2019年江苏高考数学试卷及答案
2019年江苏高考试题(数学_word解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(全卷满分160分,考试时间120分钟)参考公式:棱锥的体积13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.(2019年江苏省5分)已知集合{124}A =,,,{246}B =,,,则A B = ▲ .【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2.(2019年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此,由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3.(2019年江苏省5分)设a b ∈R ,,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为 ▲ . 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=3a b ,,=8a b + 。
4.(2019年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k 的值是 ▲ .【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 -2 第三圈 是 3 -2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2019年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .【答案】π【解析】T =|2πω |=|2π2 |=π.2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 【答案】5【解析】z =3-4i ,i 2=-1,| z |==5.3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 【答案】x y 43±= 【解析】令:091622=-y x ,得x x y 431692±=±=. 4.集合}1,0,1{-共有 个子集.【答案】8【解析】23=8.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 【答案】3【解析】n =1,a =2,a =4,n =2;a =10,n =3;a =28,n =4. 6则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【答案】2【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:9059288919089=++++=x .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ,都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯. 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V .【答案】1:24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:3.所以,三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:24.9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 . 【答案】[—2,12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y =2x —1,令z =y x 2+,y =—12 x +z 2 . 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,z min =—2,过点(12 ,0)时,z max =12 .10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 . 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以,611-=λ,322=λ,=+21λλ12 . 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2019年江苏高考数学真题及答案
求证:(1)A B ∥平面 DEC ;
11
1
(2)BE⊥C E. 1
17.(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的焦点为 F (–1、0), 1
F (1,0).过 F 作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F : (x 1)2 y2 4a2 交于点 A,与椭圆 C
111 1
1
10.在平面直角坐标系 xOy
中,P
是曲线
y
x
4 x
(x
0)
上的一个动点,则点 P
到直线
x+y=0
的距离的最
小值是▲.
11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=lnx 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自
然对数的底数),则点 A 的坐标是▲.
uuur uuur uuur uuur 12.如图,在△ABC 中, D是 BC 的中点, E在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点O.若 AB AC 6AO EC ,
满分 14 分.
解:(1)因为a 3c, b
2,cos B 2 , 3
由余弦定理 cos B
a2 c2 b2 2ac
2 (3c)2 c2 ( ,得 3 2 3c c
2) 2
,即 c2
1
.
3
所以 c
3
.
3
(2)因为
sin a
A
cos B 2b
,
由正弦定理
a sin A
b sin B
15 .
5
因此道路 PB 的长为 15(百米).
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上... 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则AB = ▲ .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4.函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是 ▲ .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 ▲ .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 ▲ .13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC . 求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1; (2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0), F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作....................答..若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1na +=+*,ab ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n n n n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ答 案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)因为23,2,cos 3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以33c =. (2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点, 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1, 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1, 所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解:(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=, 因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-,因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-. 由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米). 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P (−13,9),22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3), 所以线段AD :36(44)4y x x =-+-. 在线段AD 上取点M (3,154),因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+所以Q (4+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-. 因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得12x x ==.列表如下:所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得1x =.列表如下: 所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k kq k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:x (1,e)e (e ,+∞) ()f 'x+0 –f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取33q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==. B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =. (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 解:当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥,, 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-.因为*,a b ∈N ,所以5(1a =-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ③若02b d ==,,则AB =,因为当3n ≥时,n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法. 综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题,共 20 题 )。
