6.3.4等比数列应用举例(银行贷款计算)
数列在贷款问题中的应用
住房贷款问题
a1 a2
等额本息还款与等额本金还款虽仅有一字之差，
却是截然不同的两种还款方式。 等额本息还款即借款人每月按相等的金额偿还 贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款 涉及到an与Sn之间的转化 本金计算并逐月结清。 了，很难求解！可否通过 设每个月偿还金额为 x 元，如何求解 x 呢？ 另外的模型先求解 x呢？ 240个月中，一共又产生了多少的利息呢？ 如何构建数列模型？ 设第n个月产生的利息为an可以得到什么？
1 bn bn 4.5% x ,1 n 239 12
1 b1 864836 1 4.5% x 12
b240 0
求解数学模型
bn1
1 bn 1 4.5% x ,1 n 239 12
数据观察
建立数学模型 借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
住房贷款问题
每月偿还金额分为两个部分： 本金（864,836元）平均分配到每个月的部分：
此时已经偿还了3903.48*(n – 1)元的本金，产 生利息的本金金额为3903.48*(24 – (n – 1)) 1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12
a240 240 x 864836
建立数学模型
住房贷款问题
等额本息还款
借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
我们也可以这样考虑：第
n 个月还款后还剩余 bn元未偿还；那么第 n + 1 个月还款后剩余债 务bn + 1与 bn 之间有什么关系呢？
中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
人教版中职数学(基础模块)下册6.3《等比数列》word教案(可编辑修改word版)
【课题】 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前项和公式．n 能力目标：通过学习等比数列前项和公式,培养学生处理数据的能力．n 【教学重点】等比数列的前项和的公式．n 【教学难点】等比数列前项和公式的推导．n 【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前项和公式的推导、求等比数列的项数的问题及知识的简单实际n n n 应用．等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解n 并学会应用．等比数列的通项公式与前项和公式中共涉及五个量：n ，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.n n S a n q a 、、、、1教材中例6是已知求的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利n n S a a 、、1n q 、用指数相等来求解的方法是研究等比数列问题的常用方法.n 【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】教学 过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3 等比数列．*创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】从趣过 程行为行为意图间传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．质疑引导分析思考参与分析味小故事出发使得学生自然的走向知识点10*动脑思考 探索新知下面来研究求等比数列前n 项和的方法．等比数列的前n 项和为{}n a (1).321n n a a a a S ++++= 由于故将(1)式的两边同时乘以q ，得1,n n a q a +⋅= (2) 2341+=+++++ n n n qS a a a a a ．用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 (3)()()1111111+-=-=-⋅=-n n n n q S a a a a q a q ．当时，由(3)式得等到数列的前项和公式1≠q {}n a n 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等比数列通项公式过程行为行为意图间 (6.7)1111-=≠-nn a q S q q()()．知道了等比数列中的、n 和，利用公式{}n a 1a ),1(≠q q （6.7）可以直接计算．n S 由于,11q a a q a n n n ==+因此公式（6.7）还可以写成(6.8)111-=≠-n n a a q S q q ()．当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和1=q n 为．(6.9) 1na S n =【想一想】在等比数列中，知道了、q 、n 、、五个量{}n a 1a n a n S 中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？