重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)

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年重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)

2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE(1)求证:BＥ=CＥ；（2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD.2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点．（1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ；（２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ.(1)当CE=1时,求△ＢCE的面积;（２）求证：BD＝EF+CE．4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF．（1)求证：OＦ∥BC；(２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6．(1）求线段CＤ的长；（2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC.6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°．(１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积;(2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．7、已知：如图，AＢCD中,对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CＤ，连接BF交AD于点E．(１)求证:AＥ=ED；(2)若AB=ＢC,求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形AＢCＤ中,点Ｇ是BＣ延长线上一点，连接AG，分别交BＤ、CD于点E、Ｆ．(１)求证:∠ＤAＥ=∠DCE;（2）当CＧ＝CＥ时,试判断CＦ与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论．９、如图,已知正方形ABCＤ,点E是BＣ上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若ＢE=DF,点P是EF的中点.(1)求证:DＰ平分∠ＡDC;(2)若∠ＡEB＝７5°，AB=2,求△DFP的面积．10、如图,在直角梯形ＡBCD中，ＡD∥BＣ,∠ABC=90°,ＢD=BC，E为CＤ的中点，交BC的延长线于F；（1)证明:ＥＦ=ＥA;（2)过Ｄ作DG⊥BC于Ｇ，连接EG，试证明：EG⊥AF.11、如图,直角梯形AＢCD中,∠DＡB=90°，AB∥CD,AB=AD，∠ABC=60度．以ＡD为边在直角梯形ABＣD 外作等边三角形ADＦ,点E是直角梯形ABCＤ内一点,且∠EAＤ=∠ＥDA＝15°，连接EB、EF.（1)求证：ＥB=EF;（２)延长FE交BC于点G，点G恰好是ＢC的中点,若AＢ＝6，求ＢC的长.12、如图，在梯形ABＣD中，ＡD∥ＢC，ＡB=DC=AD,∠C=6０°,AE⊥BD于点E,F是CＤ的中点,DG是梯形ＡBＣD的高.（1)求证:ＡE=ＧＦ;(2)设AＥ=１，求四边形DEGF的面积．1３、已知，如图在直角梯形ABＣＤ中，ＡD∥ＢＣ,∠ABC=90°,DＥ⊥AC于点F,交BＣ于点Ｇ，交AB的延长线于点Ｅ，且ＡE＝AC,连AG．(1）求证:FＣ=BE;（2)若ＡD=DC=２,求AG的长．1４、如图,直角梯形AＢCＤ中,AＤ∥ＢＣ,∠ABＣ=90°，点Ｅ是ＡB边上一点,AE=BC，DＥ⊥EC,取DC的中点F,连接AF、ＢＦ.（1)求证：ＡD=BE;（２）试判断△ＡBF的形状,并说明理由.15、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣD中,AＢ∥ＣＤ，AＤ⊥DC,AB=BC，且AＥ⊥BＣ．(1)求证：AD=AE；(２)若AD=8,ＤC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形AＢCD中,ＡD∥CB，Ｅ，F分别是BＤ,AＣ的中点,ＢD平分∠ABC.(1)求证:AＥ⊥BD;（2)若AＤ=4，BＣ＝14，求EF的长.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BＣ,∠D=9０°,BE⊥ＡＣ,E为垂足,ＡC=BC.（1)求证：CＤ=BE;（2)若AD=３，DC＝4，求AE.１8、如图，在梯形ABCD中,ＡD∥BＣ,ＡB⊥AC，∠B＝4５°,AD＝1,BC=4,求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC,AＢ＝BＣ=DC，点Ｅ、Ｆ分别在AD、AB上，且.（1）求证:ＢF＝ＥF﹣EＤ；（2)连接ＡC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ＡＣF的度数.20、如图，梯形ABCD中，ＡＤ∥ＢＣ,点E在BC上，ＡＥ=BE，且AＦ⊥AＢ，连接EF．（1）若EF⊥AF,AF＝4，AB=6,求AE的长.(2）若点Ｆ是CD的中点，求证:ＣＥ＝BE﹣AD.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,ＡＢ=CD，对角线AＣ、ＢＤ交于点Ｏ,且AＣ⊥ＢＤ,DH⊥ＢC．（１）求证:DＨ=（ＡＤ+BＣ）;（2)若AＣ=6,求梯形ＡＢCＤ的面积．２2、已知，如图,△AＢC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DG∥BＣ,交ＡB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ，使DE＝DＣ,连接AE,BD．（1)求证:△ＡＧE≌△ＤAB；（2）过点E作ＥＦ∥DB，交ＢC于点F，连AF,求∠AFE的度数.23、如图，梯形ABCＤ中,ＡD∥BＣ,DE＝ＥC，EF∥AB交ＢC于点Ｆ，EF=EC,连接ＤF．(１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AＤ=１，BC=3，DＣ=，试判断△DＣF的形状；（3）在条件（２）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.24、如图，在梯形AＢＣD中,AD∥BC，∠ＡBC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AＤ、DＣ的延长线上，且DE=CF．ＡF交BE于P．（1)证明:△ABE≌△DAF；(2)求∠BPF的度数．２5、如图,在梯形ABCD中，AD∥ＢＣ,ＡＢ=AD=ＤC，BD⊥DC，将BC延长至点Ｆ，使ＣF=CD．（1)求∠AＢC的度数;(2）如果BＣ=8,求△DBF的面积？26、如图,梯形ABＣD中,ＡD∥BC,AB＝DC=１0cｍ,AC交BD于G,且∠ＡGＤ=60°,Ｅ、F分别为CG、ＡB的中点．（1)求证：△AＧD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC,∠AＢC=９０°,AB=ＢC,点E是AＢ上的点，∠ECD=4５°,连接ED，过D作DF⊥B Ｃ于F.（１）若∠BEＣ=75°，FＣ=３,求梯形ＡBCD的周长．(2)求证:EＤ＝BＥ+ＦC．