导数导学案7
导数的几何意义导学案
导数的几何意义导学案在几何意义上，导数可以用来计算曲线上任意一点的切线的斜率。
在坐标平面上，我们可以通过求导来得到曲线在给定点的导数，然后通过这个导数来计算切线的斜率。
一条曲线的切线斜率可以告诉我们曲线在这一点的变化情况，即曲线在这一点附近的趋势。
为了更好地理解导数的几何意义，我们可以通过一个具体的例子来说明。
考虑一个函数f(x)=x^2，我们想要计算这个函数在x=2处的导数，即f'(2)。
首先，我们可以通过求导得到f'(x)=2x，然后将x代入2，得到f'(2)=4在几何上，我们可以通过上述计算得到的导数值4来描述曲线在x=2处的切线的斜率。
这意味着在点(2,4)附近的曲线上的任意一点的切线的斜率都是4、这个数值告诉我们曲线在这一点附近上升得非常陡峭，函数值的增加速度很快。
除了计算切线的斜率，导数还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。
根据导数的正负性，我们可以判断曲线在其中一点的凹凸性。
如果导数为正，曲线向上凸起；如果导数为负，曲线向下凹陷；如果导数为零，曲线具有拐点。
通过这种方式，导数可以告诉我们曲线在其中一点的弯曲情况。
此外，导数的值还可以告诉我们曲线的方向。
如果导数为正，曲线向右上方倾斜；如果导数为负，曲线向左上方倾斜；如果导数为零，则曲线是水平的。
通过这个几何意义，我们可以判断曲线的走向和倾斜程度。
总结起来，导数的几何意义可以用来描述曲线在其中一点的切线斜率，同时还可以用来判断曲线的凹凸性和方向。
导数的几何意义在求解实际问题时非常重要，它可以帮助我们理解和分析曲线的特性，从而更好地理解和使用导数概念。
导数导学案
导数的综合应用学习目标：1、利用导数研究单调性、最值、零点等问题。
2、掌握导数与不等式结合的问题。
3、体会分类讨论思想，数形结合思想，转化与化归思想在解决问题中的应用。
一、课前热身1、已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为2、设函数x x x f +=3)(，若02πθ<≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数的取值范围是_ .3、已知关于x 的方程3||3x kx x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 4、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是二、课堂互动1、数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.()(0)kxf x xe k =≠()y f x =(0,(0))f ()f x ()f x (1,1)-k2、(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求f (x )的单调区间；（2）当a >0时，求证：函数f (x )的图像存在唯一零点的充要条件是a =1；（3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．3、已知函数.32)(2x x e x f x -+=（I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相 应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3） （III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取 值范围。
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
导数全套导学案
3.1.1函数的平均变化率命题人 林晓明 审批人 李志远 时间：2015/12/19 期数 51【预习目标】 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【预习内容】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么?５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．【疑难解析】 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；例2．求函数f (x )=3x x -+图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【练习与展示】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.122. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化 率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化 率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0， 5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数及应用导学案
导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
高二数学 导数第七课时导学案
第七课时 导数在实际生活中的应用学习目标：1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉ 解有关函数最大值、最小值的实际问题 学习过程一、课前准备：预习课本，找出疑惑之处，并试图解决以下问题．解应用题的思路与方法：（1） 审题：理解题意，分析问题的主要关系 （2） 设元：（3） 建模： （4） 求解：求得数学问题的解（5） 反馈： 二、新课导学： 学习探究： 例1(见课本)例2(见课本)：例3（见课本）：三、检测练习1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 2用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为3要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为4做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为5如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为6做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省．7如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？8某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)39某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为:p =24200－51x 2,且生产x t 的成本为:R =50000+200x (元)．问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)10在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？四、本课小结:1.体会导数在处理最值上的工具性作用：2.主要解决一下函数的最值：（1）高次函数（三次及三次以上的整式函数）； （2）复杂的分式函数； （3）含根号的无理函数.第7课时 1．5米/秒 2 6cm 3 cm3320 4 b/a 5 长100米，宽3200米 6 解析：设方底无盖水箱的底面边长为x 分米，高为h 分米，则2562=h x ，全面积4,8010242',10242422=∴==-=∴+=+=h x xx S x x xh x S ，得令，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省．7 解：设小正方形的边长为x cm ，盒子容积为y=f (x )；则y=f (x )=(8－2x )(5－2x )x =4x 3－26x 2+40x(250≤≤x )；∵)1)(103(4405212)(2--=+-='x x x x x f ；当0)(='x f 得1310==x x 或；∵]25,0[1],25,0[310∈∉，又f (1)=18，f (0)= f (25)=0，∴小正方形边长为1㎝时，盒子的容积最大，为18㎝3．8 解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y 则依题意有()f x =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180）令()1500100f x x '=-=得x=150又(100)100000f =， (150)112500f =，(180)108000f =所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达元． 9解:每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24200－51x 2)x －(50000+200x ) =－51x 3+24000x －50000(x ≥0)． 由f ′(x )=－53x 2+24000=0,解得x 1=200,x 2=－200(舍去)．∵f (x )在［0,+∞)内只有一个点x 1=200使f ′(x )=0, ∴它就是最大值点．f (x )的最大值为f (200)=(元)．5∴每月生产200 t 才能使利润达到最大,最大利润是315万元．10 解：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则∵BD =40,AC =50－x ,∴BC =222240+=+x CD BD 又设总的水管费用为y 元，依题意有： y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km) ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．。
导数公式表及应用导学案
导数公式表及应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1【问题探究】探究点一求导函数 问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x 3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12x D ．32 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4] 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化。
