2012年长春市三模理科数学试题及答案

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2012年东北三省高三三模理科数学有答案解析

2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.C3. B4. A5.D6. B7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. D 集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则013x ≤+<，即{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.2. C 由于32(32)(1)3232151(1)(1)222i i i i i z i ii i +++++-====+--+. 故选C.3. B 由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心(1,1)--到直线l ：2x my =+，由点到直线的距离公式可知1m =或7m =-. 故选B. 4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<，故选A.5. D 由题意31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，3q =或1q =-，又已知0q >，即3q =，2101215192023810131718219a a a a a a q a a a a a a +++++==+++++.故选D.6. B 在同一坐标系内画出函数3cos2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A 由函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列可知，函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得()sin[2()]sin(2)6662f x A x A x ππππ+=++=+. 故选A .9. B 命题“若 6πα=，则21sin =α”的否命题是“若 6πα≠，则1sin 2α≠”，是假命题，因此①正确；命题 ,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则1sin ,:≤∈∀⌝x R x p 完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2k πϕπ=+()k Z ∈，因此③错误；命题:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”中sin cos sin cos ))224x x x x x π+=+=+，当(0,)2x π∈时，1)4x π<+≤即:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则A B >”为真命题，可知命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B. 10. C 双曲线22221xya b-=的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点可知2c =，又5PF =可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可得到m =22221xya b-=方程化为222214xya a -=-，代入点P 的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =. 又22c a >，可将236a =舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知双曲线的离心率为221ce a ===. 故选C.11. B 由题意可知四棱锥S A B C D -的所有顶点都在同一个球面上，底面A B C D 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r ，且四棱锥的高h r =，的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为222224))22)44S r r =⨯+=+==+因此22r =，r =O 的体积344333V r ππ==⨯=. 故选B.12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 314. 4+15.0a >且0q >16. 35[,]79简答与提示：13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有42(x⋅-和41x ⋅，求和后可得 3x ，即x 的系数为3.14. 侧视图的对角线长可得长方体的2，1，因此其全面积为1212)4++⨯=+15. 由1n n S S +>得，当1q =时，10n n S S a +-=>；当1q ≠时，10n n n S S aq +-=>，即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}n S 单调递增的充要条件是:0a >且0q >. 16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-，将点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=. 对2ab a b+作如下变形：155512122(2)()142()52()ab b a ba a ba b a b a b a b a b====+++⋅++++++.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以22585()24a b ++≤.由2225585()24a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(1,2)A 和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是1[,2]3，从而b aa b+的取值范围是10[2,]3，进一步可以推得2ab a b +的取值范围是35[,]79.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域.【试题解析】解：⑴由m n m n +=- ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=.然而(2cos ,1),m B = 2(2cos (),1sin 2)42B n B π=+-+ (1sin ,1sin 2)B B =--+，所以2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-= ，1cos 2B =，3B π∠=.(5分)⑵22222221sin sin sin ()sin )322A C sin A A sin A A A π+=+-=++2225331cos sin cos sin cos 442422sin A A A A A A A =++=++311cos 2sin 2112cos 24222244A A A A -=+⋅+=+-11112cos 2)1sin(2)22226A A A π=+-=+-. (9分)因为3B π∠=，所以2(0,)3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-，即1s i n (2)(,1]62A π-∈-所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈，即22sin sin A C +的取值范围是33(,]42. (12分)18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】⑴平均年限1010151020252520301522()80n⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈年. (4分)⑵所求概率222221010252015280137632C C C C C P C ++++==. (8分)⑶由条件知9~(10,)16B ξ，所以94510168E ξ=⨯=. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面A B C D ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A = ，所以D C ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D D C D = ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (4分) ⑵以D 为坐标原点，D A ，D C ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A B D 的法向量为),,(1111z y x n =，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0111DA n DB n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122DC n DB n ，求得)2,2,1(2-=n，则根据66cos =⋅=n n θ,于是可得630sin =θ. (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBDC -1的体积，记为2V .则由于3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V .(12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AM BN bS a a=⋅⋅=，得1b =.又22M F F N=+,所以22b a c a c a+=+-，即ac =221a c =+，解得a =因此该椭圆的方程为2212xy +=. (4分)⑵设1122(,),(,)A x y B x y，而(0),0)M N ，所以11(,)AM x y =-，11,)AN x y =-，22(,)BM x y =-，22,)BN x y =-.从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=+++2222221212121212124()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.(6分)因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty ++-=，所以12222t y y t -+=+，12212y y t -=+. (8分)进而121224()22x x t y y t +=++=+，21212222(1)(1)2tx x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2()()2()42222tt AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++22286(2)2t t =-++.(10分)令22t m +=，则2m ≥. 从而有22861398()88A M A NB M B N mmm⋅+⋅=-=--，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅ 的取值范围是9[,0)8-.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】⑴令()l n 10f x x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22f x x x k x k x x=>-⇔<+.构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x k x x x x-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n2)-∞-. (7分)⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：()()()ln()ln xxf a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a xaa x a x a a ee+++⇔<.构造函数ln ()xx x g x e=，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()xxx xx e x x ex x xg x ee+-⋅+-'==.令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，而2222222111122()ln1ln210e h e e e eee-=+-⋅=-++=<，(1)ln 11ln 110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上第11页（共12页）单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. 题目要找的2m x =，理由是：当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤；当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<恒成立. (12分)( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理：令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =-. 作出基本函数ln y x =和11y x =-的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1ln 1x x =-有两个正实数根1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】⑴因为M A 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅.又M 为P A 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为B M P P M C ∠=∠，所以B M P ∆与P M C ∆相似. （5分）⑵由⑴中B M P ∆与P M C ∆相似，可得M PB M C P ∠=∠.在M C P ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=，得180202BPC BM PM PB -∠-∠∠==.(10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)第12页（共12页）(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t <≤满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t的取值范围是：11t <≤或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，0x ≤，则823243)21(2120020≥++=++=x x x d ，当012x =-时取等号，满足0x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. (5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x - (()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

2012年东北三省四市高三模拟考试即长春三模(理数,全word)

数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.若集合2{|4}A x x =<，则集合{|1,}y y x x A =+∈=A.{|01}y y <≤B.{|01}y y ≤<C.{|03}y y ≤≤D.2.若i zi-=+123，则=z A.1522i -- B.1522i - C.i 2521+ D.3.直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为相关系数为r相关系数为81013171821a a a a a a +++++A.1 B.3C.6D.6.函数21()3coslog 22f x x x π=--的零点个数为A.2 B.3 C.4 D.57.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >58.函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π9.给出下列说法：①命题“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是假命题；②命题p ：0x R ∃∈,使0sin 1x ∃>，则p ⌝：,sin 1x R x ∀∈≤；③“2()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件；④命题p ：“(0,)2x π∃∈，使1sin cos 2x x +=”，命题q ：“在△ABC 中，若,则A B >”.那么命题（p q ⌝∧）为真命题.其中正确的个数是A.4B.3C.2D.110.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为D.12.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有A.288种B.144种C.72种D.36种二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.二项式42()(1x x+的展开式中x 的系数是___________.14.某长方体的三视图如右图，长度为________________.15.等比数列{}n a 的首项为a ，公比为q ，其前n 项和为，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16、如果直线250ax by -+=(0,0)a b >>和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆2285(1)(2)4x a y b -+++-=的内部或圆上，那么2aba b+的取值范围是_______________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、（本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B = ，向量2(2cos (),1sin 2)42B n B π=+-+ ，且满足m n m n +=- .⑴求角B 的大小；⑵求22sin sin A C +的取值范围.18.（本小题满分12分）2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率.某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）；⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记ξ表示其中贷款年限不超过20年得人数，求()E ξ.11（3）求四面体11A BDC 的体积.20.（本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点，分别为其左右顶点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点.当直线与轴垂直时，四边形的面积等于2，且满足22MF AB F N =+.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在最小的正常数m ，使得：当a m >时，对于任意正实数，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于,B C 两点，且100BMP ∠= ，40BPC ∠= .⑴求证：MBP ∆与MPC ∆相似；⑵求MPB ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(为参数)，若以该24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x =-++⑴解不等式()5f x >；⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数的取值范围.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.C3.B4.A5.D6.B7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.B简答与提示：1.D集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则，即{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.2.C 由于32(32)(1)3232151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++-====+--+.故选C.3.B由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心到直线：，由点到直线的距离公式可知或.故选B.4.A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知，故选A.5.D由题意31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得，或1q =-，又已知0q >，即3q =，2101215192023810131718219a a a a a a q a a a a a a +++++==+++++.故选D.6.B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x =和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3.故选B.7.C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件.故选C.2单位即可获得()sin[2()]sin(2)6662f x A x A x ππππ+=++=+.故选A .9.B命题“若6πα=，则21sin =α”的否命题是“若，则”，是假命题，因此①正确；命题,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2k πϕπ=+()k Z ∈，因此③错误；命题，使21cos sin =+x x ”中sin cos )4x x x x x π+=+=+，当(0,2x π∈时，14x π<+≤即:(0,)2p x π∃∈“，使”为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则”为真命题，可知命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确.故选B.10.C 双曲线22221x y a b-=的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点可知，又可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可得到m =，将双曲线22221x y a b -=方程化为222214x y a a-=-，代入点的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =.又，可将舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知双曲线的离心率为221c e a ===.故选C.11.B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径，且四棱锥的高，的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为222224))22)4S r r =+=+==+即满足题意的情况共有443144C C A =种.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.314.4+15.0a >且0q >16.35[,]79简答与提示：13.利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有和，求和后可得3x ，即x 的系数为3.14.，侧视图的对角线长，可得长方体的1212)4+⨯=+15.由1n n S S +>得，当1q =时，10n n S S a +-=>；当时，，即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}n S 单调递增的充要条件是:且.16.根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点，将点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=.对作如下变形：155512122(2)()142()52()ab b a b a a b a b a b a b a b a b====+++⋅++++++.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以22585()24a b ++≤.由2225585(24a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点在以和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以ba的取值范围是，从而的取值范围是10[2,3，进一步可以推得2ab a b+的取值范围是.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域.【试题解析】解：⑴由m n m n +=- ，可知0m n m n ⊥⇔⋅= .⑵22222221sin sin sin ()sin )32A C sin A A sin A A A π+=+-=++2225331cos cos sin cos 4442sin A A A A A A A =++=++311cos 2sin 2112cos 242224A A A A -=+⋅+=+-11112cos 2)1sin(22226A A A π=+-=+-.(9分)因为3B π∠=，所以2(0,3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-，即所以1331sin(2)(,2642A π+-∈，即22sin sin A C +的取值范围是.(12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】⑴平均年限1010151020252520301522()80n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈年.(4分)⑵所求概率222221010252015280137632C C C C C P C ++++==.(8分)⑶由条件知9~(10,16B ξ，所以94510168E ξ=⨯=.(12分)19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以.又平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D = ，所以平面，从而C B AD ⊥.(4分)⎪⎩⎪⎨=⋅0111DA n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122DC n n ，求得)2,2,1(2-=n ，则根据,于是可得630sin =.(9分)(3)设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .则由于，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为.(12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AMBNb Sa a=⋅⋅=，得.又22MF AB F N =+ ,所以22b a c a c a+=+-，即，又，解得a =因此该椭圆的方程为2212x y +=.(4分)⑵设1122(,),(,)A x y B x y，而(M N ，所以11(,)AM x y =--，11,)AN x y =-，22(,)BM x y =--，22,)BN x y =-.从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=++--+2222224()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.所以12222t y y t -+=+，12212y y t -=+.(8分)进而121224()22x x t y y t +=++=+，21212222(1)(1)2t x x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2((2()42222t t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++ .(10分)令22t m +=，则2m ≥.从而有22861398(88AM AN BM BN m m m ⋅+⋅=-=-- ，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅ 的取值范围是.(12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】⑴令()ln 10f x x '=+=,得1x e=.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增.(3分)⑵由于0x >，所以11()ln ln 22f x x x kx k x x=>-⇔<+.构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x k x x x x -'=-==，得.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数()k x 在点12x =处取得最小值，即min 11()()ln 11ln 222k x k ==+=-.因此所求的k 的取值范围是(,1ln 2)-∞-.(7分)⑶结论：这样的最小正常数m 存在.解释如下：()()()ln()ln x xf a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅.ln x x令()ln 1ln h x x x x =+-，则()ln 1h x x x'=--，显然是减函数.又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在上是减函数，而2222222111122(ln 1ln 210e h e e e e e e -=+-⋅=-++=<，(1)ln11ln110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为和2x 12()x x <，并且有:在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，即；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>.从而可知函数在区间和上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当时，；当时，()0g x >.还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值.题目要找的2m x =，理由是：当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而在上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤；当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是，即存在最小正常数，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<恒成立.(12分)(注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理：令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =-.作出基本函数和的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数在区间和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.，当时，()0g x <；当1x >时，()0g x >.还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值.）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠== .(10分)23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线.(2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t +<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=，求得54t =-.综合可求得t的取值范围是：11t +<≤或.（6分）(2)当2-=t 时，直线N:2-=+y x ，设M 上点为，，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ，当012x =-时取等号，满足0x ≤，所以所求的最小距离为.(10分)24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.【试题解析】解：（1）⎪⎪⎨⎧<≤-+≥+=11,31,13)(x x x x x f（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数的值域为.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞ .根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数的取值范围是1(,0]2-.(10分)。