2８、(2０05•镇江)已知：如图，梯形AＢＣD中,AD∥BC,E是AＢ的中点，直线CE交ＤA的延长线于点F．（1）求证:△BCE≌△ＡFE；（2)若AB⊥BC且BＣ=4，AＢ＝6，求EF的长.2９、已知：如图,在梯形ＡBCD中,ＡD∥BC，BC＝DC,CF平分∠BCD,ＤF∥AＢ,BF的延长线交DC于点E. 求证：(1)△BＦC≌△DFC;（2）AD=DＥ;（3）若△DEF的周长为6,AD=2，BＣ＝５,求梯形AＢCD的面积．３0、如图,梯形ABＣＤ中,AD∥BC．∠Ｃ=90°，且AＢ＝ＡD．连接BD，过Ａ点作BＤ的垂线,交BC于E．(1)求证：四边形ABED是菱形；（2)如果EC＝3cm,ＣＤ=4ｃm,求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥ＢC,AB＝ＤＣ，E为AD中点,连接ＢＥ,ＣE(1)求证:ＢE＝CE；(2)若∠BＥC＝90°,过点B作ＢF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G，连接DＧ,求证：BG＝ＤＧ+CＤ．证明：(1）已知等腰梯形ABCＤ中，ＡD∥ＢC,AＢ=DC，E为AＤ中点，∴AＢ=DC，∠ＢＡE=∠CDE,ＡE=ＤE,∴△BAE≌△CDE，∴ＢE＝CＥ;（2)延长CＤ和ＢE的延长线交于H,∵BF⊥ＣD,∠HEC=90°，∴∠EBＦ+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EＢF＝∠ECＨ,又∠BＥＣ=∠ＣEＨ=90°,BＥ=CＥ（已证),∴△BEＧ≌△ＣEH，∴EG=EＨ，ＢG=CH=DＨ+CD,∵△BAE≌△ＣDE(已证）,∴∠AEB=∠GEＤ，∠ＨED＝∠ＡEＢ,∴∠GED=∠HED,又ＥG=ＥＨ（已证),ED=ＥD,∴△ＧEＤ≌△HED,∴DG=DH,∴ＢG=DG+ＣD.2、如图，在直角梯形ＡBＣD中,ＡＤ∥BC,∠ABC=90°,Ｅ为AＢ延长线上一点,连接ED,与BＣ交于点H．过Ｅ作ＣD的垂线,垂足为CD上的一点F，并与BＣ交于点G.已知G为CH的中点.（1）若ＨE＝HＧ,求证:△EBＨ≌△GＦC;(2)若CD＝4,BH=1，求AD的长．(1）证明:∵HE＝HG,∵∠HGE＝∠FＧC,∠BＥH=∠HEG,∴∠BEH＝∠FGＣ，∵G是ＨC的中点，∴HG=ＧC，∴HE＝GＣ,∵∠HBE=∠CFＧ＝90°.∴△ＥBH≌△GFC；(2)解：∵EＤ平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°，∴AＤ=DF，∵DＦ＝DC﹣ＦＣ，∵△EＢH≌△ＧFC,∴FC＝BＨ=1,∴AD=4﹣1=3．３、如图，梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=BＣ，∠DAB＝6０°,Ｅ是对角线AC延长线上一点,Ｆ是ＡD延长线上的一点，且EB⊥ＡB，ＥF⊥AF.（1）当CE＝１时,求△ＢCE的面积；(2)求证:BD=EＦ＋ＣE.(2)过E点作EM⊥ＤB于点Ｍ,四边形FＤME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE＝90°,∠BＥC＝∠ＭBＥ=６０°,△BME≌△EＣB，BM=CＥ，继而可证明BＤ=DM＋BM=EF+CＥ.（1)解:∵AD=CD，∴∠DAC=∠ＤＣA,∵DC∥AB,∴∠ＤCA=∠ＣAB,∴，∵DC∥AＢ，ＡＤ＝BC，∴∠ＤＡB=∠ＣBA＝6０°,∴∠ACＢ＝180°﹣（∠ＣAＢ+∠CＢA）＝９０°,∴∠BＣE=18０°﹣∠ACB=９０°,∵ＢE⊥AB,∴∠ABE=90°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC=30°,在Ｒt△BCE中，BE=2ＣＥ=2，,∴…(5分)(２）证明:过Ｅ点作ＥＭ⊥DＢ于点M，∴四边形FDMＥ是矩形,∴FE＝ＤM，∵∠BME=∠BCE=９0°,∠ＢEC=∠ＭBＥ=60°,∴△BME≌△EＣB，∴BM=CE,∴ＢＤ=DM+BＭ=ＥＦ+CE…（1０分)4、如图.在平行四边形ＡBCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作ＥF∥CA,交CD于点Ｆ，连接OＦ.（1）求证:ＯF∥BC;（2)如果梯形OBＥＦ是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明．解答：(1）证明：延长EF交AＤ于G（如图),在平行四边形ABＣD中，AD∥BC,AD=ＢC，∵EＦ∥CA，EG∥ＣＡ，∴四边形ＡＣEG是平行四边形，∴ＡG=ＣＥ,又∵,ＡD=BC，∴,∵ＡＤ∥BＣ，∴∠ADC=∠ECF,在△CEＦ和△DＧF中,∵∠CＦE=∠DFＧ,∠ＡDC＝∠ECF，CE=DG,∴△CEＦ≌△DGＦ(AＡＳ）,∴CF＝DＦ，∵四边形ABCＤ是平行四边形,∴ＯF∥BE．（2)解：如果梯形OBEＦ是等腰梯形，那么四边形ABCＤ是矩形.证明:∵OF∥CE，EF∥ＣO，∴四边形OCEＦ是平行四边形,∴ＥＦ=ＯC，又∵梯形ＯBＥＦ是等腰梯形，∴BO=ＥF,∴OB＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形,∴ＡC=2ＯC,BD＝２BO.∴AＣ=BD，∴平行四边形AＢCD是矩形.５、如图,梯形AＢCD中,AＤ∥ＢC，∠ABC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BＦ交AD的延长线于Ｅ，延长CD交BＡ的延长线于G,且DG＝DE,ＡB=,ＣF＝6．(1)求线段CＤ的长；（2）H在边BF上，且∠HDF＝∠E,连接CＨ,求证：∠BCＨ=45°﹣∠EBＣ．(１）解:连接BD,由∠ＡＢC=９0°，AD∥BＣ得∠ＧAD=９0°,又∵BF⊥ＣD,∴∠DFＥ=90°又∵ＤG=DE，∠ＧＤA=∠EDF,∴△GAD≌△EFＤ,∴ＤＡ=DF,又∵ＢD=BD,∴Ｒt△BAD≌Rt△BFD（HL)，∴BF＝BＡ=，∠ADＢ=∠BＤF又∵CF=６，∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠BD Ｆ=∠CBD ，∴C Ｄ=CB=8.(2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠Ｅ=∠CBF ，∵∠ＨＤＦ=∠E,∴∠HDF=∠ＣBF,由（1)得,∠ADB=∠CBD ，∴∠ＨＤB=∠HB Ｄ,∴ＨD=H Ｂ，由（１）得CD ＝CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△C ＤH ≌△CB Ｈ，∴∠DCH ＝∠BCH ，∴∠BC Ｈ=∠BCD==．6、如图，直角梯形AB ＣD 中,AD ∥BC ，∠B=90°，∠D ＝45°．（１）若AB=6ｃm ，,求梯形ＡBC Ｄ的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ＡＢＣD 的边AB 、BC 、ＣD 、ＤA 上一点,且满足E Ｆ=ＧＨ，∠E ＦH=∠F ＨG,求证：HD=ＢE+BF.解:(1)连AC ，过C 作CM ⊥ＡD 于M ，如图，在Rt △ABC 中,ＡB=6，ｓin ∠ACB==， ∴AC ＝10,∴BC ＝8,在Ｒt △C ＤＭ中，∠D=4５°,∴AD=6+８=14,∴梯形ＡBCD的面积=•（8+１４)•6=66(cm2);（2）证明：过Ｇ作GＮ⊥AD,如图，∵∠D=4５°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN＝ＧＮ，又∵ＡD∥BＣ,∴∠BＦH=∠ＦHＮ，而∠EFH＝∠FHG,∴∠BＦE＝∠ＧHN,∵EＦ=GH,∴Ｒt△BEＦ≌Rt△NGＨ,∴ＢE=ＧＮ，BF=ＨN，∴ＤA=AＮ+DN=AN+DG=BＦ+ＢE.7、已知：如图,▱ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,延长ＣD至F，使DF=CD，连接ＢＦ交AD于点Ｅ．