复数的三角形式的运算(一) 教案示例

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《复数的三角形式》第1课时示范课教学设计【高中数学教案】

《复数的三角形式》教学设计第1课时1．掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念；2．掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义．教学重点：复数的三角表示、复数乘法运算的三角表示及其几何意义．教学难点：复数乘法运算的三角表示及其几何意义．PPT 课件．一、问题导入问题1：复习回顾复数的几何意义及复数的模师生活动：复数z =a +b i 有序实数对（a ，b ）向量OZ 点Z （a ，b ）设复数z =a +b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ，则向量OZ 的长度叫做复数a +b i 的模（或绝对值），记作◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆ 教学过程一一对应一一对应一一对应|a +b.设计意图：承上启下，引入新课引语：本节课将要学习复数的三角形式及其运算.（板书：复数的三角形式及其运算）【新知探究】1．阅读教材，感知复数的三角形式定义及相关概念问题2：复数的三角形式定义师生活动：设复数=z 在复平面内对应的点为Z ．（1）写出Z 的坐标，并在图中描出点Z 的位置，作出向量OZ ；（2）记r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，求r 的值，并写出θ的任意一个值，探讨,θr 与=z 的实部、虚部之间的关系.追问：复数的三角形式定义是什么？预设的答案：（1）(1,3)Z （2）2,,1cos sin 3θθθπ====r r r一般地，如果非零复数(,)=+∈z a bi a b R 在复平面内对应点(,)Z a b ，且r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，则||=r z 根据任意角余弦、正弦的定义可知：cos ,sin θθ==a br r因此：cos ,sin θθ==a r b r从而cos sin (cos sin )θθθθ=+=+=+z a bi r r i r i 称为非零实数=+z a bi 的三角形式（对应的=+z a bi 称为复数的代数形式），其中θ称为z 的辐角.显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题3：如何求非零复数的三角形式？复数的两种形式如何互化．师生活动：实例讲解，学生总结预设的答案：为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题3：复数的乘法的三角表示及几何意义师生活动：自主阅读教材，回答：复数的乘法的三角表示及几何意义预设的答案：设z 1＝r 1（cos θ1+isin θ1），z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2），试求出z 1z 2. z 1z 2＝r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 注：z 1的模乘以z 2的模等于z 1z 2的模（简记：模相乘），z 1的辐角与z 2的辐角之和是z 1z 2的辐角（简记：辐角相加）追问：复数的乘法的几何意义是什么？预设的答案：设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ ，将1OZ 绕原点旋转2θ，再将1OZ 的模变为原来的2r 倍，如果所得向量为,OZ 则OZ 对应的复数为12z z ，如图所示.当20θ>时，按逆时针方向旋转角2θ，当20θ<时，按顺时针方向旋转角2||θ 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘. 特别地，如果∈n N ，则：[(cos sin )][cos()sin()]θθθθ+=+n n r i r n n i设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 写出下列复数的辐角主值：（1）3--i （2）-ai师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）因为r ＝22(3)(1)-+-＝2，所以cos θ＝32 sin θ＝12又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝76π. （2）当a >0时，r ＝a ，cos θ＝0，sin θ＝－1，其辐角主值θ＝32π；当a ＝0时，其辐角主值θ＝0；当a <0时，r ＝－a ，cos θ＝0，sin θ＝1，其辐角主值θ＝2π. 设计意图：进一步深化复数的三角形式和理解辐角主值的含义．例2. 把下列复数的代数形式改写成三角形式（1）1-i （2）2i （3）1- 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）由题意可知：2222211(1)[]1(1)1(1)-=+-+-+-i22772()2(cos sin )2244ππ=-=+i （2）因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|2|2,arg(2)2π==i i从而可知：22(cossin)22ππ=+i i（3）因为－1在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|1|1,arg(1)π-=-=从而可知：1cos sin ππ-=+i设计意图：进一步深化复数的三角形式例3. 计算×师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：×＝＝626210⎫-++⎪⎪⎝⎭＝5652256522i . 设计意图：进一步深化复数的三角形式【课堂小结】问题：（1）复数的三角形式是什么？（2）复数三角形式的乘法法则是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充. 预设的答案： 1.复数的三角形式z ＝a +b i ＝r （cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z ＝a +b i 的三角形式，其中的θ称为z 的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.2.复数三角形式的乘法法则r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 模相乘，辐角相加.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确复数的三角形式等有关知识．布置作业：【目标检测】1. 复数2(sincos )33ππ+i 的一个辐角是 ( )A.0B. 6πC. 3πD. 65π设计意图：理解复数的辐角的含义2. 已知复数33=--z i ，则（）A.复数的模是||23=zB. 3π是复数的一个辐角 C.复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ+i D. 复数z 对应的点在第三象限设计意图：理解复数的几何意义 3.将复数2232(cossin )33ππ+i 化为代数形式为设计意图：理解复数的三角形式与代数形式的转化 4. 复数4(cossin)33ππ=+z i 对应的点在第象限设计意图：理解复数的几何意义5. 把下列复数表示成三角形式，并求它们的模与辐角主值：（1）2(cossin )33i ππ-+ ；（2）33sin cos 44i ππ-+．设计意图：理解复数的几何意义参考答案：1.因为2(sincos )33ππ+i =2(cos sin )66ππ+i ，所以它的一个辐角为6π，故选B. 2.由题意，1343923,cos ,sin ,2()223θθθππ=+==-=-=+∈r k k Z ．所以复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ=+z i ，故A ，C 正确；又复数33=--z i 对应点的坐标是.(3,3)--.，在第三象限，即D 正确．故选A ，C ，D.3. 223233ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos isin ＝133222⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭i ＝322+362i. 4.由题意，223=+z i 对于点的坐标为(2,23)在第一象限． 5. （1）由题意，r =2．132(cossin )13,cos ,sin 332ππθθ-+=-=-=i i ．所以辐角主值为43π，复数的三角形式为442cos sin )33ππ+（i ；（2）由题意，r =1．33sincos ,cos 442222ππθθ-+=--=-=i ．所以辐角主值为54π，复数的三角形式为55cos sin44ππ+i ．。