本卷满分为160 分,考试时间为 120 分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:样本数据 x1, x2,⋯ , x n的方差 s21nn12x i x ,其中 xi1 nnx i.i 1柱体的体积 V Sh,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高.锥体的体积 V 1 Sh,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.3一、填空题:本大题共14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位......置上...1.已知集合 A { 1,0,1,6} , B { x | x 0, x R} ,则 A B ▲.2.已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是▲. 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲.4.函数 y7 6x x 2 的定义域是 ▲.5.已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是▲ .6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少 有 1 名女同学的概率是 ▲.7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 2y21(b 0) 经过点( 3, 4),则该双曲线的b 2渐近线方程是▲. 8.已知数列 { a n }( n N *) 是等差数列, S n 是其前 n 项和 .若 a 2a 5a 80, S 9 27,则S 8的 值是 ▲.9.如图,长方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的体积是 120,E 为 CC 1 的中点,则三棱锥 E-BCD 的体积是 ▲.410.在平面直角坐标系 xOy 中, P 是曲线 y x ( x 0) 上的一个动点,则点 P 到直线 xx+y=0 的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=lnx 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点 ( -e ,-1)(e 为自然对数的底数) ,则点 A 的坐标是▲ .12.如图,在 △ ABC 中, D 是 BC 的中点, E 在边 AB 上, BE=2EA , AD 与 CE 交于点 O .若 AB AC 6AO EC ,则 AB的值是 ▲ .AC13.已知 tan 2 ,则 sin 2 π的值是 ▲.π 3 4 tan 4 .设 f ( x), g(x) 是定义在 R 上的两个周期函数, f ( x) 的周期为, g( x) 的周期为 ,且 14 4 2k( x 2),0 x 1f (x) 是奇函数 .当 x (0, 2] 时, f( x) 1 (x 1)2, g( x) 1 2 ,,1 x2 其中 k>0.若在区间 (0, 9]上,关于 x 的方程 f ( x) g(x) 有 8 个不同的实数根,则 k的取值范围是▲ .二、解答题:本大题共 6小题,共计 90分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字.......说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .( 1)若 a=3 c , b= 2 , cosB= 2,求 c 的值; 3( 2)若sin Acos B,求 sin( B ) 的值.a 2b216.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中, D ,E 分别为 BC , AC 的中点, AB=BC .求证:( 1) A 1B 1∥平面 DEC 1;( 2)BE ⊥ C 1E .17.(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C: x2y21(a b 0) 的焦点为(– 1、0),a2b2F1 F2( 1, 0).过 F 2作 x 轴的垂线 l ,在 x 轴的上方, l 与圆 F2:(x 1)2y24a2交于点A,与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B,连结 BF2交椭圆 C 于点 E,连结 DF 1.已知 DF1=5.2(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求点 E 的坐标.18.(本小题满分16 分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB( AB是圆 O 的直径).规划在公路l 上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求 :线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆.... O 的半径.已知点A、B 到直线 l 的距离分别为百米).( 1)若道路PB 与桥ACAB和 BD(C、D垂直,求道路为垂足),测得 PB 的长;AB =10, AC=6, BD=12 (单位 :( 2)在规划要求下,P和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;( 3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d(单位:百米).求当d 最小时, P、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16 分)设函数 f ( x) ( x a)( x b)( x c), a, b, c R 、 f ' ( x) 为 f( x)的导函数.(1)若 a=b=c, f( 4)=8,求 a 的值;( 2)若a≠ b,b=c,且f(x)和f ' ( x) 的零点均在集合{ 3,1,3} 中,求f( x)的极小值;( 3)若 a 0,0 b, 1,c 1 ,且 f (x)的极大值为 M,求证 :M≤4.27 20.(本小满分16 分)定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M-数列” .( 1)已知等比数列{ a n} (n N* ) 满足:a2a4a5 , a3 4a2 4a4 0 ,求证 :数列{ an}为“ M -数列”;( 2)已知数列 { bn} 满足 : b11, 1 2 2 ,其中 Sn 为数列 { bn} 的前 n项和.S n b n b n 1①求数列 { bn} 的通项公式;②设 m 为正整数,若存在“M -数列” { c n } ( n N * ) ,对任意正整数 k,当 k≤ m 时,都有 c k剟b k c k 1成立,求 m 的最大值.数学Ⅱ ( 附加题 )21.【选做题】本题包括 A、 B、 C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作....................答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步.骤.A.[ 选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分10 分)3 1已知矩阵 A2 2(1)求 A2;(2)求矩阵 A的特征值 .B.[ 选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点 A 3, , B2, ,直线 l的方程为 sin 3 .4 2 4(1)求 A, B两点间的距离;( 2)求点 B到直线 l的距离 . C.[选修 4-5:不等式选讲 ](本小题满分 10分)设 x R ,解不等式 |x|+|2 x 1|>2 .【必做题】第22 题、第 23 题,每题10 分,共计20 分.请在答题卡指定区域内作答,解.......答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分 10 分)设 (1 x)n a0a1 x a2x2a n x n , n⋯4, n N * . 已知a32 2 a2 a.4(1)求 n的值;( 2)设 (1 3) n a b 3 ,其中 a,b N*,求 a23b 2的值 .23(.本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集 A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ,B n(0,1),(n,1)},C n{(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .令 M n A n B n C n .从集合 Mn中任取两个不同的点,用随机变量 X表示它们之间的距离.(1)当 n=1时,求 X的概率分布;2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分,共计 70分 .1.{1,6}2.23.54.[ 1,7]56.7 7.y 2x 5.1038.16 9.10 10.4 11. (e, 1) 12. 3 13. 2 14. 1 , 210 3 4二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力 .满分 14分 .解:( 1)因为 a 3c, b 2,cos B 2 ,3由余弦定理 cosB a2c2b2,得 2 (3c)2c2( 2)2,即 c2 1 .2ac 3 2 3c c 33.所以c3( 2)因为sin A cos B ,a 2b由正弦定理 a b ,得 cos B sin B,所以 cosB 2sin B .sin A sin B 2b b4 从而 cos2 B (2sin B)2,即 cos2 B 4 1 cos2 B ,故 cos2 B .5因为 sin B 0 ,所以 cosB 2sin B 0,从而 cos B 2 5. 5因此 sin B π 2 5. 2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分.证明:( 1)因为 D ,E 分别为 BC, AC 的中点,所以 ED ∥AB .在直三棱柱 ABC-A1 B1C1 中, AB∥A1B1,所以 A1B1∥ ED .又因为 ED? 平面 DEC1, A1 B1 平面 DEC 1,所以 A 1B 1∥平面 DEC 1.( 2)因为 AB=BC , E 为 AC 的中点,所以 BE ⊥ AC.因为三棱柱 ABC-A 1 B 1C 1 是直棱柱,所以 CC 1⊥平面 ABC.又因为 BE? 平面 ABC ,所以 CC 1⊥ BE.因为 C1C? 平面 A1ACC1, AC? 平面 A1ACC1, C1C ∩AC=C ,所以 BE ⊥平面 A 1ACC 1.因为 C1E? 平面 A1ACC1,所以 BE ⊥ C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14分.解:( 1)设椭圆C 的焦距为 2c.因为 F1(-1, 0), F 2(1, 0),所以 F 1F 2=2,c=1.又因为 DF1=5 , AF 2⊥x 轴,所以 DF 2= DF 12 F 1 F 22(5)2 223 , 2 2 2因此 2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2.由 b 2=a 2-c 2,得 b 2=3.因此,椭圆 C 的标准方程为x2y 21 .4 3 ( 2)解法一:由( 1)知,椭圆 C :x2y 2 1, ,4 3 a=2因为 AF 2⊥ x 轴,所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F 2 的方程 (x-1) 2+y 2=16 ,解得 y=± 4.因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(1,4).又 F1(-1, 0),所以直线 AF1: y=2x+2.y 2x 2 ,得 5x 26x 11 0,由1) 2 y 2( x 16 解得 x 1 或 x11.115 12将 x 代入 y 2x 2 ,得 y ,5 5因此 B( 11, 12) .又 F 2(1, 0),所以直线 BF 2: y 3(x 1) .5 5 4y3( x 1) 13由 4,得 2 ,解得 x 1 或 x y 2 7x 6x 13 0 .x 2 1 74 3又因为E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以x 1 . 将 x 1 代入 y 3( x 1) ,得 y3.因此E( 1, 3). 4 2 2解法二:由( 1)知,椭圆 C :x2y 21 .如图,连结 EF1.43因为 BF 2=2 a ,EF 1+EF2=2a ,所以 EF1 =EB ,从而∠ BF 1E=∠ B.因为 F2A=F2B ,所以∠ A=∠ B ,所以∠ A=∠ BF1E ,从而 EF1∥ F2A.因为 AF 2⊥ x 轴,所以 EF 1⊥ x 轴 .x13 因为 F1(-1 ,0) ,由x 2y2,得 y. 4 123又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点,所以 y 3 .23因此 E( 1, ).18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .满分 16分 .解:解法一:( 1)过 A 作 AE BD ,垂足为 E.由已知条件得,四边形 ACDE 为矩形, DE BE AC 6, AE CD 8.'因为 PB ⊥ AB ,所以 cos PBDsin84ABE.10 5BD 12所以 PB 15 .cos PBD 45因此道路 PB的长为 15(百米) .(2)①若 P在 D 处,由( 1)可得 E在圆上,则线段 BE 上的点(除 B, E)到点 O的距离均小于圆 O的半径,所以 P选在 D 处不满足规划要求 .②若 Q在 D处,连结 AD ,由( 1)知AD AE 2ED 210 ,AD 2 AB2BD 27 ,所以∠ BAD 为锐角 .从而 cos BAD 02AD AB 25所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 .因此, Q选在 D 处也不满足规划要求.综上, P和 Q均不能选在 D处 .( 3)先讨论点 P的位置 .