（1)求证:AE＝ＥD；(2）若AB＝ＢC,求∠CAＦ的度数.（1)证明：如图.∵四边形ＡBCD是平行四边形,∴ＡB∥ＣD，ＡB=CD.∵DF=CＤ，∴AB∥DＦ．∵ＤF=CD，∴ＡB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，(2）解:∵四边形ＡBＣD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ＡBCＤ是菱形．∴ＡC⊥BＤ.∴∠COＤ=90°.∵四边形ＡBDF是平行四边形,∴AF∥BD.∴∠CAF=∠ＣＯD=９0°．８、已知：如图,在正方形ＡBCD中,点G是BC延长线上一点，连接AＧ,分别交BD、CD于点E、F. (1）求证:∠DAＥ=∠ＤＣE；(2）当ＣG=CE时，试判断CＦ与EＧ之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.（1)证明：在△DAE和△DCＥ中，∠ADE=∠ＣDE（正方形的对角线平分对角）,ED=DE（公共边）,AＥ=CＥ（正方形的四条边长相等）,∴△ＤAE≌△ＤCE （ＳAS)，∴∠ＤAE=∠ＤCE（全等三角形的对应角相等）;（2）解:如图,由(1)知，△DAＥ≌△DCＥ,∴AE=EＣ，∴∠EAC=∠EＣA(等边对等角)；又∵CG=CE(已知）,∴∠Ｇ＝∠CEG（等边对等角);而∠CEＧ=2∠EＡC（外角定理),∠ＥＣB=2∠CＥG(外角定理），∴4∠EAＣ﹣∠ECA=∠ＡＣB=45°,∴∠G=∠ＣＥG=30°；过点Ｃ作ＣH⊥ＡG于点H,∴∠FCH＝30°,∴在直角△ＥCH中,EH=CH，EG＝２CH,在直角△ＦCH中,CH＝CF，∴ＥG=2×CF=３CF.9、如图,已知正方形AＢCD，点Ｅ是BC上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若BE＝ＤF，点P是EＦ的中点．(1）求证:DP平分∠ADC;(2)若∠AＥＢ=7５°,ＡB=２，求△ＤFＰ的面积.(1）证明:连接ＰC．∵ABCD是正方形,∴∠ＡＢE＝∠AＤF=９0°，AB=AD．∵BＥ=ＤＦ，∴△ＡBＥ≌△AＤＦ.(ＳAS）∴∠BAE=∠DAＦ,AE=AF.∴∠EＡＦ=∠BＡD=９０°．∵P是ＥＦ的中点，∴PA＝EF，ＰＣ=ＥF,∴PＡ=PC．又AD=CD，ＰD公共，∴△ＰAD≌△PCD,（ＳSS)∴∠ADＰ＝∠ＣＤP,即DP平分∠ADC；（２)作PH⊥CF于Ｈ点.∵P是ＥF的中点，∴PH=EC.设EC=x．由(1)知△ＥAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC＝180°﹣4５°﹣75°=6０°,∴EF=2x，FC＝ｘ，BE=2﹣x．在Ｒｔ△ABE中，2２＋(2﹣x）2＝（x)２解得x1=﹣2﹣2（舍去）,ｘ２=﹣2+2.∴ＰH=﹣1+,FD=(﹣2＋2）﹣2＝﹣2+4．∴S△ＤPF=（﹣2+4）×＝3﹣5．10、如图，在直角梯形AＢＣD中，ＡＤ∥BC，∠AＢＣ＝9０°,BD=ＢC,E为CD的中点，交BC的延长线于F; （１）证明:EF=EＡ;（2)过Ｄ作DG⊥ＢＣ于G,连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AＤ∥BC,∴∠DAE=∠F，∠ＡDE=∠FＣE.∵E为CＤ的中点,∴ED=EＣ.∴△ADE≌△FＣE．∴ＥＦ=EA.（5分)(2）解：连接GＡ，∵AD∥BＣ，∠AＢC＝9０°,∴∠ＤAＢ=90°.∵DG⊥ＢC，∴四边形ＡBGＤ是矩形．∴BG=AD,GA=BD.∵BD=BC,∴GA=BC．由(1）得△ADE≌△FCE，∴AD＝FC．∴GF＝ＧC+FC=ＧC+AD＝GC+BG=BC=ＧA.∵由(1）得EF=ＥA，∴EG⊥AF.(5分)11、如图,直角梯形ABCD中,∠ＤAB=90°，ＡB∥CD,AＢ=AD，∠ＡBC=６0度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形AＤF,点E是直角梯形AＢCＤ内一点，且∠EＡD=∠EDA=15°,连接EＢ、ＥF.（１）求证：ＥＢ=EＦ;（2)延长FＥ交BC于点G,点Ｇ恰好是ＢC的中点，若AB=6,求BＣ的长．（１）证明：∵△ADＦ为等边三角形,∴ＡＦ=AD，∠FAD=60°(１分）∵∠DAB=９０°，∠EＡD＝15°,AＤ=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°,AＢ=ＡＦ,(３分)∵AE为公共边∴△FＡE≌△BAE(４分)∴ＥF＝EB（5分）（2)解:如图,连接EC.（6分）∵在等边三角形△ADＦ中,∴FD＝FA，∵∠EAＤ=∠ＥＤA=15°,∴ED=EA,∴EＦ是ＡD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.（7分）由（1)△FＡE≌△BAE知∠EBA=∠ＥＦA=30°．∵∠ＦAE=∠ＢAE=75°，∴∠BEA＝∠BＡE＝∠ＦEA=75°,∴BE＝BＡ=6.∵∠FＥＡ+∠BEA+∠GＥＢ＝１80°,∴∠ＧEB=30°，∵∠ABC＝6０°，∴∠GBＥ=30°∴GE=GB．(8分)∵点Ｇ是BC的中点，∴ＥＧ=ＣG∵∠ＣGE=∠GEＢ＋∠GBＥ=６0°，∴△CEG为等边三角形，∴∠ＣＥG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEＢ=90°(9分)∴CE=，∴BＣ=(10分）;解法二：过Ｃ作ＣＱ⊥ＡB于Q，∵CQ=AB=ＡD=6，∵∠ＡBC＝6０°,∴BC＝6÷=4.1２、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BＣ,AＢ=DC=ＡD，∠C=60°，AE⊥ＢＤ于点E,F是CD的中点,DＧ是梯形ABCD的高．(１)求证：ＡE=GF；(2)设AＥ=1，求四边形DＥGF的面积.(1）证明：∵AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C＝60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ＡBD＝∠ADB=30°.∴∠ＤBC=∠ADB＝30°．∴∠ＢDC＝90°．（1分）由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BＤ的中点，∵F是DC的中点,∴ＥF∥BC．∴EF∥ＡD.∴四边形AEＦD是平行四边形.（3分)∴AE＝ＤＦ(４分）∵F是ＤＣ的中点,DG是梯形ＡBCD的高,∴GF=DF，(5分）∴AE=GF.（6分）（2)解:在Rｔ△AED中，∠ＡDB=3０°,∵ＡE=1,∴ＡD=2．在Rｔ△DGC中∠C＝60°，并且ＤC＝ＡD=２，∴DG＝．(８分）由（１)知:在平行四边形AEFD中EF=AＤ=2,又∵DＧ⊥BC，∴四边形DＥGF的面积=EＦ•DG=.（1０分）13、已知,如图在直角梯形AＢCＤ中,AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BＣ于点G,交AＢ的延长线于点E，且AE=AC，连ＡG.（1）求证：FC＝BＥ；（２）若AD=DC=2,求AG的长.解答:（1）证明：∵∠AＢC=90°，DE⊥AC于点Ｆ,∴∠ABC=∠AFE.∵AC=AE，∠ＥAF=∠CAB,∴△AＢＣ≌△AFE,∴AB=ＡF．∴ＡＥ﹣AＢ=AＣ﹣AF，即FC=BE;（2）解:∵AD=DC=２,ＤF⊥AＣ，∴ＡＦ=AC=AE．∴AG＝CG,∴∠E=３０°．∵∠ＥAD=90°,∴∠ADE＝60°，∴∠FAＤ＝∠Ｅ=3０°,∴FＣ=，∵AＤ∥BC，∴∠ACＧ＝∠FＡD=３0°，∴CG＝2，∴AG=2．14、如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是ＡB边上一点，AＥ＝ＢＣ，ＤE⊥ＥC,取ＤC的中点F，连接AF、BF.