三角形的高线中线角平分线优秀课件
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高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
三角形中的三条重 要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
角形的高.中线.角平分线课件
能力，以及计算建筑物的面积和体积等。
三角形中线在建筑布局中的应用
02
在建筑布局中，三角形中线可以用来确定建筑物的对称性和平
衡感，以及优化建筑物的空间利用率。
角平分线在建筑美学中的应用
03
在建筑美学中，角平分线可以用来实现建筑物的对称美和平衡
美，以及创造多样化的建筑形态和风格。
在优化问题中应用
利用三角形高优化路径规划
通过三角函数将角度和边长联系起来，实现问题的求解。
三角形高、中线、角
04
平分线在几何证明中
应用
在证明线段相等或成比例中应用
利用三角形的高
利用三角形的角平分线
在等腰三角形或等边三角形中，高可 以将底边平分，从而证明两条线段相 等。
角平分线将一个角平分为两个相等的 小角，并且与对边相交，将对边分为 两段成比例的线段。
性质
01
02
03
三角形的中线是线段。
三角形的中线平行于对应的 底边且等于底边的一半。
04
05
任意三角形的三条中线交于 一点，该点称为三角形的重
心。
角平分线定义及性质
性质
三角形的角平分线是射线。
三角形的角平分线将对应角平分 为两个相等的小角。
定义：从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个完全相同的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
在其他领域应用
三角形高在物理学中的应用
在物理学中，三角形高可以用来描述物体的运动轨迹和速度变化 等物理现象。
三角形中线在化学中的应用
在化学中，三角形中线可以用来表示分子结构和化学键等化学概念。
角平分线在地理学中的应用
在地理学中，角平分线可以用来描述地球表面的地形地貌和气候变 化等地理现象。
人教版八年级上数学课件三角形的高、中线与角平分线
C.AD=DC,BE=EC
D.CE=CD
A
D
B
E
C
拓展练习
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线 ( × )
A
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×)
12 E
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) F G
F
E O
∵AD是△ ABC的中线
B
●
C
D
∴BD=CD= 12BC
三角形的三条中线相交于一 点,交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形 三条边的中线,你发现了什么?
中线的性质
例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中
线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
C
用直尺画两 三条中线相交于
点之间的线 三角形内一点，
段
且把三角形分成
面积相等的两部
C
分
利用量角器 三条角平分线相 画角的平分 交于三角形内一 线的一部分 点
B
D
C
简称三角形的高
B
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
D
C
如图, 线段AD是BC边上的高.
下面我们将要学会锐角三角形，直角三 角形和钝角三角形的三条高的画法。
三角形的高的理解
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
A
B
DC
①任何三角形有三条中线，并且都在三角 莫为一身，这个点叫作三角形 强行者有志。
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
【例 2】已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
三角形的高、中线与角平分线课件
边BC于点D，所得线段AD叫做 ABC
的角平分线.
B
D
C
你能画出三角形另外的两条角平分线吗？
思考： （1）三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？ （2）一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？
探究二： 三角形的中线与角平分线 活动4 集思广益，探究新知
A
F E
B
D
C
任何三角形都有三条角平分线; 任何三角形的三条角平分线都在三角形内部交于一点， 我们把这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）. 三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.
这个方法合理吗?
探究二： 三角形的中线与角平分线
活动2 反思过程，发现新概念
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做
三角形的中线.
A
思考：
D
（1）三角形的中线是什么线？ 线段
B
C
（2）一个三角形有几条中线？ 三条中线
（3）三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？
三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等 底等高的三角形面积相等.
12 E F
3
B
D
4C
(2)
两个小角相等.
探究三: 利用三角形的高、中线及角平分线的概念解决问题
活动1
练习：如图，在 ABC中，AE是中线，AD是角平分线，
AF是高.则BE=C__E__=1 _B_C__；∠BAD=_∠_C__A__D__=1__∠_B__A_C__；
2
2
∠AFB=_∠__A_F__C__=90°.
练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且
S△ABF=1，求 S△ABC .