当∠ OBP<90°时,线段 PB上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径,点 P不符合规划要求;当∠ OBP≥90°,对线段时PB上任意一点 F , OF ≥OB ,即线段 PB 上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径,点 P符合规划要求 .设 P1为 l上一点,且PB1AB ,由( 1)知, P1 B=15 ,此时 PD1 PB1 sin PBD1PB1 cos EBA 15 39 ;5当∠ OBP>90°时,在△ PPB 中, PB PB1 1 由上可知, d≥15.再讨论点 Q的位置 .由( 2)知,要使得Q A≥15,点 Q只有位于点15.C的右侧,才能符合规划要求.当 QA=15 时,CQ QA2AC 215262 3 21 .此时,线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径 .综上,当 PB⊥ AB ,点 Q位于点 C右侧,且 CQ= 3 21时, d最小,此时 P, Q两点间的距离PQ=PD +CD +CQ=17+ 3 21.因此, d最小时, P, Q两点间的距离为17+ 3 21 (百米) .解法二:( 1)如图,过 O作 OH⊥ l ,垂足为 H.以 O为坐标原点,直线OH为 y轴,建立平面直角坐标系.因为 BD=12, AC=6,所以 OH =9,直线 l的方程为 y=9,点 A, B的纵坐标分别为3,- 3.因为 AB为圆 O的直径, AB=10 ,所以圆 O的方程为 x2+y2=25.从而 A( 4, 3), B(- 4, - 3),直线 AB的斜率为3.4因为 PB⊥ AB,所以直线 PB的斜率为 4 ,4 253x直线 PB的方程为y.3 3所以 P( - 13, 9),PB( 13 4)2(9 3)2 15 .因此道路 PB的长为 15(百米) .(2)①若 P在D 处,取线段 BD上一点 E( - 4, 0),则 EO=4<5 ,所以 P选在 D处不满足规划要求 .②若 Q在 D处,连结 AD ,由( 1)知 D( - 4, 9),又 A( 4, 3),所以线段 AD:y3x 6( 4剟x 4) . 4在线段 AD 上取点 M( 3,15),因为 OM3215 232425,4 4所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此 Q选在 D 处也不满足规划要求.综上, P和 Q均不能选在 D处 .( 3)先讨论点 P 的位置 .当∠ OBP<90°时,线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径,点 P 不符合规划要求;当∠ OBP ≥ 90°时,对线段 PB 上任意一点 F ,OF ≥OB ,即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径,点 P 符合规划要求 .设 P 为 l 上一点,且PB AB ,由( 1)知, P B=15 ,此时 P ( - 13,9);1 11 1当∠ OBP>90°时,在 △ PPB 1 中, PB PB 115 . 由上可知, d ≥15. 再讨论点 Q 的位置 .由( 2)知,要使得 QA ≥15,点 Q 只有位于点 C 的右侧,才能符合规划要求 .当 QA=15 时,设Q ( a ,9),由 AQ (a 4) 2 (9 3)215(a 4) ,得a= 4 3 21 ,所以 Q( 4 3 21, 9),此时,线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 .综上,当 P ( - 13, 9), Q( 43 21 , 9)时, d 最小,此时 P , Q 两点间的距离PQ 4321 ( 13) 17 3 21.因此, d 最小时, P , Q 两点间的距离为17 3 21 (百米) .19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:( 1)因为 a b c ,所以 f(x)(x a)( x b)( xc) ( x a)3 . 因为 f (4) 8 ,所以(4 a)38 ,解得 a 2 . (2)因为 b c ,所以 f( x)( x a)( x b)2x 3(a 2b)x 2b(2 a b) x ab 2 ,从而 f ' ( x)3( x b)x 2a b.令 f ' ( x) 0 ,得x b 或 x 2a b .33因为 a, b, 2ab,都在集合{3,1,3} 中,且a b ,3所以2a b1,a 3,b3 .3此时 f ( x) ( x 3)(x 3)2, f '( x)3(x 3)( x 1) .令 f ' (x) 0,得x 3 或 x 1 .列表如下:x ( , 3) 3 ( 3,1) 1(1, )f '( x)+ 0 –0+f ( x)极大值极小值所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 3)(1 3)232 .(3)因为 a 0, c 1,所以 f (x) x( x b)( x 1) x3(b 1) x2bx ,f ' ( x) 3x22(b 1)x b .因为 0 b 1 ,所以4(b 1)212b (2 b1)2 3 0 ,则 f ' (x) 有 2个不同的零点,设为x1 , x2x1x2.由 f ' (x) 0,得 x1 b 1 b2 b 1 , x2 b 1 b2 b 1 .3 3列表如下:x (, x1 )x1x1 , x2x2( x2, )f '( x) + 0–0 +f ( x)极大值极小值所以 f ( x) 的极大值M f x1.解法一:M f x1x13(b 1)x12bx122(b 1)x1 b x1b 1 2 b2 b 1 b(b 1)3x13 9 9 x192 b 2b 1 (b 1) b(b 1) 2 23b b 1279 27b(b 1) 2(b1)2 (b 1) 2 (b(b 1) 1)327 27 27b(b 1) 24.因此M 4 .27 27 27 27 解法二:因为0 b 1 ,所以 x1(0,1) .当 x (0,1) 时, f( x)x(x b)( x 1) x( x 1)2.令 g ( x) x(x 1)2 , x (0,1) ,则 g'( x) 3 x1 ( x1) .31令 g' ( x) 0 ,得 x .列表如下:3x (0, 1) 1 (1 ,1)3 3 3g' ( x)+ 0 –g ( x)极大值所以当x 1时, g( x) 取得极大值,且是最大值,故g (x)max g1 4 .3 3 27所以当x (0,1) 时, f(x)4,因此 M4g ( x) .27 2720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解:( 1)设等比数列{ an } 的公比为 q,所以 a1≠ 0, q≠0.a2a4 a5,得a12 q4a1q4a1 1由4a24a10 a1q2,解得.a34a1q 4a1 0 q 2 因此数列 { a n} 为“ M —数列” .( 2)①因为1 2 2,所以 b n0 .S n b n b n 11 2 2由 b11,S1b1 得1 1 b2,则 b2 2 .1 2 2S n b n b n 1,由b n,得2(b n 1b n )S n b n 1当 n 2 时,由 b n S n S n 1,得b nb n b n 1 b n 1b n,2 b n 1b n 2 b n b n 1整理得 b n1b n 1 2bn .所以数列 { bn} 是首项和公差均为1的等差数列 .因此,数列{ b n} 的通项公式为bn=n n N*.②由①知, bk=k,k N* .因为数列 { cn} 为“M –数列”,设公比为 q,所以c1=1, q>0.因为ck≤bk≤ck+1,所以q k 1k qk,其中k=1 2 3,⋯,m.,,当 k=1时,有 q≥1;当 k=2,3,⋯, m时,有ln k ln q lnk .k k 1设 f ( x) =ln x1),则 f '(x)1lnx( xx2.x令 f ' (x) 0 ,得 x=e.列表如下:x (1,e) e(e +∞),f ' ( x) +0–(f x)极大值因为ln 2ln8ln9 ln 3f ( k) max f (3)ln 32 6 6,所以3.3取 q 3 3 ,当 k=1, 2,3, 4, 5时,lnk ,ln q ,即k q k,k经检验知 q k 1k 也成立.因此所求 m的最大值不小于5.若m≥6,分别取 k=3 ,6,得 3≤q3,且 q5≤6,从而 q15≥ 243,且q15≤ 216,所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于 6.综上,所求 m的最大值为 5.数学Ⅱ ( 附加题 ) 参考答案21.【选做题】A. [选修 4– 2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:( 1)因为 A3 12 ,2所以 A23 1 3 12 2 2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 5=3 2 2 2 1 2 =10.2 2 6 ( 2)矩阵 A的特征多项式为f ( )3 1 25 4 .2 2令 f( ) 0 ,解得 A的特征值1 1,2 4.B. [选修 4– 4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:( 1)设极点为 O.在△ OAB 中, A( 3,), B( 2 ,),4 2由余弦定理,得 AB= 32( 2)22 3 2 cos( ) 5 .2 4( 2)因为直线 l的方程为sin( ) 3 ,4则直线 l过点 (3 2,) ,倾斜角为3.2 4B l的距离为(3 2 2) 3 ) 2 .又 B( 2, ) ,所以点到直线sin(2 4 2C. [选修 4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当 x<0时,原不等式可化为x 1 2 x 2 ,解得 x<–1:3当 0≤x≤1时,原不等式可化为x+1–2x>2,即 x<–1,无解;2当x> 1时,原不等式可化为 x+2 x–1>2 ,解得 x>1.2综上,原不等式的解集为{ x | x 1 或 x 1} .322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分 10分.解:( 1)因为 (1 x)n C n0C1n x C n2 x2 C n n x n,n 4 ,所以 a2 C n2n(n 1) , a3 C n3n( n 1)(n 2) ,2 6a4C n4n( n1)(n 2)( n3) .24因为 a322a2 a4,所以 [ n(n1)(n 2)] 2 2 n(n 1) n( n 1)(n 2)(n 3) ,6 2 24解得 n 5.( 2)由( 1)知,n 5 .(1 3) n(1 3) 5C50C15 3 C52( 3)2C53 ( 3)3C54( 3)4C55( 3)5a b 3 .解法一:因为 a,b N*,所以 a C503C529C5476, b C513C539C5544 ,从而a23b2762 3 44232 .解法二:(1 3)5C50C15( 3) C52 ( 3)2C53( 3) 3C54( 3)4C55 ( 3)5C50C15 3 C52 ( 3)2C53 ( 3)3C54 ( 3)4C55( 3)5.因为 a,b N*,所以 (1 3) 5 a b 3 .因此 a23b2( a b 3)( a b 3) (1 3) 5(1 3) 5 ( 2)532 .23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当 n 1时, X 的所有可能取值是 1, 2 ,2 ,5 .X 的概率分布为P(X 1) 7 7,P(X 2)4 42 2 ,C615 C615P(X 2) 2 2 ,P(X 5) 2 2 .C6215 C 6215( 2)设 A(a ,b) 和 B(c ,d ) 是从 M n中取出的两个点.因为 P(X n) 1 P( X n) ,所以仅需考虑X n 的情况.①若 b d ,则AB n ,不存在 X n 的取法;②若 b 0 ,d 1,则AB(a c) 2 1 n21,所以 X n 当且仅当AB n2 1 ,此时 a 0,c n 或 a n,c 0,有 2 种取法;③若 b 0 ,d2,则AB(a c)2 4 n24,因为当 n 3 时,(n 1)2 4 n,所以 X n 当且仅当ABn24,此时 a 0 ,c n 或a n ,c 0 ,有 2 种取法;④若 b 1,d 2 ,则AB(a c) 2 1 n21,所以 X n 当且仅当AB n2 1 ,此时 a 0,c n 或 a n,c 0 ,有 2 种取法.综上,当 X n 时,X的所有可能取值是n2 1 和n2 4 ,且P( X n 21)4,P(X n24)2.C2n2 4 C2n2 4P( X n) 1 P(X n2 1) P( X n24)1 6因此,C2n24 .。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题和答案(江苏卷)
1.已知集合 A = {−1, 0,1, 6}, B = {x | x 0, x R},则 A B = ▲ .