吉林省2012届高三数学仿真模拟卷5 理

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷5—、选择题(毎小S 5分,共60分）1. 设函数的定义域为M,集合，则A. B N C. D.M2. 计箅的结果等于A. B. C. D.3. 已知向量 a与b的夹角为,,则a在b方向上的投影为A. B C. D.4. 已知，中，，则此三角形的最大内角的度数是A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°5. 已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是A. B. C. D.6. 设a,b是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题：①若，，则②若，，则③若，则或④若，则其中正确命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.47. 已知随机变量服从正态分布，则A. 0,16B.0.32C. 0.68D. 0.848. 要得到函数的图象，只需将函数的图象沿X轴A. 向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位9. 右面的程序框图给出了计箅数列{a n}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为A 8B. 63C. 92D 12910. 5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么两位老师与询学们站成一排照相的站法总数为A. 6B. 20C. 30D. 4211. 设则不等式的解集为ABC. D.12. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(X,y)为D内的一个动点,则目标函数的最小值为A. -2B.C.0D.二、填空题（毎小題5分,共20分）13. 若复数（i为虚数单位)为实数，则实数m=____________.14. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________.15. 设抛物线的焦点为F，经过点P(l,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则=___________16. 设f(x)是R上的奇函数，且=0,当时，，则不等式.的解集为___________三、解答题(共70分)17. (本小题满分12分）已知数列{a n }的前n项和，数列满足，且=(I)求数列和的通项公式；(II)若，求数列的前n项和，18. (本小题满分12分）某中学对髙二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解，训练对提高‘数学应用题，得分率作用”的试验,其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学,无额外训练），在试验前的測试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题渕试的平均成绩(均取整数)如下表所示：60分以下61-70分71—80分81—90分91—100分甲班(人数） 3 6 11 18 12乙班(人数〉8 13 15 10现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.(I)试分别估计两个班级的优秀率(II)由以上统计数据填写下面2X2列联表,并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解，训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：0. 50 0. 40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001h 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6. 635 7.879 10.82819.(本小题满分12分）如图，四棱柱中，平面AB-CD,底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱=2.(I)求三棱锥的体积V;(II)求直线BD1与平面ADB1所成角的E弦值；(III)若棱AA1上存在一点P,使得，当二面角的大小为30°时,求实数A的值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点为动点，已知点，直线PA与PB的斜率之积为定值-1/2(I)求动点P的轨遂E的方程j(II)若F(1,0),过点F的直线I交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程.21. (本小题满分12分）已知.，函数（e为自然常数).(I) 求证:(I I)若且恒成立，则称函数的图象为函数，的“边界”，已知函数，试判断“函数以函数的图象为边界”和“函数，的图象有且仅有一个公共点"这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数P、q的值；若不能同时成立,请说明理由.请考生22.23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4—1：(本小题满分10分〉几何证明选讲如图,在，中，.为钝角，点E,H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I)求证：E ，H ，M ，K 四点共圆 (II )若KE=EH ，CE=3,求线段KM 的长.23. 选修4－5：(本小题满分10分)不等式选讲已知实数a,b,c,d 满足，求ac+bd 的最大值.参考答案一、选择题BACCD DAACD BB 二、填空题13.； 14.(52)π+； 15.10； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃. 三、解答题17.解：⑴由题意2n n S a =-， ①当2n ≥时，112n n S a --=-， ②①-②得 11n n n n n a S S a a --=-=-，即 112n n a a -=，--------3分又11112,1a S a a ==-∴=，故数列{}n a 是以为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -=；--------4分由112(2)n n n b b b n -++=≥知，数列{}n b 是等差数列，设其公差为d ，则5371()92b b b =+=，所以5124b b d -==，1(1)21n b b n d n =+-=-；综上，数列{}n a 和{}n b 的通项公式为11,212n n n a b n -==-．--------7分⑵1(21)2n nn nb c n a -==-⋅，1230121=123252(21)2,n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯ ③1212 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯， ④③-④得 123112(2222)(21)2n n n T n --=+++++--⋅，--------9分整理得 2212(21)2(23)2312nn n n T n n --=+⨯--⋅=--⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．--------12分18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，------------------- 1分甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50=，----------- 2分乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50=，----------- 4分所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．------------------- 5分 ⑵优秀人数非优秀人数合计甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 合计5545100---------- 7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，----------------11分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. ------------------- 12分 19.解：⑴在1Rt A AD ∆中，11190,2,1, 3.A AD A A AD A D ∠===∴=--------1分注意到点C 到面111A B C 的距离即为四棱柱1111ABCD A B C D -的高1A D 的长，所以11111113326V A B B C A D =⨯⨯⨯⨯=．--------3分 ⑵以点D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O xyz -，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)D A B A ，111(0,1,3),(1,0,3),(1,1,3)B D C --，-------5分 11(2,1,3),(1,0,0),(0,1,3)BD DA DB ∴=--==，设平面1ADB 的法向量(,,)m x y z =，由10m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面1ADB 的一个法向量为(0,3,1)m =-，--------7分记直线1BD 与平面1ADB 所成的角为α，则116sin ||4||||BD m BD m α⋅==⋅，所以直线1BD 与平面1ADB--------8分⑶11,(1AP PA P λλ=∴+，又1111(1,0,0),(,1,1B C B P λ=-=-+，设平面11B C P 的法向量(,,)n a b c =，由1110n B C n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面11B C P 的一个法向量为(0,1n =-+，--------10分则，注意到0λ>，解得2λ=为所求．--------12分20.12=-，----------- 2分整理得2212x y +=，所以所求轨迹E 的方程为221(0)2x y y +=≠，------ 4分⑵当直线与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；当直线与x 轴垂直时，:1l x =，此时(1,M N，以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±，不合题意；--------------- 6分当直线与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，1122(,),(,),M x y N x y MN 的中点1212(,(1))22x x x xQ k ++-，由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(21)4220k x k x k +-+-=，由12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得212221224,2122,21kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ -------------------8分所以2222(,)2121k kQ k k -++，则线段MN 的中垂线m 的方程为：22212()2121kk y x k k k +=--++，整理得直线2:21x km y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥,即112222(,)(,)02121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-=++ ，----------------10分 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++， ① 由22121212212122[()1],212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得 1k =±，即直线的方程为(1)y x =±-，综上，所求直线的方程为10x y --=或10x y +-=．------------12分21.解：⑴证明：记2()()()2ln u x f x h x x e x =-=-，则2()2eu x x x'=-，----------------2分令()0u x '>，注意到12x >，可得x >所以函数()u x在1(2上单调递减，在)+∞上单调递增．-------4分min ()0u x u f h e e ==-=-=，即()0u x ≥，所以()()f x h x ≥． --------------------------------5分 ⑵由⑴知，()()f x h x ≥对12x >恒成立，当且仅当x = 记2()()()2ln 4v x h x g x e x x px q =-=+--，则“()0v x ≥恒成立”与“函数(),()f x g x 的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即()0v x ≥对12x >恒成立，当且仅当x e =时等号成立，所以函数()v x 在x e =时取极小值，------------------------7分注意到2282()8e x px ev x x p x x-+'=+-=，由()0v e '=，解得10p e =，------------------------9分此时8()()2()ex e x v x x--'=，由12x >知，函数()v x 在1(,)2e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，即min ()()()()5v x v e h e g e e q ==-=--=0，5q e =-，--------11分综上，两个条件能同时成立，此时10,5p e q e ==-．--------12分选做题22. 证明：⑴连接CH ，,AC AH AK AE ==，∴四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，----------- 3分同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．--------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=，故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH ∠=∠，故MKE CEH ∆≅∆，即3KM EC ==为所求． -------------------10分23.解：2222222()()()2()()()()ac bd ac bd abcd ac bd ad bc +=++≤+++2222()()2a b c d =++=，-----5分||2ac bd ∴+≤，即22ac bd -≤+≤ ，--------8分当且仅当ad bc =，即c da b== ，综上ac bd + --------------------------------10分。

2012长春三模(2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试)理综答案

2012年长春市高中毕业班第三次调研测试理科综合答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

1．【参考答案】C【命题立意】本题考查对细胞结构和有关生理功能知识的理解能力【解析】蓝藻能进行光合作用，但无叶绿体；硝化细菌等能进行有氧呼吸，但无线粒体；有丝分裂是真核细胞进行细胞分裂的方式；原核生物无内质网，但也可以合成蛋白质。

2．【参考答案】B【命题立意】本题考查对细胞分裂有关知识的理解能力【解析】有丝分裂前期核膜解体核仁消失；正常情况下，减数第二次分裂后期没有同源染色体，有2个染色体组。

3．【参考答案】C【命题立意】本题考查对光合作用有关知识的理解和分析能力，以及获取信息的能力。

【解析】在35℃时HB品系植物的光合速率最高，所以耐高温性较好。

30℃时HA品系植物的光合速率比20℃时的光合速率低。

4．【参考答案】A【命题立意】本题考查对生长素及其他植物激素知识的理解能力【解析】赤霉素能促进细胞的伸长，使植株增高；由于促进扦插枝条生根作用的生长素有一个最适浓度，在低于或高于最适浓度有相同的作用效果。

植物激素的极性运输不受重力影响；侧芽受到抑制的原因是顶芽产生的生长素向下运输，大量积累在侧芽从而抑制侧芽生长。

5．【参考答案】D【命题立意】本题考查对DNA复制，转录和翻译等有关知识的理解能力【解析】DNA的复制是以DNA的二条链为模板，原料是脱氧核苷酸，碱基互补配对的方式是A-T,G-C。

转录是以DNA的一条链为模板，原料是核糖核苷酸，碱基互补配对的方式是A-U,T-A,G-C。

翻译是以mRNA为模板，原料是氨基酸，碱基互补配对的方式是A-U,G-C。

6．【参考答案】D【命题立意】本题考查对植物细胞吸水和吸收矿质离子知识的理解和分析能力，以及获取信息的能力。

【解析】从柱形图中不能分析出番茄对各种离子的吸收与氧气浓度有关。

7．【参考答案】B【命题立意】本题考查有关化学用语的相关内容【解析】原子的原子结构简图最外层最多不超过8个电子, 原子核内有8个质子、10个中子的氧原子的质量数为18。