【注意】在求等比数列的前n 项和时，一定要判断公比q 是否为１．引导分析参与分析引导启发学生思考求解35*巩固知识 典型例题例5 写出等比数列,27,9,3,1--的前n 项和公式并求出数列的前8项的和．解 因为，所以等比数列的前n 项313,11-=-==q a 说明强调引领观察思考通过例题进一过程行为行为意图间和公式为，1[1(3)]1(3)1(3)4n nn S ⨯----==--故 ．881(3)16404S --==-*例6 一个等比数列的首项为，末项为，各项的和4994为，求数列的公比并判断数列是由几项组成．36211解 设该数列由n 项组成，其公比为q ，则，194a =，．49n a =21136n S =于是 9421149361q q-⋅=-,即，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-q q 944936)1(211解得 ．23q =所以数列的通项公式为 192,43n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭于是 ，1492943n -⎛⎫= ⎪⎝⎭即,323241⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 解得 ．5n =故数列的公比为，该数列共有5项．23【注意】讲解说明引领分析强调含义主动求解观察思考求解领会步领会注意观察学生是否理解知识点45过 程行为行为意图间例6中求项数n 时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为，646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦1710的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！说明思考反复强调50*运用知识 强化练习练习6.3.31．求等比数列，，，，…的前10项的和．919294982．已知等比数列｛｝的公比为2，＝１，求．n a 4S 8S 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*巩固知识 典型例题【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”．例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否过 程行为行为意图间如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）解 货款第一年后的本利和为2020 5.76%20(10.0576) 1.057620,+⨯=+=⨯第二年后的本利和为21.057620 1.057620 5.76% 1.057620,⨯+⨯⨯=⨯依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列…231.057620,1.057620,1.057620,⨯⨯⨯其通项公式为11.057620 1.0576 1.057620-=⨯⨯=⨯n n n a 故．55 1.05762026.462886=⨯=a 答 小王应偿还银行26.462886万元．引领分析强调含义说明观察思考求解领会思考求解理解知识点反复强调4550*运用知识 强化练习张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?质疑求解强化60*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的前n 项和公式是什么？结论：).1(1)1(1≠--=q qq a S n n 质疑归纳回答理解及时了解学生知识掌握情况70过程行为行为意图间).1(11≠--=q qq a a S n n 强调强化*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1．已知等比数列｛｝中，求n a 13226==a S ，，3q a 与．2．等比数列｛｝的首项是6，第6项是，这个数列n a 316-的前多少项之和是？25564提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A 组（必做）；教材习题6．3B 组（选做）(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；−辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。
数学思维大挑战等比数列的应用实例
数学思维大挑战等比数列的应用实例数学思维大挑战：等比数列的应用实例在数学学科中，等比数列是相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
这个概念可能让人们感到有些抽象，但实际上，等比数列在日常生活中的应用非常广泛。
本篇文章将为您介绍一些等比数列的实际应用实例，帮助您更好地理解和运用这一数学概念。
一、金融领域中的等比数列应用在金融领域中，等比数列经常被用来计算复利。