2.已知复数 (a + 2i)(1+ i) 的实部为 0,其中 i 为虚数单位,则实数 a 的值是 ▲ .
3.下图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ .
1
4.函数 y = 7 + 6x − x2 的定义域是 ▲ .
15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
(1)若 a=3c,b= 2 ,cosB= 2 ,求 c 的值; 3
(2)若 sin A = cos B ,求 sin(B + ) 的值.
a 2b
2
16.(本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面 DEC1; (2)BE⊥C1E.
19.(本小题满分 16 分)
设函数 f (x) = (x − a)(x − b)(x − c), a,b,c R 、 f '(x) 为 f(x)的导函数.
(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值;
(2)若 a≠b,b=c,且 f(x)和 f '(x) 的零点均在集合{ − 3,1,3} 中,求 f(x)的极小值;
当 x (0, 2] 时, f (x) =
1−(x
−1)2
,
g(x)
=
−
1 ,1 2
x
2
,其中 k>0.若在区间(0,9]上,关
于 x 的方程 f (x) = g(x) 有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 ▲ .
2019年江苏高考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =,,()2a =-1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(第4题图)15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ,,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ,的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ,所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值;(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性;(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由 解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D .[选修4-5:不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除,令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题(1)写出(6)f 的值; (6)13f =(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明. 略。
2019年高考真题江苏卷数学试卷(详解版)(加密版)
2019 年高考真题江苏卷数学试卷一、填空题(本大题共14 小题,每小题5 分,共70 分)1.已知集合A = {−1,0,1,6},B = {x|x > 0, x∈R},则A∩ B = .【答案】{1,6}【解析】A = {−1,0,1,6},B = {x|x > 0, x∈ R},∴A∩ B = {1,6}.2.已知复数(a + 2i)(1 + i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.【答案】2【解析】复数(a + 2i)(1+i)的实部是0,∵(a + 2i)(1+i)= a− 2 + (a + 2)i,∴a− 2 = 0,∴a = 2.3.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.【答案】5【解析】执行第一次,S = S + x= 1 , x = 1 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 2;2 2执行第二次,S = S + x= 3 , x = 2 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 3;2 25执行第三次,S = S + x = 3, x = 3 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 4;2 执行第四次,S = S + x= 5, x = 4 ⩾ 4成立,输出S = 5.24.函数y = √7 + 6x − x 2的定义域是.【答案】[−1,7]【解析】 y = √7 + 6x − x 2的定义域,7 + 6x − x 2 ⩾ 0, −(x − 7)(x + 1) ⩾ 0,∴−1 ⩽ x ⩽ 7,定义域为[−1,7]. 故答案为:[−1,7].5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .【答案】5 3【解析】 由题意,该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10= 8,6所以该组数据的方差是1[(6 − 8)2 + (7 − 8)2 + (8 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2 +6(10 − 8)2] = 5.36.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 (结果用数值表示). 【答案】710【解析】 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,基本事件总数n = C 2 = 10. 选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m = C 1C 1 + C 2 = 7,3 2 2则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p = m = 7.n 10故答案为: 7.107.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程b 2是.【答案】 y = ±√2x【解析】 双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4),b 2∴9 − 16= 1,b 2∴b 2 = 2, ∴双曲线方程x 2 −y 2 = 1,2∴渐近线方程y =±√2x . 故答案为:y = ±√2x .8.已知数列{a n }(n ∈ N ∗)是等差数列,S n 是其前n 项和,若a 2a 5 + a 8 = 0,S 9 = 27,则S 8的值是 .【答案】 16【解析】 数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,设公差为d ,a 2a 5 + a 8 = 0,S 9 = 27,(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0∴{ q (a 1+a 1+8d )= 27, 2解得a 1 = −5,d = 2,S 8 = 8(a 1+a 1+7d )2=8(−10+14)2= 16.9.如图,长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E − BCD 的体积是 .【答案】 10【解析】 因为长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积为120,所以AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120, 因为E 为CC 1的中点,所以 1,CE = 2 CC 1由长方体的性质知CC 1 ⊥底面ABCD ,所以CE 是三棱锥E − BCD 的底面BCD 上的高, 所以三棱锥E − BCD 的体积:V = 1 × 13 2 AB ⋅ BC ⋅ CE1 1 1 1= 3 × 2 AB ⋅ BC ⋅ 2 CC 1 = 12 × 120 = 10.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y = x + 距离的最小值是.4(x > 0)上的一个动点,则点P 到直线x + y = 0的 x【答案】 4【解析】 P 是曲线y = x +4 (x > 0)上的一个动点,x则点P 到直线x + y = 0的距离的最小值,设P (x 0 , x 0 + 4 ),x 0|x 0+x 0+ 4|2x 0+ 4P 到直线x + y = 0的距离d =x 0= x 0,设g (x ) = 2x + √2√24(x > 0),xg ′(x ) = 2 −4x 2= 2x 2−4,x 2令g ′(x ) = 0,则x = √2,∴g (x )在(0, √2)单减,在(√2, +∞)上单增,∴g (x )min = g (√2) = 4√2, ∴d min = 4.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y = ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 .【答案】(e, 1)【解析】 点A 在曲线y = ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1),。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)第一卷(选择题共60分)参考公式:三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。
(1) 设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则()A B C ⋂⋃=(A ){1,2,3} (B ){1,2,4} (C ){2,3,4} (D ){1,2,3,4}(2) 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为(A )22log 3y x =- (B )23log 2x y -= (C )23log 2x y -= (D )22log 3y x=-(3) 在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=(A )33 (B )72 (C )84 (D )189(4) 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若AB=2,AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为(A(B(C(D(5) △ABC 中,,3,3A BC π==则△ABC 的周长为(A))33B π++ (B))36B π++(C )6sin()33B π++ (D )6sin()36B π++(6) 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是(A )1716 (B )1516 (C )78(D )0 (7) 在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为(A )9.4, 0.484 (B )9.4, 0.016 (C )9.5, 0.04 (D )9.5, 0.016 (8) 设,,αβγ为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β;②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β; ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β;④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是(A )1 (B )2 (C )3 (D )4(9) 设k=1,2,3,4,5,则(x +2)5的展开式中x k 的系数不可能是(A )10 (B )40 (C )50 (D )80 (10) 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= (A )79- (B )13- (C )13 (D )79(11) 点P (-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )3 (B )13 (C)2 (D )12(12) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为(A )96 (B )48 (C )24 (D )0 参考答案:DACBD CDBCA AB第二卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。
【真题】2019年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
(1)若 a=3c,b=
2
,cosB=
2
,求
c
的值;(2)若
sin
A
cos
B
,求
sin(B
)
的值.