复数的三角表示教学设计

环节一复数的三角表示【教学重点】复数的三角表示式．【教学难点】探究、理解复数的三角表示式．【教学目标】1.了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式．2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件．一．情境引入前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示—复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧．问题1：前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么．答案：我们把形如a +b i (a ，b ∈R )的数叫做复数(complexnumber ) ．复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应；复数z =a +b i与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应．追问1：你能在复平面内用平面向量表示z =a +b i 吗？答案：设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ，连接OZ ，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 由点Z 唯一确定．追问2：已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )，能唯一确定与之对应的复数z 吗？复数z 的表达式是什么？为什么？答案：由于复数z =a +b i 与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应，所以已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )能唯一确定与之对应的复数z ，其表达式为z =a +b i ．复数z 可以由向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定．设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础．二．探究新知：问题2：我们知道复数z =a +b i 可以由向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 既可以由它的坐标(a ，b )唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析右图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？答案：应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小可以用复数的模r 来表示，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向可以借助角θ来表示．追问2：如何用文字语言表述角θ呢？答案：角θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线(射线OZ )为终边的角．设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻高向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式莫基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节．追问3：你能用向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，以及以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角θ来表示复数z 吗？答案：由{a =rcosθb =rsinθ可以得到复数a +b i= rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)，其中r =√a 2+b 2，cosθ=a r，sinθ=br．设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r 和角θ与平面向量的坐标（a ，b ）的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想，这是得出复数三角表示式的另一个关键环节．追问4：刚才我们画的图形中，角θ的终边落在第一象限，得到a +b i= r(cosθ+isinθ)，这个式子是否具有一般性呢？即若角θ的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z 在实轴或虚轴上，即角θ的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？答案：改变平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角θ的终边落在什么位置，都有a +b i= r(cosθ+isinθ)．概念：一般地，任何一个复数z =a +b i 都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数z =a +b i 的辐角（argument of a complex number ）．r(cosθ+isinθ)叫做复数z =a +b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a +b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．设计意图：让学生分析角θ的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力．问题3：一个复数的辐角的值有多少个？答案：利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？答案：因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？答案：对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之问相差2π的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性．问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？答案：我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument ），通常记作arg z ，即0≤arg z <2π．追问1：一个非零复数辐角的主值有多少个？答案：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．设计意图：给出辐角的主值的概念和取值范围，让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利．三．概念辨析问题５：１２(sin 5π12+i cos 5π12)是三角表示式吗？说出你的理由．追问１：观察复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)，你能总结出它的结构特点吗？答案：复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：① r 是复数的模，r =√a 2+b 2≥0； ② 是同一个辐角值θ的余弦和正弦； ③ cos θ在前，sin θ在后； ④ cos θ和isin θ之间用“+”连接．设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特点对复数的三角表示式作出判断．四、典例解析例1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)１２(sin5π12+i cos 5π12)；(2)−１２(sin π3+i cos π3) ．答案：(1)不是三角形式，三角形式应满足cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：１２(cos π12+i sin π12) ．(2) 不是三角形式，三角形式应满足r =√a 2+b 2≥0且cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：−１２(sin π3+i cos π3)=12(−12−√32i)=12(cos4π3+isin4π3) ．设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法．例2. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)12+√32i ；(2)1−i ．分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．解：(1)复数12+√32i 对应的向量如图所示，则 r =√(12)2+(√32)2=1，cos θ=12．因为与12+√32i 对应的点在第一象限，所以arg (12+√32i)=π3．于是12+√32i =cos π3+isin π3．(2) 复数1−i 对应的向量如图所示，则 r =√12+(−1)2=√2，cos θ=1√2=√22．因为与1−i 对应的点在第四象限，所以arg (1−i)=7π4．于是1−i =√2(cos7π4+isin7π4)．解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要通过数形结合解决问题，只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式，而利用r=√a2+b2即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cosθ或sinθ的值求辐角．设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；另一方面是借助与复数对应的点的坐标，判断角θ的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法．例3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：(1) cosπ+isinπ；(2) 6(cos11π6+isin11π6)．解：复数cosπ+isinπ的模r=1，一个辐角θ=π，对应的向量如图所示．所以cosπ+isinπ=−1+0i=−1．(2)复数6(cos11π6+isin11π6)的模r=6，一个辐角θ=11π6，对应的向量如图所示．所以6(cos 11π6+isin11π6)=6cos11π6+(6sin11π6)i=6×√32+6×(−12)=3√3−3i．设计意图；本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r，θ的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对（r，θ）来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法．问题6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？答案：两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性．四．归纳总结回顾本节课内容，回答下列问题：（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程．（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？答案：（1）复数三角形式得出的研究思路和基本过程为：复数z=a+b i与平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)一一对应，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)可以由其大小和方向唯一确定，所以复数可以由平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向唯一确定，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小为平面向量的模r=√a2+b2，其方向可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量0Z⃗⃗⃗⃗ 所在的射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画，由三角函数的定义得：a=r cosθ，b=r sinθ，所以z=r（cosθ+isinθ）．（2）复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：①r是复数的模，r=√a2+b2≥0；②是同一个辐角值θ的余弦和正弦；③cosθ在前，sinθ在后；④cosθ和isinθ之间用“+”连接．⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数其中θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZz=a+b i的辐角（argument of a complex number）．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作arg z，即0≤arg z<2π．（3）两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．。

复数的三角形式（一）

复数的三角形式（一）目的：熟练掌握复数的三角形式重点：化复数为三角形式难点：复数辐角主值的探求教学内容：一、知识回顾：1、复数的三种形式：代数形式z=a+bi ⇔点的形式Z(a,b) ⇔2、复数的模：|z|=|a+bi|=22b a +=|OZ |二、复数的三角形式：1、复数的辐角： *复数的辐角有无穷多，其一般形式是： *特别规定：复数0的辐角是任意的.2、复数的辐角主值：，记为argz *注意与反三角符号的区别3、几个特殊结论：如果a ∈R +，那么arga= ,arg(-a)= ,arg(ai)= ,arg(-ai)= 4、两个复数相等⇔r 1=r 2且argz 1=argz 2.5、复数的三角形式：设θ是复数的辐角，其模为r ，则： a= ,b=)s i n (c o s θ+θ=i r z 叫复数的三角形式*三角形式的具体要求：①r ≥0 ②前余后正 ③“+”号连接 ④θ不一定是主值三、典型例题分析：1、化下列复数为三角形式：①z=3+i②z=1-i③z=-1④z=3-4i2、（91全国）复数z=1+i，求复数163 2++-z zz的模和辐角主值3、求复数z1=1+cosθ+isinθ(0≤θ<2π)的模和辐角主值。