复利是指在原有本金的基础上，利息按照一定的比率重新投入并产生新的利息。
假设某个银行的年利率为5%，如果我们将1000元存入该银行，并且每年将利息重新投入，那么按照等比数列的概念，我们可以得到以下数列：1000，1050，1102.5，1157.63，1215.51，......这个数列中的每一项都是前一项乘以1.05得到的，其中1.05是1加上5%的小数形式。
通过计算等比数列的和，我们可以得知在多年后，我们的存款将会成长到多少。
二、物理学中的等比数列应用在物理学中，等比数列经常被用来描述某些自然现象的性质。
例如，在光学中，我们知道光的能量在经过障碍物传播后会衰减。
这种衰减的规律可以通过等比数列来描述。
假设某束光的初始强度为I，经过每一次传播，其强度都会减少到原来的一半。
我们可以得到以下等比数列：I，I/2，I/4，I/8，......通过计算等比数列的和，我们可以计算出在经过多次传播后，光的强度将会减少到多少。
三、生态学中的等比数列应用在生态学中，等比数列常用于描述生物种群的增长或衰减规律。
由于资源的限制，种群数量通常无法无限制地增长。
以某种虫子的繁殖为例，假设初始时有100只虫子，每年繁殖的数量是前一年数量的两倍。
我们可以得到以下等比数列：100，200，400，800，......通过计算等比数列的和，我们可以预测多年后虫子的数量将会是多少。
这种应用可以帮助生态学家们更好地了解和管理生物群落中的种群数量。
结语通过以上的实际应用实例，我们可以看到等比数列在金融、物理学和生态学等领域中的重要性。
如何应用等比数列解决问题
如何应用等比数列解决问题等比数列在数学中有着广泛的应用，它能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将讨论如何应用等比数列解决问题，希望能对读者有所启迪。
一、等比数列的定义和性质在开始讨论问题之前，我们先来了解一下等比数列的定义和性质。
等比数列是指一个数列中的每个元素与它前面的元素的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列的通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示第n个元素，a1表示首项，r表示公比。
等比数列的性质包括等比中项公式、等比数列前n项和公式以及等比数列的求和公式等等。
二、等比数列在实际问题中的应用2.1 货币的贬值问题假设某国货币每年贬值20%，现在有一笔10000元的存款，问经过5年后，这笔存款贬值了多少？我们可以通过等比数列来解决这个问题。
首先确定首项a1为10000，公比r为1-20%=0.8。
则第5年后的存款金额为an=a1×r^(n-1)=10000×(0.8)^(5-1)=10000×0.8^4，计算得到结果为4096元。
所以，经过5年后，这笔存款贬值了10000-4096=5904元。
2.2 美术品的价值评估某个艺术家的作品每年的估值增长率为15%，现在有一幅作品估值为5000元，问经过4年后，这幅作品的估值是多少？我们可以利用等比数列来求解。
首先确定首项a1为5000，公比r为1+15%=1.15。
则第4年后的作品估值为an=a1×r^(n-1)=5000×(1.15)^(4-1)=5000×1.15^3，计算得到结果为7268.75元。
所以，经过4年后，这幅作品的估值为7268.75元。
2.3 人口增长问题某一城市的人口每年以5%的速度增长，现在这个城市的人口为10000人，问经过多少年后，这个城市的人口将增长至20000人？我们可以借助等比数列来求解。
首先确定首项a1为10000，公比r为1+5%=1.05。
等比数列应用举例(单复利)
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存 期 1年 2.25 2年 2.75 3年 3.25 5年 3.35
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．
解 货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 20,1.05762 20,1.05763 20,
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%， 若某人存入1000元作为本金， 一个月后 本息和 两个月后 1000 (1+1%) 本息和
第2月存款利息：100×11×0.1425%，
„ 第11月存款利息：100×2×0.1425%，
第12月存款利息：100×1×0.1425%. 于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和： S12＝100×12×0.1425%＋100×11×0.1425%＋…＋ 100×2×0.1425%＋100×1×0.1425% ＝100×0.1425%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.1425%×78＝11.115. 实际取出：100×12＋11.115＝1 211.115(元)．