(1）求证：AＤ=BE；（2)试判断△ABF的形状，并说明理由.∴∠BAＤ+∠ABＣ=180°,∵∠ABC=９０°,∴∠ＢＡD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEＣ=９0°∵∠ＡEＤ+∠ＡDＥ=90°,∴∠ＢEC＝∠ADE，∵∠ＤAE=∠EBC，AE=BC,∴△EAD≌△EBＣ,∴ＡD=BE．（２)答：△ＡBF是等腰直角三角形．理由是:延长AF交ＢC的延长线于M,∵AＤ∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠ＡFＤ=∠CFM，DF＝FC,∴△ADF≌△MFC，∴AＤ＝CＭ，∵ＡD=BE，∴BＥ=CＭ，∵AE=BC，∴AＢ=BM,∴△ABM是等腰直角三角形，∵△AＤF≌△MＦC，∴AF=FＭ，∴∠ABC＝90°,∴BF⊥AM，BF＝AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形．１５、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣＤ中，AＢ∥ＣD,ＡＤ⊥DＣ,AB=BＣ，且AE⊥BC．(1)求证:AＤ=AＥ;(2)若AD=8，ＤC＝4，求ＡＢ的长．解答：（１)证明：连接AＣ，∵ＡB∥CD，∴∠ACＤ＝∠ＢＡC，∵AB=BＣ,∴∠ACＢ＝∠ＢＡC,∴∠AＣＤ=∠ＡCＢ，∵AD⊥DC,AE⊥ＢC，∴∠D=∠AEＣ=9０°，∵AC＝AC,∴，∴△ADC≌△AEC,（AAS)∴AＤ=ＡE;（2）解:由（１)知：AD＝ＡE,DC=EC，设ＡB＝x，则ＢE＝x﹣4，ＡE＝8，在Rｔ△ABE中∠AEＢ=９０°，由勾股定理得:82+(ｘ﹣4）2=x２，解得:ｘ=1０，∴AB=１0．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥ＡB用来证明和计算均可得分．１６、如图,已知梯形ABCD中，ＡＤ∥CＢ,E，F分别是BＤ，AC的中点,BD平分∠ＡBC．（1)求证：AE⊥BＤ；(2）若AD=4,BＣ=１4，求EF的长.（１）证明:∵ＡＤ∥CＢ,∴∠ADB=∠CBＤ,又BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABＤ,∴ＡB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知Ｅ是BD的中点，∴AE⊥BＤ.(2)解:延长AE交ＢＣ于Ｇ,∵BD平分∠ABＣ，∴∠ABE＝∠GBE,又∵AE⊥BD(已证)，∴∠AEB＝∠GＥB,BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴ＡＥ=GE，BG＝ＡB＝ＡD，又F是AC的中点（已知)，所以由三角形中位线定理得：EF=ＣG＝(ＢC﹣BG)=（BC﹣ＡD)=×(14﹣4）=5．答：ＥF的长为5.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BC，∠D＝90°,ＢE⊥AＣ,Ｅ为垂足,AC=BC.(1)求证:ＣD=BE；(2)若AＤ＝3，DC=4,求ＡE.(1)证明：∵ＡD∥BC，∴∠ＤAＣ=∠BＣE，而BE⊥AＣ,∴∠D＝∠ＢEC=90°,AＣ=BC，∴△BCE≌△CAＤ.∴CD＝BE.(2）解：在Rt△ADC中,根据勾股定理得AＣ==5,∵△BＣE≌△CAD，∴CE＝AD=3.∴AE＝ＡC﹣ＣE=2．18、如图，在梯形ＡBCD中，AＤ∥ＢC，ＡB⊥AC，∠B=45°,ＡD=1，BC=4,求DC的长.解：如图,过点Ｄ作DF∥ＡB,分别交ＡＣ,BC于点E，F．（1分)∵ＡB⊥AC,∴∠AED=∠ＢＡC=９0度.∵AD∥ＢC,∴∠DAE=1８0°﹣∠B﹣∠ＢAC=4５度．在Rt△ABＣ中,∠BAC＝90°，∠B=４５°,BC=4,∴ＡＣ＝BC•ｓin4５°=4×=2（2分）在Rt△ADE中,∠ＡEＤ=90°，∠ＤAE=4５°，ＡD=1,∴DE=AE=.∴CＥ=AC﹣AＥ=．(4分）在Rｔ△DEC中，∠ＣED＝9０°,∴DC==.（5分）１９、已知梯形ABCＤ中，AＤ∥BC，AB=BC=DC,点Ｅ、F分别在ＡD、AＢ上,且.（１)求证:BF＝EF﹣ED;(2）连接ＡC,若∠Ｂ=80°,∠DEC＝７0°，求∠ＡCＦ的度数.证明：∵FC=F′C，EC＝EC,∠ECＦ'=∠BCF+∠DCE=∠ＥCF，∴△FCE≌△F′CE,∴EF′＝EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;(２)解：∵AＢ＝BC,∠Ｂ=8０°,∴∠AＣB=50°，由（1)得∠FＥＣ=∠ＤEC＝７０°,∴∠ＥCB=70°,而∠Ｂ=∠BCD=80°，∴∠DCE＝10°,∴∠BCF=3０°，∴∠ACＦ=∠ＢＣA﹣∠BＣＦ＝20°．20、如图，梯形ＡBCD中,AD∥BC,点E在BC上,AＥ=BE，且ＡF⊥AB,连接ＥF．(1）若EF⊥ＡF,ＡＦ=４,AB＝6,求ＡＥ的长．(2）若点F是ＣD的中点,求证：CE=BE﹣AD．解：（１）作ＥＭ⊥AB，交ＡB于点Ｍ．∵AE=BE,EＭ⊥ＡＢ，∴AＭ=BM=×6＝3；∵∠AＭE＝∠MAF＝∠AFＥ=90°,∴四边形AＭEＦ是矩形，∴EF=ＡＭ＝３;在Ｒt△AFE中，AE＝＝5；(2)延长AＦ、ＢＣ交于点N.∵ＡD∥EN，∴∠DAＦ=∠N;∵∠AFD＝∠NFC,ＤF＝FＣ,∴△ADF≌△NCＦ（AAS），∴AD＝CN；∵∠B＋∠N=90°,∠BAE+∠EAN=９0°,又AE=BE,∠B＝∠BAE，∴∠N=∠ＥAN，ＡE=EＮ,∴BE=EN=EC＋ＣN=ＥC＋AD,∴ＣＥ=BE﹣AD．.2１、如图，四边形ＡBCD为等腰梯形，AD∥BC,AB=ＣD,对角线AＣ、BD交于点Ｏ，且AC⊥BD,DH⊥BC.(1)求证:DH=(ＡD+BC);(2)若AC=6,求梯形AＢＣD的面积．解:(1）证明：过D作DE∥AＣ交ＢC延长线于Ｅ，(1分）∵AＤ∥BC,∴四边形AＣED为平行四边形.(2分)∴ＣＥ＝AＤ，DＥ=ＡＣ.∵四边形ＡBCＤ为等腰梯形，∴BD=AC＝DE.∵AC⊥BD,∴DE⊥ＢD．∴△DBE为等腰直角三角形．(4分）∵DH⊥BC，∴ＤＨ=BE=（CE＋BC）=(AD＋BC）．(5分）(2）∵AＤ=CＥ，∴．(7分)∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE＝6，∴.∴梯形ABCＤ的面积为１8．(８分)注：此题解题方法并不唯一．22、已知,如图，△ABC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DＧ∥BＣ，交AB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ,使ＤE=DC,连接AE,BD．(1）求证:△AGＥ≌△ＤＡB;（２）过点E作EF∥ＤB，交BC于点F,连AF,求∠ＡFE的度数.（1）证明:∵△ＡBC是等边三角形，DG∥ＢC,∴∠AGＤ＝∠AＢC=60°,∠ADG＝∠ACＢ＝60°,且∠BAC=6０°,∴△AGD是等边三角形，AG=ＧＤ=ＡＤ,∠AGD=6０°.∵ＤＥ=DC，∴GE＝GD＋DE=AＤ＋DC=AC=ＡB，∵∠AＧD＝∠BＡD,AG=AD,∴△ＡGE≌△DAB;(2)解：由(1)知AＥ=BD，∠AＢＤ=∠ＡEG．∵ＥF∥ＤB，DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.∴EF=BD，∴ＥF=AＥ.∵∠DＢC=∠ＤＥF,∴∠ABD＋∠ＤＢC＝∠AＥG＋∠ＤEF，即∠AEＦ=∠ＡBC=60°.∴△ＡFＥ是等边三角形,∠AＦＥ＝6０°．23、如图，梯形ABCD中,AD∥ＢＣ,ＤE=ＥＣ,ＥF∥AB交ＢＣ于点F,ＥＦ=ＥC，连接ＤF.