四、课堂练习：1、下列那一个是复数的三角形式(A)21[cos4π-isin4π] (B) -21(cos3π+isin3π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π2、把下列复数化为三角形式：4= ；-3= ；-i= ;-2+2i=-1-i 3= ;=-i 2123 ;-4+3i= 五、能力测试：1、（90广东）复数)2(1π<θ<πθ+ictg 的三角形式是…………………（）(A))]2sin()2[cos(sin 1θ-π+θ-πθi (B))cos (sin sin 1θ+θθ(C) )]2sin()2[cos(sin 1θ+π+θ+πθ-i (D) )]23sin()23[cos(sin 1θ-π+θ-πθ-i 2、（91三南）复数Z=-3(cos34π-isin 34π)的幅角主值为…………………（） (A)34π (B) 35π (C) 611π(D)6π3、（92三南）设复数Z=i i 32+，那么复数Z 的幅角主值为…………（）(A)65π (B) 3π(C)32π (D) -34π4、（2000上海）复数z=-3(cos 5π-isin 5π)的三角形式是……………………（）(A) 3[cos(-5π)-isin(-5π)] (B) 3(cos5π+isin5π)(C) 3(cos54π+isin 54π) (D) 3(cos 56π+isin 56π) 5、（93上海）设Z= cos57π+isin 57π，则z 的幅角主值为 6、把下列复数化为三角形式：3-= ；-3= ；5i= ; 2+2i=1-i 3= ;=--2123i ;5+12i= 7、先把下列复数化为代数形式然后在化为三角形式：-3(cos23π+isin 2π)= = ；2[cos(-4π)-isin(-4π)]= =8、化复数z 1=1+cos θ+isin θ,z 2=1-cos θ+isin θ(π＜θ<2π＝为三角形式，并且求argz 1+argz 2.复数的三角形式（二）目的：熟练掌握复数的三角形式重点：复数的三角形的应用难点：复数辐角的研究教学内容：一、知识回顾： 1、复数的模及幅角： 2、复数的三角形式：3、小练习：①arg(3-i)= ;②arg(m+i)2=π23,则m= ;③-5(cos45º-isin45º)化为三角形式是④argz=π65,复数z 的实部为-23，那么z= 二、典型例题：1、化下列复数为三角形式：①z=ii3251+-②z=1+itg )23(π<α≤πα③z=3sin α+cosα-2icos(α+6π)2、|z z 1-|=21，argz z 1-=3π,求复数z3、arg(z+1)=6π,arg(z-1)=3π,求复数z.4、|z|≤21，求复数w=z-1的辐角主值及模的取值范围5、如果z=21+i sin θ并且|z|≤1，求α=argz 的取值范围三、课堂练习：1、复数z=2-a+(2a-1)i ，如果0＜argz ≤4π，求a 的取值范围2、复数z 满足：|z-2i|≤1，那么|z|max = ,|z|min = ,如果复数z 的辐角主值为α，那么αmax =,αmin =三、能力测试：1、集合M={z|1≤|z|≤2,z ∈C},N={z|4π<argz<43π, z ∈C }，则M ∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是………………………………………………………………（）(A)4π (B)2π (C)43π(D) π 2、设a ∈(-1,0),复数cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为…………………（） (A) arcsina (B)2π+ arcsina (C)π-arcsina (D) π+ arcsina3、复数1+cos200º+isin200º的辐角主值为…………………………（） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º4、复数-1-2i 的辐角主值为5、如果z 1、z 2∈C ，|z 1|≤21，并且z 2=i+z 1，那么argz 2∈6、arg(z+2)=3π,arg(z-2)=65π,求复数z.7、|z|=1且argz=θ,求w=z 2+z 的模及幅角主值8、复数z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2并且π<<π2arg 23z ,求实数a 的取值范围复数的三角形式（三）知识目标：掌握复数的三角形式的乘法运算.能力目标：培养学生能从知识的演变过程中发现新的问题、勇于提出问题、积极探讨解决问题方法的能力，掌握化归思想的具体应用思想目标：培养学生积极思考、勇于创新、求真务实的科学态度教学重点：复数乘法运算教学难点：复数乘法运算的几何意义的理解教学方法：发现式教学法辅助手段：多媒体电脑活动过程：一、知识回顾：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），argz=α，那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3π-isin3π) (B) -21(cos4π+isin4π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π⑵把下列复数化为三角形式：-3= ；=-i 2123 ;4、预备工具： cosαcos β-sin αsin β=cos(α+β); sinαcos β+cos αsin β=sin(α+β)二、复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isinα)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0那么：z 1〃z 2=此定理用语言叙述为：〘例题1〙1、求下列复数的积：①2(cos12π+isin12π)∙3(cos 6π+isin6π)②3(cos75°+isin75°) ∙3(cos15°+isin15°)③(cos3A+isin3A) ∙ (cos2A-isin2A)定理的推广：设z n =r n (cos αn +isinαn ),其中r n ≥于是：z 1z 2z 3…z n =r 1r 2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn ) +isin(α1+α2+α3+…+αn )]〘反馈练习1〙1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)= ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos150º-isin150º)=⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙5 (cos108º+isin108º)=⑷|3(cos12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22º+icos22º)|=2、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z 1、z 2相乘时，可以先画出分别与z 1、z 2对应的向量1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ再把模变为原来的r 1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2. *特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.〘例题2〙试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)：⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙ (cos108º+isin108º)：〘例题3〙1、OZ 对应复数-1+i,将OZ 按逆时针方向旋转120º后得到Z O '，求Z O '对应复数z2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π31，所得向量对应复数为(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四个顶点，求Z C 与Z D .O xyZZ '120〘反馈练习2〙如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是3、知识小结：⑴积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和⑵复数的乘法⇔向量的旋转与伸缩⑶做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.三、能力测试：1、如果向量OZ 对应复数-23+4i ，OZ 顺时针旋转60º得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是………………………………………………………………………………（） (A) -33-i (B) 3+5i (C) -23-4i (D) 23+4i2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么…………………………………………………………（）(A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º)3、如果α∈(2π,π),z=(1+i) ∙ (cos α+sinα)的辐角主值为…………（）(A)49π- α (B)4π+α(C)43π+α (D) 2π-α4、如果A 、B 对应复数3-2i ，-1+4i ，把AB 按顺时针方向旋转90º后再把模变为原来的2倍得到向量AC ，那么向量．．AC 的复数是，C 点的坐标为5、2(cos176º+isin176º) ∙3 (cos26º-isin26º) =6、3(cos3π+isin3π)∙2 (cos6π+isin6π)=7、10(cos2π+isin2π)∙2 (cos4π+isin4π)=8、如果正⊿ABC 的两个顶点A 、B 对应复数z 1=i,z 2=-3四、板书计划：1、乘法公式2、几何意义3、知识小结五、信息反馈：Cx复数的三角形式（四）目的：掌握复数的三角形式的乘法运算重点：De moiver theorem (棣美弗定理)难点：复数辐角的研究教学内容：四、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ那么：z1z2 =2、复数乘法的几何意义：3、乘法运算定理的推广：二、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]证明：（用数学归纳法证明）三、典型例题分析：1、如果z=cos52π+isin 52π,求： 1+z 4+z 8+z 12+z 16之值2、如果z=cos3π+isin3π，求|z+2z 2+3z 3+…+12z 12|之值3、求(3-i)6的值.4、如果(3+i)m =(1+i)n ,m 、n ∈N ，求自然数m 、n 的最小值5、化复数z=1+(23i +)7为三角式6、设复数z 满足：|z|=1且z 5+z=1,求复数z 的值.四、课堂练习：1、化间：[3(cos18º+isin18º)]5= ,(-1-i)6= ,(1-i)(21--23)7=2、（90上海）复数W= cos52π+isin 52π，则W+W 2+W 3+W 4+W 5=五、能力测试：1、（93全国）当21i z --=时，z 100+z 50+1的值为(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i2、（94上海）设复数Z=-21+23i ，则满足z n =z 并且大于1的自然数n 中最小的是 (A)3 (B)4 (C)6 (D)73、[-3(cos10º-isin10º)]6=4、如果z=cos52π+isin 52π,求：(1+z)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8) 的值5、n （n ∈N ）是什么值时，(1+i 3)n ∈R6、（97全国）已知复数z=i 2321+,w=i 2222+，求复数zw+zw 3的模及幅角主值7、（97全国）已知复数z=i 2123-，w=i 2222+,复数zw,z 2w 3在复平面上对应点分别为P 、Q ，证明⊿OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）复数的三角形式（五）目的：熟练掌握复数三角形式的运算重点：乘法定理和De moiver theorem (棣美弗定理)的使用难点：积的辐角与辐角之和的关系教学内容：五、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ)那么：z1z2 =2、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]六、典型例题分析：1、De moiver theorem (棣美弗定理)的推论：[r(cosθ-isinθ)]n=r n[cosnθ-isinnθ]试证明之。