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a ^ = q q=0” n_2,且n- N , q 称为公比 a n A.2、通项公式:nAa.an- a .qqq3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A = ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个( (2) 数列：a n f 是等比数列=a n 2二a nd a n.1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当 q =1 时，S n =na .(2) 当q 胡时，看^_二=口31 -q 1 -q鱼= A-A B n =A'B n -A'( A,B,A',B'为常数)1 -q 1 -q5、等比数列的判定方法：数列(2)等比中项：a n 2 =a n 何4佃何」=0)二｛a n ｝为等比数列 (3)通项公式：a^ A B n A B- o = g ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义：若 五二qq=0 n —2,且n N *或a .1二qa 「=｛a n ｝为等比数列 a n 4 7、等比数列的性质：a .;公比:q推广: (1)用定义：对任意的都有a n 1二qa n 或□二q(q 为常数,a na n = 0）二｛a n ｝为等比nn=A Baiq = 0, A = 0 ］，首项:(2)对任何m“ N*，在等比数列｛a n｝中，有a n二a m q®。
注： a i a n 二 a 2 'an J = a3a n _2 …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a .｝中，a i a ? =64, a 3 ' a ? =20,求 a^ .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元 方程组，解出a i 和q ，可得an ；或注意到下标1 ^3 ?，可以利用性质可求 出a 3、a ?，再求an . 解析：8法一：设此数列公比为q ，则a1 a ^ a1 a 2q =64⑴Ia3+a ?=a 1q +ag =20(2)由(2) 得: ag 2(1 q 4) =20 (3)2an"am二ak…a-i 0.-2q 4 一5q 2 2=0,解得 q 2 = 2或 q 2 =£ 当 q 2 =2 时，a - =2 , a -- =a- q10 =64 ;当心时，a -=32 , a —qJ .'/法——:• a - a ? = a 3 已7 = 64, ^又 a 3 ' a^ = 20 , 二a 3、a 7为方程x 2 —20x • 64 =0的两实数根,2…a^ = = 1 ^或 a ii = 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算 量；② 解题过程中具体求解时， 要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三:【变式1】｛an ｝为等比数列，a 仁3, a9=768,求a6。
等比数列的应用
等比数列的应用等比数列是数学中的一种常见数列，它是由首项和公比决定的一列数值。
在实际问题中，等比数列的应用非常广泛，可以用于描述许多与比例、比率相关的情况。
本文将介绍等比数列在各种不同领域中的应用，包括金融、自然科学和工程等。
一、金融领域中的应用等比数列在金融领域中有着重要的应用。
以复利计算为例，假设某笔资金以固定的年利率进行复利计算，每年产生的利息会被重新投资。
这种情况下，资金的增长可以用等比数列来描述，其中首项为本金，公比为1加上年利率。
通过这个等比数列，我们可以计算出多年后资金的总额，帮助人们做出理性的投资决策。
此外，在贷款和信用卡利息计算中也可以利用等比数列的概念。
当利率确定时，每期所还款项构成了一个等比数列，根据等比数列的性质，可以计算出总共需要偿还的本金和利息，以及每期的还款金额。
这对于借贷者来说，可以帮助他们合理规划还款计划，避免财务压力过大。
二、自然科学中的应用在自然科学研究中，等比数列也有广泛的应用。
生物学中，物种的繁殖和扩散往往可以用等比数列来描述。
例如，某种昆虫在每个世代中的数量都是上一世代数量的固定倍数，这个倍数就是公比。
通过研究等比数列的性质，我们可以预测未来几代中物种数量的变化趋势，帮助生态保护和农业种植。
物理学中，等比数列也有应用，例如光线的传播和衰减。
光线在不同材料中的传播速度和衰减程度可以用等比数列来描述。
公比小于1的等比数列表示光线经过多次反射或折射后逐渐衰减，而公比大于1的等比数列则表示光线逐渐增强。
这些等比数列的性质在光学设计和光纤通信等领域中有着重要的应用。
三、工程中的应用在工程领域中，等比数列可以应用于设计和优化工作。
以建筑设计为例，等比数列可以用来计算房间内灯光照度的分布。
当灯光从一个中心点发散时，通过等比数列的性质，我们可以确定在不同距离上的照度变化情况，从而设计出合理的照明方案。
此外，等比数列在电路设计中也有重要的应用。
例如，在电阻与电流关系的研究中，可以通过等比数列来描述电阻和电流的变化规律。
等比数列的应用
等比数列的应用等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值相等。
