青年教师解题能力大赛(数学试题)

青年教师解题能力大赛数 学 试 题第Ⅰ卷 (选择题 共50分)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|1}M x x ==，集合{|||1}N x a x ==，若N M ⊆，那么由a 的值所组成的集合的子集个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 定义运算a b ad bc c d =-，则满足21i zz=--的复数z 是（ ） A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --3. 函数x x y cos -=的部分图像是（ ）4. 若函数321()'(1)53f x x f x x =--++，则'(1)f 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．6D ．6-5. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A ．)33(8+B. C.8(2D. 6. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）..A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=8. 在ABC ∆中，若cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，则该ABC ∆的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形9.过双曲线12222=-by a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则⋅的值是（ ）A. 22b a +B. ab 2C. 2aD. 2b10.已知1x 是方程lg 2011x x =的根，2x 是方程x ·10x =2011的根，则x 1·x 2等于（ ）A ．2009B ．2010C ．2011D ．2012※ 请把选择题答案填写在下面的表格中.第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11．圆22(3)(3)4x y -+-=的圆心到直线0kx y -=k 的取值范围为____________．BCDOAP12. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 .13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水22t 升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.14. 已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的最小值是_________． 15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．） A ．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．B ．（不等式选讲选做题）若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.C ．(几何证明选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线P BC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）规定记号“∆”表示一种运算，即a b a ∆=，记()()(sin 2)cos2f x x x =∆.（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求函数()y f x =的最小正周期；（3）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求()()()00023f x f x x ++的值.17. （本小题满分12分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图像经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，求n T .18. （本小题满分12分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求证：DM EB ⊥；（2）求二面角M BD A --的余弦值． 19. （本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥. (1)求动点Q 的轨迹的方程；(2) 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，．求证：直线MN 必过定点)0,3(R ．21. （本小题满分14分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与0的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．参考答案1. D. 由已知N M ⊆，有N =∅和N ≠∅两种情况：若N =∅，那么方程||1a x = 无解，B此时0a =；若N ≠∅，则有1||0x a =>，故11a=，即1a =．所以由a 的值所组成的集合为{0,1}，有2个元素．故子集个数为224=个．2. C. 依题意，得()12i z +=-，即()()()1121i i z i +-=--，得1z i =-+.3. D.令x y x y cos ,21=-=，显然1y 为奇函数，2y 为偶函数，所以，函数12cos y y y x x ==-是奇函数，否定A ，C; 取1,x =-有cos10y =>，此时否定B ，从而，应当选D .4. C.由321()'(1)53f x x f x x =--++，∴2'()2'(1)1f x x f x =--+，∴2'(1)(1)2'(1)(1)1f f -=----+，解得'(1)2f -=-，∴2'()41f x x x =++，∴'(1)6f =.5. A. ∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,∴)33(842360sin 42122+=⨯⨯+︒⨯⨯=S . 6. C. 注意到已知不等式等价与33sin sin cos cos θθθθ+>+．显然3()f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，于是有不等式(sin )(cos )f f θθ>，从而，得sin cos θθ>，再结合()0,2θπ∈，便得544ππθ<<．故选C. 7. D. 根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D 成立. 8. B ．注意到内角和定理，B C A π+=-，于是cos(2)2sin sin cos()2sin sin cos()2sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()cos 0.B C A B B A A BA B A B A B A B A B A B C π++=+-+=--+=--+=-+=< 显然，说明角C 为钝角． 9. C . 设),(y x p ，则(,),(,),a aM y y N y y b b - 于是(,0)(,0)a a PM PN y x y x b b⋅=-⋅-- 22222222222221()()()a a a a b y x y x x y b x a y a b b b b b=---=-=-==． 10. C. 由已知得2011lg x x=，令1lg y x =， 22011y x=.作出两个函数的图像，其交点横坐标为 1x .同理令310x y =，交2y 的横坐标为2x .由对称性知2112011x y x ==，故x 1·x 2=2011. 11. 1,2.2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 圆心坐标为(3,3)<，解得122k <<，应当填1,2.2⎛⎫⎪⎝⎭ 12.2.9基本事件Ω为由直线6x y +=与x 轴、y 轴围成的三角形为图中OCD ∆，其面积为166182S =⨯⨯=，其中区域A 为OBE ∆，面积为114242S =⨯⨯=，所以142189S P S ===.填2.913. 4．设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设知，2217289200342220022y t t t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()0t >，当178.52t ==时，y 取最小值，此时共放浴用水348.5289⨯=升，而2892946565=，故一次至多可供4人洗浴．14. 1. 由题意得正数,a b 满足1ab =,有1b a =,从而1222222111111a a a a a a a a --++=≤=++++，当1,1ab ==时，2211a ba b +++取得最大值１，从而min 1.λ= 15．A. 22(2)4x y +-=，)2,2(πB. 2或8.由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或8.C.. ∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=,在△POD 中由余弦定理得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=.∴PD =16. （1）()sin 22f x x x =1sin 2x x =+；……….5分 （2）因()2sin(2)13f x x π=++，因此()f x 的最小正周期为π； ……….8分（3）由题意，022,32x k πππ+=+即0,12x k k Zππ=+∈；因此()()()00023f x f x x ++=252(sinsin sin )36236πππ+++=+ ……….12分 17. （1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(l o g )(3-=∴x x f ， *)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- . ……….4分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n .nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-. ……….12分18.建立如图所示的空间直角坐标系， 并设22EA DA AB CB ====，则（1）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥； ……….4分（2）设1(,,)n x y z =是平面BD M 的 法向量，则由1n DM ⊥，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n =． 显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． ……….12分19. (1)设取球次数为ξ，则()()11182211110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=. 所以最多取两次的概率14952525P =+=. ……….4分 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. ……….8分 (3)设取球次数为η，则()()218241,2105101025P P ηη=====⨯=， ()88281631010101025P η⎛⎫==⨯⨯+=⎪⎝⎭，则分布列为取球次数的数学期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=. ……….12分20. (1)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)y x x =>．…….6分(2) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线AB 的方程为)1(-=x k y ,则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y（1）—（2）得k y y B A 4=+，即ky M 2=， 代入方程)1(-=x k y ，解得122+=kx M ．所以点Ｍ的坐标为222(1,)k k+． 同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-． 直线MN 的斜率为21k kx x y y k N M N M MN -=--=，方程为 )12(1222---=+k x kkk y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ， 显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R (3,0)． ……….13分 21.（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x=-+， ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞. ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， 列表如下：∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……….6分 （2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>，从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……….10分 （3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+.故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……….14分。