初中数学教案复数的三角形式与指数形式

初中数学教案复数的三角形式与指数形式初中数学教案复数的三角形式与指数形式一、引言本节课的目标是帮助学生理解复数的三角形式和指数形式，并熟练运用它们解决数学问题。

复数是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

通过本课的学习，学生将能够更好地理解复数，并运用复数的三角形式和指数形式解决实际问题。

二、概念解释1. 复数复数是由实数和虚数构成的数。

复数用符号“z”表示，形如 a+bi，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

实部表示实数部分，“a”为实数；虚部表示虚数部分，“bi”为虚数，其中“i”为虚数单位，满足 i² = -1。

2. 复数的三角形式复数可以表示为模长与辐角的形式，即z = r(cosθ + isinθ)，其中 r为模长，θ 为辐角。

模长 r 可以通过勾股定理求得，r = √(a² + b²)。

辐角θ 可以通过反三角函数求得，θ = arctan(b/a)。

在三角形式中，a 是实部，b 是虚部。

3. 复数的指数形式复数还可以表示为指数形式，即z = re^(iθ)，其中 e 为自然对数的底数。

在指数形式中，r 为模长，θ 为辐角。

三、教学过程1. 复数的三角形式（1）复数的模长和辐角计算方法- 计算复数的模长 r：使用勾股定理，r = √(a² + b²)。

- 计算复数的辐角θ：使用反三角函数，θ = arctan(b/a)。

（2）举例介绍复数的三角形式例1：计算复数 z = 3 + 4i 的模长和辐角。

解：根据公式，模长r = √(3² + 4²) = 5，辐角θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°。

因此，复数 z = 3 + 4i 的三角形式为 z = 5(cos53.13° + isin53.13°)。

2. 复数的指数形式复数的指数形式可以通过复数的三角形式推导得到。

《复数的三角表示式》教案、导学案、课后作业

《7.3.1 复数的三角表示式》教案【教材分析】《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.【教学目标与核心素养】课程目标：1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;2. 培养学生的转化，推理及运算能力;3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美. 数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化. 【教学重点和难点】重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解. 【教学过程】一、情景导入提问：1、如图，角θ的终边上一点P (x ，y )，设P 到原点O 的距离|OP |＝r ，那么怎样用角θ和r 表示x ，y?2、我们知道，复数可以用a ＋b i(a ，b ∈R)的形式来表示，复数a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应，与平面向量OZ →＝(a ，b )也是一一对应的，如图，你能用向量OZ →的模r 和以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角θ来表示复数z 吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本83-85页，思考并完成以下问题1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1 .复数的辐角以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi 的辐角。

适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。

记作：argz,即 0≤arg z<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z ＝a ＋bi 都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r 是复数的模；θ是复数z ＝a ＋bi 的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z ＝a ＋bi 的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．四、典例分析、举一反三题型一复数的三角形式例1 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1) z 1＝ cos 60°＋isin 30° ； (2) z 2＝2(cosπ5－isin π5)； (3) z 3＝－sin θ＋icos θ . 【答案】(1) z 1＝22(cos π4＋isin π4)． (2) z 2＝2(cos 9π5＋isin 9π5). (3) z 3＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) . 【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z 1＝cos 60°＋isin 30°＝12＋12i ，模r ＝(12)2＋(12)2＝22，cos θ＝22，与z 1对应的点在第一象限，所以取θ＝π4. 即z 1＝cos 60°＋isin 30°＝22(cos π4＋isin π4)． (2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z 2(2cosπ5，－2sin π5)在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－π5”变换到第四象限．所以z 2＝2(cosπ5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin 9π5)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z 3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(cos 1112π＋isin1112π) ；(2) z2＝12(cos23π－isin23π)；(3) z3＝－2(cos θ＋isin θ)．【答案】(1)是三角形式． (2) z2＝12(cos43π＋isin43π)． (3) z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(cos 1112π＋isin1112π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z 2＝12(cos23π－isin23π)＝－14－34i，模r＝12，cos θ＝－12.复数对应的点在第三象限，所以取θ＝43π，即z2＝12(cos23π－isin23π)＝12(cos43π＋isin43π)．(3) 由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z 1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z 3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则. 因为与对应的点在第一象限，所以. 于是.（2）复数对应的向量如图所示，122i +1i-1cos sin 2233i i ππ+=+771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭12+11,cos 2r θ===12+1arg 23π⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos sin 233i ππ+=+1i-则. 因为与对应的点在第四象限，所以. 于是. 当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.解题技巧： (复数的代数形式化三角形式的步骤) (1)先求复数的模； (2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)； (4)写出复数的三角形式．跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式： (1)1；(2)－2i ；(3)3－i; (4)－2(sin3π4＋icos 3π4)．【答案】(1) 1＝cos 0＋isin 0. (2)－2i ＝2(cos3π2＋isin 3π2)． (3)3－i ＝2[cos(－π6)＋isin(－π6)]． (4)－2(sin 3π4＋icos 3π4)＝2(cos 3π4＋isin 3π4)．【解析】(1)r ＝1，对应的点在x 轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0.(2) r ＝2，对应的点在y 轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝3π2.所以－2i ＝2(cos 3π2＋isin 3π2)．r θ====1i -7arg(1)4i π-=771cos sin 44i i ππ⎫-=+⎪⎭θcos sin 44i ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦1i -(3) r ＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝32，所以取θ＝－π6. 所以3－i ＝2[cos(－π6)＋isin(－π6)]．(4)－2(sin3π4＋icos 3π4)＝－2＋2i ，r ＝2，对应的点在第二象限，且cos θ＝－22，所以取θ＝3π4.所以－2(sin 3π4＋icos3π4)＝2(cos 3π4＋isin 3π4)．题型三把复数表示成代数形式例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）. 【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量cos sin i ππ+11116cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin ππ+1r =θπ=1-11116cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6r =116πθ=3i -cos sin i ππ+1r =θπ=OA cos sin 101i i ππ+=-+⋅=-11116cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6r =116πθ=如图所示.所以.解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式： (1)z 1＝3(cos π6＋isin π6)；(2)z 2＝2[cos(－π2)＋isin (－π2)]； (3)z 3＝5(cos 135°＋isin 135°)．【答案】(1)z 1＝332＋32i. (2)z 2＝－2i. (3)z 3＝－522＋522i. 【解析】(1)z 1＝3(cosπ6＋isin π6) ＝3×32＋3×12i ＝332＋32i. (2)z 2＝2[cos(－π2)＋isin(－π2)] ＝2×0＋2×(－1)iOB 111111116cos sin6cos 6sin 6666i i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭16622i ⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎝⎭3i =-＝－2i.(3)z3＝5(cos 135°＋isin 135°)＝5×(－22)＋5×22i＝－522＋522i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.《7.3.1 复数的三角表示式》导学案【学习目标】知识目标1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;2. 培养学生的转化，推理及运算能力;3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.核心素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.【教学重点】：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．【教学难点】：复数三角表达式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本83-85页，填写。