东北三省四市高三模拟考试即长春三模理数,全word

东北三省四市高三模拟考试即长春三模理数,全word2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在数学试题卷（文科）第14页（共4页）数学试题卷（文科）第14页（共4页）答题卡上）.1.若集合2{|4}A x x =<，则集合{|1,}y y x x A =+∈= A.{|01}y y <≤ B.{|01}y y ≤< C.{|03}y y ≤≤ D.{|03}y y ≤<2. 若i z i -=+123，则=zA.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+D.1522i -+ 3.直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17- 4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为2r相关系数为3r 相关系数为4r A. 24310r r r r <<<< B. 42130r r r r <<<< C. 42310r r r r <<<< D. 24130r r r r <<<<5.各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成数学试题卷（文科）第14页（共4页）等差数列，则10121519202381013171821a a a a aa a a a a aa +++++=+++++A.1B.3C.6D.96.函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >58.函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π9.给出下列说法：①命题“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是假命题；数学试题卷（文科）第14页（共4页）②命题p ：0x R ∃∈,使0sin 1x ∃>，则p ⌝：,sin 1x R x ∀∈≤； ③“2()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件； ④命题p ：“(0,)2x π∃∈，使1sin cos 2x x +=”，命题q ：“在△ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”.那么命题（p q ⌝∧）为真命题.其中正确的个数是A. 4B. 3C. 2D. 1 10.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右是焦点是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为A.B. C. 2D.11.四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于4+，则球O 的体积等于12.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有A.288种B.144种C.72种D.36种数学试题卷（文科）第14页（共4页）数学试题卷（文科）第14页（共4页）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.二项式42()(1x x+的展开式中x 的系数是___________.14.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长，在侧视图中的长度为的全面积为________________.15.等比数列{}na 的首项为a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，则数列{}nS 为递增数列的充分必要条件是________________.16、如果直线250ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆2285(1)(2)4x a y b -+++-=的内部或圆上，那么2aba b+的取值范围是_______________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.数学试题卷（文科）第14页（共4页）17、（本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =，向量2(2cos (),1sin 2)42Bn B π=+-+，且满足m n m n +=-. ⑴求角B 的大小；⑵求22sin sin A C +的取值范围. 18.（本小题满分12分）2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）；⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率； ⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记ξ表示其中贷款年限不超过20年得人数，求()E ξ.数学试题卷（文科）第14页（共4页）19.（本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面,90ADC ∠=，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥；⑵求二面角11A BD C --的正弦值; （3）求四面体11A BDC 的体积.20.（本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x ya b+=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足222MF AB F N =+. ⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围.A 1CD 1DA BB 1C 1数学试题卷（文科）第14页（共4页）21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.⑴讨论函数()f x 的单调性； ⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围；⑶是否存在最小的正常数m ，使得：当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<⋅恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于,B C两点，且100BMP ∠=，40BPC ∠=.⑴求证：MBP ∆ 与MPC ∆相似；⑵求MPB ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin()42πρθ+=（其中t 为常数）.⑴若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围；⑵当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >； ⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D2.C3. B4. A5.D6. B7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. D 集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则013x ≤+<，即{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.2. C 由于32(32)(1)3232151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++-====+--+. 故选C.3. B 由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心(1,1)--到直线l ：2x my =+，由点到直线的距离公式可知1m =或7m =-. 故选B.4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<，故选A.5. D 由题意31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，3q =或1q =-，又已知0q >，即3q =，2101215192023810131718219a a a a a aq a a a a a a+++++==+++++.故选D. 6. B 在同一坐标系内画出函数3cos2y xπ=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列可知，函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得()sin[2()]sin(2)6662f x A x A x ππππ+=++=+. 故选A . 9. B 命题“若 6πα=，则21sin =α”的否命题是“若 6πα≠，则1sin 2α≠”，是假命题，因此①正确；命题 ,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则1sin ,:≤∈∀⌝x R x p 完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2k πϕπ=+()k Z ∈，因此③错误；命题:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”中sin cos 2(cos ))224x x x x x π+=+=+，当(0,)2x π∈时，1)4x π<+≤，即:(0,)2p x π∃∈“，使21cos sin =+x x ”为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则A B >”为真命题，可知命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.10.C 双曲线22221x y a b -=的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点可知2c =，又5PF =可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可得到m =22221x y a b -=方程化为222214x y a a-=-，代入点P 的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =. 又22c a >，可将236a =舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知双曲线的离心率为221c e a ===. 故选C. 11. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r ，且四棱锥的高h r =，进而可知此四棱锥的四个的正三角形，底面为边长的正方形，所以该四棱锥的表面积为222224))22)4S r r =+=+==+因此22r=，r =O 的体积34433V r ππ==⨯=. 故选B.12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为34C ，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为24C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为33A ，即满足题意的情况共有323443144C C A =种. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14.4+15.0a >且0q > 16. 35[,]79简答与提示：13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有42(x⋅和41x ⋅，求和后可得 3x ，即x 的系数为3.14.侧视图的对角线长，可得长方体的长宽高分别为，2，1，因此其全面积为1212)4++⨯=+15. 由1n nS S +>得，当1q =时，10n nS S a +-=>；当1q ≠时，10nn nS S aq +-=>，即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}nS 单调递增的充要条件是:0a >且0q >. 16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-，将点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=. 对2aba b +作如下变形：155512122(2)()142()52()ab b a b a a b a b a b a b a b a b====+++⋅++++++.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以22585()24a b ++≤.由2225585()24a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(1,2)A 和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是1[,2]3，从而b aa b +的取值范围是10[2,]3，进一步可以推得2aba b+的取值范围是35[,]79. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域.【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=. 然而(2cos ,1),m B =2(2cos (),1sin 2)42Bn B π=+-+(1sin ,1sin 2)B B =--+，所以2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，1cos 2B =，3B π∠=.(5分)⑵22222221sin sin sin ()(sin )322A C sin A A sin A A A π+=+-=++2225331cos cos sin cos 442422sin A A A A A A A =++=++311cos 2sin 2112cos 24222244A A A A -=+⋅+⋅=+-1111(2cos 2)1sin(2)22226A A A π=+-=+-.(9分)因为3B π∠=，所以2(0,)3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-，即1sin(2)(,1]62A π-∈-所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈，即22sinsin A C+的取值范围是33(,]42. (12分)18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】⑴平均年限⑵所求概率222221010252015280137632C C C C C P C ++++==.(8分) ⑶由条件知9~(10,)16B ξ，所以94510168E ξ=⨯=.(12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法. 【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以DA AD11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，90=∠ADC ，所以DCAD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面DD AA 11，DCAD⊥1.又1A DDC D=，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而CB AD 11⊥.(4分)⑵以D 为坐标原点，DA ，DC ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz-，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A BD 的法向量为),,(1111z y x n =，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111DA n n ，求得)1,2,1(1--=n；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n=，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122DC n n ，求得)2,2,1(2-=n，则根据66cos ==θ,于是可得630sin =θ.(9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBDC-1的体积，记为2V .则由于3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V VV .(12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由212222AMBNbS a a=⋅⋅=，得1b =. 又222MFAB F N=+,所以22b a c a ca+=+-，即ac 又221a c =+，解得a =. 因此该椭圆的方程为2212x y +=.(4分)⑵设1122(,),(,)A x y B x y ，而(M N ，所以11(,)AM x y =--，11(2,)AN x y =-，22(,)BM x y =--，22(2,)BN x y =-. 从而有22111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=-+++222222121212121214()2()2x x y y x x x x y y y y=+++-=+-++-.(6分)因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得22(2)210ty ty ++-=，所以12222t y y t -+=+，12212y yt -=+.(8分) 进而121224()22x xt y y t +=++=+，21212222(1)(1)2t x x ty ty t -=++=+，可得222222242221()2()()2()42222t t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++22286(2)2t t =-++.(10分)令22t m +=，则2m ≥. 从而有22861398()88AM AN BM BN m m m ⋅+⋅=-=--，而1102m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅的取值范围是9[,0)8-.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】⑴令()l n 10f x x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fx xxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x=.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>. 所以函数()k x 在点12x=处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-.因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分)⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：()()()ln()ln xxf a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x aa x a x a ae e+++⇔<. 构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x xxxx e x x ex x xg x e e +-⋅+-'==.令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，而2222222111122()ln 1ln 210e h e e e e e e-=+-⋅=-++=<，(1)ln11ln110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值.题目要找的2m x =，理由是：当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤；当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<恒成立. (12分)( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理：令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =-. 作出基本函数ln y x=和11y x =- 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1ln 1x x =-有两个正实数根1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上22.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅.又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分）⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=，得180202BPCBMPMPB -∠-∠∠==. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容. 【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t <≤满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t的取值范围是：11t <≤或54t =-.（6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，0x≤823243)21(212002≥++=++=x x x d ，当012x =-时取等号，满足0x≤所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容. 【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x-的取值范围是[2,)-+∞,进而1 ()4 f x-(()40)f x-≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x的方程1()4af x=-的解集为空集，所以实数a的取值范围是1(,0]2-. (10分)。

吉林省长春市2012年高考数学毕业班第二次调研测试题理

吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研理科数学试题及详细解析第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.设集合{2,1,0,1}A =--,{0,1,2,3,4}B =,则()A B =RA.∅B.{0,1}C.{2,1}--D.{2,1,0,1}--1.C 【解析】AB R的意义是在集合A 中去掉属于集合B 的元素后余下的元素构成的集合，所以应当为{2,1}--.2.i 为虚数单位，复数12aii++为纯虚数，则实数a 等于A.2-B.13-C.12D.22.A 【解析】由于1(1)(2)(2)(21)2(2)(2)5ai ai i a a i i i i ++-++-==++-为纯虚数，所以205a+=，即2a =-.3.已知(,)2παπ∈，3tan 4α=-，则sin()απ+等于A.35B. 35-C. 45D. 45- 3.B 【解析】由题意可知，3sin 5α=，3sin()sin 5απα+=-=-.4.已知x 、y 取值如下表：A.1.30B. 1.45C. 1.65D. 1.804.B 【解析】代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.5.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.1B.12C.34 D.325.B 【解析】由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为1311322V =⋅⋅=. 6.函数sin()y x ωϕ=+(0)2πωϕ><且在区间2[,]63ππ上单调递减，且函数值从1减小到1-，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为A.12C.6.A 【解析】因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[,]63ππ上单调递减，又函数值从1减小到1-，可知2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ===，此时原式为sin(2)y x ϕ=+，又由函数过(,1)6π点，代入可得6πϕ=，因此函数为sin(2)6y x π=+，令0x =，可得12y =.7.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是A.0B.1C.2D.3 7.【解析】3i =，打印点()2,6-，1,5x y =-=，312i =-=；2i =，打印点()1,5-，0,4x y ==x ＝0，211i =-=；1i =，打印点()0,4，1,3x y ==，110i =-=，结束运行.8.已知函数2,(0)()2,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，则[()]1f f x ≥≥1的充要条件是 A.x∈(,-∞B.x∈)+∞C.x ∈(,1][42,)-∞-+∞D.x ∈(,[4,)-∞+∞8.D 【解析】当0x ≥时，1[()]xf f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2x f f x =≥，所以22x ≥，x ≥x ≤所以x ∈(,2][4,)-∞-+∞9.若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=A.3-B.4-C.6-D.8-9.D 【解析】()()DE DF DO OE DO OF ⋅=+⋅+()()198DO OE DO OE =+⋅-=-=-.10.已知函数()c bx ax x x f +++=232131在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足1(1,1)x ∈-，2(2,4)x ∈，则2a b +的取值范围是A.(11,3)--B.(6,4)--C.(11,3)-D.(16,8)--10.C 【解析】2()f x x ax b '=++，由题意可知2222(1)(1)(1)10(1)1110(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '⎧-=-+-+=-+>⎪'=+⋅+=++<⎪⎨'=+⋅+=++<⎪⎪'=+⋅+=++>⎩所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时， 2z a b =+取得最小值为11-. 于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.11.以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为B.23C.11.C 【解析】过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2c ，并设12222MF MO MF t ===，根据勾股定理可知，22221122MF NF MF NF -=-，得到2c =，而32ta =，则3c e a ==.12.已知函数()f x 对任意∈x R 都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且4)4(=f ，则(2012)f =A ．0B ．4-C ．8-D ．16-12.B 【解析】由(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称可知，()f x 关于点(0,0)对称，即为奇函数. 令3x =-可知，(3)(3)2(3)f f f +-=，进而(3)(3)f f -=，又(3)(3)f f -=-可知(3)0f =，所以(6)()0f x f x ++=，可知()f x 是一个周期为12的周期函数，所以(2012)(4)(4)4f f f =-=-=-.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.1206)x dx =⎰.13.4【解析】1122086)6x dx x dx π=+⎰⎰⎰，⎰等于单位圆面积的14，08824πππ=⋅=⎰， 11230622x dx x ==⎰，1122086)622 4.x dx x dx π=+=+=⎰⎰⎰14.12,F F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点，过点2F 作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足123MF MF =，则此双曲线的渐近线方程为________.14. 2y x =±【解析】由双曲线的性质可推得2MF b =，则13MF b = 在△1MF O 中，OM a =，1OF c =，1cos aFOM c∠=-，由余弦定理可知222(3)2a c b aac c+-=-，又222c a b =+，可得222a b=，即2ba =，因此渐近线方程为2y x =±. 15.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C+-=，且c =ABC的面积的最大值为________.【解析】因为274sin cos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12A B C -+-+=，2722cos 2cos 12C C +-+=, 即21cos cos 04C C -+=,解得1cos 2C =.由余弦定理得2217cos2a b C ab+-==,22727ab ab ab =+--≥，7ab ≤.（当且仅当a b ==时，“=”成立）从而11sin 72224S ab C =⋅⋅=≤S 的最大值为4.A 116.如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则以1B 为顶点，以平面1ACD 被球O 所截得的圆为底面的圆锥的全面积为________. 16. 23π【解析】O 为球心，也是正方体的中心， O 到平面1ACD 的距离h 等于体对角线的16，即为h =， B 到平面1ACD 的距离k 等于体对角线的23，即为k = 又球的半径R 等于正方体棱长的一半，即为12R =，由勾股定理可知，截面圆的半径为6r =，圆锥底面面积为2166S ππ=⋅=，圆锥的母线可利用勾股定理求出：2l =，圆锥的侧面积为2==6622S l πππ=⋅⋅⋅⋅.圆锥的表面积为122+623S S S πππ==+=.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，122311a a +=，32624a a a =+-，其前n 项和为n S . ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足111n n b S +=-，其前n 项和为n T ，求证：*3().4n T n <∈N 17.【解析】⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =， 11a =， 1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++，11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++ *()n N ∈.18.（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： ⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；⑵若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[)15,20内的人数； ⑶学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在[)25,30区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在[)20,25区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在[)15,20区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在[)10,15区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X 为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X 的分布列与数学期望()E X . 18.【解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12.⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人.⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯=.ABC DF E19.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . ⑴求证：//AC 平面BEF ；⑵求平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值.19.【解析】⑴证明：方法一.设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG 、，则OG ∥DE 且OG ＝12DE .∵DE AF //，AF DE 2=，∴AF ∥OG 且AF ＝OG，∴AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而(2,0,1)(0,2,1)FE FB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴2020x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，则1y =，2z =，(1,1,2)n =. ∵(2,2,0)AC =-， ∴n AC ⋅＝0，∴n AC ⊥，而AC ⊄平面BEF ，∴//AC 平面BEF .⑵设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角由⑴知平面BEF 的法向量为(1,1,2)n =.又平面ABCD 与z 轴垂直，所以平面ABCD 的法向量可取为1(0,0,1)n =所以1112cos |cos ,|||1n n n n n nα⋅=<>===⋅⋅，所以tan α=即为所求. 20.（本小题满分12分）已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴正半轴上，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且满足3OA OB ⋅=-. ⑴求抛物线的方程；⑵在x 轴负半轴上一点(,0)M m ，使得AMB ∠是锐角，求m 的取值范围； ⑶若P 在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是[2,2]-，且16PA PB ⋅=，点Q是以AB 为直径的圆与准线的一个公共点，求点Q 的纵坐标的取值范围. 20.【解析】⑴设抛物线方程22y px =(0)p >，直线l 方程2p x ty =+，联立消去x 得22()2py p ty =+，即2220y pty p --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pt +=，212y y p =-，进而22121212122222()()()2224()2244p p pt p x x ty ty t y y y y pt p pt p pt =++=+++=⋅-+⋅+=所以22212123344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-=-=-，即2p =，所求抛物线方程为24y x =.⑵因为AMB ∠是锐角，所以0MA MB ⋅>恒成立，即1212()()0x m x m y y --+>，2121212()0x x m x x m y y -+++>.由⑴得121x x =，124y y =-，124y y t +=，21212()42x x t y y p t +=++=+.所以221(42)40m t m -++->，而0m <，所以22234m m t m-->对于t ∀∈R 恒成立，所以22304m m m --<.又0m <，所以22300m m m ⎧-->⎨<⎩，解得m 的取值范围1m <-.⑶由条件可设P 的坐标为(1,)a -，22a -≤≤，则121221212121222222(1)(1)()()()1()14214444(2)16,PA PB x x y a y a x x x x y y a y y a t at at at a t a ⋅=+++--=++++-++=+++--+=-+=-=所以24t a -=或24t a +=，而22a -≤≤，所以226t ≤≤或622t --≤≤. 根据抛物线定义可知，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，所以点Q 的纵坐标为124222y y tt +==，从而点Q 的纵坐标的取值范围是[6,2][2,6]--. 21.（本小题满分12分）已知函数32,(1)()ln ,(1)x ax bx x f x c x x ⎧-++ <=⎨ ⎩≥的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=. ⑴求实数a 、b 的值；⑵曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得△MON 是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围； ⑶当c e =时，讨论关于x 的方程()f x kx =()k ∈R 的实根个数.21.【解析】⑴当1x <时，2()32f x x ax b '=-++.因为函数图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=.所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,(2)12416,f a b f a b -=+-=⎧⎨'-=--+=-⎩解得1,0a b ==. ⑵由⑴得32,(1)()ln ,(1)x x x f x c x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.若1t <，则32()f t t t =-+，由MON ∠是直角得，0OM ON ⋅=，即23232()()0t t t t t -++-+=，即4210t t -+=.此时无解；若1t ≥，则()ln f t c t =⋅. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=，所以N 点不可能在x 轴上，即1t ≠.同理有0OM ON ⋅=，即232()ln 0t t t c t -++⋅=， 1(1)ln c t t=+，由于函数1()(1)ln g t t t=+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值范围是(0,)+∞即为所求.⑶方程()f x kx =，即32,(1)ln ,(1)x x x kx e x x ⎧-+ <=⎨ ⎩≥，可知0一定是方程的根，所以仅就0x ≠时进行研究：方程等价于2,(10)ln ,(1)x x x x k e x x x⎧-+ <≠⎪=⎨ ⎪⎩且≥.构造函数2,(10)()ln ,(1)x x x x k x e x x x⎧-+ <≠⎪=⎨ ⎪⎩且≥对于10x x <≠且部分，函数2()k x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分，当12x =时取得最大值14，其值域是1(,0)(0,]4-∞；对于1x ≥部分，函数ln ()e x k x x =，令2ln ()0e e xk x x-'==，得x e =，所以函数()k x 在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以()k x 在x e =时取得最大值1，其值域是[0,1]，(1)0k =，并且当x 无限增大时，其图像在x 轴上方向右无限接近x 轴但永远也达不到x 轴.因此可画出函数()k x 的图像的示意图如下：可得：①当1k >时，方程()f x kx =只有唯一实根0； ②当1k =时，方程()f x kx =有两个实根0和e ；③当114k <<时，方程()f x kx =有三个实根； ④当14k =时，方程()f x kx =有四个实根；⑤当104k <<时，方程()f x kx =有五个实根；⑥当0k =时，方程()f x kx =有两个实根0和1； ⑦当0k <时，方程()f x kx =有两个实根.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，在△ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =. ⑴求证：2BE AD =；⑵当1AC =，2EC =时，求AD 的长. 22.【解析】⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE DEBA CA=，而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =.⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+ 所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12AD =. 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )10ρθθ-+=. ⑴求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； ⑵求曲线1C 上的点到曲线2C 的最远距离.23.【解析】⑴将cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x .⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．⑴解不等式()5f x ≤；⑵若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．B24.【解析】⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤，因此不等式的解集为]49,41[-∈x . ⑵由于m x f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.。