（１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2)若ＡD=１，BC=3,DC=，试判断△ＤＣF的形状；(3)在条件（2)下，射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出ＰB的长；若不存在,请说明理由.解:(1)证明：∵EF=ＥＣ，∴∠EFC=∠EＣF,∵EＦ∥ＡB,∴∠Ｂ=∠EＦC，∴∠B＝∠ECF,∴梯形ABＣＤ是等腰梯形；（2)△DCF是等腰直角三角形，证明：∵ＤE＝EC,EＦ＝EC，∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形)，∵梯形ABCＤ是等腰梯形,∴CF=(ＢC﹣AD）=1，∵ＤＣ=,∴由勾股定理得:ＤＦ＝1，∴△DCＦ是等腰直角三角形;（3）共四种情况：∵DF⊥BC,∴当PF=CF时，△PCＤ是等腰三角形，即PＦ＝1,∴PB=1；当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=２；当PC=CD=（P在点Ｃ的左侧)时，△ＰCD是等腰三角形，∴PＢ=３﹣；当PC=CD=(P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=３+.故共四种情况：PＢ=1，PB＝2，ＰB=３﹣，PB＝３＋.（每个１分)24、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BC,∠ＡBＣ=∠ＢCD=６0°，ＡD=ＤC，E、F分别在ＡD、DＣ的延长线上，且DＥ=CＦ.AF交ＢE于Ｐ.(1）证明:△ABE≌△DAF;（2）求∠BPＦ的度数.解答:(1)证明：∵在梯形ABCＤ中,ＡD∥ＢC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB＝CＤ,∵AD=DC,∴ＢA=AD，∠BAＥ=∠ADF＝120°，∵ＤE=CＦ,∴ＡE=DF，在△ＢＡＥ和△ＡDF中，，∴△ABE≌△ＤAＦ（SAS)．(2)解：∵由(1)△BAE≌△ＡDF,∴∠ＡBＥ＝∠DAF.∴∠BPF=∠ABＥ+∠BAP=∠ＢAE．而AD∥BＣ,∠C=∠AＢC=60°，∴∠BPF＝1２０°．25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，ＡＢ=ＡD=DＣ，ＢＤ⊥DＣ,将BC延长至点F,使CF=CD．(1)求∠ABC的度数；(2)如果BC=8,求△DBＦ的面积？解答:解：（1）∵ＡD∥ＢC,∴∠ADB＝∠DＢC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ＡＢD,∴∠ＤＢC＝∠AＢＤ，∵在梯形ABCD中ＡB=DＣ,∴∠ＡBＣ=∠DＣB=2∠ＤBＣ，∵ＢＤ⊥DC，∴∠DBC+2∠ＤＢC=90°∴∠ＤBC＝30°∴∠AＢC=6０°（2)过点D作DＨ⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°，BＣ=8,∴DＣ=4，∵ＣF=CD∴ＣＦ=4，∴BF=12,∵∠F+∠ＦＤＣ＝∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠Ｆ=30°,∵∠ＤBC=30°,∴∠F＝∠DBC,∴DＢ=DF,∴，在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DＢF的面积为.26、如图，梯形ABCＤ中，AD∥BC,AB=DC=10ｃm,AC交BＤ于G，且∠AGD=６0°,E、F分别为CG、AB的中点.（1)求证：△AGD为正三角形；（2)求EF的长度．(1)证明：连接BE,∵梯形ＡＢＣD中,AB=DC,∴AC＝ＢＤ,可证△ABＣ≌△ＤCB,∴∠ＧCB=∠GＢC,又∵∠ＢGC＝∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形,(2)解：∵BE为△BＣG的中线,∴ＢE⊥AＣ,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AＢ=5cｍ.2７、已知,如图,ＡD∥ＢC,∠ＡBC=90°,ＡB=BC，点E是AB上的点,∠ＥCD=45°,连接ＥD，过Ｄ作DＦ⊥BC于F．(1）若∠BEＣ=7５°，ＦC=3,求梯形AＢCD的周长．（２)求证:ED＝BE＋FＣ．解：（1)∵∠BEＣ=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠ＤCF=60°,在Ｒt△DFC中:∠ＤCＦ=60°,FC=3,∴DF=３，DC=6,由题得,四边形ABFＤ是矩形,∴AＢ＝DF=3,∵AB＝BＣ,∴BC＝3,∴BF＝BC﹣ＦＣ＝3﹣3，∴AD=ＤF=３﹣3，∴C梯形ＡBCＤ=3×2+6+3﹣3=９+3,答:梯形ABCD的周长是9＋3．(2）过点C作CM垂直AD的延长线于Ｍ,再延长ＤＭ到N，使MN＝BE, ∴CＮ=CＥ，可证∠NＣD=∠ＤCE,∵CD=ＣD，∴△DEＣ≌△DＮC,∴ＥD=ＥN,∴EＤ=BＥ＋FC．2８、(２005•镇江）已知:如图,梯形ABＣＤ中，AD∥ＢC,Ｅ是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F. （１）求证:△ＢCE≌△AＦE；（2）若AB⊥ＢC且ＢC=4,AB＝6，求EF的长．（1）证明:∵ＡD∥ＢC,E是AB的中点,∴AE=BＥ,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AＦＥ(AAS).(2)解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°.∵AE＝BＥ，∠ＡEF=∠BEC，∴△BCE≌△AＦE．∴AF=BＣ=４．∵EF2=AF2+AE２=9+16=25，∴EF=5.２9、已知：如图,在梯形ＡBＣD中,AD∥ＢC,BC=DC,CF平分∠BCD，ＤF∥ＡB，BF的延长线交DC于点E.求证:（1)△ＢFＣ≌△DFＣ;（2）ＡD＝DE；（3)若△DＥF的周长为6,ＡD=2,BC=5，求梯形ABCD的面积．（１）∵DC=ＢC,∠１＝∠2，CF=ＣF,∴△DCF≌△BCF．(2）延长DF交ＢC于G，∵ＡD∥BG，AB∥DＧ，∴四边形AＢGD为平行四边形．∴AＤ=ＢG．∵△DFＣ≌△BＦC，∴∠EＤF=∠GBＦ，DＦ=ＢF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFＧ．∴DE=ＢＧ,EＦ=ＧF.∴ＡD＝DＥ．(3）∵EF=GF，ＤF＝BF,∴EF＋ＢF＝GF＋ＤF，即:BE＝DG．∵ＤG=ＡＢ,∴ＢE=ＡＢ.∵Ｃ△ＤＦE=ＤF+FＥ+DＥ＝6，∴BF+FE＋DＥ＝6,即：EB+DE=６.∴AB+ＡD=6.又∵ＡD＝2,∴AB=4.∴DG=ＡB=4.∵BG＝AD=2，∴GC=BＣ﹣BG＝5﹣2＝3．又∵ＤC=BC=５，在△ＤGC中∵42+３2=5２∴DG２+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD＋BC)•ＤG=(2+５）×4=14.30、如图,梯形ABCD中，AD∥ＢC.∠C=90°，且ＡB=AＤ.连接BD,过A点作ＢD的垂线，交BＣ于Ｅ．（1）求证：四边形ABEＤ是菱形;(2）如果EC=３cm，ＣＤ＝4cm,求梯形ABＣD的面积.解答：解:(1）证明:∵AＤ∥BC，ＤE２＝CＤ２+CE2=4２+３２=25,∴∠OAD=∠OＥＢ，∴DE＝5又∵ＡB=ＡD，ＡＯ⊥BD，∴AD=ＢE=５，∴OＢ＝ＯD，∴S梯形ＡＢCＤ=．又∵∠AOD=∠ＥOＢ，∴△ADO≌△EBO(AAＳ),∴AＤ=ＥＢ,又∵ＡD∥ＢE,∴四边形AＢCＤ是平行四边形,又∵AＢ=ＡD∴四边形ＡBCＤ是菱形.(２)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DＥ=BE,。

