高等数学竞赛极限与连续真题

高等数学竞赛极限与连续真题

1. 计算：22

2

sin )(cos 112lim 2x

e x x x x x -+-+→ 析： ),(08

21144

22

x x x x +-+=+ )(08

1

1124422x x x x +=+-+ 又)(02

3

)](01[)](0211[cos 2222224

x x x x x x e x x +-=++-+-

=- 故22

2

sin )(cos 112lim 2x

e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022

22

24

40-=⋅+-+=⋅⋅+-+=→→x x x

x x x x x x x x x x x x

2.计算求n

n

n n

n n n ln )ln ln (

lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题）

析：n n

n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n

n n

n n

n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+

令,ln t n n =则原式.)11(lim 21

0e t

t t t =-++

→

3.计算：)1)1(31211(lim 1n

n n -∞→-+++-

析： )21

4121(12131121312112n n n S n +++--+++=-

-+-= =n

n n n n n ++++++=+++-++++1

2111)214121(22131211

=)11

211111(1n

n n n n ++++++

最后一式是函数x

x f +=11

)(在[0，1]区间上的积分和（n 等份，取右端点） 故2ln 11

lim 1

02=+=⎰

∞

→dx x S n n 又2ln )21

(lim lim 212=+=∞→-∞→n

S S n n n n

因此)1)

1(31211(lim 1n

n n -∞→-+++-

4. 设2006)1(lim =--∞→β

βα

n n n n ，试求βα,的值。

析：β

βα

)1(--n n n =)1(0))1(01(1)11(11n

n n n n n n n ⋅+=+--=--+---βββαβαββα 显然由条件知0≠β；而⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧<+-=+->+-∞=⋅++-∞→,

01,0,01,

1

,01,

)1

(0lim 1βαβαβ

βαββαn n n n 因此有,01=+-βα且20061

=β

，故2006

1

,20062005=-

=βα

5.计算：n

n n

x n x )21(lim 22++∞→

析：n

n

n n n x n x x n x n x n x n x n x n x n x ⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-++<++=++<+214)2(1))2(1()21()1(2

2222 易知:,1x n

e n x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+

对n

x n x ⎪

⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+

21进行变量代换，令,2m x n =-则当∞→n 时,∞→m 并且,2x m +=

因此有x x m m n

n e m x m x x n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+

∞→∞→2)1()1(lim 21lim 由夹逼原理得.)21(lim 22x

n n e n

x n x =++∞→

6..

3.______,111,1.11

==-+++-

→-m m x x x m

x m 解

则的等价无穷小是时设当

7.

.

)]1

1(1[lim .

_____)]1

1(1[lim ,1)0,1()(.3e n f n

f y x f y n n n n =++=++-=∞→∞→解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线 8..

1.______lim

.51

1-==∑

=∞

→+

e e n

k n

k

n k

n 原式解

9.._______,)(lim .1)0(,)1()(.12

02==-='=+'-+''=→a a x x x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .1)0(21

21)(lim )(lim .

2)0(,1)0()0(.

1020=''=-'=-==''='-''→→y x x y x

x x y a y y y x x 所以于是由题设应填解

10..

________,1,)

)(()(.2===---=

b x e x b x a x b

e x

f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知

.,)(lim )(lim ,1,;

,)(lim ,1)(lim ,,1.

1,,1.

11

与题意不符时当符合题意时当或由题意知必有应填解∞====∞=-=

======→→→→x f x f b e a x f e e

x f e b a b e a e b a e e x x e

x x

11._________.)

(lim ,4]cos 1)(1[ln 1

21lim 7.30

==-+

-→→x

x f x x f x x x 则已知