【数学竞赛】2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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2016年各省高中数学联赛预选赛试题及详解答案(最值部分)

2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）1、为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >y x xy 21y x yx a y x a y x 22++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥2、设1x 0<<，b a ，大于零的常数，x1b x a 22-+则的最小值为（()2b a +）解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数由柯西不等式可知：()()2222b a x1x b a x 1b x a +=-++≥-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。

3、已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则b1a 1+最小值时，=ab （27）解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()943616b a 913b 1a 99b 1a 12==++≥+=+，即当且仅当b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。

∴2793ab =⨯=4、若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）解：∵0y x >, ∴xy 为正数∴5x39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x3y 432x 39y 4452≥+⇔++≥+=当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩⎪⎨⎧==21y 1x 时，等号成立。

5、 z y x ，，为正数时，222z y x yz xz 4+++的最大值为（217）。

解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒数。

福建省高一数学竞赛试题参考答案

2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。

3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。

的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。

在直线2ll。

在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。

过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。

与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。

aa bbP??????。

，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。

和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。

内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。

????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。

a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。

【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。

ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。

1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。

各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。

在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。

经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。

对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。

各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。

2016年高中数学竞赛b试题答案

2016年高中数学竞赛b试题答案2016年高中数学竞赛B试题的答案如下：选择题：1. 答案：A解析：根据题目所给条件，我们可以通过代入验证法或者排除法来确定正确答案。

例如，将选项A代入题目的等式中，如果满足条件，则A为正确答案。

2. 答案：B解析：此题考查了函数的性质，需要利用函数的单调性、奇偶性等性质来求解。

3. 答案：C解析：本题需要运用数列的通项公式和求和公式，通过计算来确定答案。

4. 答案：D解析：考查了几何图形的性质，需要通过几何证明或者代数方法来求解。

5. 答案：E解析：此题涉及到概率统计的知识，需要根据题目所给的条件，运用概率公式来计算。

填空题：1. 答案：3解析：根据题目所给的数列规律，可以推导出答案。

2. 答案：\( \sqrt{2} \)解析：此题考查了二次根式的性质，需要通过化简来求解。

3. 答案：5解析：根据题目所给的几何图形，可以利用面积公式来求解。

4. 答案：\( \frac{\pi}{4} \)解析：此题考查了三角函数的求值，需要运用三角函数的性质和公式。

5. 答案：\( x^2 - 4x + 3 \)解析：本题需要运用因式分解的方法来求解。

解答题：1. 答案：首先设未知数，然后建立方程组，通过解方程组来求解。

2. 答案：根据题目所给的函数表达式，我们可以利用函数的性质来求解。

3. 答案：此题需要运用数列的递推关系，通过递推公式来求解。

4. 答案：本题考查了几何证明，需要运用几何定理和公理来证明。

5. 答案：此题需要运用组合数学的知识，通过组合公式来求解。

请注意，以上答案和解析是根据一般性描述给出的，具体的题目内容和答案可能会有所不同。

如果需要针对具体题目的详细解析，请提供具体的题目内容。

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8： 30- 11: 00）、选择题（每小题6分，共36 分） 1 .若集合Ax x 2x 12 0,Bx x 10 x 1,Cx xA 且xB ，则集合C （）A . 3, 1 1 ,4B . 3, 1 1,4C .3, 11,4D .3, 11 ,4【答案】 D【解答】依题意, Ax x 2 x 12 03,4 , Bx x 1 0 (1,1)。

x 1由x A , 知 3x4 ; x B ,知x 1或 x 1。

所以，3x1或1 x 4,即C 3, 1 1,4 。

2.已知直线h :(m 2)x3my 1 0与直线 J : (m 2)x (m 2)y4 0 ( m 0) 相互垂直，垂足为 P , O 为坐标原点，则线段OP 的长为（)A . 75B.2C .D .近【答案】 D【解答】如图，取AC 中点O , PC 中点D ,连结OP , OB , OD ,DB 。

不妨设AB 2，则由条件知，PA PC 2 , AC ^ 2 。

角A PC B 的余弦值为()A .2B .C.'D.-3333【答案】 B【解军答1由1 12 知,(m 2) (m2) (m 2) 3m 0 ,结合m 0，得m 23m c 10 , m — o211方程为 5—x 3 -y1 0 ,即5x3y 32 0 ; I 2方程为：—x5 -y 4 0，即2 22 23x 5y80。