2012年东北三省三校高考数学一模试卷(理科)(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验)

2012年东北三省三校高考数学一模试卷（理科）（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．x{|﹣3＜x＜﹣1}B．x{|﹣3＜x＜0}C．x{|x＜﹣1}D．x{|x＞0}2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}中，a5+a6=4，则log2（•…）=（）A．10B．20C．40D．2+log257．（5分）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．88．（5分）盒子中放有编号为1，2，3，4，5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．10．（5分）设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=（）A．B．C．或D．或11．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（8，+∞）C．（1，8）D．（1，4）12．（5分）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为．14．（5分）如图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为．15．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为．16．（5分）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是．三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：①将y=sinx的图象整体向左平移个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．（1）求f（x）的周期和对称轴；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．18．（12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．19．（12分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥CE；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．20．（12分）设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|（1）解不等式f（x）≥4；（2）求函数y=f（x）的最小值．2012年东北三省三校高考数学一模试卷（理科）（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）设集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．x{|﹣3＜x＜﹣1}B．x{|﹣3＜x＜0}C．x{|x＜﹣1}D．x{|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|﹣x2﹣3x＞0}=}{x|﹣3＜x＜0}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：A．2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．3．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，∴1×（a+1）+a×（﹣2）=0，解得a=1．故选：C．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“λ＜1”可得a n﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点为（，0），∵P为椭圆上一点，其横坐标为，∴P到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4﹣=故选：D．6．（5分）等差数列{a n}中，a5+a6=4，则log2（•…）=（）A．10B．20C．40D．2+log25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a6=4，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（•…）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．故选：B．7．（5分）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7故选：C．8．（5分）盒子中放有编号为1，2，3，4，5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，盒子中共有10个球，从中任意取出3个，有C103=120种取法，若取出的3个球编号互不相同，可先从5个编号中选取3个编号，有C53种选法．对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，共有23种选法，取出的球的编号互不相同的取法有C53•23=80种，则取出球的编号互不相同的概率P==；故选：D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E（0，），F（0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=，＜法2＞由直线向量参数方程可得=+，=+即为=（||2+||2）+|AB|AC|cos60°=×（4+1）+×2×1×=．故选：A．10．（5分）设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα=＜，∴＜α＜，又sin（α+β）=＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，sinα==，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=．故选：A．11．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（8，+∞）C．（1，8）D．（1，4）【解答】解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=log a（x+2），即f（x）=h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜log a（6+2）＜1，∴a＞8．故选：B．12．（5分）球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S ﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS，∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，所以体积V=Sh==二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由方程组解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx=﹣（﹣4）=故答案为：14．（5分）如图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为4+．【解答】解：根据长对正，宽相等，高平齐，可得侧视图的上底长为2，下底长为（2+），高为2的梯形∴侧视图的面积为=4+故答案为：4+15．（5分）存在两条直线x=±m与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（，+∞）．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC、BD所在直线是各象限的角平分线因此，直线y=±x与双曲线﹣=1有四个交点∴双曲线的渐近线y=±x，满足＞1，即b＞a，平方得：b2＞a2，c2﹣a2＞a2，可得c2＞2a2，两边都除以a2，得＞2，即e2＞2，∴e＞，即双曲线的离心率的取值范围是（，+∞）故答案为：（，+∞）16．（5分）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是．【解答】解：由题意可得，，∴=（x+1，y）∴=，其几何意义是可行域内的任意一点与点E（﹣1，0）的距离结合图形可知，过E（﹣1，0）作EM⊥直线：x+y=2，垂足为M，则ME即为所求的最小值由点到直线的距离公式可得，ME==故答案为：三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：①将y=sinx的图象整体向左平移个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．（1）求f（x）的周期和对称轴；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）由变换得：f（x）=2sin（2x+），∵ω=2，∴T==π；由2x+=kπ+，k∈Z，得对称轴为x=+，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2得：2sin（2C+）=2，即sin（2C+）=1，又C为三角形内角，∴2C+=，即C=，∴cosC=，又c=1，ab=2，在△ABC中，根据余弦定理，有c2=1=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2×2×，整理得：a2+b2=7，与ab=2联立，且a＞b，解得：a=2，b=．18．（12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．【解答】解：（1）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500，2000）的概率约为0.0004×500=0.2．…（2分）（2）频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），设中位数为x，则0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x﹣2000）=0.5，解得x=2400 …（6分）（3）居民月收入在[2500，3500）的概率为（0.0005+0.0003）×500=0.4．由题意知，X～B（3，0.4），…（8分）因此P（X=0）==0.216，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，故随机变量X的分布列为…（10分）X的数学期望为EX=0×0.216+1×0.432+2×0.0288+3×0.064=1.2．…（12分）19．（12分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥CE；（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=AE，∠DAE=60°∴△DAE为等边三角形，设AD=1，则，∴∠DEC=90°，即CE⊥DE．…（3分）∵DD'⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴CE⊥DD′．∵DE∩DD′=D∴CE⊥平面DD′E∵DF⊂平面DD′E∴CE⊥DF．…（6分）（Ⅱ）解：取AE中点H，则，又∠DAE=60°，所以△DAE为等边三角形，则DH⊥AB，DH⊥CD．分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则．．设平面AEF的法向量为，则，取．…（10分）平面CEF的法向量为，则，取．…（12分）∴．∵二面角A﹣EF﹣C为钝二面角∴二面角A﹣EF﹣C的余弦值为．…（15分）20．（12分）设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．∴1+=，解得p=．所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1，则点M（1﹣，0）联立方程组，消去y得x2﹣kx+k﹣1=0解得Q（k﹣1，（k﹣1）2）．…（6分）所以得直线QN的方程为y﹣（k﹣1）2）=．代入曲线x2=y，得．解得N（，）．…（8分）所以直线MN的斜率k MN==﹣．…（10分）∵过点N的切线的斜率．∴由题意有﹣=．∴解得．故存在实数使命题成立．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=lnx．（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1，f（x）=lnx，定义域为（0，1）∪（1，+∞）．=．…（2分）设g（x）=2lnx+，则．因为x＞0，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，又g（1）=0，于是x∈（0，1），g（x）＞0，f′（x）＞0；x∈（1，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．…（6分）（Ⅱ）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以＜0．（1）当a＜0时，f（x）＞0．不合题意．…（8分）（2）当a＞0时，x∈（0，1），由f（x）＜﹣2，得lnx+．设h（x）=lnx+，则x∈（0，1），h（x）＜0．．设m（x）=x2+（2﹣4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a﹣1）．若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=ln1+=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1﹣a）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，又因为h（1）=0，所以x∈（x0，1），h（x）＞0．不合题意．综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵C的参数方程为为参数），利用sin2θ+cos2θ=1，消去参数可得x2+y2=16．由于l经过点P（2，2），倾斜角，可得直线l的参数方程．（2）把l的参数方程代入圆的方程x2+y2=16 可得t2+2（+1）t﹣8=0，∴t1•t2=﹣8，∴|PA|•|PB|=8．24．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|（1）解不等式f（x）≥4；（2）求函数y=f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=，…（3分）不等式f（x）≥4 等价于：，或，或．解得：x≤﹣8，或x≥2，故不等式的解集为{x|x≤﹣8 或x≥2 }．…（6分）（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数y=f（x）的最小值在x=﹣处取得，此时f min（x）=﹣．…（10分）。