复数的三角形式与指数形式详细教案

复数的三角形式与指数形式详细教案教案主题：复数的三角形式与指数形式教学目标：1.理解复数的三角形式与指数形式的概念；2.学会将复数转换为三角形式和指数形式；3.掌握复数的三角形式和指数形式的运算法则；4.能够在实际问题中灵活应用复数的三角形式和指数形式；5.培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。

教学内容：1.什么是复数的三角形式和指数形式。

2.如何将复数转换为三角形式和指数形式。

3.复数的运算法则和性质。

4.如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题。

教学步骤：Step 1：复习复习复数的定义和基本运算法则，并介绍复数的表示形式：直角坐标形式。

Step 2：引入介绍复数的三角形式和指数形式的概念，并解释为什么引入这两种形式。

Step 3：三角形式3.1解释复数的三角形式的定义和表示方法；3.2解释如何将复数转换为三角形式；3.3练习题与讲解。

Step 4：指数形式4.1解释复数的指数形式的定义和表示方法；4.2解释如何将复数转换为指数形式；4.3练习题与讲解。

Step 5：三角形式与指数形式的关系5.1解释三角形式与指数形式之间的转换关系；5.2练习题与讲解。

Step 6：运算法则和性质6.1复数的加法和减法规则；6.2复数的乘法和除法规则；6.3复数的幂运算规则；6.4复数的共轭和模长的计算；6.5练习题与讲解。

Step 7：应用实际问题7.1解释如何将复数的三角形式和指数形式应用于实际问题；7.2解答一些实际问题，并帮助学生理解如何运用三角形式和指数形式解决问题；7.3练习题与讲解。

Step 8：总结与评价总结本节内容，并进行班级讨论和答疑解惑。

教学方法：1.讲授法：通过讲解理论知识，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的概念和定义。

2.演示法：通过示例演示如何将复数转换为三角形式和指数形式。

3.练习法：通过练习题的讲解和解答，巩固学生对知识点的理解和运用能力。

4.案例分析法：通过解答实际问题，帮助学生理解复数的三角形式和指数形式的实际应用。

复数的三角形式。教案

复数的三角形式。

教案删除明显有问题的段落小幅度改写：课题：复数的三角形式课型：新授第1课时教学目标：1.知识目标：掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化。

2.能力目标：培养学生的转化、推理及运算能力。

3.情感目标：通过研究本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美。

教学任务分析及教学策略：通过演绎、推理、计算使学生掌握三角两种形式的互化。

教学用具：多媒体。

本节课在学科知识体系中的地位和作用：复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华。

教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。

另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础。

教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会、研究。

教学中注意教材的内容设置，把教材、分析教材、灵活处理教材与学生的实际相结合。

可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。

教学内容与步骤：一、复1.在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量OZ。

2.以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。

适合于≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。

记作：argz。

复题：已知a∈R+，求a，-a，ai，-ai的辐角主值。

二、新课复数的三角形式定义：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=√(a²+b²)，cosθ=a/r，sinθ=b/r，tgθ=b/a。

把Z=r(cosθ+isinθ)叫复数的三角形式，Z=a+bi叫复数的代数形式。

复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正。

教学方法：看图回答、发现、根据三角形式的特点。

教学手段：数形结合。

巩固练：（略）例题1、把下列复数化为三角形式：1)√3+1题目：把复数2(cos7π/6+isin7π/6)化成代数形式练：求复数1√3-i的辐角。

9.4复数的三角形式(第1课时)高一数学(沪教版2020必修第二册)

，
故答案为：

．

．
i)=2(cos

+i

ⅈ

)，
4.已知复数 1 = − 3 + ，若复数z满足2iz=z1，则复数z的辐角主值为
．
【解析】解：∵ = − + ⅈ ，2iz=z1，
− +ⅈ
ⅈ
(− +ⅈ)(−ⅈ)
=
∴=
=
ⅈ(−ⅈ)

故复数z的辐角主值为．
+ 12 = 2, cos =
+ 12 = 2, cos = −
1
2
=−
2
, sin
2
3
.因此，用三角形式表示－1＋i，有−
4
=
1
2
=
1+ =
2
, 为第二象限角，故辐角主值为
2
3
3
2 cos 4 + sin 4
=
（３）－１的模 = −1 2 + 02 = 1, −1所对应的点（－１，０）在 x 轴的负半轴上，故辐角主值为
一对应，复数z有向量 a, b 的坐标
唯一确定，我们知道向量也可以由
它的大小方向唯一确定，那么能否
借助向量的大小和方向这两个要素
来表示负数呢？如何表示？
思考：你能用向量 OZ 的模和角来表示负数z吗？
记向量的模 OZ a bi r 由图可以得到：
a r cos

第 9章复数
9.4复数的三角形式（第1课时）
学习目标
1.了解复数三角表示式的推导过程，

复数的三角形式教案

复数的三角形式教案教学目的：使学生理解复数三角形式的意义，掌握复数三角形式的特点。

以及复数的代数形式与三角形式的互化。

重点：复数的三角表示，复数的三角形式与代数形式的互化。

教学过程：复习，引入。

师：什么是复数？生：形如：bi a + ),(R b a ∈的数叫做复数。

（板书bi a + ),(R b a ∈）师：对。

那么复数可用什么几何方法来表示呢？生：复平面内的点和向量来表示。

师：对。

由复数的定义知，复数与一对有序实数),(b a 一一对应，故我们借用平面直角坐标系来表示复数，建立了复平面，复数与复平面内点建立了一一对应关系；复数在复平面内用点表示以后，我们又用向量来表示复数，那么，对于复数bi a z +=在复平面内用点Z 来表示以后，它所对应的向量怎样表示？生：用以O 为起点，Z 为终点所成的向量 y OZ 表示。