导数导学案
导数复习专题一、导数的概念及几何意义1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 二、八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ ，)('x e ＝ ，)('x a ＝ ，)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ 。
导数的四则运算)('±v u ＝ ， ])(['x Cf ＝ ，)('uv ＝ ，)('u ＝ )0(≠v练习：1.2x y =在1=x 处的导数为（ ）A. x 2 B.2x ∆+ C.2 D.12.下列求导数运算正确的是（ ）A. 2'11)1(x x x +=+B. ='2)(log x 2ln 1xC. e x x 3'log 3)3(=D. x x x x sin 2)cos ('2-= 3.函数xxy sin =的导数为 函数x x x y sin cos -=的导数为函数x x y cos 2=的导数为 函数1y x x=+在x=1处的导数是4.函数23)(23++=x ax x f ，若)1('-f =4，则a 的值等于5.物体运动方程为3414-=t s ，则5=t 时的瞬时速率为 7.已知x f x x f )31('2)(2-+=，求=-)31('f三、导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。
导数的概念及其几何意义导学案
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导数的概念及其几何意义(4) 导学案
三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第七课时导数的几何意义习题课学习目标会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方
程
学习重点曲线上一点处的切线斜率的求法学习
难点理解导数的几何意义
学法指导探析归纳，讲练结合学习过程一自主学习复习：导数的几何意义：函数在x0 处的导数就是曲线在点( x0，)处的切线的斜率。
二师生互动
例1 、在曲线上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足列条件：
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（1）平行于直线y＝x＋1；
（2）垂直于直线2x－16y＋1＝0；
（3）倾斜角为135°。
例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。
例3 、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，
根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
三、自我检测
练习册：7、8．
四、课堂反思
1 、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2 、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
习题2-2A： 3.4.5B。
《基本初等函数的导数》 导学案
《基本初等函数的导数》导学案一、学习目标1、理解并掌握基本初等函数的导数公式。
2、能够运用导数公式求基本初等函数的导数。
3、体会导数在解决函数问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点1、基本初等函数的导数公式的推导及应用。
2、利用导数公式求函数的导数。
三、学习难点1、导数公式的推导过程。
2、灵活运用导数公式解决问题。
四、知识回顾1、导数的定义：设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的自变量的增量为\（＼Delta x\），函数的增量为\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼），如果当\（＼Delta x ＼to 0\）时，平均变化率\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限存在，即\（＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）存在，则称函数\（y＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，并称这个极限为函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）。
2、导数的几何意义：函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数\（f'（x_0)＼），就是曲线\（y ＝ f(x)＼）在点\（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率。
五、新课讲授（一）常数函数的导数1、思考：对于函数\（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），其导数是什么？2、推导：＼＼begin{align}＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{C C}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}0\＼＆＝0＼end{align}＼3、结论：常数函数的导数为\（0\），即\（（C)＇＝ 0\）。
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§1.3.1利用导数判断函数的单调性
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
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复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.
复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；
(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：
在区间
（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在
）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大
而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.
新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x
=在这个区间内的减函数.
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--；
（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；
（4）32()23241f x x x x =+-+.
反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：
①求函数f (x )的导数()f x '.
②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间.
③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.
探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？
※ 典型例题
例1 已知导函数的下列信息：
当14x <<时，()0f x '>；
当4x >，或1x <时，()0f x '<；
当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.
变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.
例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器
中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
※ 动手试试
练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；
（3）3()3f x x x =-； （4）32()f x x x x =--.
练2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.
三、总结提升
※ 学习小结
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f (x )的定义域；
②求函数f (x )的导数()f x '.
③令()0f x '=，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间
注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※ 知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）
A ．240b ac -<
B ．230b ac -<
C ．240b ac ->
D ．230b ac ->
2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．3(,)22
ππ B ．(,2)ππ C ．35(,)22
ππ D ．(2,3)ππ 3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．()0f x =
D ．不能确定
4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是
5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
课后作业
1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；
（3）()cos ,(0,)2
f x x x x π=+∈.
1. 已知汽车在笔直的公路上行驶：
（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.
（2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？。