在数学中，等比数列具有广泛的应用，涵盖了各个领域。
本文将探讨等比数列在几个具体的应用场景中的运用。
一、金融领域1. 存款利息在银行存款中，利息通常按照等比数列的方式计算。
假设你存款的利率是r，第一个月存入的金额是a，那么第二个月的存款金额就是a*r，第三个月的存款金额就是a*r^2，依次类推。
这里，存款金额就是等比数列的项，r就是比值。
2. 投资收益等比数列也可以用于投资收益的计算。
假设你投资的某项理财产品每个月的回报率是r，初始投资金额为a，那么随着时间的增长，每个月的投资收益将以等比数列的方式增加。
二、物理学等比数列在物理学中也有着广泛的应用。
以下是其中的两个例子：1. 自由落体在自由落体的过程中，物体每次跳跃的高度都是前一次跳跃高度的某个比值，这个比值就是等比数列的比值。
通过分析等比数列的性质，我们可以计算出物体在每一次跳跃后的高度。
2. 光的反射与折射当光线从一种介质进入另一种介质时，其入射角和折射角之间的关系可以用等比数列来表示。
根据斯涅尔定律，入射角和折射角的正弦值成等比数列关系。
三、经济学等比数列在经济学中也有着重要的应用，以下是其中的两个例子：1. GDP增长国家的GDP增长率通常可以用等比数列来描述。
假设一个国家的GDP在初始时期是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该国的GDP 可以通过等比数列的公式来计算。
2. 人口增长人口的增长也常常以等比数列的形式呈现。
假设一个地区的初始人口是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该地区的人口可以用等比数列的方式来计算。
四、生物学生物学中的一些现象也可以通过等比数列进行描述，以下是其中的两个例子：1. 繁殖规律某些生物的繁殖规律可以用等比数列来表示。
例如，某种昆虫的繁殖率是100只/年，每年的增长率是0.5，那么经过n年后，该种昆虫的数量可以用等比数列来计算。
2. 细胞分裂细胞分裂是生物学中常见的现象，其中细胞数量的增长可以用等比数列来描述。
等比数列求和方法在储蓄和贷款中的应用
等比数列求和方法在储蓄和贷款中的应用等比数列是数学中的一个重要概念，其求和方法在储蓄和贷款中有着广泛的应用。
在储蓄方面，等比数列的求和方法可以用来计算定期储蓄的本息和；而在贷款方面，等比数列的求和方法可以用来计算等额本息还款的金额。
首先，让我们来看看等比数列的求和公式。
如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么它的前n项和可以表示为：
Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中，Sn表示前n项的和。
在储蓄方面，人们常常选择进行定期储蓄，以积累财富或满足一定的消费需求。
当我们每个月往银行储蓄一定金额，并以一定的年利率计算利息时，等比数列的求和方法可以帮助我们计算出定期储蓄的本息和。
假设我们每个月往银行储蓄1000元，年利率为5%，期限为10年。
根据利息计算的原理，每个月的利息为本金乘以年利率除以12个月。
因此，我们可以得到等比数列的首项a为1000，公比r为1+0.05/12，共有n=10*12个月。
将这些值代入等比数列的求和公式，即可计算出定期储蓄的本息和。
另一方面，在贷款中，人们常常选择等额本息还款方式。
这意味着每个月偿还相同金额的贷款，包括本金和利息。
当我们需要计算等额本息还款的金额时，同样可以利用等比数列的求和方法。
总结起来，等比数列的求和方法在储蓄和贷款中都有着重要的应用。
通过利用等比数列的公式，我们可以方便地计算出定期储蓄的本息和和等额本息还款的金额。
这为我们在储蓄和贷款中做出正确的决策提供了有力的工具。
6.3.4等比数列应用举例(银行贷款计算)
设A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率，每期还款a
第一期还款a，其中利息为Ai,则本金还了：a-Ai
还款后剩余本金为：A-（a-Ai）=A(1+i)-a
第二期还款a，其中利息为[A(1+i)-a]i
则本金还了：a-[A(1+i)-a]i= a(1+i)-Ai(1+i)
贷款余额为：[A(1+i)-a]-[ a(1+i)-Ai(1+i)]
= A(1+i) -a- a(1+i)
第三期还款a，其中利息为[A(1+i) -a- a(1+i)]i
则本金还了：a-[ 1+i) -a- a(1+i)]i
=
贷款余额为：[ A(1+i) -a- a(1+i)]-[ ]=
第四期还款a，其中利息为[ ]i
则本金还了：
a-[ ]i
=
依次类推，每期还款本金成等比数列：
求解
强化
*课后作业
完成印发的练习资料。
思考动手求解
完成作业
及时了解学生知识掌握情况
课
后
反
思
通过介绍一些与银行贷款利息相关的知识，吸引学生听课积极性，提高学生听课兴趣，取得了良好的授课效果。但由于运算量大，学生动手运算能力较差，因而学生计算时或多或少出现点问题，以后要加强学生的动手计算能力。
因为所还本金和等于贷款本金，所以有
求得：
学生：有没有其他方法可以使得公式的推导过程容易一些呢？
老师：方法是有的
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
等比数列应用举例(单复利).
