§4.解析函数与调和函数解读

§4. 解析函数与调和函数

一、教学目标或要求：

掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：解析函数与调和函数的关系例题

重点：解析函数与调和函数的关系

难点: 例题

三、教学手段与方法：

讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：

16、17、18

§4. 解析函数与调和函数

在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择

才能使函数在区域D内解析。

设在区域D上解析，则C--R条件成立

，.

下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数

,

两式相加可得

同理可得

定义3.5若二元实函数

在区域

内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方

程，则称为区域内的调和函数。记，

则为运算符号，称为拉普拉斯算子。 定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件

y v x u ∂∂=∂∂， x

v

y u ∂∂-=∂∂

的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义

设是区域D 上的解析函数，则

，

两式相乘得

即

所以

就是说，梯度跟梯度

正交. 我们知道，和

分别是曲线族“”和“

”的法向矢量，因而上式

表示“

”与“

”两族曲线相互正交. 这就解析函数

实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。

定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.

证 由

在

内解析知，

，从而

。又解析

函数具有的无穷可微性保证

，

在

内均连续，故必相等，于是在

内

。 同理

，即，满足拉普拉斯方程。

定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理

),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是)

,(y x u 的共轭调和函数。

函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。

从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。 1.线积方法

定理3.19 设

是在单连通区域

内的调和函数，则存在

，

使

是

内的解析函数。（其中

是

内定点,

是

内动

点,为任意常数，积分与路径无关） 证 要使成为解析函数,则

必须满足条件

(

条件),

又

,故

，又

在单连通区域

可微，故

积分与路径无关，从而

2.条件

由，两边对求积分

,两边同时求的偏导

，由条件

两边对求积分求得的表达式,从而

3.观察法

例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。

解(1) 故

(2)

方法一

故

又故，从而。

方法二

由于，故

于是,从而，

于是，即。

故，以下同方法一（略）。

方法三

由于

故。余下（略）。

例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。

解（1）

故即在右半平面内是调和函数。

（2）由得

又,故, 于是，故

从而

在右半平面单值解析。

例 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数

),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．

解 依C.— R.条件有 y x u v x y 22-== 于是 ⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得 )(2x y v x ϕ'+=y u -=y x 22+= 从而有 c x x +=2)(ϕ

因此 c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得 )2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++=

将i )0(=f 代入上式，得 i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得 i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。

本章内容课后讨论

1． 何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？

2． 设l 是z 平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问

与

的

几何意义有何不同?不等式

说明了什么几何性质?

3． 计算复变函数的积分有哪几种方法? 4． 复变函数的基本性质是什么?

5． 若

,能否说f(z)在l 内必解析?试举例说明.