青年教师解题能力大赛(数学试题)

青年教师解题能力大赛

数 学 试 题

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合2{|1}M x x ==，集合{|||1}N x a x ==，若N M ⊆，那么由a 的值所组成的集合的子集个数（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 定义运算

a b ad bc c d =-，则满足21i z

z

=--的复数z 是（ ） A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --

3. 函数x x y cos -=的部分图像是（ ）

4. 若函数3

21()'(1)53

f x x f x x =--++，则'(1)f 的值为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．6

D ．6-

5. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）

A ．)33(8+

B. C.

8(2

D. 6. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）

..

A ．0,

4π⎛⎫

⎪⎝

⎭

B ．3,24ππ⎛⎫

⎪⎝⎭ C ．5,44

ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．5,24ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（ ）

A ．2)(x x f =

B ．x

x f 1

)(=

C ．62ln )(-+=x x x f

D ．x x f sin )(=

8. 在ABC ∆中，若cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，则该

ABC ∆的形状为 ( )

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰三角形

9.过双曲线122

22=-b

y a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于

M 、N 两点，则⋅的值是（ ）

A. 22b a +

B. ab 2

C. 2a

D. 2

b

10.已知1x 是方程lg 2011x x =的根，2x 是方程x ·10x =2011的根，则x 1·x 2等于（ ）

A ．2009

B ．2010

C ．2011

D ．2012

※ 请把选择题答案填写在下面的表格中.

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11．圆2

2

(3)(3)4x y -+-=的圆心到直线0kx y -=k 的取值范围为____________．

B

C

D

O

A

P

12. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 .

13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水2

2t 升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.

14. 已知lg lg 0a b +=，则满足不等式

22

11

a b

a b λ+≤++的实数λ的最小值是_________． 15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．） A ．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨

⎧+==θ

θ

sin 22cos 2y x （θ为

参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．

B ．（不等式选讲选做题）若()5f x x t x =-+-的最小值为

3, 则实数t 的值是________.

C ．(几何证明选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线P BC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到O

D ，则PD 的长为 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）规定记号“∆”

表示一种运算，即a b a ∆=，记

()()(sin 2)cos2f x x x =∆.

（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求函数()y f x =的最小正周期；

（3）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求()()()00023f x f x x ++的值.

17. （本小题满分12分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图像经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记

()*3,.f n n a n N =∈

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n

n

n b b b T a b +++==

21,2，求n T .