由 5x 3y 2 0 得x 1 。

因此，P( 1 ,1），线段OP 长为、2。

3x 5y 8 0y 1△ PAB , △ PBC 均为等边三角形，且 ABBC 。

则二面3.如图，在三棱锥P ABC 中, P1PA PC , OP -AC 2 OC 。

2••• OD PC 。

又 BD PC ，故 BDO 是二面角 A PC B 的平面角。

在厶 BOD 中，由 OB 2 , OD 1, BD . 3 ,得 BOD 90 , cos BDO °D3。

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

又 f (x 6) f (x) 6 。因此， f (x 6) f (x) 6 ， f (x 6) f (x) 6 。
∴ f (x 6k) f (x) 6k ， k N* 。
∴ f (2016) f (0 6 336) f (0) 6 336 1 2016 2017 。
12．已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 b 5c 8a 2c 3b c 的最小值为
。
a b 2b 3c 2c a
【答案】 6
【解答】设 a b x ， 2b 3c y ， 2c a z ，则 x 0 ， y 0 ， z 0 。
由 x y ，知 x 1 y ，因此， 2x 2 y 1 4 y 。
∴ x 4 ， x 1 ，2，3。若 x 1 ，则 y (2 y 3) ， y 3 ， y 3 。将 x 1 ， y 3 代入题中方程，得15 3z ， z 5 。
若 x 2 ，则 2 y (2 y 5) ， 2 y 5 。由 y 2 知， y 不存在。
A． 3
B． 3 3
C． 5 3
D． 3 3
P
2
2
【答案】 D
【解答】如图，设 AE AF AG 2 3 （ E 在 AB 上， F 在 PB 上， G 在 A
C
PC 上）。
B
由 PA PB ， PA PC ， PB PC ， PA PB PC 3 ，知 PF PG EAF 。
若 x 3 ，则 3y (2 y 7) 。所以， 3y 2 y 7 ，又 y 3 ，因此， y 4 ，5，6，7。经验证只有

