§4.解析函数与调和函数解读
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
浅谈解析函数与调和函数的关系
浅谈解析函数与Leabharlann 和函数的关系张瑜张越像宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布 0 12000)
摘
要.该文对复变函数中解析函数与询和函辈宜之间的关系进行归纳总结并介绍三种解决已知解析函
数的实部 ( 或虚部 ) 求它的应部 ( 或实部 ) 的方法 .
关键词.解析解析函数调和函数共领涵和函数
中图分类号: 0174.5
定理 若函数 /"(z)= u(x , y)+ iV(x， y) 在区域D 内解析，则在区域 D 内 U(X， y) 与 V(x， y)都是调和函
张荒草(1977→，男，讲师，硕士，研究方向:应用数学 。
• J J4 '
数，且在区域 D 休:) V怡， y) 必为 u怡， y) 的共辄 i剧和函数.
X -
于是 I:lu = u xx + u)(v = O. I:lν=VJVy= 0(z =x+ 伊求 。)
Y'
.)' -
(X
. Y
,
-" J ' X
-
(X
1
-6χ 1 y +2y'
(X
2
+ y2
Y
在 z 平面上除原点外是调和函数. 即岭 ， Y) = X2_y2 是 z 平面上的调和函数 .巾， y) = τLτ x- y.
定义 1 轩函数 百 = /(z)在区域 D 内可微，贝IJ 称 /(z)在区域 D 内解析 . 或称 I(z) 为区域 D 内的解析
函数.
函数 I(z) 在某点处的解析.指函数 I(z)在该点的某领域内解析，而函数I(z)在闭域E 解析，指函数 f(z)在包含该闭域万的某区域内解析. 定义 2 若二元实踊数 H(x， y)在区域 D 内具有二阶连续的偏导数.且满足拉普拉斯方程 a2 H a2H _ _. _ AH = -T+-7=0 . 称二兀实函数 H(x， y) 为区域 D 内的调和函数.
解析函数和调和函数的关系
3
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u 2u 解 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
6
数.
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 因为 6 xy, y x
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
10
f ( z ) u iv
e x ( x cos y y sin y ) x y c i[e x ( y cos y x sin y ) x y]
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
8
例2 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0. 解
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
14
例4
用不定积分法求解例1中的解析函数 f ( z )
3.4 解析函数与调和函数的关系
注：如果u, v是区域D内的任意两个 调和函数，则u + iv在D内未必解析。
y 例2 证明u ( x, y ) = x − y , v( x, y ) = 2 x + y2
2 2
都是调和函数，但f ( z ) = u + iv不是解析函数。
注：如果u, v是区域D内的两个调和函数， 且v是u的共轭调和函数，即满足C − R方程， 则u + iv在D内解析。
(3.22)
所确定的函数v( x, y ), 使u + iv = f ( z )是D内的
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
公式(3.22)不必强记 可以如下推得 不必强记,可以如下推得 注: 公式 不必强记
3 2
的解析函数, 并求以u ( x, y )为实部的解析函数 f ( z ), 使得f (0) = i.
y 例3.16 验证v( x, y ) = arctan ( x > 0)在 x 右半z平面内是调和函数, 并求以此为虚部 的解析函数.
定理 3.18 定理 3.19
⇔ 在区域D内v( x, y )是u ( x, y )的共轭调和函数.
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
例3.15 验证u ( x, y ) = x − 3 xy 是z3; iv y dy = − u y dx + u x dy 然后两端积分.类似的可以由v( x, y )求u ( x, y ).