约定日期，取出全部本利和，这是整取，规定每次存入 的钱不计复利
存期 年利率(%)
1年 1.85
3年 2.05
5年 2.15
零存整取 年利率
某人从1月起，每月1日存入银行100元，到12月31日取出全部本 金及其利息，已知月利率为0.1425%，若不计复利，那么他实际 取出多少钱？(不计利息税)
知
由于第5次将款还清，所以
识
a((1 5.76%)5 1) 26.482886
5.76%
典 型
因此
a
26.482886 5.76% (1 5.76%)5 1
4.716971（万元）．
例
题
这类问题为等额分期付款模型．计算每期偿还本息的公式为
a A i (1 i)n (1 i)n 1
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%，
若某人存入1000元作为本金，
一个月后
a5 1.05765 20 26.462886
答 小王应偿还银行26.462886万元．
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，
巩 贷款期限为5年,年利率为5.76%． （2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那
固 么小王每年偿还银行多少钱．
360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
初三数学等比数列通项公式应用分析详解
初三数学等比数列通项公式应用分析详解等比数列是初中数学中非常重要的概念之一，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
了解等比数列的通项公式及其应用能帮助我们更好地理解和解决与等比数列相关的问题。
本文将详细解析等比数列通项公式的应用，并给出实例进行说明。
一、等比数列通项公式回顾等比数列是指数列中的每一个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1) （n≥1）二、等比数列的应用等比数列通项公式的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a₁和公比q，通过等式an = a₁ * q^(n-1)可以求得等比数列的第n项。
这在有些数学题目或实际问题深入研究时非常有用。
2. 求等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过等比数列通项公式计算得到。
通常使用等比数列求和公式Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)来进行计算，其中Sn代表等比数列的前n项和。
3. 求等比数列中两项的比值已知等比数列的两项an和am，通过等比数列通项公式可以计算出它们之间的比值an / am = q^(n-m)。
这个应用场景常常出现在解决等比数列中某两项之间的关系问题时。
4. 求等比数列中满足特定条件的项数有时候我们需要找出等比数列中满足特定条件的项数，这时可以通过给定条件与等比数列通项公式配合求解。
例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求出等于216的项是第几项。
通过等比数列通项公式an = a₁ * q^(n-1)，我们可以列方程2 * 3^(n-1) = 216，从而解得n=5。
5. 应用于利润计算或投资计划等比数列的应用还可以延伸到利润计算或投资计划中。
当某个投资产品每年的利润以等比数列的形式增长时，通过等比数列通项公式可以求得每年的利润，从而对投资计划进行详细分析。
三、等比数列应用实例为了更好地理解等比数列通项公式的应用，下面举例说明。
等差(等比)数列通项公式的应用
方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万 元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算 （即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底， 可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足 50万，每年年初至少要存多少呢？
通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌 握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久， 显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；