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷3

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷3第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知121,63i a a i +=+则的值为（）A ．3B ．-3C ．4D ．-42．已知全集U=R ，集合2{|1}M y y x ==-，集合{|N x y ==，则()U C M N ⋂=（）A ．（-2，-1）B ．[-2，-1）C ．[-2，1）D ．[-2，1]3．关于直线,a b 以及平面,αβ，给出下列命题： ①若//,//,//a b a b αα则 ②若//,,a b a b αα⊥⊥则 ③若//,//,//a b b a αα则 ④若,//,a a αβαβ⊥⊥则其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．在等比数列{}n a 中，若292369101232,a a a a a a a =则的值为（）A ．4B ．2C ．-2D ．-45．给定性质：①最小正周期为π；；②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）A ．sin()26x y π=+ B ．sin(2)6y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．sin ||y x =6．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六位同学排成一排，要求A 、B 、C 、D 在排列中顺序为“A 、B 、C 、D ”或“D 、C 、B 、A ”（可以不相邻），则排列的种数为（） A ．20 B ．30 C ．40 D ．607．已知函数222(1)()65(1)x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数()ln f x x -的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图1，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°9．下列说法正确的是（）A ．命题：“已知函数(),(1)(1)f x f x f x +-若与均为奇函数，则()f x 为奇函数，”为直命题B ．“1x >”是“||1x >”的必要不充分条件。

吉林省长春市实验中学2012届高三模拟考试理科综合试题

3、如图所示，在两个水平放置的平行金属板之间，电场和磁场的方向相互垂直。

一束带电粒子（不计重力）沿着直线穿过两板间的空间而不发生偏转。

则这些粒子一定具有相同的（）A．质量m B．电量qC．运动速度v D．比荷4、已知甲、乙两个绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为r1和r2，月球半径为R。

甲、乙的运动速度大小分别用v1和v2表示。

则v1和v2的比值为（）A． B． C． D．5、如图所示，P、Q、A、B四个点在同一条直线上，分别把两个正、负点电荷置于P、Q两点。

A、B两点间的电势差用U表示，A点的电场强度用E表示。

若把Q点的点电荷的电荷量减半，则（）A．U变大，E变大B．U变小，E变小C．U变小，E变大D．U变大，E变小6、如图1所示，矩形导线框ABCD固定在匀强磁场中，磁感线垂直于线框所在平面向里。

规定垂直于线框所在平面向里为磁场的正方向；线框中沿着ABCDA方向为感应电流i的正方向。

要在线框中产生如图2所示的感应电流，则磁感应强度B随时间t变化的规律可能为（）7、如图甲所示，理想变压器的原线圈电路中装有0.5A的保险丝L，原线圈匝数n1=600匝，副线圈匝数n2=120匝。

当原线圈接在如图乙所示的交流电源上，要使整个电路和用电器正常工作，则副线圈两端可以接（）A．阻值为12Ω的电阻B．并联两盏的“36V 40W”灯泡C．工作频率为10Hz的用电设备D．耐压值为36V的电容器8、如图所示，将一小球从斜面上的A点水平抛出，忽略一切阻力和能量损耗，若已知小球经过时间t后落在B点，则小球从A点到距离斜面最远处所经历的时间是（）A．0.7t B．0.5tC．0.3t D．0.2t9、A、B两个单摆，摆球的质量相同，摆线长L A>L B，悬点等高，如图所示。

把两个摆球拉至水平后，都由静止释放，选择同一零势能面，不计阻力，摆球摆到最低点时（）A．两球的机械能相等B．A球的动能大于B球的动能C．A球的重力势能大于B球的重力势能D．A球摆线的拉力大于B球摆线的拉力10、如图所示，一水平的浅色长传送带上放置一质量为m的煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。

吉林省长春市2012届高三数学第一次模拟试题理 (附解析)

2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)考生须知：1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题纸. 参考公式：柱体体积公式：Sh V =,其中S 为底面面积,h 为高.锥体体积公式：Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 设集合{}2,A xx x =∈R ≤，{}2|,12Byy x x ==--≤≤，则∁R ()A B 等于 A.RB.(2)(0,)-+∞C.(,1)(2,)-∞-+∞D.∅ 2. 若复数2)(i a +在复平面内对应的点在y A.1B.1-C.23. “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件的值为，A B C ∠=C.4πD.6π 6. 设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为2A.3π2B.2πC.3πD.4π 8. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=A.2π=xB.2π=xC.2x =D.1x =9. 在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：()xxS x a a -=-，()x xC x a a-=+，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+；②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③2()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ④2()()()()()S x y S x C y C x S y -=-.A.①②B.③④C.①④D.②③的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公P F F F =,则D.1都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 2(8)0f n n -<，那么22m n +的取D. (9, 49)分）每个试题考生都必须作答，). n 524=a .14. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切，且与直线2:l 3460x y +-=平行，则直线1l 的方程是 .15. 设2,[0,1]1(),(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则0()ef x dx ⎰的值为 . 16. 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．⑴如果A、B两点的纵坐标分别为45、1213，求c o sα和sinβ⑵在⑴的条件下，求c o s()βα-的值；⑶已知点C(1-，求函数()f O A O Cα=⋅的值域．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a满足11a=，121(*)n na a n+=+∈N.⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若数列{}n b满足()31231112144441nnb nbb bna----⋅⋅⋅⋅=+，求数列{}n b的通项公式.19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中9ADBC ABC∠=，∥°，P D⊥平面A B C D，A D=1，A B4B C=．⑴求证：B D⊥P C；⑵求直线AB与平面PDC所成的角；⑶设点E在棱P C上，P E P Cλ=，若DE∥平面PAB，求λ的值.20.（本小题满分12分）已知点(1,0)A- ，(1,0)B，动点M的轨迹曲线C满足2A MBθ∠=，2c o s3A MB Mθ⋅=，过点B的直线交曲线C于P、Q两点.(1)求A M B M+的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()1(0,)xf xeax a e=-->为自然对数的底数.⑴求函数()f x的最小值；⑵若()f x≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n nn n enn n n n e-++⋅⋅⋅++<∈-N其中.APECDB用心爱心专心34请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G . ⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．B 2．B 3．A 4． B 5． C 6． D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．C 简答与提示：1. B 化简A 为[2,2]-，化简B 为[4,0]-，故()A B =R ð(,2)(0,)-∞-+∞.2. B ai a i a 21)(22+-=+在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则210,a -=且0a <，∴1.a =-3. A()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点，则(1)(2)0f f -<，即(3)(23)0a a -+<，∴3a >或32a <-，∴“2a <-”是“3a >或32a <-”的充分不必要条件，∴“2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的充分不必要条件. 4. B()sin3n f x π=的函数值构成周期为6的数列，且(1)(2)(3)(4)(5f f f f f f +++++=，则(1)(2)(2011)f f +++= (2011)f =(1)f =s i n3π= 5. C由正弦定理sin C =，又3B C =，A B ，∴A C >，则C 为锐角，故4C π=.BG C D H FAO E用心爱心专心56. D 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.7. A 几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，全面积为21132()21222πππ+⨯⨯=. 8. D 由c o s ()y x ωϕ=+为奇函数，得2k πϕπ=+()k ∈Z ，又0ϕπ<<，∴2πϕ=.结合图象知14T =，∴2πω=，∴c o s ()s i n 222y x xπππ=+=-，当1x =时，s in 12y π=-=-，∴1x =是其一条对称轴. 9. C 由题意知11()()022c A Ca A B A C b A B A C -++-=， ∴()022a b a b c A C A B +---=，∴()22a b a b c A C A B+--=，又A B 、A C 不共线，∴0202a ba b c -⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，∴.a b c ==10. B 经验证，只有③④正确.11. A 设1212||,||,||2P F m P F n F F c ===，不妨设m n >.由1212P F P F F F +=知，∠1290F P F =︒,则2224m n c +=,∴12c e m n =+，22ce m n=-， ∴2222212112()24mn e e c ++===. 12. C 由(1)(1)0f x f x -++=得(1)(1)f x f x -=-+，又22(623)(8)0f m m f n n -++-<，∴22(623)[1(81)]f m m f n n -+<-+--，∴222(623)[1(81)](28)f m m f n n fn n -+<---=-+. ∵()f x 是R 上的增函数，∴2623m m -+＜228n n-+， ∴22(3)(4)4m n -+-< 又3m >为半圆22(3)(4)4(3)m n m -+-=>内的点到原点的距离，故7<，∴221349.m n <+< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13. 7 14. 3410x y +-=或3490x y ++= 15.4316. ①② 简答与提示：13. 7 依题意35a =，23a =，则2d =，∴47.a =14. 3410x y +-=或3490x y ++= 设直线1:340l x y b ++=，与圆22(1)1x y ++=相切，故|4|1,5b -=∴9b =或1,b =-∴所求直线方程为3410x y +-=或3490x y ++=.615. 43132100011114()l n 1.3ee ex fx d x x d x d x x x =+=+=+=⎰⎰⎰ 16. ①② 由()f x 的图象知()0f x >,则2,0[()],0x xe e xf f x e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥, 根据[()]f f x 的图象(如图)可知，①②正确.三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，sin β又α是锐角，所以3cos 5α=．分) n s i n ()13βα=-． ( 8分) ，(1O C =-，3s O C = ( 12分) ( 5分) n2n，( 7分) ∴()23212322n n nb b b b n=-++++ ，即()n n nb b b b n23222321+=++++ ，① 当2n ≥时，221212[2(1)](1)2(1)1n b bn b n n n -+++-=-+-=-，② ①－②得()2212n n b n n =+≥，()1122n b n n=+≥．（10分）可验证1=n 也满足此式，因此nb n 211+=．（12分）用心爱心专心719. (本小题满分12分)【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥=面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥面在面内，（4分）（2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面AB C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠60F D G =︒. 即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ， ∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .又∵1,4,1,A DB CB F === ∴1,4P E B F P CB C ==∴14PE PC =，即1.4λ= （12分）【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D PC a =--=--， ∵330BD P C ⋅=-=，∴B D P C⊥. （4分）（2）由（1）知B D P D C D B ⊥面就是，由条件知A （1，0，0），B （10），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒，即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分）（3）由（2）知C （－3，3，0），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--），而P E P Cλ=，所以P E a =-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)(33)a a λλλ=+--，，=3,.aa λ--）设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.PEFB CDA GP E B C DA B81z x a==取，得，进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而，（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠=，根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=. （2分）即2()2(1c o s 2)4A MB M A M B M θ+-⋅+=. 22()4c o s 4A MB MA M B M θ+-⋅=. 而2c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=.所以4A M B M +=. （4分）又42A M B M A B+=>=因此点M 的轨迹是以A 、B M 在x 轴上也符合题意），2a =，1c =.所以曲线C 的方程为24x + （624)690y m y ++-=. ① 2)y ,则1212122A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=-，122934y y m =-+. （9所以2221212122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+. 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t-=++.由于函数1()t t tϕ=+在[3,)+∞上是增函数.所以1103t t +≥，当2333t m =+=，即0m =时取等号.用心爱心专心9所以21248()91023y y -=+≤，即12y y -的最大值为3.所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题意0,()xa f x e a '>=-，由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值，其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- （4分）（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（8分）（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1xe x --≥0，即1xx e +≤.令k x n =- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn ke n- <-≤. ∴(1)()k n n kn k e en - --=≤. ∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤ (11)11111ne ee e e ----=<=---. （12分） 22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.【试题解析】证明⑴：∵,,A B A C A F A E ==∴C F B E =. 又∵,,C F CD B D BE ==∴.C D B D = 又∵△ABC 是等腰三角形，A B A C =,∴AD 是角∠CAB 的平分线. ∴内切圆圆心O 在直线AD 上. (5分) ⑵连接DF ，由⑴知，DH 是⊙O 的直径，90,90.D F H F D H F H D ∴∠=∴∠+∠= 90,G F H D ∠+∠=又.F D H G ∴∠=∠ ,O A C F 与相切于点 ,A F H G F C F D H ∴∠=∠=∠.G F C G ∴∠=∠ ,C G C F CD ∴==∴点C 是线段GD 的中点. (10分) 23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲BG C DH FA OE10【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.【试题解析】解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4co s ()3πρθ=-为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分)（2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q =，所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()3πρθ=-，即6c o s i nρθθ=， ∴26c o ss i n ρ=，226x y x +=, ∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分) 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1)根据条件311()311,1x x f x x x x +>⎧⎪=+-⎨<-≤≤，，，当1x >时，5)(>x f 41,;3x x ⇔>>所以当11x -≤≤时，5)(>x f 1;x ≤≤此时无解-1，当1x <-时，5)(>x f 3,1,2.x x x ⇔--<-<-又所以综上，5)(>x f 的解集为4{|3x x >或2}x <-. （5分） (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，可得()f x 的值域为∞[2,+). 又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. （10分）。