2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛及解析

2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.若函数f(x)=3cos(wx +π6)−sin(wx −π3)(ω>0) 的最小正周期为π，则f (x )在区间[0，π2]上的最大值为________.2.已知集合A={x|x 2−3x +2≤0}，B ={x|1x−3<a}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.3.函数f (x ) =x 2ln x +x 2-2零点的个数为________.4.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角B -A 1C -D 的大小为________.5.在空间四边形 ABCD 中，AB =2，BC =3，CD =4，DA =5.则AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =________.6.已知直线l 过椭圆C ：x 22+y 2=1 的左焦点F 且与椭圆C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点.若OA ⊥OB ，则点O 到直线AB 的距离为________.7.已知z ∈C .若关于x 的方程x 2−2zx +34+i =0(i 为虚数单位)有实数根，则|z| 的最小值为________.8.把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为__________.（用数字作答）9.设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则f(2016)2016= _________.10.当x、y、z为正数时，4xz+yz222的最大值为________.二、解答题nn项和S n=2a n-2(n∈Z+).（1）求通项公式a n；（2）设b n=1an −1n(n+1)，T n为数列｛b n｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥T n；（3）设c n=a n+1(1+a n)(1+a n+1)，R n为数列{c n}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有R n<λ，求λ的最小值.12.已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b的值；（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.13.如图，⊙O为△ABC的外接圆，DA为⊙O的切线，且∠DBA=∠ABC，E为DB与⊙O的另一交点，点F在⊙O上，且BF∥EC，G为CF的延长线与DA的交点.证明：AG=AD.14.如图，F1、F2为双曲线C：x 24−y2=1的左、右焦点，动点P(x0，y0)(y0≥1)在双曲线C 的右支上.设∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m，0)、N.（1）求m的取值范围；（2）设过点F1、N的直线l与双曲线C交于D、E两点，求△F2DE面积的最大值.15.若将集合A={1，2，…，n}任意划分为63个两两不相交的子集(它们非空且并集为A)A1，A2，…，A63，则总存在两个正整数x、y属于同一个子集A1(1≤i≤63)，且x>y，31x≤32y.求满足条件的最小正整数n.参考答案1.2√3【解析】1. 注意到，f(x)=3cos(wx +π6)−sin(wx −π3) =3cos(wx +π6)−sin(wx +π6−π2)=3cos(wx +π6)+cos(wx +π6) =4cos(wx +π6)，且f (x )的最小正周期为π. 则ω=2，f(x)=4cos(2x +π6).又x∈[0，π2]时，π6π≤2x +π6≤7π6. 故当2x +π6=，即x =0时，f (x )在区间[0，π2]上取最大值2√3.2.(−12，+∞)【解析】2. 易知，A ={x |1≤x ≤2}.当x ∈A 时，1x−3∈[−1，−12]. 故a >−12.从而，a 的取值范围是(−12，+∞).3.1【解析】3.由条件知f ′(x)=2xlnx +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x>e−32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数. 又0<x <e−32时，lnx +1<−32+1=−12<0 f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e−32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0故函数f (x )零点的个数为1. 4.120°【解析】4. 设正方体棱长为1.如图4，作BE ⊥A 1C 于点E ，联结DE .由正方体的性质知△A 1DC ≌△A 1BC .则DE ⊥A 1C ，∠BED 为二面角B -A 1C -D 的平面角，且BE =DE =√23BD =√2.故cos∠BED =23+23−22×√2√3×√2√3=−12⇒二面角B -A 1C -D 的大小为120°.5.7【解析】5.以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底向量. 则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2⇒AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⇒25=4+9+16+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2.故AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+9=7.6.√63.【解析】6.易知，F (-1，0).设l AB ：x =ty -1. {x =ty −1，x 22+y 2=1⇒(t 2+2)y 2-2ty -1=0. ①注意到，式①的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则y 1+y 2=2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2. 由OA ⊥OB ，得x 1x 2+y 1y 2=(ty 1−1)(ty 2−1)+y 1y 2=（t 2+1）y 1y 2−t （y 1+y 2）+1=−(t 2+1)−t ·2t +1=0⇒ -(t 2+1)-2t 2+t 2+2=0⇒t 2=12.故点O 到直线AB 的距离为√1+t =√637.1.【解析】7.设z =a +bi >i (a 、b ∈R )，x =x 0为原方程的一个实根. 则x 02+2(a +bi)x 0+34+i =0⇒{x 02−2ax 0+34=0，−2bx 0+1=0 ⇒x 0=12b，a =3b 2+14b⇒|z|2=a 2+b 2=(3b 2+14b)2+b 2=2516b 2+116b2+38≥58+38=1，当且仅当b =±√55时，上式等号成立.从而，|z |的最小值为1. 8.216.【解析】8.将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式： 16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7， 16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7， 16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9A 44=216. 