3
a 2b
2
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16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面 DEC1; (2)BE⊥C1E.
置。 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式:
样本数据 x1, x2 ,…, xn 的方差 s2
5.已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ . 6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学
的概率是 ▲ .
7.在平面直角坐标系
xOy
中,若双曲线
x2
y2 b2
1(b
0)
经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是
绝密★考试结束前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。
2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B={1,6}.解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是2.解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是5.解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.4.(5分)函数y=的定义域是[﹣1,7].解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是y=.解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是16.解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是10.解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD 1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x 0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是(e,1).解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是[,).解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2]==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x <﹣,∴不等式的解集为{x|x <﹣或x>1}.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C =,a3=C =,a4=C =,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,(1﹣)5=C+C (﹣)+C (﹣)2+C (﹣)3+C (﹣)4+C (﹣)5=C﹣C+C ()2﹣C ()3+C ()4﹣C ()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,第21页(共22页)可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X =)==;P(X=2)==;P(X =)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X 的所有值是或,且P(X =)=,P(X =)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X =)﹣P(X =)=1﹣.第22页(共22页)。
2019年高考数学江苏卷(附参考答案和详解)
2019年高考数学江苏卷一、填空题(共14小题;共70分) 1.已知集合{}1,0,1,6A =-,{}|0,B x x x =>∈R ,则A B =I .2.已知复数()()2i 1i a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 .3.如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 .4.函数y =的定义域是 .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,则该双曲线的渐近线方程是 .8.已知数列{}n a ()*n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若2580a a a +=,927S =,则8S 的值是 .9.如图,长方体1111-A B C D A B C D 的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥-E BCD 的体积是 .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线()40y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线ln y x =上,且该曲线在点A 处的切线经过点()e,1--(e为自然对数的底数),则点A 的坐标是 .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,2BE EA =,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC⋅=⋅uuu r uuu r uuu r uuu r ,则ABAC的值是 .13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 .14.设()f x ,()g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当(]0,2x ∈时,()f x =,()()2,011,122k x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中0k >.若在区间(]0,9上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 .二、解答题(共11小题;共143分)15.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若3ac =,b =,2cos 3B =,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求πsin 2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB BC =.求证:(1)111A B DEC P 平面; (2)1BE C E ⊥.17.如图,在平面直角坐标系x O y 中,椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的焦点为()11,0F -,()21,0F .过2F 作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆2F :()22214x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连接1AF 并延长交圆2F 于点B ,连接2BF 交椭圆C 于点E ,连接1DF .已知152DF =. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O的直径).规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:线段PB ,QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点A ,B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ,D 为垂足),测得10AB =,6AC =,12BD =(单位:百米). (1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P ,Q 两点间的距离.19.设函数()()()()f x x a x b x c =---,a ,b ,c ∈R ,()f x '为()f x 的导函数.(1)若a b c ==,()48f =,求a 的值;(2)若a b ≠,b c =,且()f x 和()f x '的零点均在集合{}3,1,3-中,求()f x 的极小值; (3)若0a =,01b <≤,1c =,且()f x 的极大值为M ,求证:427M ≤.20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{}()*n a n ∈N 满足:245a a a =,324440a a a -+=,求证:数列{}n a 为“M -数列”;(2)已知数列{}()*n b n ∈N 满足:11b =,1122n n n S b b +=-,其中n S 为数列n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{}()*n c n ∈N ,对任意正整数k ,当k m ≤时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.21.已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求2A ; (2)求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中,已知两点π3,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,π2B ⎫⎪⎭,直线l 的方程为πsin 34ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ,解不等式|||21|2x x +->.24.设()20121nn n x a a x a x a x +=++++L ,4n ≥,*n ∈N .已知23242a a a =. (1)求n 的值;(2)设(1na +=+,其中*,ab ∈N ,求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中,设点集()()()(){}0,0,1,0,2,0,,,0n A n =L ,()(){}0,1,,1n B n =,()()()(){}0,2,1,2,2,2,,,2n C n =L ,*n ∈N ,令n n n n M A B C =⋃⋃.从集合n M 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当1n =时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数()3n n ≥,求概率()P X n ≤(用n 表示).答案第一部分 1.{}1,6 2.2 3.5 4.[]1,7- 5.53 6.7107.y = 8.16【解析】由题意可得:()()()25811191470,98927,2a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得:15,2,a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.10 10.4 11.()e,114.13⎡⎢⎢⎣⎭第二部分15.(1)因为3a c =,b 2cos 3B =, 由余弦定理222cos 2a c bB ac+-=,得()22232323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以c . (2)因为sin cos 2A Ba b=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而()22cos 2sin B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点, 所以ED AB P .在直三棱柱111ABC A B C -中,11AB A B P , 所以11A B ED P .又因为1ED DEC ⊂平面,111A B DEC ⊄平面, 所以111A B DEC P 平面.(2)因为AB BC =,E 为AC 的中点, 所以BE AC ⊥.因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱, 所以1CC ABC ⊥平面. 又因为BE ABC ⊂平面, 所以1CC BE ⊥.因为111C C A ACC ⊂平面,11AC A ACC ⊂平面,1C C AC C =I , 所以11BE A ACC ⊥平面. 因为111C E A ACC ⊂平面, 所以1BE C E ⊥.17.(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为()11,0F -,()21,0F ,所以122F F =,1c =. 又因为152DF =,2AF x ⊥轴,所以232DF ==,因此1224a DF DF =+=,从而2a =.由222b a c =-,得23b =.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,2a =,因为2AF x ⊥轴,所以点A 的横坐标为1.将1x =代入圆2F 的方程()22116x y -+=,解得4y =±. 因为点A 在x 轴上方,所以()1,4A . 又()11,0F -,所以直线1AF :22y x =+.由()2222,116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得256110x x +-=,解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又()21,0F ,所以直线2BF :()314y x =-. 由()2231,4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入()314y x =-,得32y =-.因此31,2E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连接1EF .因为22BF a =,122EF EF a +=,所以1EF EB =,从而1BF E B ∠=∠. 因为22F A F B =,所以A B ∠=∠,所以1A BF E ∠=∠,从而12EF F A P . 因为2AF x ⊥轴,所以1EF x ⊥轴.因为()11,0F -,由221,143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得32y =±.又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点,所以32y =-. 因此31,2E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18.(1)解法一:过A 作AE BD ⊥,垂足为E ,由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6DE BE AC ===,8AE CD ==, 因为PB AB ⊥,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==, 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠, 因此道路PB 的长为15(百米). 解法二:如图,过O 作OH l ⊥,垂足为H .以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为12BD =,6AC =,所以9OH =,直线l 的方程为9y =,点A ,B 的纵坐标分别为3,3-, 因为AB 为圆O 的直径,10AB =, 所以圆O 的方程为2225x y +=,从而()4,3A ,()4,3B --,直线AB 的斜率为34, 因为PB AB ⊥,所以直线PB 的斜率为43-,直线PB 的方程为42533y x =--,所以()13,9P -,15PB ==,因此道路PB 的长为15(百米). (2)解法一:①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径, 所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连接AD ,由(1)知10AD ==, 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以BAD ∠为锐角,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径, 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. 解法二:①若P 在D 处,取线段BD 上一点()4,0E -,则45EO =<,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连接AD ,由(1)知()4,9D -,又()4,3A ,所以线段AD :()36444y x x =-+-≤≤,在线段AD 上取点153,4M ⎛⎫⎪⎝⎭,因为5OM ==,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径, 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)解法一: 先讨论点P 的位置, 当90OBP ∠<o 时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当90OBP ∠≥o 时,对线段PB 上任意一点F ,OF OB ≥,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设1P 为l 上一点,且1P B AB ⊥,由(1)知,115P B =,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当90OBP ∠>o 时,在1PP B V 中,115PB PB >=, 由上可知,15d ≥. 再讨论点Q 的位置,由(2)知,要使得15QA ≥,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当15QA =时,CQ = 此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB AB ⊥,点Q 位于点C 右侧,且CQ =d 最小,此时P ,Q 两点间的距离17PQ PD CD CQ =++=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+ 解法二:先讨论点P 的位置, 当90OBP ∠<o 时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当90OBP ∠≥o 时,对线段PB 上任意一点F ,OF OB ≥,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设1P 为l 上一点,且1P B AB ⊥, 由(1)知,115P B =,此时()113,9P -; 当90OBP ∠>o 时,在1PP B V 中,115PB PB >=. 由上可知,15d ≥. 