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》PPT课件
三角形的高、中线与角平分线
人 教 版 八 年 级 上 数 学
想一想，议一议
A
c
b
C
按
按
按
角
角
分
分
按
a
按
边
分
两
按
按
边
角
之
分
按
和
大
于
第
三
边
小
于
B
三角形的表示方法
三角形的分类
三角形的三边关系
两
按
按
边
角
之
分
按
差
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的
直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
PPT教程： w /pow erpoint/
资料下载：w w w /ziliao/
个人简历：w w w /jianli/
试卷下载：w w w /shiti/
教案下载：w w w /jiaoan/
手抄报：w w w /shouchaobao/
1
（1）BE=（ CE ）= （ BC ）；
2
1
（2）∠BAD=（ ∠CAD）= （ ∠BAC ）；
2
（3）∠AFB=（ ∠CFA）=90°；
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
A
B
1
解：因为AE为中线，所以点E为BC的中点，BE=CE= BC.
2
因为AD为角平分线，所以∠BAD=∠CAD= 1 ∠BAC.
做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
∵AD是△ABC的角平分线
︶
B
人 教 版 八 年 级 上 数 学
想一想，议一议
A
c
b
C
按
按
按
角
角
分
分
按
a
按
边
分
两
按
按
边
角
之
分
按
和
大
于
第
三
边
小
于
B
三角形的表示方法
三角形的分类
三角形的三边关系
两
按
按
边
角
之
分
按
差
你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的
直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
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教案下载：w w w /jiaoan/
手抄报：w w w /shouchaobao/
1
（1）BE=（ CE ）= （ BC ）；
2
1
（2）∠BAD=（ ∠CAD）= （ ∠BAC ）；
2
（3）∠AFB=（ ∠CFA）=90°；
（4）当BE=8，AF=7时，求△ABC的面积.
A
B
1
解：因为AE为中线，所以点E为BC的中点，BE=CE= BC.
2
因为AD为角平分线，所以∠BAD=∠CAD= 1 ∠BAC.
做三角形角平分线。
A
三角形角平分线的理解
∵AD是△ABC的角平分线
︶
B
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学课件(共68张PPT)
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
顶点 的对边是___；∠
的对边是___.
，，
如图，△ 的三边分别为____________，
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
边的高线是在△ 的外部，还是内部呢？
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高线定义
(________________)
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
画一画
你能画出此三角形 边上的高线吗?
发现： 边上的高 在△ 的外部.
三角形的高.
三角形的高
定义
垂线 ，
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____
顶点 垂足
线段
_____和_____之间的_____叫做三角形的高线，简称
三角形的高
符号语言
∵ 是△ 的高，（已知）
三角形的高线定义
三角形高线、中线、角平分线(共23张PPT)
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点
A
01 23 4 5
向它的对边所在直线作垂线，
顶点 和垂足之间的线段
叫做三角形的高线，
01 23 4 5
简称三角形的高。(height) B
D
C
图5−12
注意 ! 标明
请分别画出锐角、直角、钝角 垂直的记号
三角形的高.
又∵ △BCM的周长比
△ACM的周长大3cm
A
∴ (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3
即BC-AC=3cm,又BC=8cm M
∴AC=5cm
B
C
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线
段叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的 角平分线
A
∠ BAD = ∠ CAD = 1∠BAC 2
B
D
C
画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么 发现？
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1_∠_A_B__C
F
2
E
O
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2___∠_A_C_F=2__∠_B_C__F B
人教版数学八年级上册
11.1.2 三角形的高、中线与角 平分线
学习目标
1.理解三角形高、中线与角平分线的 概念。
2.准确区分三角形的高、中线与角平 分线。
3.能够独立完成三角形高、中线与角 平分线的有关计算。
三角形的中线、角平分线、垂线PPT课件
A E
你有什么发现？与同学交流。
D
C
长边上的高在三角形内，
B
短边上的高在三角形外
钝角三角形的三条高不相交于一点.
F
这三条高所在的直线是否相交于 一点呢？请大家画一画。
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点.