（板书图1） Z ),(b ao x图1师：对。

这样的话复数bi a z +=与复平面的点Z 及向量OZ 就建立了一个一一对应的关系：板书：复数bi a z +=点Z ),(b a 向量OZ问答1：复数bi a z +=用向量表示以后，向量OZ 的模r 就是复数的模。

并且 =r 22b a +2：（对照图1），向量OZ 是不是可以看作是一个以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ对应的量？生：可以。

二、新课1、给出辐角定义：（板书：辐角的定义）我们把以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ，叫做复数bi a z +=的辐角。

图2 师：请大家思考，引入辐角θ以后，复数可由哪些量来确定？生：辐角θ和模r 。

师：辐角θ是唯一的吗？为什么？生：不是。

因为以x 轴为始边OZ 为终边的角有无数个，它们相差π2的整数倍。

师：对，但应该说不为零的复数的辐角；那么对于复数0=z ，我们知道它对应的向量是零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。

高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式

高一数学课程教案复数的三角形式与指数形式高一数学课程教案：复数的三角形式与指数形式一、引言在高一数学课程中，复数是一个重要的概念。

复数可以用不同的表示形式来进行运算和分析，其中最常见的是三角形式和指数形式。

本教案将重点介绍复数的三角形式和指数形式的概念、性质以及相互转化的方法。

二、复数的三角形式1. 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的三角形式复数的三角形式用模长和辐角来表示，表示为r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

3. 模长和辐角的计算方法- 模长的计算：复数z的模长记作|z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中a为实部，b为虚部。

- 辐角的计算：复数z的辐角记作∠z，计算公式为tanθ = b/a，其中θ为辐角。

4. 复数的三角形式与直角坐标系的关系复数的三角形式与直角坐标系中的点之间存在一一对应关系。

复数a+bi可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中x=a，y=b。

而直角坐标系中的点(x,y)也可以表示为复数a+bi，其中a=x，b=y。

5. 复数的乘法和除法运算- 两个复数的乘法：设复数z₁=r₁(cosθ₁ + isinθ₁)，复数z₂=r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，则它们的乘积为z₁z₂=r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))。

- 两个复数的除法：设复数z₁=r₁(cosθ₁ + isinθ₁)，复数z₂=r₂(cosθ₂ + isinθ₂)，则它们的商为z₁/z₂=(r₁/r₂)(cos(θ₁-θ₂) + isin(θ₁-θ₂))。

三、复数的指数形式1. 复数的指数形式复数的指数形式用指数函数表示，表示为re^(iθ)，其中r为模长，e 为自然常数的底数，θ为辐角。

2. 模长和辐角的计算方法模长和辐角的计算方法与复数的三角形式相同。

复数的三角形式与指数形式详细教案

因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
幅角θ与虚数单位i是相加的关系会怎样？
先考察模为1的复数
如果写成的形式
一方面，由于
与的形式差别不是很大，
其次
在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？
我们暂时将形式化地看做r与θ的“二元函数”
显然
把它们代入复数的代数形式得：
4.1、复数的三角形式
这样，我们把叫做复数a+bi的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。
所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。
4.1、复数的三角形式
一、复数的幅角与模
我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如右图所示）
这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。
x
y
同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。
或
关于自然对数的底e和圆周率π，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！

复数的三角表示教学设计

7.3.1复数的三角表示式教学设计一、教材分析本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第三节第一课时《复数的三角表示式》，主要内容是介绍复数的三角表示式.复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，它沟通了复数与平面向量、三角函数等数学分支之间的联系，可以帮助我们进一步认识复数，也为解决平面向量、三角函数和一些平面几何问题提供一种重要途径;进一步地，还为今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础、可见本节知识起着承前启后的作用.由于复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，因而复数的三角表示是本节的教学难点，通过本节的学习，侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养。

二、学情分析：在前面已经学习了复数的代数形式、平面向量以及三角函数，相信学生在学习复数的三角表示式时还是比较顺利的,也是很感兴趣的. 在具体的学习过程中学生可能会在以下两方面感觉有困惑:一是对复数的辐角与辐角主值的区分与理解;二是由复数的代数形式向三角形式转化时辐角主值的确定.三、教学三维目标和核心素养目标1、知识与技能目标：让学生能够了解复数的三角形式，了解复数代数形式与三角形式的相互转化，进一-步加强学生对复数的理解.2、过程与方法目标：通过对复数三角形式的学习,向学生渗透数形结合、分类讨论、类比与化归等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观目标：情感态度价值观：在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.4.数学学科素养：（1）逻辑推理：能根据复数的几何意义，推出复数的三角表示式中的模和辐角θ;（2）数学运算：复数复数的三角表示式中的模和辐角θ;（3）数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合.四、教学目标和核心素养评价分析1.了解复数的三角形式;能辨认复数的三角形式的结构特征；2.了解复数代数形式与三角形式的相互转化：能根据复数的代数形式得出复数三角表示的模和辐角θ; 能把复数的三角式表示，化为复数的代数式.五、教学重难点重点：（1）推导复数的三角表示式（2）复数的代数形式化为复数的三角表示式；难点：复数代数形式和三角形式的互化.六、教学过程（一）复习回顾，引入新课教师：我们知道复数可以用(,)z a bi a b R =+∈的形式来表示，复数z a bi =+与复平面内的点(,)Z a b 一一对应，与平面向量(,)OZ a b =也是一一对应的，借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？复习：回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点(,)P x y ，设P 到原点O 的距离OP r =，那么怎样用角θ和r 表示,x y ？学生：r y =θsin ；rx =θcos 得θsin r y =；θcos r x = （二）预习课本，探究引入新课教师：复数可以用(,)z a bi a b R =+∈的形式来表示，复数z a bi =+与复平面内的点(,)Z a b 一一对应，与平面向量(,)OZ a b =也是一一对应的，如图，你能用向量OZ 的模r 和以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角θ来表示复数z 吗？学生：向量OZ 在平面直角坐标系内对应的点(,)Z a b 的三角表示类比得到复数Z 在复平面内对应的点(,)Z a b 的三角表示cos ,sin .a rb r θθ=⎧⎨=⎩ 教师:任何一个复数i z a b =+都可以表示成(cos isin )r θθ+的形式.其中r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数i z a b =+的辐角.(cos isin )r θθ+叫做复数i z a b =+的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，i a b +叫做复数的代数表示式，简称代数形式.教师:z=(cos isin )r θθ+的结构有哪些特点？学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.提出问题：① 复数的模r 的计算；② 式中的三角函数的角是不是同一个角；③ cos ,sin θθ的顺序；④ cos θ和sin i θ之间的符号.目标：深刻认识复数的三角表示，更容易辨认复数的三角表示的结构.学生明确:①r 是复数的模，即22b a r +=，②式中的三角函数是同一个辐角值θ的余弦和正弦;③cos θ在前，sin θ在后；④cos θ和sin i θ之间用“+”连接.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”.教师:辐角的理解要注意什么呢？学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.目标：理解复数中的辐角的意义.提出问题：①辐角θ的意义是什么？②辐角θ是唯一的吗？③教科书中对辐角θ的范围有什么规定？学生明确:① θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角;② 任意一个不为零的复数，其辐角的值有无数多个，且这些辐角的值相差2π的整数倍，例如1cos0sin0cos2sin 2...i i ππ=+=+=③ 教科书中规定的辐角主值区间为[)0,2π，保证复数的代数形式与复数的三角形式一一对应.教师:将复数的代数形式化为三角形式，主要确定哪些元素？学生明确:将复数的代数形式化为三角形式，主要确定两个元素：一是复数的模，二是复数的辐角。