再讨论点Q 的位置,由(2)知,要使得15QA ≥,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求, 当15QA =时,设(),9Q a ,由()154AQ a =>,得4a =+,所以()4Q +,此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当()13,9P -,()4Q +时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离()41317PQ =+-=+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+19.(1)因为a b c ==,所以()()()()()3f x x a x b x c x a =---=-. 因为()48f =,所以()348a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以()()()()()232222f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而()()233a b f x x b x +⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭.令()0f x '=,得x b =或23a b x +=. 因为a ,b ,23a b+,都在集合{}3,1,3-中,且a b ≠, 所以213a b+=,3a =,3b =-. 此时()()()233f x x x =-+,()()()331f x x x '=+-. 令()0f x '=,得3x =-或1x =.列表如下:()()()()(),333,111,00xf x f x -∞---+∞'+-+Z]Z极大值极小值所以()f x 的极小值为()()()21131332f =-+=-. (3)因为0a =,1c =,所以()()()()3211f x x x b x x b x bx =--=-++, ()()2321f x x b x b '=-++.因为01b <≤,所以()()2241122130b b b ∆=+-=-+>,则()f x '有2个不同的零点,设为1x ,()212x x x <.由()0f x '=,得1x =,2x =.列表如下:()()()()()111222,,,00xx x x x x x f x f x -∞+∞'+-+Z]Z极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()()()()()()()()()()()()13211122111123231211132139992111227927121122727271227274.27M f x x b x bx b b b b x b x b x b x b b b b b b b b b b b ==-++-+++⎛⎫⎡⎤=-++--+ ⎪⎣⎦⎝⎭--+++=+++-+=-++≤+≤因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤, 所以()10,1x ∈.当()0,1x ∈时,()()()()211f x x x b x x x =--≤-. 令()()21g x x x =-,()0,1x ∈,则()()1313g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭.令()0g x '=,得13x =.列表如下:()()1110,,13330xg x g x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'+-Z ]极大值 所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故()max 14327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当()0,1x ∈时,()()427f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,所以10a ≠,0q ≠. 由245321,440,a a a a a a =⎧⎨-+=⎩ 得244112111,440,a q a q a q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得11,2.a q =⎧⎨=⎩因此数列{}n a 为“M -数列”. (2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由11b =,11S b =,得212211b =-,则22b =.由1122n n n S b b +=-,得()112n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{}n b 的通项公式为()*n b n n =∈N . ②由①知,k b k =,*k ∈N .因为数列{}n c 为“M -数列”,设公比为q ,所以11c =,0q >. 因为1k k k c b c +≤≤,所以1k k q k q -≤≤,其中1,2,3,,k m =L . 当1k =时,有1q ≥; 当2,3,,k m =L 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设()()ln 1xf x x x =>,则()21ln x f x x-=n . 令()0f x '=,得e x =.列表如下:()()()()1,e e e,0xf x f x ∞+'+-Z]极大值因为ln2ln8ln9ln32663=<=,所以()()max ln333f k f ==.取q =,当1,2,3,4,5k =时,ln ln kq k≤,即k k q ≤, 经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若6m ≥,分别取3,6k =,得33q ≤,且56q ≤,从而15243q ≥,且15216q ≤, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.21.(1)因为3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以2313131125222223222122106A ⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (2)矩阵A 的特征多项式为()215422f λλλλ-==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值11λ=,24λ=.22.(1)设极点为O .在OAB V 中,π3,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,π2B ⎫⎪⎭,由余弦定理,得AB ==(2)因为直线l 的方程为πsin 34ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则直线l 过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,倾斜角为3π4.又π2B ⎫⎪⎭,所以点B 到直线l 的距离为(3ππsin 242⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.23.当0x <时,原不等式可化为122x x -+->,解得13x <-;当102x ≤≤时,原不等式可化为122x x +->,即1x <-,无解; 当12x >时,原不等式可化为212x x +->,解得1x >. 综上,原不等式的解集为113x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或. 24.(1)因为()12201C C C C nn n nn n n x x x x +=++++L ,4n ≥,所以()221C 2n n n a -==,()()3312C 6n n n n a --==,()()()44123C 24n n n n n a ---==.因为23242a a a =, 所以()()()()()()212112326224n n n n n n n n n ⎡⎤------=⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 解得5n =.(2)由(1)知,5n =.((52345023455555511C C C C C C na +==++++=+解法一: 因为*,a b ∈N ,所以024555C 3C 9C 76a =++=,135555C 3C 9C 44b =++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:((((((52345012345555555234502345555551C C C C C C C C C C C C .-=+++++=--+- 因为*,a b ∈N,所以(51a =-因此(((()55522311232a b a a -=+-=+⨯-=-=-.25.(1)当1n =时,X 的所有可能取值是12.X 的概率分布为()2677115C P X ===,(264415C P X ===,()2622215C P X ===,(262215C P X ===. (2)设(),A a b 和(),B c d 是从n M 中取出的两个点. 因为()()1P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法; ②若0b =,1d =,则AB =所以Xn >当且仅当AB =0a =,c n =或a n =,0c =,有2种取法; ③若0b =,2d =,则AB因为当3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =0a =,c n =或a n =,0c =,有2种取法;④若1b =,2d=,则AB Xn >当且仅当AB =0a =,c n =或a n =,0c =,有2种取法.综上,当X n>时,X(2244C n P X +==,(2242C n P X +==.因此,()((224161.C n P X n P X P X +≤=-=-==-。
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。
本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差2211nii sx xn,其中11ni i xx n.柱体的体积V Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.锥体的体积13V Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上...1.已知集合{1,0,1,6}A ,{|0,}B x x x R ,则A B▲.2.已知复数(2i)(1i)a的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是▲.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲.4.函数276y x x 的定义域是▲.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y xb b经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.8.已知数列*{}()n a nN 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S ,则8S 的值是▲.9.如图,长方体1111ABCDA B C D 的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是▲.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)yxx x上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y=lnx 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是▲.12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB ACAO EC ,则AB AC的值是▲.13.已知tan 2π3tan4,则πsin 24的值是▲.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x 时,2()1(1)f x x ,(2),01()1,122k x x g x x,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x 有8个不同的实数根,则k 的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a=3c ,b=2,cosB=23,求c 的值;(2)若sin cos 2ABab,求sin()2B 的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB=BC .求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:22221(0)x y a b ab的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x ya 交于点A ,与椭圆C 交于点 D.连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c 、()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a=b=c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b=c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1ab c ,,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427.20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()nN 满足:245324,440a a a a a a ,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,nnnb S b b ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()nN ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k kk c b c 剟成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作....................答..若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵3122A(1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值. B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ,直线l 的方程为sin34.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设xR ,解不等式||+|2 1|>2x x.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,nnn x a a x a xa x n nN ….已知23242aa a . (1)求n 的值;(2)设(13)3nab ,其中*,a bN ,求223ab 的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}nA n ,(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.nnB nC n n N 令n nnn M A B C .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X 的概率分布;2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]5.536.7107.2y x 8.16 9.10 10.411.(e, 1)12.313.21014.12,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)因为23,2,cos 3ac b B ,由余弦定理222cos 2acbBac,得2222(3)(2)323c cc c,即213c.所以33c.(2)因为sin cos 2A B ab ,由正弦定理sin sin a bAB,得cos sin 2B B bb,所以cos 2sin B B .从而22cos (2sin )BB ,即22cos 41cos BB ,故24cos 5B.因为sin 0B ,所以cos 2sin 0B B ,从而25cos 5B.因此π25sin cos 25B B. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点,所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1,所以A 1B 1∥ED.又因为ED?平面DEC 1,A 1B 1平面DEC 1,所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB=BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC. 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC.又因为BE ?平面ABC ,所以CC 1⊥BE.因为C 1C ?平面A 1ACC 1,AC ?平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC=C ,所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ?平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解:(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=222211253()222DFF F,因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143xy.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143xy,a=2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为 1.将x=1代入圆F 2的方程(x-1) 2+y 2=16,解得y=±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2.由22()22116y xx y,得256110x x ,解得1x 或115x.将115x代入22yx,得125y,因此1112(,)55B .又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4yx .由221433(1)4xyx y,得276130xx ,解得1x 或137x.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x .将1x 代入3(1)4yx ,得32y.因此3(1,)2E .