吉林普通高中2012届高三第三次模拟考试试题—数学(理)(精)

吉林省吉林市普通高中2012届高三第三次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R =U ，集合}43|{><=x x x A ，或，}2|{<=x x B则右图中阴影部分表示的集合为（A ）)4(∞+，（B ）)3(，-∞ （C ）)2(，-∞（D ）)32(，2．若复数R )(i 2i )1(3∈-=-+b a b a ，，则复数i b a z +=对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 3．已知32sin -=α,且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πα，则αtan 等于（A ）552- （B ）552 （C ）25-（D ）25 4．下列有关命题的说法正确的是（A ）命题“R ∈∃x ,使得012<++x x ”的否定是：“R ∈∀x ,均有012>++x x ” （B ）“1=x ”是“0652=-+x x ”成立的必要不充分条件（C ）线性回归方程ax b y ˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点 ()11,y x ,()22,y x ,…，()n n y x ,中的一个点（D ）若“q p ∧”为真命题，则“)(q p ⌝∨”也为真命题 5．右边程序框图的程序执行后输出的结果是（A ）24（B ）25（C ）34（D ）356．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（A ）4（B ）6 （C ）12（D ）187．实数m 是函数xx f x21log 2)(-=的零点，则（A ）m m 21<< （B ）m m <<12 （C ）m m 21<<（D ）12<<m m8．4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有（A ）81种（B ）36种（C ）72种（D ）144种9．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（A ）36 （B ）312 （C ）318（D ）32410．已知数列}{n a ，若点)(na n ，)N (*∈n 在经过点)48(，的定直线l 上，则数列}{n a 的前15项和=15S（A ）12（B ）32（C ）60（D ）12011．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象，如图所示，若2||=⋅，则ω等于（A ）12π（B ）6π（C ）4π（D ）3π12．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且CD AB //. 若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3（C ） 21+（D ）31+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．若实数y x ，满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥021x x y x y , 则目标函数x y z 2-=的最大值是 .14．已知xx cos a d ⎰=2π，则二项式52)(xa x +展开式中x 的系数为 . 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若Ca cb cos 21⋅=-，则=A . 16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)1(147)1()(22x a x a x ax x x f ，若R ,21∈∃x x ，且21x x ≠，使得 )()(21x f x f =，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和144=S ，且731a a a ，，成等比数列.（Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；ABCDAB CDEF（Ⅱ）设nT 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求2012T的值.18. （本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)8075[，，第2组)8580[，，第3组)9085[，，第4组)9590[，，第5组]10095[，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这 5人中选2人，那么至少有一人是 “优秀”的概率是多少？（Ⅲ）若该校决定在第4，5 组中随机抽取2名学生接受考官A 的面试，第5组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面⊥ACE 平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，90=∠ACB ，BC EF //，EF BC AC 2==，EC AE AC 22==.（Ⅰ）求证：⊥AE 平面BCEF ；（Ⅱ）求二面角C BF A --的大小．20.（本小题满分12分）已知)0,1(1-F 、)0,1(2F ，圆2F ：1)1(22=+-y x ，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且371=PF ，求曲线E 的标准方程；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数x b x f ln )(=，R)()(2∈-=a x ax x g ．（Ⅰ）若曲线)(x f 与)(x g 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数a 、b 的值；（Ⅱ）当1=b 时，若曲线)(x f 与)(x g 在公共点P 处有相同的切线，求证：点P 唯一；（Ⅲ）若0>a ，1=b ，且曲线)(x f 与)(x g 总存在公切线，求正实数a 的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10=PA ，5=PB ,BAC ∠的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ．（Ⅰ）求证：PCPA AC AB=；（Ⅱ）求AE AD ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P )5,1(-，且倾斜角为3π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C 的圆心的极坐标为)2,4(π.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数)1(|||4|)(>-+-=a a x x x f . （Ⅰ）若)(x f 的最小值为3，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使得不等式5)(≤x f 成立的x 的取值集合.命题、校对：凌志永常越曹凤仁杨万江王玉梅孙长青吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题：每小题5分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B A DBBADCCBD二．填空题：每小题5分13. 2 ; 14.10 ; 15. 3π ; 16. ()()5,32, ∞-.三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设公差为d ，由已知得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ . (3)分联立解得1d =或0d =（舍去）. 12.a ∴= (5)分故1n a n =+.…………6分（Ⅱ）()111111(2)12n n a a n n n n +==-++++ (8)分11111111.233412222(2)n n T n n n n ∴=-+-++-=-=++++ (10)分2012503.1007T = (12)分18.解：（Ⅰ）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，所以第四组的频率为0.2，频率分布图如图：……3分（Ⅱ）依题意优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件A()1()P A P A ∴=-=1-2225C C =910. (6)分（Ⅲ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人 ξ的所有可能取值为0,1,22821214(0)33C P C ξ===，118421216(1)33C C P C ξ===，242121(2)11C P C ξ===…………9分ξ∴的分布列为:1416120123333113E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（） (12)分19.解：（Ⅰ）∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE 平面ABCD AC =BC AC ⊥BC ∴⊥平面AEC 2分BC AE ∴⊥, (3)分…………10分又AC ==,AE EC ∴⊥ (4)分且BC EC C ⋂=,∴AE ⊥平面ECBF . …………………6分（Ⅱ）（解法一）建立如图空间直角坐标系不妨设2AC BC ==，则AE EC ==则由题意得(0,0,0)A ，(2,2,0)B -,(2,0,0)C ,(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= (8)设平面BFC 的法向量为111(,,)m x y z =，由0,0m BC m BF ⋅=⋅=,得(1,0,1)m =，9设平面ABF 的法向量为222(,,)n x y z =，由0,0n AB n BF ⋅=⋅=，得(1,1,0)n =，10分所以1cos ,2m nm n m n ⋅==∴二面角A BF C --的大小为60︒. (12)分（解法二）取AB 的中点H ，连接CH ，因为AC BC =，则CH AB ⊥，∴CH ⊥平面ABF(要证明)，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ，则CR BF ⊥，则HRC ∠为二面角A BF C --的平面角. (9)分由题意，不妨设2AC BC ==，连接FH ，则FH AB ⊥，又AB =因此在Rt BHF ∆中，3HR =,12CH AB ==所以在Rt △CHR 中，3362tan ==∠HRC …11分因此二面角A BF C --的大小为 60 (12)分20. 解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为(),x y )0(>x因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，所以21CF x -=， (1)分1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为24y x =)0(>x ； (3)分1,1),(1,1,1).BF =-（Ⅱ）依题意，1c =，173PF =, 可得23p x =， …………………4分253PF ∴=,又由椭圆定义得127524,233a PF PF a =+=+==. …………………5分2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为22143x y +=； …………………6分（Ⅲ）设直线l 与椭圆E 交点),(),,(2211y x B y x A ，B A ,的中点M 的坐标为()00,y x ，将B A ,的坐标代入椭圆方程中，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+012430124322222121y x y x 两式相减得()()()()04321212121=+-++-y y y y x x x x00212143y x x x y y -=--∴， …………………7分 0204x y = ，∴直线AB 的斜率02121163y x x y y k -=--=， …………………8分由（Ⅱ）知23p x =，,3842==∴p p x y ∴362±=p y 由题设)0(36236200≠<<-y y ，86163860<-<-∴y ， …………………10分即8686<<-k ()0≠k . …………………12分21.解：（Ⅰ）()xb x f ='，()12-='ax x g ．∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线∴ ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==-===1201101ln 1a b a g b f ，解得，⎩⎨⎧==11b a ． (3)分（Ⅱ）设()00,P x y ，则由题设有0200ln x ax x -= … ①又在点P 有共同的切线∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得 002121ln x x -= …………5分设()x x x h 2121ln +-=，则()()0211>+='x x x h ， ∴()x h 在()+∞,0上单调递增，所以 ()h x ＝0最多只有1个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点P 只能是()1,0P (7)分（Ⅲ）当0>a ，1=b 时，()x x f ln =，()xx f 1='，曲线()x f 在点()t t ln ，处的切线方程为()t x t t y -=-1ln ，即1ln 1-+=t x ty ．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x ax y t x t y 21ln 1，得 01ln 112=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t ax ． ∵ 曲线()x f 与()x g 总存在公切线，∴ 关于t ()0>t 的方程()01ln 411Δ2=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t a t ，即()t a t ln 14112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()*总有解． …………………9分若e t >，则0ln 1<-t ，而0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+t ，显然()*不成立，所以 e t <<0． ………10分从而，方程()*可化为 ()()t t t a ln 11422-+=．令()()()t t t t h ln 1122-+=()e t <<0，则()()()()23ln 11ln 21t t t t t t h --++='． ∴ 当10<<t 时，()0<'t h ；当e t <<1时，()0>'t h ，即 ()t h 在()1,0上单调递减，在()e ,1上单调递增．∴()t h 在()e ,0的最小值为()41=h ，所以，要使方程()*有解，只须44≥a ，即1≥a ． …………………12分22．解：（Ⅰ）∵PA 为⊙O 的切线，∴ACP PAB ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB ∆∽PCA ∆．∴PCPA AC AB=． (4)分（Ⅱ）∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PC PB PA ⋅=2． ………5分又∵10=PA ,5=PB ，∴20=PC ，15=BC ．由（Ⅰ）知，21==PC PA AC AB，∵BC 是⊙O 的直径， ∴ 90=∠CAB ．∴225222==+BC AB AC ,∴53,56==AB AC (7)分连结CE ，则E ABC ∠=∠，又EAB CAE ∠=∠，∴ACE ∆∽ADB ∆, ∴ACAD AE AB= ∴905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD ． …………………10分七彩教育网免费提供Word 版教学资源七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 23．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211，（t 为参数） (2)分圆心C 直角坐标为)4,0(……3分圆C 的直角坐标方程为16)4(22=-+y x …4分由⎩⎨⎧==+θρρs i n222y y x …5分得圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=. ………6分（Ⅱ）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是50y --=， ………8分圆心到直线的距离4d ==>， (9)分所以直线l 和圆C 相离. …………………10分24．解：（Ⅰ）因为|4|||(4)()4x x a x x a a -+-≥---=-， ………………3分所以43a -=，即71a a ==或 …………………5分由a ＞1知7=a ； …………………6分（Ⅱ）当4≤x 时，不等式化为 5112≤+-x 解得：43≤≤x …………………7分当74<<x 时，不等式化为 53≤ 恒成立所以：74<<x …………………8分当7≥x 时，不等式化为 5112≤-x 解得：87≤≤x …………………9分综上不等式574≤-+-x x 的解集为 {}83|≤≤x x ． (10)分。

吉林省高三数学仿真模拟卷3 理新人教A版

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷3第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知121,63i a a i +=+则的值为（）A ．3B ．-3C ．4D ．-42．已知全集U=R ，集合2{|1}M y y x ==-，集合{|N x y ==，则()U C M N ⋂=（）A ．（-2，-1）B ．[-2，-1）C ．[-2，1）D ．[-2，1]3．关于直线,a b 以及平面,αβ，给出下列命题： ①若//,//,//a b a b αα则 ②若//,,a b a b αα⊥⊥则 ③若//,//,//a b b a αα则 ④若,//,a a αβαβ⊥⊥则其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．在等比数列{}n a 中，若292369101232,a a a a a a a =则的值为（）A ．4B ．2C ．-2D ．-45．给定性质：①最小正周期为π；；②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）A ．sin()26x y π=+ B ．sin(2)6y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．sin ||y x =6．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六位同学排成一排，要求A 、B 、C 、D 在排列中顺序为“A 、B 、C 、D ”或“D 、C 、B 、A ”（可以不相邻），则排列的种数为（） A ．20 B ．30 C ．40 D ．607．已知函数222(1)()65(1)x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数()ln f x x -的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图1，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．下列说法正确的是（）A ．命题：“已知函数(),(1)(1)f x f x f x +-若与均为奇函数，则()f x 为奇函数，”为直命题B ．“1x >”是“||1x >”的必要不充分条件。