9.504.【解析】9. 由条件知f (x +12)-f (x ) =(f (x +12)-f (x +8))+(f (x +8)-f (x +4))+(f (x +4)-f (x )) ≤2((x +8)+1)+2((x +4)+1)+2(x +1) =6x +30-6(x +5). 又f (x +12)-f (x )≥6(x +5)，于是，f (x +12)-f (x )=6(x +5). 则f (2016)=∑(f(12k +12)−f(12k))+f(0)167k=0 =6∑(12k +5)+167k=01008=6×(2009+5)×1682+1008=1008×1008.故f(2016)2016=10082=504.10.√172.【解析】10. 注意到，（1）x 2+1617z 2≥2√1617xz ，当且仅当x =√17时，等号成立；（2）y 2+117z 2≥2√117yz ，当且仅当x =√17时，等号成立.则x 2+y 2+z 2=(x 2+1617z 2)+(y 2+116z 2)≥2√1617xz +2√117yz=√17−yz) ⇒4xz+yz x 2+y 2+z2≤√172.当且仅当x ：y ：z =4：1：√17时，上式等号成立. 从而，4xz+yzx 2+y 2+z2的最大值为√172. 11.(1) a n =2n .(2) k =4.(3) 23【解析】11.（1）由S n =2a n -2，得5n +1=2n +1-2. 两式相减得a n +1=2a n +1-2a n ⇒a n +1=2a n . 于是，{a n }为等比数列，公比q =2. 由S 1=2a 1-2⇒ a 1=2a l -2⇒a 1=2. 从而，a n =2n . （2）由（1）知b n =12n −1n(n+1)=1n(n+1)(n(n+1)2n−1). 计算知b 1=0，b 2>0，b 3>0，b 4>0. 当n ≥5时，由n(n+1)2n −(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1>0，知当n ≥5时，{n(n+1)2}为递减数列. 于是，n ≥5时，n(n+1)2n≤5(5+1)25<1. 则n ≥5时，b n=1n(n+1)(n(n+1)2n−1)<0.故T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>….从而，对任意的n ∈Z +，均有T 4≥T n .因此，k =4. （3）由（1）知c n =a n+1(1+a n )(1+a n+1) =2n+1(1+2)(1+2)=2(12+1−12+1)⇒R n =2∑(12k +1−12k+1+1)nk=1=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1又对任意的n ∈Z +，均有R n <λ，知A ≥23.从而，λ的最小值为23.12.(1) a =-1，b =2. (2) e2【解析】12.（1）由已知得f ′(x)=aax+b +2x .依题意有{f ′(1)=aa+b +2=1，f(1)=ln(a +b)+1=1⇒a =-1，b =2.（2）设g (x )=f (x )-(x 2+x ).则g (x )=ln (ax +b )-x ≤0. 当a <0时，g (x )的定义域为(-∞，−ba )取x 0使得ln (a x 0+b )=−ba+1，则x 0=e −ba +1−ba<−b a故g (x 0)=ln (a x 0+b )-x 0>ln (ax 0+b )-(−b a) =(−b a+1)+b a=1>0.于是，当a <0时，g (x )≤0不恒成立，即a <0不符合要求. 当a >0时，g ′(x)=aax+b−1=−a(x−a−b a)ax+b注意到，ax +b >0，若−ba<x <a−ba，则g ′(x)>0；若x >a−ba，则g ′(x)<0.于是，g (x )在区间(−b a，a−b a )上为增函数，在区间(a−b a，+∞)上为减函数.从而，g (x )在其定义域(−b a，+∞)上有最值g (a−ba).由g (x )≤0⇒g(a−b a)=lna −a−b a≤0⇒b ≤a −alna ⇒ab ≤a 2−a 2lna设h (a )=a 2-a 2lna .则ℎ′(a)=2a -(2alna +a ) =a (1-2lna ). 当0<a <√e 时，寸，ℎ′(a)>0；当a >√e 时，ℎ′(a)<0.于是，h (a )在区间(0，√e )上为增函数，在区间(√e ，+∞)上为减函数. 从而h (a )的最大值为ℎ(√e)=e −e 2=e2.故当a =√e ，b =√e2时，ab 取最大值e2.综上，ab 的最大值为e2. 13.见解析【解析】13.在△ABC 、△ABD 中，由DA 为⊙O 的切线，知∠BAD =∠BAC . 又∠DBA ∠ABC ，于是∠ADB =∠CAB .因为A 、B 、E 、C 四点共圆，所以，∠CAB +∠CEB =180°⇒∠ADE +∠DEC =180°⇒EC ∥DA .又BF ∥EC ⇒EC ∥BF ∥DG .由EC 、BF 为⊙O 的两条平行弦知CF =EB . 于是，GC =DE ，GF =DB . 又GA 2=GF ·GC ，DA 2=DB ·DE ⇒GA 2=DA 2，AG =AD .14.(1) (0，√2]. (2) 4√30【解析】14.（1）依题意有F 1(-√5，0)，F 2(√5，0). 则l PF 1：y =0x 0+5+√5)⇒y 0x −(x 0+√5)y +√5y 0=0， l PF 2：y =0x 0−5−√5)⇒y 0x −(x 0−√5)y −√5y 0=0.由点M 在∠F 1PF 2的平分线上知0√5y 0√y 02+(x 0+√5)2=0√5y 0√y 02+(x 0−√5)2.由−√5<m <√5，y 0≥1及y 02=14x 02−1 ⇒x 0≥2√2.则y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2， =y 02+(x 0−√5)2=(√52x 0−2)2.故√552x 0=√5−m 52x 0⇒m =4x 0.结合x 0≥2√2⇒0<4x≤√2.从而，m 的取值范围是(0，√2]. （2）由（1）知l PM:y =y 0−0x 0−4x(x 0−4x). 令x =0 ⇒y =−4y 0x 02−4=−1y 0.故点N(0，−1y 0).由k 1=0−(−1y 0)−5−0=5y 0⇒l:y =−√5y (x +√5).与双曲线方程联立消去x 得(5y 02−4)y 2+10y 0y +1=0 ①⇒Δ=100y 02−4(5y 02−4)=80y 02+16>0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2). 1 则y 1+y 2=−10y5y 02−4，y 1y 2=15y 02−4⇒|y 1−y 2|=√1212=√(−10y 05y 02−4)2−4×15y 02−4=4√5y 02+1|5y 02−4|.由y 0≥1，知S △F 2DE=12|F 1F 2||y 1−y 2|=12×2√5×4√5y 02+15y 02−4. 设5y 02−4=t .于是，t ≥1.故S △F 2DE =4√5×√t+5t =4√5×√5(1t +110)2−120.当t =1，即点P (2√2，1)时，△F 2DE 面积取最大值4√30 . 从而，△F 2DE 面积的最大值为4√30. 15.2016【解析】15.考虑模63的剩余类，即将集合A 划分为如下63个两两不相交的子集： A i ={a |a =63k +i ，k ∈N }(i =1，2，…，63).于是，对每个A i (1≤i ≤63)及任意的x 、y ∈A i (x >y )，均有x -y ≥63. 则y ≤x -63，x ≤n ⇒ 32y -31≤32(x -63)-31x =x -32×63≤n -20。