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14
如图，七年级一、二班的同学在植树节前要绿化 一块三角形的空地，你能帮助他们把这块地划分成面 积相等、都是三角形形状的两块地吗？ A
相关知识回顾
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点引一条射线，这条射
线把这个角分成两个相等的角，则这条射
线就叫做这个角的平分线。
A
如图所示：
BE是∠ABC的平分线， 那么 ∠1=∠2= ２１∠_A__B_C__
E
1
2
C
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B
1
相关知识回顾
2.线段中点的定义：
线段上的一点把这条线段分成相等的两部分，这个点
B
C
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15
同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？ 请大家畅谈。
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17
作业
有一块三角形的三明治， 你能运用几种方法把这块三 明治分成大小相等的6份。
18
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
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10
三、三角形的高
A
从三角形的一个顶点
向它的对边所在的直线画
垂线，顶点和垂足间的线
段，叫做这个三角形的高。B
D
C
如上图所示，线段AD是BC边上的高.
三角形的高线、中线与角平分线
角。
三角形外角性质1
三角形的外角和为360°。
三角形外角性质2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
三角形外角性质3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
02 高线性质与应用
高线定义及性质
性质
三角形的高垂直于对应的底边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
重心坐标
在平面直角坐标系中，若三角形三 个顶点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2)、(x3,y3)，则重心的坐标为 ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。
中线在解题中应用举例
利用中线性质求三角形面积：已知三 角形两边a、b及夹角C，则三角形面积 为S=1/2absinC。若C为直角，则 S=1/2ab。此时，若知道一条中线m， 则S=1/2m^2sin2A（A为与中线m所 对的角）。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长 线组成的角，叫做三角形的外
综合应用
在解决三角形问题时，可以综合应用高线、中线和角平分线的性质。例如，利 用高线求三角形的面积，利用中线证明线段相等或平行，利用角平分线证明角 度相等或求解角度问题等。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理简介
三角形外角性质1
三角形的外角和为360°。
三角形外角性质2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
三角形外角性质3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
02 高线性质与应用
高线定义及性质
性质
三角形的高垂直于对应的底边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
重心坐标
在平面直角坐标系中，若三角形三 个顶点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2)、(x3,y3)，则重心的坐标为 ((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。
中线在解题中应用举例
利用中线性质求三角形面积：已知三 角形两边a、b及夹角C，则三角形面积 为S=1/2absinC。若C为直角，则 S=1/2ab。此时，若知道一条中线m， 则S=1/2m^2sin2A（A为与中线m所 对的角）。
三角形内角和定理
01
02
03
04
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于 180°。
推论1
直角三角形的两个锐角互余。
推论2
三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角之和。
推论3
三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长 线组成的角，叫做三角形的外
综合应用
在解决三角形问题时，可以综合应用高线、中线和角平分线的性质。例如，利 用高线求三角形的面积，利用中线证明线段相等或平行，利用角平分线证明角 度相等或求解角度问题等。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理简介
浙教版八年级数学上册《三角形的角平分线、中线、高线》课件
D
C
② ∠BAC=2∠BAD → AD是⊿ABC的角平分线；
A
∠BAD=0.5∠BAC →AD是⊿ABC的角平分线. (2)三角形的角平分线与角平分线的区别与联系：
①三角形的角平分线是线段，角平分线是射线；
F
O
E
②三角形的角平分线、角平分线的性质相同. B
D
C
(3)任意画一个⊿ABC，画出它的三条角平分线AD，BE，CF.你发现了什么？
∴∠BAC = 180°-(∠B+∠C) = 180°-(45°+ 60°)
B
45°
？
E
60°C
∠BAE=？
= 75°. ∵AE是⊿ABC的角平分线，
∠BAC=？
∴∠BAE = ∠CAE = 0.5∠BAC = 0.5×75°=37.5°.
又∠AEB =∠CAE+∠C(为什么？)，
∠BAC=180°-(∠B+∠C) ∠AEB=？
(3)三角形中线的性质：
①直接得出线段中点的性质；
B
D
②间接得出两个三角形的面积.