重庆市2017届中考数学复习几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题

第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为___________【答案】解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1．求DE的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB∵点G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在Rt△CED中，DE．考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7【答案】B2．(2015滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( )A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．【答案】第3题4．(2015重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．(1)如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB，BD的长：(2)如图1，求证：HF＝EF；(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝∴AB＝cos ACBACÐ2∵AD⊥AB．∴∠DAH＝30°．∵点H是AC的中点，∴AH＝12 AC∴在△ADH中．AD＝cos AHCAHÐ＝2．∴在△ADB中，根据勾股定理，得BD(2)如答图1，连接AF，易证：△DAE≌△ADH(AAS)，∴DH＝AE．∵∠FDH＝∠FDA－∠HDA＝∠FDA－60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA，∴∠EAF＝∠FDH．又∵点F是BD的中点，即AF是Rt△ABD斜边上的中线，∴AF＝DF．∴△DHF≌△AEF(SAS)．∴HF＝EF．(3)△CEF为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB的中点M，连接CM、FM，在Rt△ADE中，AD＝2AE，∵FM是△ABD的中位线．∴AD＝2FM．∴FM＝AE．易证△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠ACM＝60°．∵∠CAE＝12∠CAB＝30°，∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，∴∠CAE＝∠CMF．∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2016海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )A．6 B．C．D．第2题【答案】D3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )A．125B．4 C．245D．5第3题【答案】C4．(2015泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝，则FD的长为 ( )A．2 B．4 C．B D．第4题【答案】B二、填空题5．(2016随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．第5题【答案】36．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm．图1 图2第6题【答案】16)7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．则MN＝图1 图2第7题【答案】1 3三、解答题8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．(1)求证：EF＝CF；(2)求证：FG⊥DG．第8题【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点∴DA＝DC＝DB∴∠A＝∠1∵EF∥AB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴CF＝EF．(2)延长FG，交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG＝∠GBH∵G为EB中点∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2；(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2．第9题答案图B组提高练习10．(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD＝＝8；CD＝＝2；∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD＝8；CD2；∴BC＝BD－CD＝8－2＝6．)图①图②11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形：②∠CDE＝∠COE;③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为14，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE ＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝12×1×1＝12，S四边形DCEO＝S△DOC＋S△CEO＝S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝14，故③正确．)12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝14BC，请求出GE的长．图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∵AD＝AF，AB＝AC，∴△DA B≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，CF＝BD∴∠ACF－∠ACB＝90°，即CF⊥BD;∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF．(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC AB＝4，AH＝12BC＝2，∴CD＝14BC＝1，CH＝12BC＝2，∴DH＝3．由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝ 45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，∴EG第12题答案图。

【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-

专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。

2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案

2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ，由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知直线a ∥b ，将一块含45o角的直角三角板(∠C=90o)按如图所示的位置摆放，若∠1=55o，则∠2 的度数为( )A ．85oB ．70oC ．80oD ．75o3．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°4．如图，点P(-a,2a)是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析是为（）A. B. C. D.5．如图，等边三角形ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点A 的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，）C ．（，2）D ．（2，6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，60AOC ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N(点M 在点N 的上方)，若OMN ∆的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(04)t ≤≤，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )A. B.C. D.7．如果a+b ＝12，那么a b a b b a+--22的值是（） A ．12B ．14C ．2D ．48．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A.B.C.D.9．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形GEHF 是菱形，则AE 的长是（）A.5B.254C. D.10．正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象上一点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为2 : 3，且y 随x 的增大而减小，则k 的值是 ( ) A ．23B ．32C ．32-D ．23-11．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BCD ＝90°C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD12．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动,当点E 到达点C 时停止运动，过点E 作FE AE ⊥,交CD 于点F ，设点E 运动的路程为x ,FC y =.则y 关于x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为_____．14．计算：①232n m ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____；②b a a b a b -=-- _____． 15．如图是23名射击运动员的一次测试成绩的频数分布折线图，则射击成绩的中位数_____。

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。

重庆中考数学几何专题训练及答案(一)

重庆中考数学几何专题训练（一）及答案1. （2019年重庆南开初三（下）半期考试题）在平行四边形ABCD 中，E 为AD 上一点,连接BE 、CE ，满足BC=BE=CE 。

（1）如图1，已知∠ABC=90°，BC=4，求AC 的长；（2）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F,交CE 于点G ，连接BG ，在BG 上取点M ，使得∠AMG=60°，延长AM 交BC 于点N,求证：CN=2AE.图1 图2(1)解:ΘBC=BE=CE,∴o EBC 60=∠Θ ∠ABC=90° ∴ o ABE 30=∠Θ平行四边形ABCD,∴AD//BC ,∴ ∠EAB=90°∴AB=BE 23=3223=BC ∴AC=72281216==+（2）过点E 作EK//AN ，交BC 于点KΘBC=BE=CE,∴o BEC EBC 60=∠=∠Θ平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，∴ 四边形 ANKE 是平行四边形∴o EBC BEA 60=∠=∠，o AEC 120=∠Θ∠AMG=60°，∴o o o o MGE MAE 180********=--=∠+∠∴ANB EAM CGB ∠=∠=∠，ΘEK//AN ，∴CEK EKB ANB CGB o ∠+=∠=∠=∠60又ΘEBG EBG BEC CGB o ∠+=∠+∠=∠60，∴CEK EBG =∠ΘBC=BE=CE,∴o BEG BCE 60=∠=∠，∴EKC BGE ∆≅∆（ASA ）∴CK=EG 又Θo BEC BEA 60=∠=∠，AF ⊥BE ，∴AE=EG=CKΘ四边形 ANKE 是平行四边形，∴AE=NK=CK ，∴CN=2AE2. （2019年西南大学附属中学校初三下月考试题）在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,BD 为菱形的一条对角线.(1) 如图1,过A 作AE ⊥BC 于点E,交BD 于点F,若EF=2,求菱形ABCD 的面积；(2)如图2,M 为菱形ABCD 外一点,过A 作AN ⊥BM 交BM 的延长线于点M,连接AM ，DM ，AG ⊥DM 于点G,且∠AMN=∠AMD,求证:(图1)F E D C A (图2)GN M D C B A（2）解答：因为∠AMN=∠AMD ，AN ⊥BM ，AG ⊥DM ∴AN=AG ，∠ANB=∠AGD=90︒，MN ＝MG 因为菱形ABCD∴AB=AD∴ABN ≅ADG （HL ） ∴D Ｇ＝ＢＮ，∠ABM ＝∠ADM ∴∠BMD=∠BAD=180︒-∠ABC=120︒∴∠AMN=∠AMG=12∠DMN=30︒ ∴MN=MG=123AM ∴DM=DG+MG=BN+MG=BM+MN+MG=BM+3AM 即：DM=BM+3AM （1）解答:因为在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,BD 为菱形的一条对角线所以AB=BC ，∠ABD=∠CBD=30︒, 又因为AE ⊥BC ，所以∠AEB=90︒，∠BAE=30︒ 所以AF=BF=2EF=4，AE=6，所以BC=AB=43，所以菱形ABCD 的面积是24 3.3.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,且∠AEB=90°，连接EO.求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+2OE.（1）证明：因为O为等腰Rt∆ABC斜边AC的中点, 所以∠ABO=∠BAO=45︒所以∠OAE=45︒-∠BAE因为AB为斜边作Rt∆ABE，所以∠ABE=90︒所以∠OBE=90︒-∠OBA-∠BAE=45︒-∠BAE即∠OAE=∠OBE（2）证明：在AE上取AF=BE，连接OF因为O为等腰Rt∆ABC斜边AC的中点, ∴∠ABO=∠BAO=45︒，∠AOB=90︒，∴AO=BO 因为∠OAE=∠OBE，∴∆AFO≅∆BEO（SAS）∴∠AOF=∠BOE，OF=OE∴∠EOF=∠AOB=90︒，∴EF=2OE因为AE=AF+EF∴AE=BE+2OEC A。

2021年中考重庆中考12题几何翻折(含答案)