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷4

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷4第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数iiz -+=23的虚部为 A ． B ．1- C ． D ． i - 2． ︒15sin ︒+165cos 的值为A ．22 B ．22- C ．26 D ． 26- 3．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．114．在ABC ∆中，AD 为BC 4A ．3B ．2C ．6D ．3 5．A ．21B ．C ．23D ．26．已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则A ．P ⌝：有的三角形不是等边三角形B ．P ⌝：有的三角形是不等边三角形C ．P ⌝：所有的三角形都是等边三角形D ．P ⌝：所有的三角形都不是等边三角形7．阅读右面的程序框图，若输入6,5==q p ，则输出i a ,的值分别为 A ．1,5==i a B ．2,5==i a C ．3,15==i a正视图侧视图D ．6,30==i a 8．函数x xx f 21log 2cos3)(-=π的零点的个数是A ．2B ．3C ．4D ．59．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为3个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（6,2,1 =i ），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种10．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥1y x y xy 表示的平面区域为A ，不等式b ax y +≥2（0<b ，b 为常数）表示的平面区域为B ，),(y x P 为平面上任意一点，p ：点),(y x P 在区域A 内，q ：点),(y x P 在区域B 内，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．b a -<≤10B ．b a -≤<10C ．b a -≤≤10D ．b a -≤1 11．已知二面角βα--l 的平面角为θ，点P 在二面角内，α⊥PA ，β⊥PB ，B A ,为垂足，且,5,4==PB PA 设B A ,到棱的距离分别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹方程是A ．)0(922≥=-x y x B ．)0,0(922≥≥=-y x y x C ．)0(922≥=-y x y D ．)0,0(922≥≥=-y x x y12．已知抛物线)0(22>=p px y ，F 为其焦点，为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A 、B 两点，A '、B '分别为A 、B 在上的射影，M 为B A ''的中点，给出下列命题：①F B F A '⊥'； ②BM AM ⊥； ③F A '∥BM ；④F A '与AM 的交点在y 轴上； ⑤B A '与B A '交于原点．其中真命题的个数为A B CDA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13. 某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000病人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为_____________人． 14. 已知三棱锥ABC O -，︒=∠90BOC ，⊥OA 平面BOC ，其中,13,10==BC AB 5=AC ，C B A O ,,,四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为____________．15. 已知集合}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x M 表示的区域为A ，集合}10,10,),{(2≤≤≤≤≤=y x x y y x N 表示的区域为B ，向区域A 内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为___________． 16. 若)()()(x g b ax x h x f ≥+=≥，则定义)(x h 为曲线)(),(x g x f 的ψ线．已知)2,0[,tan )(π∈=x x x f ，)2,0[,sin )(π∈=x x x g ，则)(),(x g x f 的ψ线为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知函数43)3cos(sin 3)(++=πx x x f(Ⅰ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若0)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点． (Ⅰ) 求证：直线//AF 平面1BEC ；（Ⅱ）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001 到2010年十年间每年考入大学的人数.为方便计算，2001年编号为，2002年编号为2，…，2010年编号为10.数据如下:年份(x) 人数(y)1234567891035 8 11 13 14 17 22 3031（Ⅰ）从这10年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有年多于15人的概率；（Ⅱ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程a x by ˆˆ+=，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为左，右焦点，离心率为21，点A在椭圆C 2A F AF 122⋅- ，过2F 与坐标轴不垂直的直线交椭圆于Q P ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在线段2OF 上是否存在点)0,(m M ,使得以线段MQ MP ,为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f ln 22)(2--=（0>x ，R a ∈），212ln )(22++=a x x g ．（Ⅰ）证明：当0>a 时，对于任意不相等的两个正实数1x 、2x ，均有)2(2)()(2121x x f x f x f +>+成立；（Ⅱ）记2)()()(x g x f x h +=，（ⅰ）若)(x h y '=在[)+∞,1上单调递增，求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：21)(≥x h .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），定点)3,0(-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左，右焦点．（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2AF 的直线的极坐标方程；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设直线与圆锥曲线C 交于F E ,两点，求弦EF 的长．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数212)(--+=x x x f ．（Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；（Ⅱ）若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题：（每小题5分，共计60分）二、填空题：（每小题5分，共计20分）13. 200 14. π14 15. 3116. x y = 三、解答题：17．（本小题满分12分）（Ⅰ）43)3sin sin 3cos(cos sin 3)(+-=ππx x x x f 43sin 23cos sin 232+-=x x x x x 2cos 432sin 43+=)32sin(23π+=x ……………………………………………… 3分令Z k k x k ∈+≤+≤-,223222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤-,12125ππππ，所以函数)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,125ππππ…… 6分（Ⅱ） 0)(=A f ，0)32sin(23=+∴πA ，解得3π=A 或65π=A ，又b a <，故3π=A …………………………………………8分由B b A a sin sin =，得1sin =B ，则2π=B ,6π=C ,………… 10分所以23sin 21==C ab S ．……………………………………12分 18．（本小题满分12分）法一（Ⅰ）取1BC 的中点为R ，连接RF RE ,，则1//CC RF ，1//CC AE ，且RF AE =，…………………………3分则四边形AFRE 为平行四边形，则RE AF //，即//AF 平面1REC ．………………………………6分（Ⅱ）延长E C 1交CA 延长线于点Q ，连接QB ，则QB 即为平面1BEC 与平面ABC 的交线，且BQ B C BQ BC ⊥⊥1,，则BC C 1∠为平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角．……8分在1BCC ∆中，55522cos 1==∠BC C ．…………………………12分法二取11C B 中点为S ，连接FS ，以点F 为坐标原点，FA 为x 轴，FB 为y 轴，FS 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),0,0,3(-C F B A ，)2,0,3(),4,1,0(),4,1,0(),4,0,3(11E C B A -，……………………2分（Ⅰ）则)0,0,3(-=AF ，)4,2,0(),2,1,3(1-=-=BC BE ，设平面1BEC 的法向量为),,(111z y x =，则0,01=⋅=⋅BC ，即⎩⎨⎧=+-=+-04202311111z y z y x ………………4分令21=y ，则1,011==z x ，即)1,2,0(=，所以0=⋅m AF ，故直线//AF 平面1BEC ．………………………………………………6分（Ⅱ）设平面ABC 的法向量)1,0,0(=，则55cos θ．………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A则321)(21026=-=C C A P ;……………………………………………4分（Ⅱ）由已知数据得8,3==y x ，1466544241031=++++=∑=ni ii yx ，55251694112=++++=∑=ni ix，………………………………7分则6.29555835146ˆ=⨯-⨯⨯-=b，2.036.28ˆ=⨯-=a，……………9分则回归方程为2.06.2+=x y ，……………………………………10分则第8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为1222.086.2=-+⨯．……12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知21=e ，所以a c =2222-aF AF 122⋅-，所以21cos 21=∠AF F ，--------------------------------2分由余弦定理204421)22(22)22(4222=⇒=+-⇒⨯-⨯--+=a a a a a a ，----4分所以1=c ，3222=-=c a b ，所以椭圆方程为13422=+y x ．-------------------------------5分（2）假设存在点)0,(m M 满足条件，设),(11y x P ，),(22y x Q ，直线的方程为)1(-=x k y ，联立：01248)43(1243)1(222222=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ，则 2221222143124438k k x x k k x x +-=+=+，----------------------------------------------------------------------------7分 ),,(11y m x -=),,(22y m x -=),,(1212y y x x --= ),,2(1212y y m x x +-+=+由题知0))(())(2()(12121212=-++--+=⋅+y y y y x x m x x PQ MQ MP ，因为012≠-x x ，所以0)(21212=++-+y y k m x x ，即0)2(212212=-++-+x x k m x x ，则0)2438(243822222=-++-+kk k m k k ，所以 2243kk m += ，---------------------------------------------------------------------10分 41004132<<⇒>-=m m m k ，又)0,(m M 在线段2OF 上，则10<<m ，故存在)41,0(∈m 满足题意．-----------------12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：)ln()(22)()(2121222121x x a x x a x x x f x f -+-+=+ ，22121221212ln )(2)2(⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x a x x a x x x x f ，()04222212212221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x x ，则221222122⎪⎭⎫⎝⎛+>+x x x x ① 0,2ln )ln(22121<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<a x x x x ，则221212ln )ln(⎪⎭⎫ ⎝⎛+->-x x a x x a ，②由①②知⎪⎭⎫⎝⎛+>+22)()(2121x x f x f x f ．………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）()()[]41ln 21)(22+-+-=a x a x x h ， a x x x a x x h -+-='ln )(，令a x xx a x x F -+-=ln )(，则)(x F y =在[)+∞,1上单调递增．221ln )(xa x x x F ++-='，则当1≥x 时，01ln 2≥++-a x x 恒成立，即当1≥x 时，1ln 2-+-≥x x a 恒成立． …………………………… 5分令1ln )(2-+-=x x x G ，则当1≥x 时，021)(2<-='xx x G ，故1ln )(2-+-=x x x G 在[)+∞,1上单调递减，从而2)1()(max -==G x G ，故2)(max -=≥x G a ．……………………………………………………７分（ⅱ）法一：()()[]41ln 21)(22+-+-=a x a x x h ，令()()22ln )(a x a x x H -+-=，则)(x H 表示x y ln =上一点()x x ln ,与直线x y =上一点()a a ,距离的平方．… 8分令x x x M ln 1)(--=，则xx M 11)(-='，可得)(x M y =在(]1,0上单调递减，在[)+∞,1上单调递增，故0)1()(min ==M x M ，则x x x ln 1≥->，…………………………………… 10分直线1-=x y 与x y ln =的图象相切与点)0,1(，点)0,1(到直线x y =的距离为22，则()()2122ln )(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+-=a x a x x H ，故21412121)(=+⨯≥x h ．……………………………………………………12分法二： ()()[]()412ln ln 41ln 21)(22222++++-=+-+-=x x a x x a a x a x x h ，令()2ln ln )(222x x a x x a a P +++-=，则()4ln )(2x x a P -≥．………………8分令x x x Q ln )(-=，则xx x x Q 111)(-=-='，显然)(x Q 在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，………………………………………………………………………………10分则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故214141)(=+≥x h ．…………………12分 22．（本小题满分10分）证明：（1）如图，连接AB OC CB CA OB OA OC ⊥∴==,,,OC 是圆的半径， AB ∴是圆的切线．-------------------------------3分（2）ED 是直径，︒︒=∠+∠∴=∠∴90,90EDC E ECD又EBC CBD E BCD ODC OCD OCD BCD ∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠+∠︒又,,,90BCD ∆∴∽BEC ∆，BE BD BC BC BD BE BC ⋅=⇒=∴2，-----------5分 21tan ==∠EC CD CED ， BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD -----------------------7分设,2,x BC x BD ==则2)6()2(22=∴+=∴⋅=BD x x x BE BD BC --------9分 532=+=+==∴OD BD OB OA ．------------------------10分23．（本小题满分10分）解：（1）圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），所以普通方程为C ：13422=+y x ----------------------------------------------2分 )1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0(12+==∴--x y l k F F A∴直线极坐标方程为：3)3sin(23cos 3sin =-⇒+=πθρθρθρ---5分（2）⎩⎨⎧085)1(3134222=+⇒+==+x x x y y x ， 5164)(1212212=-++=x x x x k MN ---------------------------------------------------10分24．（本小题满分10分）解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=2,3221,1321,3)(x x x x x x x f ，----------------------------------------------------------2分当5,5,23,21-<∴-<>---<x x x x 当21,1,213,221<<∴>>-<≤-x x x x 当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x综上所述 {}51|-<>x x x 或．----------------------5分（2）易得25)(min -=x f ，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立，则只需5210511221125)(22min ≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ，综上所述521≤≤t ．------------------------------10分。

数学_2012年吉林省高考数学仿真模拟试卷3(理科)(含答案)