解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
解析函数与调和函数
§4. 解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点: 例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：16、17、18§4. 解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。
因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。
现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。
设在区域D上解析，则C--R条件成立，.下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,两式相加可得同理可得定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。
记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。
定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件y v x u ∂∂=∂∂， xv y u ∂∂-=∂∂ 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义设是区域D 上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交. 我们知道，和分别是曲线族“”和“”的法向矢量，因而上式表示“”与“”两族曲线相互正交. 这就解析函数实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。
定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.证 由在内解析知，，从而。
又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。
同理，即，满足拉普拉斯方程。
定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数。
第四讲 解析函数和调和函数分解
u ( x, y ) u ( x, y ) ex ey x y v( x, y ) v( x, y ) V ( x, y ) v( x, y ) ex ey x y U ( x, y ) u ( x, y )
所以，在交点处两个等值线的法向量为：
所以： u ( x, y) ax by c
v( x, y) ay bx d
15 10 5
-7.5
-5
-2.5 -5 -10 -15
2.5
5
7.5
第三节 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数
w z , n 0,1, 2
n
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
f ( z ) x 3 3 xy 2 i 3 x 2 y y 3 C z 3 iC
* 显然一个解析的复变函数的实部和虚部并不是独立的任意选 取的实函数，而是由C-R条件联系在一起的一对共轭实调 和函数。 定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
n
z,
3
n 0,1, 2
3 2 n i 0 3 3
A 根式函数的多值性
z re
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3 3 显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅 角相差2/3。
3r 2n 0 0 , n 0,1, 2
(iv) sinz=0
eiz eiz 0 ei 2 z 1 z n ,
复变函数中的解析函数与调和函数
复变函数中的解析函数与调和函数复变函数是数学中的一门重要分支，它研究的是具有两个独立变量的函数，其中一个变量是实部，另一个变量是虚部。
复变函数的研究非常有意义，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
在复变函数中，有两个重要的概念，即解析函数和调和函数。
一、解析函数复变函数中的解析函数是指在某个区域内处处可微的函数。
具体来说，如果复变函数在某个区域内的每一点都有导数，那么这个函数就是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，如导数的存在性和唯一性。
根据解析函数的性质，我们可以通过求导来研究其它的解析函数性质，这是解析函数研究中的一种重要方法。
解析函数具有的性质还包括保角映射和调和性。
保角映射指的是解析函数在某个区域内保持角度关系不变，这在几何学中有广泛的应用。
调和性是解析函数的另一个性质，它表示解析函数的实部和虚部都是调和函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，它在物理学中有着重要的应用，如电势场和热传导等领域。
二、调和函数调和函数是解析函数的实部和虚部，它是复变函数中的一个重要概念。
调和函数具有很多重要的性质，如最大值原理和平均值性质。
最大值原理是指调和函数在区域内取得最大值或最小值时，必定位于边界上，这是调和函数研究中的一个重要结论。
平均值性质是指调和函数在区域内每一点的函数值等于其边界上某一点的函数值的平均值，这也是调和函数的一个特性。
调和函数在实际问题中有广泛的应用，如波动方程和扩散方程的求解，都涉及到调和函数的研究。
此外，在物理学中，调和函数也被广泛应用于电势场和热传导等领域。
通过研究调和函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。
三、实例下面我们通过一个实例来说明解析函数和调和函数的应用。
假设有一个矩形区域，边界上施加有电势，我们需要求解这个矩形区域内的电势分布。
首先，我们可以将电势分布表示为复变函数的实部或虚部，即调和函数。
然后，我们可以利用调和函数的性质和边界条件来求解问题。
在实际计算中，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，来求解调和函数的近似解。
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
解析调和与级数
§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。
若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。
定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。
证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。
同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。
反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。
例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。
y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。
2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。
二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。
证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。
解析函数与调和函数的关系
数学学院
共轭调和函数的定义 定义 设u(x,y)为区域D内的调和函数，如果区 域D内的另一函数v(x,y),使u+iv在D内构成解析函数， 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数.
定理 若调和函数u和v满足C-R方程，则v(x,y)为 u(x,y)的共轭调和函数, u+iv在D内构成解析函数.
f (z) ex cos y ie x sin y 1
数学学院
例3 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y,
试求一解析函数 f z u iv,使f (0) 0.
数学学院
同学们辛苦了
数学学院
例1 证明 u( x, y) x3 3xy2 为调和函数，
求其共轭调和函数 v x, y ,使 f (z) u iv 解析.
解 (1) ux 3x2 3 y2 , uxx 6 x,
uy 6xy,
uyy 6x,
uxx uyy 0.
(2) ux 3x2 3 y2 vy ,
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第三章 复变函数的积分
第五节解析函数与调和函数的关系
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调和函数定义：
定义 如果二元实变函数 x, y在区域D内具有
二阶连续偏导数，且满足Lapalace方程，
2 2
x2 y2 0
则称 x, y 为区域D内的调和函数.
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定理 （解析函数与调和函数的关系）
在区域D内的解析函数,其实部和虚部都是调和函数.
f z u iv,使f (0) 0.
解 ux v y e x cos y,
u vydx e x cos ydx ex cos y C( y)
uy e x sin y C( y) vx e x sin y, C( y) 0, C( y) C.
第4节_解析函数与调和函数
11
定理3.19 设u(x, y)是在单连通区域D内的调
和函数,则存在由(3.22)式
(x,y) u
u
v(x, y) dx dy c, (3.22)
y ( x0 , y0 )
x
所确定的函数v(x, y),使f (z) u iv是D内的解析函数.