《复数三角形式的运算》教学设计

《复数三角形式的运算》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解复数的三角形式的定义。

掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方运算规则。

能够熟练运用复数三角形式进行运算，并解决相关问题。

2、过程与方法目标通过探究复数三角形式的运算，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

经历从复数的代数形式到三角形式的转化过程，提高学生的数学转化思想。

3、情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。

二、教学重难点1、教学重点复数三角形式的乘法、除法、乘方运算规则。

运用复数三角形式进行运算。

2、教学难点复数三角形式乘法、除法运算规则的推导。

理解复数三角形式运算的几何意义。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过复习复数的代数形式以及复数的模和辐角的概念，引出复数的三角形式。

例如，给出复数 z ＝ 3 ＋ 4i，引导学生求出其模和辐角，进而引出复数的三角形式 z ＝5(cosθ ＋isinθ)，其中θ ＝ arctan(4/3)。

2、讲解复数三角形式的定义结合图形，详细讲解复数三角形式的定义：设复数 z ＝ a ＋ bi，它的模｜z| ＝ r ＝√（a²＋ b²)，辐角为θ（以 x 轴正半轴为始边，向量Oz 为终边的角），则复数 z 可以表示为 z ＝r(cosθ ＋isinθ)，这就是复数的三角形式。

强调 r 和θ 的取值范围，r ≥ 0，θ ∈ R。

3、探究复数三角形式的乘法运算设 z₁＝ r₁(cosθ₁＋isinθ₁)，z₂＝ r₂(cosθ₂＋isinθ₂)，引导学生推导 z₁z₂的结果。

＼＼begin{align}z₁z₂&＝r₁(cosθ₁＋isinθ₁)×r₂(cosθ₂＋isinθ₂)＼＼＆＝r₁r₂(cosθ₁cosθ₂ sinθ₁sinθ₂＋i(sinθ₁cosθ₂＋cosθ₁sinθ₂)）＼＼＆＝r₁r₂(cos(θ₁＋θ₂) ＋isin(θ₁＋θ₂)）＼end{align}＼通过推导，得出复数三角形式乘法运算规则：模相乘，辐角相加。

《复数的三角形式》说课稿

《复数的三角形式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“复数的三角形式”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“复数的三角形式”是高中数学选修2-2 中复数这一章节的重要内容。

复数的三角形式将复数的代数形式与几何意义紧密结合，为进一步研究复数的运算和应用提供了新的工具和方法。

通过本节课的学习，学生能够更加深入地理解复数的本质，掌握复数的三角形式的表示方法和运算规律，为后续学习复数的乘除法运算、棣莫弗定理等打下坚实的基础。

同时，复数的三角形式在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用，能够培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了复数的代数形式及其四则运算，对复数的几何意义也有了一定的了解。

但是，复数的三角形式对于学生来说是一个全新的概念，其表示形式和运算规则较为复杂，学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。

此外，学生的抽象思维能力和空间想象能力还有待进一步提高，在理解复数的三角形式与复数的几何意义之间的关系时可能会遇到障碍。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解复数的三角形式的定义，掌握复数的三角形式的表示方法。

（2）掌握复数三角形式与代数形式的互化方法。

（3）能够运用复数的三角形式进行复数的乘法和除法运算。

2、过程与方法目标（1）通过类比三角函数的定义，引导学生探究复数的三角形式的定义，培养学生的类比推理能力和探究精神。

（2）通过复数三角形式与代数形式的互化练习，提高学生的运算能力和数学思维能力。

（3）通过运用复数的三角形式解决实际问题，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养学生的科学态度和创新精神。

（2）通过探究复数的三角形式，激发学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四、教学重难点1、教学重点（1）复数的三角形式的定义和表示方法。

3 复数的三角形式及其运算一等奖创新教案(2课时)

