十字交叉法的用途及局限

十字交叉法的用途及局限

十字交叉法是许多老师和学生熟悉和喜爱使用的一种方法。为什么这么好一种方法，在高考的阅卷中却不予给分？因此，本文不着重讨论十字交叉法的具体应用，而主要谈谈十字交叉法的来历，应用的范围和局限，让我们认识十字交叉法到底是什么？

我在研究三角正弦法时，使我对十字交叉法有了很深该的认识。如果你看了我的《三角正弦法解化学题》这篇文章后，你也许也会明白这个道理。因为三角正弦法和十字交叉法是十分相似的，但又存在不同。因此，本文将从比较的角度来讨论相关的问题。

一、十字交叉法的来历

十字交叉法与三角正弦法有着共同的祖先。它们都是由下面的二元一次方程组(求和公式)推导的变式公式得出来的。

求和公式：A ＝A 1×ω1＋A 2×ω2 (ω1＋ω2＝1)。

在高低求中类计算中，将A 2理解为两个纯量中的高量，ω2为高量所占的丰度(即物质的量百分含量或气体的体积百分含量)；把A 1理解为低量， ω1为低量所占的丰度；且A 2＞A 1； A 为高量及低量组成的混合物的中量。

求和公式有以下五个变式：

① A ＝A 1＋(A 2－A 1)×ω2 ② A ＝A 2－(A 2－A 1)×ω1

③ ω1＝122A -A A -A ④ ω2＝121A -A A -A ⑤ 21ωω＝1

2A -A A -A 以上变式是化学技巧计算的公式，尤以③、④、⑤用途最大。但由于记忆较难，故改用下列三角正弦图示法，使之变得更为明白、易记和易算。其推导过程如下：

若两个纯量(高量和低量)为一直角三角形的锐角顶点，由它们组成的中量为该直角三角形的直角顶点，三角形的边长为边上两顶点数据之差，那么，可得如下关系：

Sin A 1＝a a 1＝1

22A -A A -A ＝ω1 Sin A 2＝a

a 2＝121A -A A -A ＝ω2 21SinA SinA ＝2

1a a ＝12A -A A -A ＝21ωω 由此可得出三角正弦法则：

高量的丰度就是高量的正弦，低量的丰度就是低量的正弦；高量与低量的比值就是它们所对应的边之比。

若把中量放在十字的中心，高量和低量放在左边的线头

上，而把它们的丰度放在右边的线头上，则得到十字交叉法

的图示方法。这种图示与求和公式变式⑤吻合，可理解为求

和公式变式⑤的图示法。

由上推导可知，三角正弦法是求和公式变式④和⑤的图示法。因而它将有两个用途：求比值和丰度。而十字交叉法的用途是求比值，若要求丰度则需另外进行计算。

由此分析还可看出，凡是采用上述求和公式计算的数学和化学计算问题，皆可用十字交叉法和三角正弦法加以快速计算。十字交叉图示法和三角正弦图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)。

二、十字交叉法的应用范围和局限

既然十字交叉图示法和三角正弦图示法的实质一样，只不过一个是伸出去，另一个是缩回来。那末，它们的应用范围和局限都应该一样。它们都可以用来解决以下的有关高低求中的问题。

(1) 同位素(一般求原子数比或原子含量，也可求质量比或质量含量)；

(2) 混合气体(一般求体积比和体积百分含量，或物质的量之比和物质的量百分含量；也可求质量比或质量含量)；

(3) N 2及氮氧化物的混合物；

(4) 气体混合物燃烧；

(5) 平衡混合物；

(6) 反应热；

(7) 固体混合物反应(既可求物质的量比或物质的量百分含量，也可以求质量比或质量百分含量)；

(8) 化肥混合物(只能求质量比或质量百分含量)；

(9) 溶液混合(只能求质量比或质量百分含量)。

例1：铜有两种天然同位素2963Cu 和2965Cu ，铜的相对原子质量为63.5，估算2963Cu 的百

分含量约是(MCE86.二.5.) E

A . 20% B. 25% C. 50% D. 66.7% E. 75%

解析：这种题的常规解法有二：

解法一：设两个未知数，解二元一次方程组。

设2963Cu 和2965Cu 的百分含量分别为x %和y %，可得： x %＋y %＝1 63x %＋65y %＝63.5 解得：x %＝75%， y %＝25%。故应选E 。

解法二：设一个未知数，解一元一次方程式。

设2963Cu 的百分含量为x %，则2965Cu 的百分含量为1－x %，可得：

63x %＋65(1－x %) ＝63.5，

x %＝75%。故应选E 。

若用三解正弦图示如图一所示，2963Cu 的正弦即为其百分含量，即2963Cu %＝2

5.1×100%＝75%。若用十字交叉图示如图二所示，2963Cu 与2965Cu 原子个数比为0.5∶1.5，2963Cu %＝

5

.05.15.1+×100%＝75%。

由上所述，好象十字交叉法和三角正弦法是一种解题方法，但其实它们只是解法一中的二元一次方程组或解法二的一元一次方程式(两者等效)的一种图示简捷算法而已。这可由下面例题的解法中看出。

例2：CH 4在一定条件下催化氧化可以生成C 2H 4、C 2H 6(水和其它产物忽略不计)。取一定量CH 4经催化氧化后得到一种混合气体，它在标准状况下的密度为0.780 g / L 。已知反应中CH 4消耗了20.0%，计算混合气体中C 2H 4的体积百分含量。(本题计算过程中保持3位有

效数字) (MCE95.)

解法一：设反应前CH 4为1 mol ，其中有x mol 转化成C 2H 4，即生成 2x mol C 2H 4和2200.0x -mol C 2H 6。 反应后混合气体的总物质的量 ＝ 0.800 mol ＋0.200 mol ×12

＝ 0.900 mol

1-2x -0.200-12x -1-1L mol 4.22mol 900.0mol mol 30g mol mol 28g mol 800.0mol g 16⋅⨯⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ＝ 0.780 g / L

解得 x ＝ 0.0800 mol C 2H 4的体积百分含量 ＝900.0mol

20800

.0×100% ＝ 4.44%

解法二：设反应后所得混合气体的相对平均摩尔质量为M ，反应生成的C 2H 4和C 2H 6两者(C 2H x )的相对平均摩尔质量为1M ，

M ＝ 0.780 g / L ×22.4 mol / L ＝ 17.472 g / mol

CH 4 ————12C 2H x

0.2 0.1

16×0.8＋0.1×1M ＝17.472 ①

1M ＝29.248

(注：①式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算，如图三和图四。

1

8472.1=x ， x ＝ 11.776， 1M ＝ 29.248) 设C 2H 4和C 2H 6在C 2H x 中的物质的量分数分别为y 1和y 2，

则可得：28×y 1＋30×y 2＝29.248 ②

6242H C H C ＝21y y ＝5

3 (注：②式可用十字交叉图示和三角正弦图示来计算，如图五和图六。

6242H C H C ＝25.175.0＝5

3)