解法二:由(1)知,椭圆C :22143xy.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB ,从而∠BF 1E=∠B.因为F 2A=F 2B ,所以∠A=∠B ,所以∠A=∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A. 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431xx y ,得32y.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y.因此3(1,)2E .18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解:解法一:(1)过A 作AEBD ,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6,8DEBE AC AE CD .'因为PB ⊥AB ,所以84cossin 105PBD ABE.所以12154cos 5BD PBPBD.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210ADAE ED,从而2227cos 0225ADABBDBADAD AB,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设1P 为l 上一点,且1PB AB ,由(1)知,1P B=15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA ;当∠OBP>90°时,在1PPB △中,115PB PB .由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,2222156321CQ QAAC.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为43,直线PB的方程为42533 y x.所以P(-13,9),22(134)(93)15PB.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连结AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:36(44)4y x x剟.在线段AD上取点M(3,154),因为22221533454OM,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求. 设1P 为l 上一点,且1PB AB ,由(1)知,1P B=15,此时1P (-13,9);当∠OBP>90°时,在1PPB △中,115PB PB .由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q (a ,9),由22(4)(93)15(4)AQa a ,得a=4321,所以Q (4321,9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (-13,9),Q (4321,9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4321(13)17321PQ .因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17321(百米).19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ,所以3()()()()()f x x a x b x c x a .因为(4)8f ,所以3(4)8a ,解得2a .(2)因为b c ,所以2322()()()(2)(2)f x xa xb xa b xb a b x ab ,从而2()3()3a bf 'x x b x.令()0f 'x ,得xb 或23a bx.因为2,,3a b a b ,都在集合{3,1,3}中,且a b ,所以21,3,33a ba b.此时2()(3)(3)f x xx,()3(3)(1)f 'x xx .令()0f 'x ,得3x或1x .列表如下:x (,3)3(3,1)1 (1,)()f 'x +0 –0 +()f x 极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f .(3)因为0,1ac ,所以32()()(1)(1)f x x x b x xb xbx ,2()32(1)f 'x xb xb .因为01b ,所以224(1)12(21)30b b b ,则()f 'x 有2个不同的零点,设为1212,x x x x .由()0f 'x ,得22121111,33b b b b b b x x .列表如下:x 1(,)x 1x 12,x x 2x 2(,)x ()f 'x +0 –0 +()f x 极大值极小值所以()f x 的极大值1Mf x .解法一:321111(1)Mf x xb xbx 221111211(1)32(1)3999bb x b b b xb x bx 23221(1)(1)2127927bb b b b bb 23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b(1)24272727b b .因此427M.解法二:因为01b ,所以1(0,1)x .当(0,1)x时,2()()(1)(1)f x x xb x x x .令2()(1),(0,1)g x x x x,则1()3(1)3g'x x x .令()0g'x ,得13x .列表如下:x1(0,)3131(,1)3()g'x +0 –()g x 极大值所以当13x 时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g.所以当(0,1)x 时,4()()27f xg x ,因此427M.20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0. 由245321440a a a a a a ,得244112111440a q a qa qa q a ,解得112a q.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b ,所以0nb .由1111,b S b 得212211b ,则22b .由1122nnnS b b ,得112()n n nnn b b S b b ,当2n时,由1nn n b S S ,得111122n n n n nnnnnb b b b b b b b b ,整理得112nnn b b b .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n }的通项公式为b n =n *n N.②由①知,b k =k ,*kN .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以1k kq k q ,其中k=1,2,3,…,m.当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k k qkk .设f (x )=ln (1)x x x,则21ln ()x f 'x x.令()0f 'x ,得x=e.列表如下:x (1,e)e (e ,+∞) ()f 'x +0 –f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663,所以max ln 3()(3)3f k f .取33q ,当k=1,2,3,4,5时,ln ln k q k,,即kkq ,经检验知1k q k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于 6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122A,所以231312222A=3312311223222122=115106.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f .令()0f ,解得A 的特征值121,4.B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,4),B (2,2),由余弦定理,得AB =223(2)232cos()524.(2)因为直线l 的方程为sin()34,则直线l 过点(32,)2,倾斜角为34.又(2,)2B ,所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242.C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当x<0时,原不等式可化为122x x ,解得x<–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x –1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为1{|1}3x xx 或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)CC C C 4nn nnn nnx x x x n ,,所以2323(1)(1)(2)C,C 26nnn n n n n a a ,44(1)(2)(3)C24nn n nn a .因为23242a a a ,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n nn n n n nn ,解得5n .(2)由(1)知,5n .5(13)(13)n0122334455555555CC3C (3)C (3)C (3)C (3)3ab .解法一:因为*,a b N ,所以024135555555C3C9C76,C3C9C44a b ,从而222237634432a b.解法二:50122334455555555(13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3)0122334455555555CC C (3)C (3)C (3)(3C 3).因为*,a b N ,所以5(13)3a b .因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32aba b a b .23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n 时,X 的所有可能取值是1225,,,.X 的概率分布为22667744(1),(2)C15C15P XP X ,22662222(2),(5)C15C15P X P X .(2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点.因为()1()P X n P X n ,所以仅需考虑X n 的情况.①若b d ,则ABn ,不存在Xn 的取法;②若01b d ,,则22()11AB a c n,所以Xn 当且仅当21ABn,此时0ac n ,或0an c,,有2种取法;③若02bd ,,则22()44AB ac n,因为当3n时,2(1)4n n ,所以Xn 当且仅当24ABn,此时0acn ,或0an c ,,有2种取法;④若12b d ,,则22()11AB a c n,所以Xn 当且仅当21ABn,此时0a cn ,或0an c,,有2种取法.综上,当Xn 时,X 的所有可能取值是21n和24n,且2222242442(1),(4)CCn n P X nP X n.因此,222246()1(1)(4)1Cn P Xn P X nP X n.。
2019年江苏省高考数学试卷(解析版)
2019年江苏省高考数学试卷(解析版)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题(共14小题)1.已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.函数y=的定义域是﹣.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.10.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题(共11小题)15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.21.已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin(θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学试卷(解析版)参考答案一、填空题(共14小题)1.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.【知识点】交集及其运算2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a值.【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.【知识点】程序框图4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].【知识点】函数的定义域及其求法5.【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.【知识点】极差、方差与标准差6.【分析】基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=+=7,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.【知识点】双曲线的标准方程8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=8×(﹣5)+56=16.故答案为:16.【知识点】等差数列的前n项和9.【分析】推导出=AB×BC×DD 1=120,三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1,由此能求出结果.【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+(x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.【解答】解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x 0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程11.【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可.【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程12.【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合•=6•得=,进一步可得结果.【解答】解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律13.【分析】由已知求得tanα,分类利用万能公式求得sin2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2α+)的值.【解答】解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.【解答】解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).【知识点】分段函数的应用二、解答题(共11小题)15.【分析】(1)由余弦定理得:cos B===,由此能求出c的值.(2)由=,利用正弦定理得2sin B=cos B,再由sin2B+cos2B=1,能求出sin B=,cos B=,由此利用诱导公式能求出sin(B+)的值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.【知识点】余弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值16.【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC1.(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.【知识点】直线与平面平行的判定、棱柱的结构特征17.【分析】(1)由题意得到F1D∥BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;(2)求出D的坐标,得到=,写出BF2的方程,与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.【解答】解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).【知识点】椭圆的简单性质18.【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)设点P(x1,0),PB⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P的坐标,可得所求值;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q的坐标,即可得到结论;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解答】解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.【知识点】直线和圆的方程的应用19.【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a)3,根据f(4)=8,可得(4﹣a)3=8,解得a.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得==1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时,函数f(x)取得极小值.(3)a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证明结论.【解答】解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2]==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.【知识点】利用导数研究函数的极值20.【分析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,然后根据a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出b2,b3,b4猜想b n,然后用数学归纳法证明;(3)设{c n}的公比为q,将问题转化为,然后构造函数f(x)=,g(x)=,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤q k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递减,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≥0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【知识点】数列与不等式的综合21.【分析】(1)根据矩阵A直接求解A2即可;(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0即可.【解答】解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.【知识点】二阶矩阵、特征值与特征向量的计算22.【分析】(1)设极点为O,则由余弦定理可得,解出AB;(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.【解答】解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.【知识点】极坐标刻画点的位置23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值,然后分别解不等式即可.【解答】解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x<﹣,∴不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}.【知识点】绝对值不等式的解法24.【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二、由于a,b∈N*,求得(1﹣)5=a﹣b,再由平方差公式,计算可得所求值.【解答】解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C=,a3=C=,a4=C=,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,(1﹣)5=C+C(﹣)+C(﹣)2+C(﹣)3+C(﹣)4+C(﹣)5=C﹣C+C()2﹣C()3+C()4﹣C()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.【知识点】二项式定理25.【分析】(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,分别讨论b,d的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解答】解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X=)==;P(X=2)==;P(X=)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X的所有值是或,且P(X=)=,P(X=)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1﹣.【知识点】古典概型及其概率计算公式。