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准文档版

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准〔考试时间：5月8日上午8：30－11：00〕一、选择题〔每题6分，共36分〕1．假设集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =〔〕A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，【答案】 D【解答】依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B xx +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。

所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=〔0m >〕相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为〔〕A． B ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。

∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。

因此，(11)P -，，线段OP。

3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

则二面角A PC B --的余弦值为〔〕A．BCD ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC =AB CP〔第3题〕∴ PA PC ⊥，122OP AC OC ===。

2016年全国高中数学联合竞赛加试(A)含答案解析(PDF版)

O1O2 与 AB, AC 分别交于点U ,V ．
X
证明：△ AUV 是等腰三角形．
A
O1 U
O2 V
B
C
Y
证法一作 ∠BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外
接圆分别为ω1 和 ω2 .
由内角平分线的性质知，BP = CP
AB . AC
由条件可得 BX CY
−
a12
)
．
由已知得，对
i
=
1,
2,,
2015 ，均有
ai
−
a2 i +1
>
11 9
a2 i +1
−
a2 i +1
≥
0
．
若 a2016 − a12 ≤ 0 ，则 S ≤ 0 ．
…………………10 分
以下考虑 a2016 − a12 > 0 的情况．约定 a2017 = a1 ．由平均不等式得
∑ ∑ ∑ 1
试确定所连线段数目的最大值．
解以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证
明 G 的边数不超过 15．
设
G
的顶点为
v1,
v2
,,
v10
，共有
k
条边，用
deg(vi )
表示顶点
vi
的度.
若
deg(vi
)
≤
3
对
i
=
1,
2, ,10
都成立，则
∑ =k
1 2
10 i =1
deg(vi )
≤= 1 ×10× 3 2

2016年高中数学联赛试题答案

2 2
2
2
3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案

2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为。

【答案】【解答】∵ ()3cos()sin()3cos()sin()63662f x x x x x πππππωωωω=+--=+-+-3cos()cos()4cos()666x x x πππωωω=+++=+，且()f x 的最小正周期为π。

∴ 2ω=，()4cos(2)6f x x π=+。

又02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ≤+≤，∴ 266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值 2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B xa x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为。

【答案】 1()2-+∞，【解答】{}12A x x =≤≤。

由13a x <-，得3103ax a x -++<-。

∴ 0a =时，{}3B x x =<。

满足A B ⊆。

0a >时，由3103ax a x -++<-，得1(3)03x a x -+>-，133B x x x a ⎧⎫=<>+⎨⎬⎩⎭或。

满足A B ⊆。

0a <时，由3103ax a x -++<-，得1(3)03x a x -+<-，133B x x a ⎧⎫=+<<⎨⎬⎩⎭。

由满足A B ⊆，得131a +<，102a -<<。

综合得，12a >-。

a 的取值范围为1()2-+∞，。

2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷及答案

请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为。

2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为。

4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B A C D --的大小为。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅= 。

6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为。

7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为。

8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。

（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值为。

C 1B 1D 1C ABDA 1二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。