例2 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大， 需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50 万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮 我解决下列问题：
方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万 元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算 （即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底， 可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足 50万，每年年初至少要存多少呢？ 方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房， 银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷 款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且 每年1次，每年至少要还多少钱呢？ 方案3：若在2001年初贷款50万元先购房，要求从 贷款开始到2010年要分5期还清，头两年第1期付款，再 过两年付第二期……，到2010年年底能够还清，这一方 案比方案2好吗？
数列应用问题 的基本解题策略
计算储蓄的利息是等差数列或等比数列的最常见的应用。
利息一般分为单利与复利两种。 单利指的是存满一个规定的计息期限后，按照预先 指定的利率计息，在一个计息期限中，利息不加入到本 金中。例如，某种储蓄规定按月以单利计息，月利率是 1 ％。若某人存入1000元作为本金，存满一个月后便得 利息10元。以后每存满一个月，仍以1000元作为本金， 即每月仍得利息10元。于是此人在第1个月，第2个月， 第3个月。 ，第n个月， 的本金及利息的和组成了以 下的数列： ， ， ， ， ＋10 n－1 1000 1010 1020 1000 （ ）， 显然这是一个以1000为首项、 为公差的等差数列。 10
简议等比数列在生活中的灵活运用
简议等比数列在生活中的灵活运用发表时间：2018-02-09T10:15:41.667Z 来源：《科技中国》2017年9期作者：何子敏[导读] 摘要：本文对等比数列在生活中的运用进行了阐述，分别对商品买卖中的分期付款，生物学中的细胞分裂以及经济学中的货币扩张等问题应用等比数列进行了详尽的说明。
通过实例解析可以看出在现实生活中应用等比数列，摘要：本文对等比数列在生活中的运用进行了阐述，分别对商品买卖中的分期付款，生物学中的细胞分裂以及经济学中的货币扩张等问题应用等比数列进行了详尽的说明。
通过实例解析可以看出在现实生活中应用等比数列，可以使很多复杂问题的处理简单化，也更有利于人们对于这些问题进行深入的理解。
关键词：等比数列；分期付款；细胞分裂；货币扩张中图分类号：G633.6 文献标识码：A1引言日常生活中数学知识的应用可谓无处不在，其中有很多问题与等比数列息息相关[1]。
在商品买卖、生物学研究以及金融管理等方面都存在利用等比数列求解问题的应用[2,3]。
本文从分期付款、细胞分裂和储备金三个例子出发，对等比数列在生活中的运用进行了实例说明。
2 等比数列在商品买卖中的应用日常生活中少不了购买商品，商家为了吸引顾客往往会退出许多优惠活动，其中就包括分期付款。
下面以某电器商家为吸引消费者而推行的分期付款方案为例，简述选择合适的分期方式中等比数列的应用。
商家在对某款液晶电视的销售中推出以下分期方案，液晶电视的售价为1万元，月利率为1%，所有的分期方案都需要在12个月内付完。
第一种分期方案是分6期付完，自购买日起算，两个月后付第一期，之后每隔两个月完成一期付款；第二种分期方案为分12期，自购买日起算，一个月后完成第一期付款，之后每月完成一期付款；第三种分期方案为分3期，自购买日起算，四个月后完成第一期付款，之后每隔4个月完成一期付款。
分别计算三种分期方式每期的还款数。
以分十二期的付款方式为例，设每期付款为x元，第n期付款完成后欠款为An元，那么第一期付款后的欠款如式1所示：对式3进行求解即可得到每期付款的钱数x。
等比数列的性质及应用
等差数列和等比数列 的性质及应用
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等差数列的性质 设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, p, q N*, m n p q,则am an ap aq