练习3. 如图，AD是⊿ABC的中线，AB=5，AC=3，则
⊿ABD、⊿ACD的面积与周长这两种量中，哪种量相等，
5
哪种量不相等？
不相等的两个量之间相差多少？
B
D
⊿ABD的周长为AB+BD+DA；
EF
CD
B
= ∠C +(∠2 +∠3)
C
2
B
D
= ∠C +0.5(∠ABC+∠BAC)
= 0.5(∠ABC+∠BAC+∠C)+0.5∠C.
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
所以△BDE 为等边三角形,所以 BD=2
2
2
.
2
在△ABD 中,由余弦定理可得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB,
得 cos∠ADB= .
.
跟踪训练
三角形的角平分线问题
如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
−
2 +∙
推导过程：在∆
中，cos = 2 2 ∙ 2 2 ， 2 2
2 2
联立两个方程可得：
2+ + 2= 2(
2+ + )
2 )
联立两个方程可得：
=
2(
联立两个方程可得：
+
=
2(
+
)
2+
2−
2
在∆
中，cos = 2 ∙
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
2
2
.
2
在△ABD 中,由余弦定理可得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB,
得 cos∠ADB= .
.
跟踪训练
三角形的角平分线问题
如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
−
2 +∙
推导过程：在∆
中，cos = 2 2 ∙ 2 2 ， 2 2
2 2
联立两个方程可得：
2+ + 2= 2(
2+ + )
2 )
联立两个方程可得：
=
2(
联立两个方程可得：
+
=
2(
+
)
2+
2−
2
在∆
中，cos = 2 ∙
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
【作用】建立中线与三边间的关系式，进而求解长度问题
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∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
小结: ①任何三角形有三条中线，并且
都在三角形 的内部，交与一 点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的 三角形。
我来分地
❖ 如图有一块三角形的菜地，现在要求
分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问： 怎样分？
A
·
· · B
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD， 交∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
角平分线。
●
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点
角平分线的理解
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
A
【拓展训练】
B
D
C
1、已知，AD是△ABC的中线△ABD的周长比△ACD的周
长大3cm，AB=8cm，则AC=
2、如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=40º， 则∠O= 3、如图， AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD
4、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，斜边AB的 高为CD，AC=3，BC=4，AB=5
求：CD的长
C
A
A
D
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个顶 点向它的对边所在 的直线作垂线,顶 点和垂足之间的线 段
三角形 的中线
三角形中,连结一 个顶点和它对边中 的 线段
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC
1
而△ABD的面积= 2 BD×AE
△ADC的面积=
1 2
DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积 B E D
C
也就是说：三角形的任意一条中线把这个 三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
抢答：
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C
B
BC B
D
AD
C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
三角形的中线
A 合作探究：什么是三角形的中线?
如左图，连接△ABC的顶点和它
所对的边BC的中点D，所得线段
.
B
D
AD叫做△ABC的边BC上的中线。
C
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
D
钝 角三角形的
三条高没有相交于一点
F
B
C
E
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
高线的特点
每个三角形都有三条高线
锐角三角形 三条高线相交于一点，交点 在三角形的内部
直角三角形 三条高线相交于一点，交点 在直角三角形的直角的顶点 处
A
A
B
CB
C
锐角三角形的三条高
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是
外部?
B
A
F E
O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部 。
直角三角形的三条高
(1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
A
D
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
三角形的高线中线角平分线优 秀课件
相关知识回顾自主探索
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等
的线段的点。
3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两
个相等的角，这条射线叫 做这个角的平分线。
三角形的 角平分线
三角形一个内角的 平分线与它的对边 相交,这个角顶点 与交点之间的线段
A ∵AD是△ABC的BC上的高
线.
B D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A
∵ AD是△ABC的BC上的
B D C 中线.
∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1 ∵.AD是△ABC的∠BAC
B D C 的平分线
钝角三角形 三条高线相交于一点，交 点在三角形的外部
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都 有高线，三角形的三条高线所在直线相交与 一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。 直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形 高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
三角形的高
⑴ 什么是三角形的高？（定义）
A
如右图，从△ABC的顶点向它所对的边 BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线 段AD叫做△ABC的边BC上的高.
从三角形一个顶点向它的对边所 B 在的直线做垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高线，简称 三角形的高
D
C
三角形的高
(2)合作探究：怎样画三角形的高线？（画法）
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
【课堂练习】
1、三角形的角平分线、中线、高 （ ） A．都是线段 B、都是直线 C、都在三角形的内部 D、角平分线是射线，其余的是线段 2 、三角形的三条高在（ ） A.三角形的内部 B. 三角形的外部 C.三角形的边上 D.三角形的内部，外部或边上 3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶 点，那么这个三角形是（ ）
小结: ①任何三角形有三条中线，并且
都在三角形 的内部，交与一 点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的 三角形。
我来分地
❖ 如图有一块三角形的菜地，现在要求
分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问： 怎样分？
A
·
· · B
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD， 交∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
角平分线。
●
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点
角平分线的理解
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
A
【拓展训练】
B
D
C
1、已知，AD是△ABC的中线△ABD的周长比△ACD的周
长大3cm，AB=8cm，则AC=
2、如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=40º， 则∠O= 3、如图， AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD
4、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，斜边AB的 高为CD，AC=3，BC=4，AB=5
求：CD的长
C
A
A
D
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个顶 点向它的对边所在 的直线作垂线,顶 点和垂足之间的线 段
三角形 的中线
三角形中,连结一 个顶点和它对边中 的 线段
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC
1
而△ABD的面积= 2 BD×AE
△ADC的面积=
1 2
DC×AE
故△ABD的面积= △ADC的面积 B E D
C
也就是说：三角形的任意一条中线把这个 三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
抢答：
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C
B
BC B
D
AD
C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
三角形的中线
A 合作探究：什么是三角形的中线?
如左图，连接△ABC的顶点和它
所对的边BC的中点D，所得线段
.
B
D
AD叫做△ABC的边BC上的中线。
C
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的
A
三条高交于一点吗？
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
D
钝 角三角形的
三条高没有相交于一点
F
B
C
E
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
高线的特点
每个三角形都有三条高线
锐角三角形 三条高线相交于一点，交点 在三角形的内部
直角三角形 三条高线相交于一点，交点 在直角三角形的直角的顶点 处
A
A
B
CB
C
锐角三角形的三条高
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是
外部?
B
A
F E
O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部 。
直角三角形的三条高
(1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
A
D
●
B
C
直角边BC边上的高是 AB ; 直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
三角形的高线中线角平分线优 秀课件
相关知识回顾自主探索
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等
的线段的点。
3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两
个相等的角，这条射线叫 做这个角的平分线。
三角形的 角平分线
三角形一个内角的 平分线与它的对边 相交,这个角顶点 与交点之间的线段
A ∵AD是△ABC的BC上的高
线.
B D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A
∵ AD是△ABC的BC上的
B D C 中线.
∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1 ∵.AD是△ABC的∠BAC
B D C 的平分线
钝角三角形 三条高线相交于一点，交 点在三角形的外部
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都 有高线，三角形的三条高线所在直线相交与 一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。 直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形 高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
三角形的高
⑴ 什么是三角形的高？（定义）
A
如右图，从△ABC的顶点向它所对的边 BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线 段AD叫做△ABC的边BC上的高.
从三角形一个顶点向它的对边所 B 在的直线做垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高线，简称 三角形的高
D
C
三角形的高
(2)合作探究：怎样画三角形的高线？（画法）
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
【课堂练习】
1、三角形的角平分线、中线、高 （ ） A．都是线段 B、都是直线 C、都在三角形的内部 D、角平分线是射线，其余的是线段 2 、三角形的三条高在（ ） A.三角形的内部 B. 三角形的外部 C.三角形的边上 D.三角形的内部，外部或边上 3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶 点，那么这个三角形是（ ）