复数的三角形式的运算(一) 教案示例

复数的三角形式的运算(一)·教案示例

目的要求

1．掌握复数三角形式的乘法运算法则．

2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用．

内容分析

1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系．

2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]

即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和．

上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主

值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232

arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是

arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数)

其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)．

3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下：

在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则

按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量

就表示积z1z2．

也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小．

4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为

r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn)

＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)．

可以用数学归纳法说明：

1°当n ＝2时，乘法公式成立．

2°假设n ＝k(k ≥2)时，乘法公式成立，即

r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ1)·…·rk(cos θk ＋isin θk)

＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]

则n ＝k ＋1时，有

r1(cos θ1＋isin θ2)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rk(cos θk ＋isin θk)

·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)

＝r1r2…rk[cos(θ1＋θ2＋…＋θk)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk)]

·rk+1(cos θk+1＋isin θk+1)

＝r1r2…rk+1[cos(θ1＋θ2＋…＋θk+1)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θk+1)]即复数的乘法公式也成立． 由1°、2°可知，复数乘法公式对一切不小于2的正整数都成立．

相应地，此时积的辐角主值与各复数辐角主值的关系是

arg(z1z2…zn)＝argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π(k 取某一整数)其中整数k 使argz1＋argz2＋…＋argzn ＋2k π∈[0，2π)．

5．本课时的重点是两个复数的乘法法则、复数乘法的几何意义，难点是乘法的几何意义及其应用． 教学过程

1．复习引入

(1)复数的三角形式、模、辐角．

(2)复数代数形式的乘法法则．

2．提出问题

(1)三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数形式的乘法法则得出？

(2)三角形式表示的两个复数的乘法，是否有用r1、r2和θ1、θ2表示的简单公式？乘积的模与r1、r2有何关系？乘积的辐角与θ1、θ2有何关系？

3．讲解新课

(1)(学生计算得出)三角形式下两复数的乘法公式和乘法法则，解决前面提出的问题．

(2)提出新的问题：法则中的“辐角”能否换成“辐角主值”？给出两个三角形式的复数，如何求积的辐角主值？(在学生讨论后加以解决)

(3)讲解复数乘法的几何意义．

(4)两个复数相乘的公式推广到有限个复数相乘，指出其证明方法，证明过程留给学生课后去完成．

4．应用举例

(1)补充例题：求arg(3＋i)＋arg(2＋i)的值．

解法一：设α＝arg(3＋i)，β＝arg(2＋i)，则有

tan tan 0α＝，β＝，α、β∈，π13122⎛⎝ ⎫⎭⎪

∴α＋β＝αβαβ＝×＝tan()1tan tan tan tan +-+-1131211312

∵0＜α＋β＜π

∴α＋β＝

π，即＋＋＋＝π．解法二：∵＋十＝＋＝π44

4arg(3i)arg(2i)arg[(3i)(2i)]arg(55i)

又＋、＋∈，π∴＋＋＋＝π．arg(3i)arg(2i)0arg(3i)arg(2i)44⎛⎝ ⎫⎭

⎪

点评：解法二利用复数乘积的辐角(主值)与原来两个复数辐角(主值)的关系求解．这种方法用在三个以上复数的乘积中，效果则会更加明显．

(2)讲评例2．指出与复数对应的向量旋转，即是两个复数的乘法问题，这是复数乘法几何意义的逆用．

(3)讲评例3．

这是复数乘法几何意义的具体应用．

5．课堂练习

教科书第217页练习第1题．

补充练习：设复数z1＝1－2i 、z2＝1＋i 、z3＝1－3i 的辐角主值分别是α、β、γ，求α＋β＋γ的值．

6．课堂小结

(1)复数三角形式的乘法法则．

(2)复数乘法的几何意义．

布置作业

教科书习题5．6第1、2、4(1)题．