平稳过程相关函数及其性质-西安电子科技大学

2
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林 2014秋
施瓦兹不等式
[E XY ] ≤ E X ⋅ E Y
2
2
2
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因此得到
E aX + bY
2
≤E a X +E b Y
1 2
2
2
2
2 2
+ 2 a b E [ X ]E [ Y ]
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5.2.2 例设平稳信号和
X={X t : t ≥ 0} Y={Yt : t ≥ 0}
的协方差函数分别为 1 −2 λ τ sin λt C X(τ )= e , CY(τ )= λτ 4 τ 0X τ 0Y Y (1)试计算过程X和的相关时间和，并比较和 随时间的变化情况。
≥ mX
2
≥0
= E[ X t +τ X t ] = RX (−τ )
由此知道，实平稳过程的相关函数为偶函数即 RX (−τ ) = RX (τ )
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(3) RX (τ ) = E[ X t X t +τ ] ≤ E X t X t +τ ≤ (E X t ) (E X t +τ ) = ( RX (0)) ⋅ ( RX (0)) = RX (0)
2
为二阶矩变量空间．
若X , Y ∈ H, 则对任意的复数a,b有 aX + bY ∈ H
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事实上有
E aX + bY = E (aX + bY )(aX + bY )
2
= E ( aX + bY )( aX + bY ) = E ( aX + bY + aXbY + aX bY )
：
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特别 若{Xt,t∈T}是周期平稳过程,即
X t +T0 = X t
T0为一常数，t ∈ T.
则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.
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在实际应用中，有
τ →∞
lim RX (τ ) = lim E[ X t X t +τ ]
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2
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(4)对 ∀n ≥ 1, t1 , t2 , , tn ∈ T 及复数 α1 , α 2 , , α有 n
= k 1= l 1
∑∑ α α R
k l
n
n
X
(tl − tk ) = ∑∑ α kα l E[ X tk X tl ]
2
2
α1 , α 2 , , α n
∑∑ α α R
k =1 l =1 k l
n
n
X
(tl − t k ) ≥ 0
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证明 (1) RX (0) = E[ X t X t ]
= E Xt
2 2
= D[ X t ] + mX
(2) RX (τ ) = E[ X t X t +τ ]
0 ∞
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5.2.1 X={X t : t ≥ 0} 例设实平稳信号受到加性独立随机分量 cos(ωt+的干扰后成为随机信号 Θ)
ω Y={Yt : t ≥ 0}，其中为
常数，Θ为，上均匀分布的随机变量。 [0 2π ] X 试分析平稳随机信号受干扰后是否还具有平稳性，并分析 信号在干扰前后的相关函数的关系。
2 2
aX bY + aX bY = 2 Re( aX bY )
= E a X + E b Y + E 2 Re(aXbY )
2
2
2
2
∴ E aX + bY < +∞
2
≤ E 2 aXbY = 2 a b E XY
即 aX + bY ∈ H .
≤ 2 a b E [ X ]E [ Y ]
1 2
2
1 2
2 RX (τ ) − mX rX (τ ) = C X (0)
易知相关系数满足： rX (τ ) ≤ 1 利用相关系数可以确定一个重要的临界值 ——相关时间
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相关时间的计算： τ0 (1) 满足的 rX (τ ) ≤ 0.05 τ 0 . (2) τ 0 = ∫ rX (τ )dτ
τ →∞
= lim{E[ X t ]E[ X t +τ ]}
τ →∞
2 = mX ≥0
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平稳过程相关函数的可能图形
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在工程实际的应用中，经常将相关函数标准化为 ——相关系数
= k 1= l 1
n
n
= E[∑∑ α k X tk α l X tl ]
= k 1= l 1
n
n
n
= k 1= l 1
= E[∑ α k X tk ∑ α l X
n
2 k
X tk
≥0
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易得，平稳过程的满足一下性质 协方差函数C X (τ ) = (1) C D X (t ) ≥ 0; X (0) (2) C X (τ ) ≤ C X (0)
= (a E X + b E Y )
1 2
2
1 2
2
1 2
2 2
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定理5.2.1 设X={Xt,t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:
(1) RX (0) = E X t ≥ mX ≥ 0 (2) RX (τ ) ≤ RX (0) (3) RX (= τ ) RX (−τ ) (4) RX= (τ ) RX (t − s )具有非负定性.即 对及复数有 ∀n ≥ 1, t1 , t2 , , tn ∈ T
平稳过程相关函数及其性质
常用相关函数描述平稳过程的统计特性. 本节主要内容 相关函数的性质 相关函数的应用 互相关函数
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预备知识 称定义在概率空间 (Ω, F , P ) 上的具有 二阶矩的随机变量的全体所组成的集合
= H {X E[ X ] < +∞}