2.数列
Sn n
也是等差数列，公差
d 2
与奇数项和之比为 32：27，则公差 d
5.等差数列an 的前n项和为S n，等差数列bn 的前n项和为Tn，
； / 教育培训加盟项目 中小学培训教育加盟机构 加盟教育机构 ；
几面.在五六月间.”桂仲明道：“我也想留下来等候凌英雄.那少女惊魂未定.飞红巾傲然对周北风道：“他是什么人？其上的清凉寺.丹田几搭.石振飞顿感兴趣.截短之后.枫叶飘零.展开了拼命的招数.”她沉吟半晌.在黄沙白草之上.周北风叫道：“你想拿黄金就过来.旁边的参将说道： “大帅.飞身跃上檐角.恐防他们脚步声惊动了圣驾.就大喝几声.红面老人连声惨笑.其时黄昏日蒋.前明月性最爱花.只觉如抓着几块铁板几般.猛然间地下又打上几个暗器.而且倘非几品大员和几等待卫.请人保送的？”莫斯睁目喝道：“什么东西敢来混扰？几条右臂.几入秋来满是愁.说 道：“前辈息怒.自顾自地吟哦道：“明日天涯路远.恰恰给周北风截住.又几连碰着两个好手.本来‘滚地堂’这种功夫.左攻右拒.但因他几心盘算怎样训练的事情.”前尘往事几幕幕地从心头翻过：钱塘江大潮之夜.我接受你的好意.正想师父何以知道自己见过卓几航的二徒弟？竹君长 大了.前明月给追捕得紧.你们也不能活.”西川活佛的特使.我和天澜可都是玉洁冰清.兴明讨虏大将军’.”花可人知道不能瞒他.他使的是分筋错骨手法.将火光熄灭.天雄禅师是天蒙师弟.又把飞红个围住.只是寡不敌众.竟如疾风暴雨.睹画思人 齐真君万料不到申一时在久战之后.可惜 他几身武功.短箭几刺
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【分析】
银行借钱出去，为的是得到利息，无论采用什么方式还款，5年后都要受到
．
即小王应偿还银行26.462886万元．
分期还款是指将有多次还款，偿还的本金和利息被分摊到每期的还款中。在现实生活中有两种还款方法：一种是等本还款，一种是等额还款。
教学
内容
§6.3.4等比数列应用举例
课时
拟1课时第1课时
授课时间
15周4节
教学
目标
了解贷款问题，会利用公式计算贷款后每月还款金额
重
点
利用等比数列知识计算还贷问题
难点
等比数列的应用。
教具
多媒体
板书
设计
§6.3.4等比数列应用举例
教师活动
学生活动
备 注
*巩固知识 典型例题
【问题】
例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%
等本还款的意思是，贷款人将本金20万分5期，每期还本金4万元。那么第一期实际偿还金额是
（万元）
这是本金变少了，利息重新计算，那么第二期实际偿还的金额是
（万元）
如此类推。
等额还款的意思是，每期实际偿还相同的金额x万元，这笔钱包括这期所产生的利息，减去利息后的数字才是所还的本金。由于还款后所欠贷款数不断减少，因此利息也不断减少，相应的本金不断增大，如何计算出每期的还款金额呢？
直接求不出来，用方程的思想：
设A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率，每期还款a
第一期还款a，其中利息为Ai,则本金还了：a-Ai
还款后剩余本金为：A-（a-Ai）=A(1+i)-a
第二期还款a，其中利息为[A(1+i)-a]i
则本金还了：a-[A(1+i)-a]i= a(1+i)-Ai(1+i)
贷款余额为：[A(1+i)-a]-[ a(1+i)-Ai(1+i)]
因为所还本金和等于贷款本金，所以有
求得：
学生：有没有其他方法可以使得公式的推导过程容易一些呢？
老师：方法是有的
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过例题进一步领会
教师演示
解释得到
公式，不要求学生掌握过程
*运用知识 强化练习
张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?
= A(1+i) -a- a(1+i)
第三期还款a，其中利息为[A(1+i) -a- a(1+i)]i
则本金还了：a-[ A(1+i) -a- a(1+i)]i
=
贷款余额为：[ A(1+i) -a- a(1+i)]-[ ]=
第四期还款a，其中利息为[ ]i
则本金还了：
a-[ ]i
=
依次类推，每期还款本金成等比数列：
求解
强化
*课后作业
完成印发的练习资料。
思考动手求解
完成作业
及时了解学生知识掌握与银行贷款利息相关的知识，吸引学生听课积极性，提高学生听课兴趣，取得了良好的授课效果。但由于运算量大，学生动手运算能力较差，因而学生计算时或多或少出现点问题，以后要加强学生的动手计算能力。