G F E D C B A 几何翻折【例题1】如图1，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC′与AB 交于点E ，连结AC'，若AD ＝AC′＝2，BD ＝3，则点D 到BC′的距离为（）A ．233B ．7213 C ．7 D ．13【答案】B 如图，连接CC'，交BD 于点M ，过点D 作DH ⊥BC'于点H ，∴△ADC'为等边三角形，∴DM ＝1 C'M ＝ BM ＝2，BC'＝ S △BDC '＝BC'•DH ＝BD •CM DH ＝3× DH ＝【例题2】如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE ＝1．连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ．过点D 作DG ⊥DE 交BE于点G ．则四边形DFEG 的周长为（）A 、8B 、24C 、422+D 、223+图1 图2【答案】D 易证△AED ≌△AEF ≌△BGD ，得ED=EF=GD ，∠DGE=45°，进而得∠BGD=∠AED=∠AEF=135°，△DEG 和△DEF 等腰直角三角形，设DG=x ，则EG=2x ，注意AB=3，BG=AE=1，∠AEB=90°，可解得x=222. ∴EF ＝DE ＝2﹣， DF ＝DE ＝2﹣1，四边形DFEG 的周长为：＝3+2，【巩固练习】1、（20级重庆一中半期考试）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 和点E 分别在AB 和BC 上，连接DE ，将△BDE 沿DE 翻折，点B 的对应点B’刚好落在AC 上，若AB’=2B’C ，AB=35，BC=6，则BE 的长为（） A. 3 B. 253 C. 1027 D. 1029 【答案】D2、（20级南开中学半期考试）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，点E 为AC上一点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A’DE ，连接A’B 、A’C ，已知A’C=2、A’B=3，则S △ABC =（）A. 217B. 9C. 219D. 221 【答案】C3、（20级南开模拟考试三）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=22，点D 和点E 分别为BC 边和AB 边的两点，连接DE ，将△BDE 沿DE 折叠，得到△B’DE ，点B’恰好落在AC 的中点处，设DE 与BB’交于点F ，则EF=（）A. 21B. 35C. 610D. 23 【答案】4、（20级西附第一次月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，∠ADC=120°，连接BD ，把△ABD 沿BD 翻折，得到△A’BD ，连接A’C ，若AB=3，∠ABD=60°，则点D 到直线A’C 的距离为（）A. 7B. 1479C. 779D. 7718 【答案】C5、（20级育才半期考试）如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=30°，将△ABC 沿AC 翻折得到ACD ，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则△ABE 的面积为（）A. 435B. 233C. 3D. 21-34【答案】6、（20级巴蜀模拟考试五）如图，已知Rt △ACB 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将△DCB 沿直线DC 翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ，若BC=6，AC=8.则AE 的值为（）A. 2514B. 514C. 512D. 25112 【答案】7、（20级万州区月考一）如图，在△ABC 中，∠BAC=105°，AB=4，AC=32，点D 为AB 的中点，点E 为AC 上的一点，把△ADE 沿DE 折叠得到△A’DE ，连接A’C ，若∠ADE=30°，则A’C 的长为（） A. 2 B. 10 C. 23 D. 4【答案】8、（20级外国语月考一）如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是边AC 、BC 上两点，将三角形ABC沿DE 翻折，点C 正好落在线段AB 上的点F 处，使得AF ∶BF=2∶3，若BE=16，则CE 的长度为（）A.18B.19C.20D.21【答案】 B9、（20级南岸区半期考试）在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是边AC 、BC 上两点，将三角形ABC沿DE 翻折，点C 正好落在线段AB 上的点F 处，使得AF ∶BF=2∶3，若BE=16，点F 到BC 边的距离是（）A. 83B. 123C. 2327D. 2321 【答案】10、（20级重庆八中半期考试）如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=4，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A’B’C ，且B’恰好落在AB 上，M 是BC 的中点，N 是A’B’的中点，连接MN ，则C 到MN 的距离是（）A. 1B. 7212C. 7214 D. 311、（20级名校半期考试）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°、∠CAB=30°，△ABD 是等边三角形，将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，则cos ∠ACH 的值是（）A. 71B. 732C. 733D. 734【答案】 D12、（20级巴蜀半期考试）如图，在△ABC 中，AB=11，AC=10，BC=，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将△BCD 沿着CD 翻折得△B 1CD ，DB 1⊥AC 且交于点E ，则CD 的值为（）A.3B.6C.D.3535310【答案】C13、（20级西大附中半期考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6+2，点D 为边AB 上的一点，连接CD ，将△ACD 沿直线CD 翻折至△ECD ，CE 恰好过AB 的中点F ，连接AE 交CD 的延长线于点H ，若∠ACD=15°，则DH 的长为（）【答案】 B14、（20级育才模拟考试）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）A. 516B. 518C. 524D. 536 【答案】 D15、（20级八中模拟考试八）如图，矩形ABCD 中，AB=4，点E 为边BC 上一点，连接DE 、AE ，∠DEC=30°，且AE ⊥DE ，将△CDE 沿DE 翻折得△DEF ，连接AF ，则E 到AF 的距离为（）A. 734B. 736C. 779D. 7712 【答案】 D16、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=4，∠B=120°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则EG 的长为（）A. 23B. 2C. 23D. 514。

重庆中考数学20题典型的尺规作图+简单几何证明

20题典型的尺规作图+简单几何证明(一)编辑：天道酬勤尺规作图专题复习【知识回顾】1尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本，最常用的尺规作图。

通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成。

2、五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂直平分线；④作已知角的角平分线;⑤过一点作已知直线的垂线；一．题目一:作一条线段等于已知线段已知:如图，线段a求作:线段AB，使AB=a作法:（1）作射线AP;（2）在射线AP上截取AB=a则线段AB就是所求作的图形。

二．题目二:作已知线段的中点。

已知:如图，线段MN求作:点O，使MO=NO（即O是MN的中点）作法:（1）分别以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q （2）连接PQ交MN于O,则点O就是所求作的MN的中点.三．题目三:作已知角的角平分线。

已知:如图，∠AOB，求作:射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法:（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N;（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P;2（3）作射线OP.则射线OP就是∠AOB的角平分线。

四．题目四:作一个角等于已知角。

已知:如图，∠AOB。

求作;∠A＇O＇B＇，使∠A＇O＇B＇=∠AOB作法:（1）作射线O＇A＇（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N（3）以O＇为圆心，以OM的长为半径画弧，交O＇A＇于M＇;（4）以M＇为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N＇（5）连接O＇N＇并延长到B＇。

则∠A＇O＇B＇就是所求作的角。

五．题目五:经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知:如图，P是直线AB上一点求作:直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法:（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、NMN的长为半径画弧，两弧交于点Q （2）分别以M、N为圆心，大于12（3）过D、Q作直线CD.则直线CD是求作的直线。

10月训练题集重庆中考数学几何证明题专题训练1 (1)

17.如图，在正方形 ABCD 中，点 E、点 F 分别在边 BC、DC 上，BE＝DF，∠EAB＝15°。（1）若 AE＝3，求 EC 的长；（2）若点 G 在 DC 上，且∠CGA＝120°，求证：AG＝EG＋FG。
18.如图，在等腰三角形 ABC 中，CA = CB，∠ACB = 90°，点 D、E 是直线 BC 上两点且 CD = BE，过点 C 作 CM⊥AE 交 AE 于点 M，交 AB 于点 F，连接 DF 并延长交 AE 于点 N．
(1) 若 AC = 2，CD = 1，求 CM 的值； (2) 求证：∠D =∠E．
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19．如图，口 ABCD 中，E 在 AD 边上，AE = DC，F 为口 ABCD 外一点，连接 AF、BF，连接 EF 交 AB 于 G，且∠EFB = ∠C = 60°．
AC 上一点，
过点 E 作 EF // AB ，交 CD 于点 F，连接 EB，取 EB 的中点 G，连接 DG、FG。（1）求证： EF CF ；（2）求证： FG DG 。
26、已知：如图，在 ABC 中，点 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 EF//BC，BM 是线段
CF 的垂直平分线，垂足为 M。N 是线段 BM 上一点，且 NC=EF。
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16.如图，在□ ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，BE 平分 ABC 且交 AD 于点 P ，交 CD 的延长线于点 E ；作 EO 交 AD 于点 F ，交 BC 于点 G ．
（1）求证： DF BG ；（2）若 AB = 6 ， AD 9 ，求 DF 的长.
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中考数学-几何证明

2020年-春季-初三下-【入学考试】1.(初2020级BZ初三下入学测试)如图，正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点。

