠CGA＝90°，

∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，

∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，