安徽省马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题(含答案)

马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生

数学素质测试题

一、选择题 (每小题5分，满分30分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)

1．若0

，x 1

x

这四个数中 （ ）

A 、

1x 最大，x 2最小 B 、x 最大，1

x

最小 C 、x 2 D 、x 最大，x 2最小 2．小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸．出一张福娃纪念卡，则摸．出的福娃都是贝贝的概率是 （ ） A 、

1

25

B 、

25

C 、

15

D 、

18

3．方程(x 2

+x-1)x+3

=1的所有整数解的个数是 （ ）

A 、5

B 、4

C 、3

D 、2

4．钟表上12点15分时，时针与分针的夹角为

（ ）

A 、90º

B 、82.5º

C 、67.5º

D 、60º

5．使方程2x 2

-5mx+2m 2

=5的二根为整数的整数m 的值共有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

6．已知二次函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图09-1所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则 （

） A 、p>q B 、p=q

C 、p

D 、p 、q 的大小关系不能确定

二、填空题 (每小题5分，满分30分)

1．分解因式：x 4

-x 2y 2

+y 4

= 2．已知x

满足不等式| a x -1| > a x -1 (其中a ≠0)，那么x 的取值范围是 3．已知a 是整数，一次函数y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 4．如图09-2，已知正方形ABCD ，其边长为1，以AB 为边在形内作正三角形ABE ，则⊿ACE 的面积为

5．在⊿ABC 中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是

图09-2

6．已知：a 2

+4a+1=0，且a

m a a m a a 221

2324++++=3，则m 的值为

三、解答题（本大题共7小题，1～5小题各12分；6、7小题各10分，共80分） 1．(本题12分) 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|。

2．(本题12分)如图09-3，直线y = -x +2与x ，y 轴分别交于A 、B 点，另一条直线y =kx+b (k ≠0)过点C (1,0)且把⊿AOB 分成两部分。 （1）若⊿AOB 被分成的两部分面积相等，求k ，b 的值； （2）若⊿AOB 被分成的两部分面积之比为1:5，求k ，b 的值。

3．(本题12分)如图09-4，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于C点，BC和AD的延长线相交于E，且AD⊥PD。

（1）求证：AB=AE；

（2）问：当AB:BP为何值时，⊿ABE为等边三角形？

请说明理由。

4．(本题12分)已知

19x2+123xy+19y2=1985。

试求正整数n。

5．(本题12分) 已知二次函数y1= ax2+4ax+4a-1的图象是M。

（1）求M关于点R(1,0)中心对称的图象N的解析式y2；

（2）当2≤ x ≤5时，y2

a的值。

6．(本题10分)对a>b>c>0，作二次方程x2– (a+b+c)x+ab+bc+ca=0。

（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；

（2）若方程有实根x0，求证：a>x0>b+c；

（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c。

7．(本题10分)证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍。

参考答案

（本卷满分140分，答题时间120分钟）

一、选择题 AABBDC 二、填空题

1．(x 2

2)( x 2

2)

2．若a<0，则x>1/a ，若a>0，则x<1/a

3．5 4

5．

2585或 6．19

三、解答题 1．

解：法一、原不等式化为 ①20430x x x ≥⎧⎨-+<⎩ 或 ②20

430x x x <⎧⎨++<⎩

……6分

由①得，1

由②得，-3

……12分

法二、原不等式化为：|x|2+3<4|x|，即 (|x|-1)(|x|-3)<0 ∴1<|x|<3，从而可知原不等式的解为 -3

（1）依题有A(2,0)、B(0,2)，所以点C 为线段OA 的中点，故直线

y=kx+b 过点B ，从而可得：k=-2，b=2； ……4分

（2）k=-23，b=23或k=2，b=-2。 设y=kx+b 与OB 交于M(0,h)，且S ⊿OMC =1

6S ⊿OAB ，

可以解得h=

23，所以有M(0,2

3

)。

……7分

过M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N(a,2

3

)，则S ⊿OMC =S ⊿CAN 。 因为N(a,

23)在直线y=-x+2上，所以a=43，N(43,23

)

……10分

所以直线y=kx+b 过M(0,23)，C(1,0)或N(43,2

3

)，C(1,0)。代入求解即可。 ……12分

3．

解：（1）方法一：连结AC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ACE =90º， 又∵AD ⊥PD ， ∴⊿ACD ∽⊿AEC ，∴∠E=∠1， ∵PD 切⊙O 于C 点，∴∠1=∠2， ∴∠E=∠2，∴AB=AE 。

……6分