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD 的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M ﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n ∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a值.【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.5.【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.【点评】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【分析】基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=+=7,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题.9.【分析】推导出=AB×BC×DD1=120,三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1,由此能求出结果.【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.10.【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+(x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.【解答】解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.11.【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可.【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.12.【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合•=6•得=,进一步可得结果.【解答】解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.13.【分析】由已知求得tanα,分类利用万能公式求得sin2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2α+)的值.【解答】解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.【解答】解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).【点评】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】(1)由余弦定理得:cos B===,由此能求出c的值.(2)由=,利用正弦定理得2sin B=cos B,再由sin2B+cos2B=1,能求出sin B =,cos B=,由此利用诱导公式能求出sin(B+)的值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.16.【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC1.(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.17.【分析】(1)由题意得到F1D∥BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;(2)求出D的坐标,得到=,写出BF2的方程,与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.【解答】解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).【点评】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明DF1∥BF2是解答该题的关键,是中档题.18.【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)设点P(x1,0),PB⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P的坐标,可得所求值;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q的坐标,即可得到结论;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解答】解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.19.【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a)3,根据f(4)=8,可得(4﹣a)3=8,解得a.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得==1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时,函数f(x)取得极小值.(3)a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证明结论.【解答】解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2] ==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【分析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,然后根据a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出b2,b3,b4猜想b n,然后用数学归纳法证明;(3)设{c n}的公比为q,将问题转化为,然后构造函数f(x)=,g(x)=,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.【分析】(1)根据矩阵A直接求解A2即可;(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0即可.【解答】解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.【分析】(1)设极点为O,则由余弦定理可得,解出AB;(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.【解答】解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值,然后分别解不等式即可.【解答】解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x<﹣,∴不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}.【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n 的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二、由于a,b∈N*,求得(1﹣)5=a﹣b,再由平方差公式,计算可得所求值.【解答】解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C=,a3=C=,a4=C=,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,(1﹣)5=C+C(﹣)+C(﹣)2+C(﹣)3+C(﹣)4+C(﹣)5=C﹣C+C()2﹣C()3+C()4﹣C()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.25.【分析】(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,分别讨论b,d的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解答】解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X=)==;P(X=2)==;P(X=)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X的所有值是或,且P(X=)=,P(X=)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1﹣.【点评】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.。
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2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上...1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =▲.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是▲.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲.4.函数y =的定义域是▲.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是▲.9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是▲.12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ,则ABAC的值是▲.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b ,cos B =23,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin(2B π+的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC .求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<= ,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427.20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c + 成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题........,.并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1n a +=+*,a b ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解:(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以33c =.(2)因为sin cos 2A Ba b =,由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点,所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB ∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1,AC ⊂平面A1ACC1,C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1,所以BE ⊥C1E.17.解:(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x 轴,所以32==,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a=2,因为AF2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112(,)55B --.又F2(1,0),所以直线BF2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --.18.(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B=15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP>90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ=321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米).19.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-,从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a b x +=.因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠,所以21,3,33a ba b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得1211,33b b b b b b x x ++==.列表如下:x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =.()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤.20.解:(1)设等比数列{an}的公比为q ,所以a1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠.由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =.由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知,bk=k ,*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”,设公比为q ,所以c1=1,q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1,所以1k k q k q -≤≤,其中k=1,2,3,…,m.当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-.设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=.令()0f 'x =,得x=e.列表如下:x(1,e)e (e ,+∞)()f 'x +–f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==.取q =k=1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB==.(2)因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=,则直线l 过点2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当x<0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x<–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x –1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ,,所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====,44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==.因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ,所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-.23.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12.X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======.(2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点.因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况.①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。