12
注1: (3.21)可由
dv(x, y)
第四节 解析函数与调和函数
1
设 w f (z) u iv在区域 D内解析,
那末 u v , u v . x y y x
从而
2u x 2
2v yx
,
2u y2
2v xy
.
根据解析函数高阶导数定理,
u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,从而 2v 2v , yx xy
故
2u 2u 0,
9
4. 解析函数的构造
假设D是单连通区域
(1) 已知u(x, y)是D内的调和函数,找v(x, y),
使u iv在D内解析.
方法一:应用曲线积分
由于
2u x2
2u y 2
0,
即- u 与 u 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
且 ( u ) u x y y x
由数学分析的定理知, 10
u dx u dy是v(x, y)的全微分, y x
x 的解析函数f (z) u iv.
解 在右半z平面上
v x
2v
1
y
x2 y2
x2
2 xy
x2
y y2 ,
2v
x2 (x2 y2 )2 , y2
1
v y
x
1
y2 x2
2 xy (x2 y2)2
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§4. 解析函数与调和函数
一、教学目标或要求：
掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数与调和函数的关系例题
重点：解析函数与调和函数的关系
难点: 例题
三、教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：
16、17、18
§4. 解析函数与调和函数
在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。
因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。
现在我们来研究应该如何选择
才能使函数在区域D内解析。
设在区域D上解析，则C--R条件成立
，.
下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数
,
两式相加可得
同理可得
定义3.5若二元实函数
在区域
内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方
程，则称为区域内的调和函数。
记，
则为运算符号，称为拉普拉斯算子。
定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件
y v x u ∂∂=∂∂， x
v
y u ∂∂-=∂∂
的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义
设是区域D 上的解析函数，则
，
两式相乘得
即
所以
就是说，梯度跟梯度
正交. 我们知道，和
分别是曲线族“”和“
”的法向矢量，因而上式
表示“
”与“
”两族曲线相互正交. 这就解析函数
实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。
定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.
证 由
在
内解析知，
，从而。
又解析
函数具有的无穷可微性保证
，
在
内均连续，故必相等，于是在
内。
同理
，即，满足拉普拉斯方程。
定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理
),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是)
,(y x u 的共轭调和函数。
函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。
从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。
1.线积方法
定理3.19 设
是在单连通区域
内的调和函数，则存在
，
使
是
内的解析函数。
（其中
是
内定点,
是
内动
点,为任意常数，积分与路径无关） 证 要使成为解析函数,则
必须满足条件
(
条件),
又
,故
，又
在单连通区域
可微，故
积分与路径无关，从而
2.条件
由，两边对求积分
,两边同时求的偏导
，由条件
两边对求积分求得的表达式,从而
3.观察法
例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。
解(1) 故
(2)
方法一
故
又故，从而。
方法二
由于，故
于是,从而，
于是，即。
故，以下同方法一（略）。
方法三
由于
故。
余下（略）。
例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。
解（1）
故即在右半平面内是调和函数。
（2）由得
又,故, 于是，故
从而
在右半平面单值解析。
例 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数
),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．
解 依C.— R.条件有 y x u v x y 22-== 于是 ⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得 )(2x y v x ϕ'+=y u -=y x 22+= 从而有 c x x +=2)(ϕ
因此 c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得 )2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++=
将i )0(=f 代入上式，得 i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得 i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。
本章内容课后讨论
1． 何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？
2． 设l 是z 平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问
与
的
几何意义有何不同?不等式
说明了什么几何性质?
3． 计算复变函数的积分有哪几种方法? 4． 复变函数的基本性质是什么?
5． 若
,能否说f(z)在l 内必解析?试举例说明.
6．对于什么样的闭曲线l,有
7．到此,我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式?
8．何谓原函数?如何计算解析函数的积分?
9．以下二论断是否均正确?试举例说明.
(z)存在,则f(n)(z)亦存在.
(1)对于复变函数f(z)而言，若
(2)对于实变函数f (x)而言，若
10．解析函数的导数是否仍为解析函数？
11．以下论断是否正确？为什么？
若在曲线l上连续，则积分定义一一个不在l上的解析函
数，且
12.若f（z）在区域内解析，在闭区域上连续，试证明在内有
成立，其中M为的上界，s为l的全长，d
Cauchy不等式
和z离边界上最近的一点的距离。
13．Liouville定理实际指出：“在整个复平面可微且有界的复变函数必是常数”。
由此我们是否可推断：“在整个数轴（）上可微且有界的实函数一定是常数”？试举例说明。
14．如何从Cauchy积分公式来理解解析函数其值之间的内在联系？。