2012年吉林省高考数学仿真模拟试卷3（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内．1. 已知全集U =R ，若集合M ={x|log 2x <2}，集合N ={x|y =√x −3}，则M ∩(∁U N)=( )A {x|0<x <3}B {x|0<x ≤3}C {x|3<x <4}D {x|3≤x <4} 2. 若(a +2i)i =b +i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b =( ) A −1 B 1 C −3 D 33. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（）A (16+π)cm 3B (16+3π)cm 3C (20+4π)cm 3D (18+π)cm 34. 若函数y =f(10+x)与函数y =f(10−x)的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程是（）A y =0B x =0C y =10D x =−105. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n =32n−1+a ，则常数a 的值等于（） A −13B −1C 13D 36. 已知两条不重合的直线m 、n ，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m // α，n // β，且m // n ，则α // β； ③若m ⊥α，n // β，则m ⊥n ，则α⊥β； ④若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α // β．其中正确命题的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 37. 已知两单位向量a →，b →的夹角为60∘，则两向量p →=2a →+b →与q →=−3a →+2b →的夹角为（）A 60∘B 120∘C 30∘D 150∘8. 某电视台举行大型文艺晚会，晚会演出时，为了达到更好的演唱效果，演出团从8名歌唱演员中选派4名在舞台上站成一排伴唱，其中甲、乙2人中有且仅有1人参加，则在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有（）A 480种B 540种C 840种D 960种9. 给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，sinx +cosx =2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +cosx ≠2”；②命题“∀x ∈R ，sinx +1sinx ≥2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +1sinx <2”；③对于∀x ∈(0, π2)，tanx +1tanx≥2；④∃x ∈R ，使sinx +cosx =√2．其中正确的为（） A ③ B ③④ C ②③④ D ①②③④10. 已知变量x 、y 满足约束条件{x +y −4≥0x −y +2≥02x −y −5≤0，则f(x, y)=x+2y2x+y的取值范围是（）A (57, 75) B (75, +∞) C [57, 75] D (−∞, 57)11. 已知P 是直线l:3x −4y +11=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2−2x −2y +1=0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是（）A √2B 2√2C √3D 2√312. 若函数y ＝f(x)(x ∈R)满足f(x +2)＝f(x)且x ∈(−1, 1]时f(x)＝1−x 2，函数g(x)={lg|x|(x ≠0)1(x =0) ，则函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间[−5, 10]内零点的个数为（） A 12 B 14 C 13 D 8二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上． 13. 已知α是第二象限的角，且sin(π+α)=−35，则tan2α的值为________．14. 如图所示的流程图，根据最后输出的变量S 具有的数值，则S 的末位数字是________．15. 若f(x)=|2x −1|−|x +1|，则满足f(x)<2的x 的取值范围为________．16. 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ⋅k AB =−b 2a 2．那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=________．三、解答题：本大题共8小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．(1)求点P恰好返回到A点的概率；(2)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量S表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求S的数学期望．18. 已知函数f(x)=13a2x3−ax2+23，g(x)=−ax+1，其中a>0．（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，试求实数a的值；（2）在区间(0, 12]上至少存在一个实数x0，使f(x0)>g(x0)成立，试求实数a的取值范围．19. 如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为√62，求二面角E−AF−C的余弦值．20. 设等比数列{a n}的前n项和S n，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠−1,0)．(1)证明：S n=(1+λ)−λa n；(2)若数列{b n}满足b1=12，b n=f(b n−1)(n∈N∗, n≥2)，求数列{b n}的通项公式；(3)若λ=1，记c n=a n(1b n−1)，数列{c n}的前项和为T n，求证：当n≥2时，2≤T n<4．21. 已知离心率为√22的椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√6, 1)，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若直线l 是圆O:x 2+y 2=83的一条切线，试证明∠AOB =π2．它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．22. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE // MN 交AC 于点E ．若AB =6，BC =4，求AE 的长． 23. 选修4−4：坐标系与参数方程求直线l:{x =1+2t y =1−2t （t 为参数）被圆C:{x =3cosay =3sina （α为参数）截得弦长．24. 选修4−5：不等式选讲已知2x +y =1，x >0，y >0，求x+2y xy的最小值．2012年吉林省高考数学仿真模拟试卷3（理科）答案1. A2. A3. B4. B5. A6. B7. B8. D9. C 10. C 11. C 12. B 13. −24714. 815. {x|−23<x <4}16. b 2a217. 解：(I)投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为P 1=26=13因为只投掷一次不可能返回到A 点；若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： (1, 3)．(3, 1)．(2, 2)三种结果，其概率为P 2=(13)2⋅3=13若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： (1, 1, 2)．(1, 2, 1)．(2, 1, 1)三种结果，其概率为P 3=(13)3⋅3=19若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1, 1, 1, 1) 其概率为P 4=(13)4=181所以，点P 恰好返回到A 点的概率为P =P 2+P 3+P 4=13+19+181=3781(II)在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，因为，P(ξ=2)=37，P(ξ=3)=37，P(ξ=4)=17所以，Eξ=2⋅37+3⋅37+4⋅17=19718. 解：（1）设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的公共点为M(x 0, y 0)，由题意得：{f′(x 0)=g′(x 0)f(x 0)=g(x 0)，即{a 2x 02−2ax 0=−a①13a 2x 03−ax 02+23=−ax 0+1②．由①得a(ax 02−2x 0+1)=0， ∵ a >0，且x 0≠0，∴ a =2x 0−1x 02．③由②得13a 2x 03−ax 02+ax 0−13=0．④把③代入④，得13(2x 0−1x 02)2⋅x 03−2x 0−1x 02⋅x 02+2x 0−1x 02⋅x 0−13=0，化简得x 02−2x 0+1=0，解得x 0=1．当x 0=1时，a =2×1−112=1，于是，所求实数a 的值为1．（2）设F(x)=f(x)−g(x)=13a 2x 3−ax 2+ax −13(x ∈（0, 12]），对F(x)求导，得F′(x)=a 2x 2−2ax +a =a 2x 2+a(1−2x)>0(a >0)， ∴ F(x)在(0, 12]上为增函数，则F(x)max =F(12)．依题意，只需F(x)max >0，即13a 2×18−a ×14+a ×12−13>0，∴ a 2+6a −8>0，解得a >−3+√17或a <−3−√17（舍去）．于是，所求实数a 的取值范围是(−3+√17, +∞)．19. (1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，可得△ABC 为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，又BC // AD ，因此AE ⊥AD ，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ，而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PD ．(2)解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ，由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角，在Rt △EAH 中，AE =√3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大，此时tan∠EHA =AE AH=√3AH=√62，因此AH =√2，又AD =2，所以∠ADH =45∘，所以PA =2．因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO =AE ⋅sin30∘=√32，AO =AE ⋅cos30∘=32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ⋅sin45∘=3√24，又SE =√EO 2+SO 2=√34+98=√304，在Rt △ESO 中，cos∠ESO =SOSE =3√24√304=√155，即所求二面角的余弦值为√155． 20. (1)证明：S n =a 1(1−q n )1−q=a 1[1−(λ1+λ)n]1−λ1+λ=(1+λ)[1−(λ1+λ)n] =(1+λ)−λ(λ1+λ)n−1, 而a n =a 1(λ1+λ)n−1=(λ1+λ)n−1,所以S n =(1+λ)−λa n . (2)f(λ)=λ1+λ， ∴ b n =b n−11+b n−1，∴ 1b n=1bn−1+1，∴ {1b n }是首项为1b 1=2，公差为1的等差数列，1b n=2+(n −1)=n +1，即b n =1n+1．(3)λ=1时，a n =(12)n−1， ∴ c n =a n (1b n−1)=n(12)n−1,∴ T n =1+2(12)+3(12)2+⋯+n(12)n−1①,∴ 12T n =12+2(12)2+3(12)3+⋯+n(12)n ②,①-②得,12T n =1+(12)+(12)2+⋯+(12)n−1−n(12)n =2[1−(12)n ]−n(12)n ,∴ T n =4−(12)n−2−n(12)n−1<4，又∵ c n =n(12)n−1>0， ∴ T n 单调递增， ∴ T n ≥T 2=2，故当n ≥2时，2≤T n <4．21. 解：（1）因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2(a >b >0)过点M(√6, 1)，且离心率为√22，所以{ ca =√22a 2=b 2+c 26a 2+1b 2=1，解得{a 2=8b 2=4c 2=4，故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =kx +m ，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由直线l 与圆O 相切得r =√1+k 2，即r 2=m 21+k 2=83．联立方程组{y =kx +mx 28+y 24=1，得x 2+2(kx +m)2=8，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0，则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−8)=8(8k 2−m 2+4)>0，即8k 2−m 2+4>0．由方程根与系数的关系得：{x 1+x 2=4km1+2k 2x 1x 2=2m 2−81+2k 2，从而y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2(2m 2−8)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=m 2−8k 21+2k 2．要证∠AOB =π2，即OA →⊥OB →，只需证x 1x 2+y 1y 2=0，即证2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0，即证3m 2−8k 2−8=0，而m 21+k 2=83，所以3m 2−8k 2−8=0成立．即∠AOB =π2．而当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =±2√63，此时直线l 与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)或(−2√63, ±2√63)，满足OA →⊥OB →．综上，有∠AOB =π2．逆命题：已知直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若∠AOB =π2，则直线l 是圆O:x 2+y 2=83的一条切线．结论成立．证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l:y =kx +m ，直线l 与椭圆C:x 28+y 24=1的两个交点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程组{y =kx +mx 28+y 24=1，得x 2+2(kx +m)2=8，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0，则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−8)=8(8k 2−m 2+4)>0，即8k 2−m 2+4>0，由方程根与系数的关系得： {x 1+x 2=4km1+2k 2x 1x 2=2m 2−81+2k 2，则y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =k 2(2m 2−8)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=m 2−8k 21+2k 2．由∠AOB =π2知，OA →⊥OB →，即x 1x 2+y 1y 2=0，即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0，所以3m 2−8k 2−8=0．因为圆心到直线l 的距离d =√1+k 2，则d 2=m 21+k2=m 21+3m 2−88=83，而r 2=83，此时直线y =kx +m 与圆O 相切．当直线l 的斜率不存在时，由OA →⊥OB →可以计算得到直线l 与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)或 (−2√63, ±2√62)，此时直线l 为x =±2√63．满足圆心到直线的距离等于半径，即直线与圆相切．综上，其逆命题成立．22. 解：∵ ∠BCM =∠A ，BE // MN ，∴ ∠BCM =∠EBC ，∠A =∠EBC ．又∠ACB 是公共角， ∴ △ABC ∽△BEC ， ∴ ACBC =BCEC ．∵ AB =AC =6，BC =4， ∴ EC =BC 2AC=426=83，∴ AE =AC −EC =103．23. 解：将直线l 的方程{x =1+2ty =1−2t （t 为参数）化为普通方程为：x +y =2，将圆C 的方程{x =3cosay =3sina （α为参数）化为普通方程为：x 2+y 2=9，则圆心到直线l 的距离d =√12+12=√2，∴ 所求弦长为2√r2−d2=2√9−2=2√7．24. 解：∵ 2x+y=1，x>0，y>0，∴ x+2yxy =1y+2x=(2x+y)(1y+2x)=5+2xy+2yx≥5+2√4=9当且仅当2xy =2yx即x=y时取等号∴ x+2yxy的最小值为9。

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第2课时学案 Unit 5 Do you have a soccer ball? Section A 3a—3c 【学习目标】1. 学习并熟练掌握下列单词2. 学习并熟练掌握下列 I have a soccer ball. Do you have a soccer ball? Yes, I do. / No, I don’t. She has a baseball bat. Does she have a baseball bat? Yes, she does. / No, she doesn’t. Let’s play basketball. That sounds good. 【重点难点】重点：难点：1. 你有一个棒球吗？是，我有。

_______________________________________ 2. 他有一个网球吗？不，他没有。

_____________________________________ 3. 让我们起吧 ______________________________________ 4. 那听起来很好！_______________________________________ 5. 他们有一个排球。

6. John有一个乒乓球拍。

________________________________ 【课堂探究】探究1 Let’s play baseball.let’s。

如Let’s go and find it. 让我们去找它。

Let me get it. 让我取它。

Let’s play basketball. 让我们打篮球吧！探究2 Well, let’s play basketball. 让我们打篮球吧！ play v. 参加（比赛或运动）；玩耍；“play + 某一球类”表示“打或踢……球”，注意：在球的前面不添加冠词。

如play soccer/ basketball 踢足球/打篮球；play baseball/ volleyball 打棒球/打排球；play ping-pong / tennis 打乒乓球/ 打网球。

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2012年长春市三模理科数学试题及答案
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．-6的倒数是
A．6 B．C．D．
2．PM2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个
几何体是
A．球B．圆锥
C．圆柱 D．三棱柱
4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是
A．8 B．6 C．5 D．3
5．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为
A．B．C．D．
6．已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为A．B．C．D．
7．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：
甲 7 9 8 6 10
乙 7 8 9 8 8
设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，则下列判断中正确的是
A．，B．，
C．，D．，
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC = 12，BD = 8，P是
AC上的一个动点，过点P作EF∥BD，与平行四边形的
两条边分别交于点E、F．设CP=x，EF=y，则下列图象
中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
A．B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量的取值范围是．
10．分解因式：．
11．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，
他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在
点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为，然后
向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的
仰角为，则建筑物AB的高度是m．
12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B
落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A
落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．
若，则BN的长是，的值
等于；若（，且为整数），
则的值等于（用含的式子表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
15．已知，求的值.
16．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC
于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E
作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F.
求证：BC=EF .
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x的
图象与反比例函数的图象的一个交点为A(1, m)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接
写出点的坐标．
18．列方程或方程组解应用题：
为帮助地震灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60º，AC平分
∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，
CE= ，，求BC、DE的长及
四边形ABCD的面积．
20．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，
点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、
F．若OB =2，求OE和CF的长．
21．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．
分组阅读课外书籍时间n(小时) 人数
A 0≤n＜3 3
B 3≤n＜6 10
C 6≤n＜9 a
D 9≤n＜12 13
E 12≤n＜15 b
F 15≤n＜18 c
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）这次共调查了学生多少人？E组人数在这次调查中所占的百分比是多少？
（2）求出表1中a的值，并补全图1；
（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．
22．如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且，．（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；
（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；
（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B(-2,n)在这条抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.
24．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△COD绕点逆时针旋转，旋转角为( )．连结AD、BC，点M 为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与
△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．
请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB 向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？
文章。