3 复数的三角形式及其运算一等奖创新教案（2课时）10.3复数的三角形式及其运算第二课时教案教学课时：共2课时（第2课时）教学目标：1.能准确记住复数三角形式的乘法、除法运算法则公式，并会用文字语言对公式含义进行说明，知道复数三角形式的乘法、除法运算结果的几何意义，知道复数三角形式的乘法、除法运算的意义．2.结合复数三角形式的乘法与除法法则的推导过程，培养学生的数学运算能力与数学运算、逻辑推理核心素养，进一步体会数形结合思想的应用．3.感受转化思想方法在研究数学问题中的作用，培养学生不畏困难、勇于探索的思想品质．教学重点：复数三角形式乘法、除法运算法则的推导与法则的应用意识．教学难点：复数三角形式乘法、除法运算结果的几何意义的认识，除法运算法则的推导方法．教学过程：一、情境与问题问题1：如何进行复数代数形式的乘法、除法运算？【学生活动】：思考并回忆乘法、除法的运算方法．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘除法．所以可以通过回忆，引入本节的学习内容．二、新知探究问题1：设复数．【学生活动】：将复数写成代数形式，利用复数的乘法运算公式，计算．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘积，所以可以通过把三角形式转成代数形式，计算乘积，自己推导出三角形式的乘积公式．问题2：结合复数三角形式的乘法运算公式，两个复数相乘的几何意义是什么？【学生活动】观察公式，思考并讨论两个复数相乘的几何意义．【设计意图】引导学生结合图形，体会复数乘法的几何意义．使学生进一步感受复数的代数形式、三角形式、几何表示之间的联系．问题3：两个复数三角形式的乘法及其几何意义是否可以推广到有限个复数的三角形式相乘？【学生活动】思考并讨论．【设计意图】引导学生对两个复数三角形式的乘法及其几何意义进一步思考，并加深理解．问题4：如果非零复数z的三角形式为，你能不能写出的三角形式，并求出的值？【学生活动】学生思考并总结．【设计意图】通过计算这两个值，为下面推导复数三角形式的除法做铺垫．问题5：阅读教材46页例2之前，思考两个复数的三角形式的除法及其几何意义是什么？【学生活动】学生阅读教材并思考问题．【设计意图】复数的三角形式的除法推导对学生来说有难度，可以通过阅读教材的方法，达到理解的目的．三、例题示范例1（教材46页例2）考查意图：考查对复数三角形式乘除法的理解，数学运算能力．思路分析：将复数化成三角形式，利用三角形式的乘除法进行运算．解：解法评析：将复数化成三角形式，利用三角形式进行乘除运算，有时可以简化运算过程．例2：（教材47页例3）考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解，感受复数三角形式运算的实际应用．思路分析：将图形放在坐标系内，把点的坐标与复数联系在一起．利用复数的乘法，通过证明乘积的辐角为直角证明结论．解：假设每个正方形边长为1，建立坐标系．分别为复数3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此是（3+i）（2+i）（1+i）的一个辐角．又因为（3+i）（2+i）（1+i）=10i，而，所以解法评析：利用复数的三角形式，建立复数与角之间的联系．四、知能训练1、教材48页习题10-3A第5题、49页习题10-3B第3题、第4题、第5题考查意图：复数的三角形式的乘除法运算答案：10-3A第5题：10-3B第3题、第4题略10-3B第5题：162、教材48页习题10-3A第7题、49页习题10-3B第1题、教材48页习题10-3C第1题考查意图：复数的三角形式乘法的几何意义答案：10-3A第7题：10-3B第1题：不成立，因为．10-3C第1题：3、教材48页习题10-3C第2题考查意图：利用复数的三角形式乘法做开方运算．答案：1，五、归纳总结1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式的乘除法及几何意义．2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合、数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．3、应注意的问题：复数有代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．5、作业建议：48页习题10-3A第5题、第7题.49页习题10-3B第1题、第3题、第4题、第5题．49页习题10-3C第1题、第2题.10.3复数的三角形式及其运算第一课时教案教学课时：共2课时（第1课时）教学目标：1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．教学过程：一、情境与问题问题1：设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？问题2：记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．问题3：小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．【学生活动】：1、阅读教材43页尝试与发现．2、回答文章中提出的问题．3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．【设计意图】：引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．二、新知探究问题1：是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．问题2：复数三角形式的定义是什么？【学生活动】尝试总结复数三角形式的定义．【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．问题3：辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．【学生活动】思考并讨论．【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？【学生活动】学生思考并总结．【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．三、例题示范例1（教材44页例1）考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．解：（1）；（2）；（3）．解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．例2：（教材48页习题10-3A第一题）把下列复数化为代数形式．考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．思路分析：打开括号，直接整理即可．解：解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．四、知能训练1、教材48页习题10-3A第2题、第6题考查意图：复数的辐角2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B 第2题考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．五、归纳总结1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．5、作业建议：48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，49页习题10-3B第2题。

《复数的三角表示式》教学设计

OZ OZ 第七章复数7.3.1 复数的三角表示式教学设计一、教学目标1. 掌握复数的三角表示式及相关概念.2. 掌握复数的三角形式与代数形式的互化.3. 了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系.二、教学重难点1. 教学重点复数三角形式的有关概念，复数的代数形式与三角形式的互化.2. 教学难点根据需要把复数的代数形式表示成三角形式及其反向应用. 三、教学过程（一）探索新知探究一：复数的三角形式一般地，任何一个复数 z ＝a ＋b i 都可以表示成 r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以 x 的非负半轴为始边，向量→ 所在射线(射线 OZ )为终边的角，叫做复数 z ＝a ＋b i的辐角，r (cos θ＋isin θ)叫做复数 z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.复数三角式的特征：有三个特征：(1)r ≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与 isin θ之间用“＋”号连接.探究二：辐角与辐角主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍.复数 0 的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在0 ≤θ< 2π 范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z ，即0 ≤ arg z < 2π .辐角和辐角主值的区别与联系：（1）区别：辐角θ是指以 x 轴的非负半轴为始边，以复数 z 所对应的向量→所在射线(射线OZ 1 OZ 2 OZ 1 OZ )为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.（2）联系：θ＝2k π＋arg z ，k ∈Z .探究三：复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].复数乘法运算三角表示的几何意义：复数 z 1，z 2 对应的向量为 → ，→ ，把向量 → 绕点 O 按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0， OZ 1 → OZ 2 OZ 1→ → 就要把OZ 1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的 r 2 倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是积 z 1z 2．探究四：复数三角形式的除法两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. r 1 cos θ1＋isin θ1 ＝r 1[cos(θ －θ )＋isin(θ －θ )]. 1 2 1 2 r 2 cos θ2＋isin θ2 r 2复数除法运算三角表示的几何意义：复数 z 1，z 2 对应的向量为 → ，→ ，把向量 → 绕点 O 按顺时针方向旋转θ2，再把它的1 → → z 1 模变为原来的，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是商 . r2 z 2（二）课堂练习1. 将复数 4 ⎡cos ⎛ -π ⎫ + i sin ⎛ - π ⎫⎤ 化成代数形式，正确的是( )⎢ 2 ⎪ 2 ⎪⎥ ⎣ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎦ A.4B.-4C. 4iD. -4i答案：D解析： 4 ⎡cos ⎛ - π ⎫ + i sin ⎛ - π ⎫⎤ = 4[0 + i(-1)] = -4i .故选 D. ⎢ 2 ⎪ 2 ⎪⎥ ⎣ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎦ 2. 复数sin 45︒ - i cos 45︒ 的辐角的主值是( )A.45°B.135°C.225°D.315° 答案：D 解析： r == 1 ， cos θ= 2 ， sin θ= - 22 ，∴辐角的主值θ= 315︒ .故 2 ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 2 2 2 ⎪ + - 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭选 D.3. 4(cos π + i sin π) ÷ 2 ⎛ cos π + isin π ⎫ = ( ) 33 ⎪ ⎝⎭ A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i答案：C解析：4(cos π + isin π) ÷ 2 ⎛ cos π + i sin π ⎫ = 2[cos ⎛ π - π ⎫ 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭+ ⎛ - π ⎫⎤ = ⎛2π + isin 2π⎫ = -1+ 3i .故选 C. isin π 3 ⎪⎥ 2 cos 3 3 ⎪ ⎝ ⎭⎦ ⎝ ⎭（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1. 复数三角形式的表示式；2. 复数的辐角主值与辐角；3. 复数三角形式的乘法；4. 复数三角形式的除法.四、板书设计7.3.1 复数的三角表示式1. 复数三角形式的表示式；2. 复数的辐角主值与辐角；3. 复数三角形式的乘法；4. 复数三角形式的除法.。

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