导数导学案7

§1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

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复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.

复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；

(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：

在区间

（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在

）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大

而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.

新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x

=在这个区间内的减函数.

试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--；

（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；

（4）32()23241f x x x x =+-+.

反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：

①求函数f (x )的导数()f x '.

②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间.

③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.

探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？

※ 典型例题

例1 已知导函数的下列信息：

当14x <<时，()0f x '>；

当4x >，或1x <时，()0f x '<；

当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.

变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.

例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器

中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.

※ 动手试试

练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：

（1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；

（3）3()3f x x x =-； （4）32()f x x x x =--.

练2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.

三、总结提升

※ 学习小结

用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数f (x )的定义域；

②求函数f (x )的导数()f x '.

③令()0f x '=，求出全部驻点；

④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间

注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.

※ 知识拓展

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）

A ．240b ac -<

B ．230b ac -<

C ．240b ac ->

D ．230b ac ->

2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）

A ．3(,)22

ππ B ．(,2)ππ C ．35(,)22

ππ D ．(2,3)ππ 3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）

A ．()0f x >

B ．()0f x <

C ．()0f x =

D ．不能确定

4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是

5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于

课后作业

1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：

（1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；

（3）()cos ,(0,)2

f x x x x π=+∈.

1. 已知汽车在笔直的公路上行驶：

（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.

（2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？