，点E.点OB ,线段AB上，且AF OE ,连接AE交OF于G , 连接DG交AO于H.F分别在线段⑴如图1,若点E为线段BO中点，AE J5,求BF的长：(2)如图2,若AE平分BAC,求证：FG HG;(3)如图3,点E在线段BO (含端点)上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos HDO的值.2.(初2020级BS初三下入学测试)如图，平行四边形ABCD中，AB=2BC, B 60 . 曲 DC中点，连接AE . F为AD上一点，连接CF交AE与点G , CM平分FCB交AB于点M .(1)如图1,若BC 3,AF 1 求sin DCF 的值.(2)求证：EG BM CG(3)如图2, CN AB于点N ,若AG=4, MN : BN=3: 5.求CG 的长度.3.(初2020级YZ初三下入学测试)在0ABCD中BAC=90 , AB=AE,延长BE交CD 于点F . AG BE交BE于点H点，M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合，AH 5, AD 显26 ,求CF的长：2(2)如图2.若AM是BAD的角平分线，连接MH , HMG MAH ,求证：AM 2 .2HM(3)如图3,若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN,请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系.4.(初2020级YZ 初三下入学测试)在正方形 ABCD 中，E 为边CD 上一点(不与点 C 、D 第4页共34重合)，垂直于BE 的一条直线 MN 分别交BC 、BE 、AD 于点M 、P 、N,正方形ABCD 的边长为6.(1)如图1,当点M 和点C 重合时，若AN =4,求线段PM 的长度;(2)如图2,当点M 在边BC 上时，判断线段AN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由;(3)如图3,当垂足P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上运动时，连接 NB,将^ BPN 沿着BN 翻折，点P 落在点P 处，AB 的中点为Q,直接写出PQ 的最小值.5.(万二中初2020级初三下入学测试)在4ABC与4ADF中，/BAC=/DAF=90° ,AB=AC,AD=AF, DF的延长线交BC于点E,连接DB、CF.(1)如图1,当点C、A、D三点在同一直线上，且AC=g AF, AF=超时，求CE的长；(2)如图2,当/ AFC = 90°时，求证：E是BC的中点；(3)如图3,若CF平分/ ACB,且CF的延长线与DB交于点G,请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系.[ D6.(万中初2020级初三下入学测试) 如图，在？ABCD中，/ACB = 45° , AEXBC于点E, 过点C 作CFLAB于点F,交AE于点M.点N在边BC上，且AM = CN ,连结DN .(1)若AB= 10Q , AC = 4,求BC 的长；(2)求证：AD+AM= 22DN .(3)如图，连接EF、探究AF、EF、CF之间存在的数量关系，直接写出数量关系不需要证明.2020年-春季-初三下-【第一次诊断】1.(初2020级YW初三下第一次诊断)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DELDC交直线AB于点E,过点E作EHXAD于点H,过点B作BFXAD于点F.(1)如图，若/ BAD=60° , AF=3, AH=2,求AC 的长.(2)如图，若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE, 若/ DGE=75° ,/CDG=45° -/CAB,求证：DG 立CG22.如图，已知ABCD中，/ B=45° , CE^AD于G,交BA延长线E, CF平分/ DCE ,连接EF, ED.(1)如果AB=5, AD = 372,求线段DE的长.(2)如果/ CFE=90° ,求证：CD 2DF 版AG .(3)如图，在(2)的条件下，若FG J5,点M、N是线段CF、CD上的动点，DM+MN 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 ^3.(初2020级BZ初三下第一次诊断)已知△ ABC是等边三角形，CD，AB交AB于M, DBXBC, E是AC上一点，EHXBC,垂足为H, EH与CD交于点F,连接BE.(1)如图，若EC=-AC , EH=6,求BE 的长. 5(2)如图，连接AF,将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD 于Q,求证：BG=CF.(3)如图，在(2)的条件下，连接FG,交BE于N,连接MN,若竺勺，4AGF的面QG 3积为49户，求MN的长.3.(万州国本中学初三下期中考试)已知，在0ABCD中，AB BD, AB BD, E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F .(1)如图1,若点E与点C重合，且AF 2胫，求AD的长；(2)如图2,当点E在BC边上时，过点D作DG AE于G ,延长DG交BC于H ,连接FH ,求证：AF DH FH ；(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点D作DG AE于G , M为AG的中点，点N在BC边上且BN 1 ,已知AB 4 J2 ,请直接写出MN的最小值.4 .（万州国本中学初三下第一次诊断）【问题背景】如图1所示，在gABC 中，AB= BC, ABC=90，点D 为直线BC 上的一个动点（不与 B 、C 重合），连结AD,将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ；（2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ．（2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ，而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ，在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ，在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ，在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ．在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2，即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ．即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ，由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ．（3）连接BD ，由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ．又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长；（2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ．（1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形；（2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°，而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

2021重庆中考复习数学几何最值问题专题训练三(含答案)

2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC ＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．10、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为11、如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是．12、如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF ＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为．14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为．2021年重庆中考复习最值问题专题训练三1、如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC⊥，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为B解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQ BC⊥交AC于点P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），易知△BCF是等边三角形，∴BP+PQ的最小值为2．2、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2，∴GN ＝GM+MN＝MN+MF＝+2＝．∴MN+MF的最小值为．3、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．解：由题意得：AD＝CD，DE＝FC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠FDC，∴∠APD＝90°，即：相当于点P始终在以AD为直径的圆上，取AD的中点Q，当Q、P、C三点共线时，PC最小，PC＝CQ﹣PQ＝﹣3＝3﹣3．4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C ′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为.解：在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，∴∠CAD＝∠FAE，在△DAC和△EAF 中，，∴△DAC≌△EAF（SAS），∴∠ACD＝∠AFE ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠AFE＝90°，∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，当CE⊥EF时，CE有最小值，∴CE的最小值＝CF ＝．6、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是．解：如图所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∴A′E′＝＝2，∴四边形AEPQ的周长最小值＝2+2．7、如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值.解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM （SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC ＝，∴OD ＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF ≥．故选：D．8、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H ＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．9、如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD 为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM ＝BM，设BM＝x，则AM＝CM ＝x，∴AB＝x +x＝3+，解得：x ＝，∴BM ＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE 中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y +﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE ＝（y +﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y ）×（y +﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．10、（2019•蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．11、（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是．解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°∴AD＝AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM 中，BM ＝＝，∴DE+BF的最小值为．12、（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（）A．2B．3C．D ．解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF ＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵F A＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH ＝＝2，∴AE+AF的最小值2，故选：A13、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OF＝＝3，∴EF＝3﹣3，故PD+PE的长度最小值为3﹣3，14、如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为解：作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC ＝2，∴BC＝，S△ABC ＝AB•AC ＝BC•AF，∴1×2＝3AF，AF＝，∴AA'＝2AF＝，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC ，∴，∴，∴A'E ＝，即AD+DE 的最小值是；故选：B．15、如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE 中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE ∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．16、如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连结EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连结CG，则CG的最小值为．解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CE＝CK，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG＝∠EFG＝15°，∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H重合时，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK＝CD＝2，∴CH＝KH＝，∴CG的最小值为.。

重庆市中考数学试卷答案及考点详解

20XX年重庆市中考数学试卷、答案及考点详解一.选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格）A、-6B、0C、3D、8考点：有理数大小比较。

专题：计算题。

分析：根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可.解答：解：V8>3>0>-6,最小的数是-6.故选A.点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0,0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小.2、（2011*重庆）计算（a）的结果是（）A、aB、a532C、a6D、a9考点：幕的乘方与积的乘方。

专题：计算题。

分析：根据幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.（a）=a（m,n是正整数）计算即可.解答：解：（a）=a故选C.点评：本题考查了幕的乘方，注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.3、（2011・重庆）下列图形中，是中心对称图形的是（）323x2mnmn=a.6考点：中心对称图形。

专题：数形结合。

分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形.故选B.点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.4、（2011*重庆）如图，AB〃CD,ZC=80°,ZCAD=60°,则ZBAD的度数等于（）A、60°B、50°C、45°D、40°考点：平行线的性质。

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2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011?潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF 交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005?镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠G ED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH ∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBD HB=HD∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM⊥AD 于M ，如图，在Rt△ABC 中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10， ∴BC=8，在Rt△CDM 中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=?（8+14）?6=66（cm 2）；（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△E CH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又 AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△D GC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF?DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011?潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BA C，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×=2（2分）在R t△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005?镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52。

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