重庆市七校联考2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
重庆市七校联考2014_2015学年高一化学下学期期末考试试题
2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一化学试题试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间100分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
5．可能用到的相对原子质量：H-1O-16C-12N-14S-32Al-27Na-23 Mn-55 Cl-35.5 第I 卷（选择题，共42分）一、选择题（本大题包括14小题，只有一个．．．．选项符合题意。
每小题3分，共42分） 1．如图是一个一次性加热杯的示意图。
当水袋破裂时，水与固体碎块混和，杯内食物温度明显上升。
制造此加热杯可选用的固体碎块是（ ） A ．硝酸铵 B ．食盐 C ．蔗糖D ．生石灰2．下列有关化学用语的表示方法中正确的是（ ）A ．H 2O 2的电子式：B ．CO 2分子的结构式：O=C=OC ．原子核内有8个中子的碳原子：C 148D ．氯化钠的分子式：NaCl3．今年是门捷列夫诞辰180周年，下列事实不能．．用元素周期律解释的只有（ ） A ．碱性：KOH ＞NaOHB ．相对分子质量：Ar ＞KC ．酸性：HClO 4＞H 2SO 4D ．元素的金属性：Mg ＞Al 4．已知aA n+、bB(n+1)+、cC n-、dD(n+1)-均是具有相同电子层结构的短周期元素形成的简单离子，下列说法正确的是（ ）A ．原子半径C>D>A>BB ．原子序数b>a>c>dC ．离子半径D>C>B>AD ．单质的还原性A>B>C>D 5．下列物质性质排列顺序正确的是（ ）①热稳定性：H 2O ＞HF ＞H 2S ②还原性：HI ＞HBr ＞HCl ③熔沸点：AsH 3＞PH 3＞NH 3④酸性：HNO 3＞H 2CO 3＞H 2SiO 3A．①③ B．①④C．②④D．②③6．金刚石和石墨是碳元素的两种结构不同的单质。
重庆市七校联考高一物理下学期期末考试试题
F A 题2图 2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一物理试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分110分，考试时间100分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。
每小题只有一个选项符合题意）1．关于静电场，下列说法正确的是（ ）A ．沿着电场线方向，场强一定越来越小B ．在复杂电场中的电场线是可以相交的C ．同一电场线上的各点，电势一定相等D ．正电荷沿电场线方向移动时，电势能一定减小2．如题2图所示，一个物体在水平恒力F 的作用下从A 点由静止开始运动到B 点，第一次在光滑的水平面上移动，第二次在粗糙的水平面上移动.下列说法正确的是（ ）A ．第一次F 做功多B ．第二次F 做功多C ．第一次物体到达B 点时的动能大D ．第二次物体到达B 点时的动能大3．如题3图所示，光滑水平面上固定金属小球A ，用原长为L 0的绝缘弹簧将A 与另一个金属小球B 连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x 1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x 2，则有（ ）A ．x 2＝12x 1B ．x 2＝14x 1 C ．x 2>14x 1 D ．x 2<14x 1 4．关于人造地球卫星下列说法正确的是（ ）A ．在地球周围作匀速圆周运动的人造卫星的线速度都等于7.9 km/sB ．发射速度大于7.9 km/s 的人造地球卫星进入轨道后的线速度一定大于7.9 km/sC ．由RGM v 可知，离地面越高的卫星其发射速度越小 D ．卫星的轨道半径因某种原因缓慢减小，其线速度将变大题3图题7图题9图题6图题8图5．“嫦娥二号”绕月球的运动可看做匀速圆周运动.已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、离月面高度、月球半径和万有引力常量.根据以上信息能求出（ ）A ．月球表面重力加速度大小B ．月球到地球的距离C ．月球对“嫦娥二号”万有引力的大小D ．“嫦娥二号”的质量 6．如题6图所示，一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比.若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率v 匀速下降；若两极板间的电势差为U ，经一段时间后，油滴以速率v 匀速上升．若两极板间电势差为－U ，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是（ ）A ．2v 、向下B ．2v 、向上C ．3v 、向下D ．3v 、向上7．如题7图所示，竖直放置在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端(球与弹簧不粘连)，并用力向下压球．稳定后用细线把弹簧拴牢.烧断细线，球将被弹起，脱离弹簧后能继续向上运动，则该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中（ ）A ．球的机械能守恒B ．球的动能先增大后减小，机械能一直增加C ．球脱离弹簧时弹簧的长度小于原长D ．球在刚脱离弹簧时动能最大 8．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度—时间图象如题8图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中的哪一个 （ ）二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。
重庆市巫山中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷 (Wo
巫山中学2014-2015学年期末考试数学试题（理）命题人：李素俊 审题人：杨增勇 本试卷共4页，22题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（ ） A ． {3，5} B.{1，2，3，4，5，6} C.{1，3，5} D.{3，5，6} 2．已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为（ ） A. 2- B ．12-C.12 D.2 3．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） A. y ∧＝x －1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1 D. y ∧＝x ＋1 4.已知函数f （x ）=e x﹣x 2+8x ，则在下列区间中f （x ）必有零点的是（ ）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2） 5. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象上的所有点（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度6．在等比数列{}n a 中，若374,16aa ==，5a 的值为（ ）A 8±B 4C 8D 647．阅读下图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B. 9C. 11D. 13 8. 已知ABC ∆中，6π=∠A，AB =3AC =,在线段BC 上任取一点P ，则线段PB的长大于2的概率为（ ） A.31 B. 23 C. 12 D. 359. 已知ABC ∆是腰长为2等腰直角三角形，D 点是斜边AB 的中点，点P 在CD 上，且12CP PD =,则PA PB =( ) A. 34- B. 109- C. 0 D. 410.设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为（ ）A.4+ 11.等比数列{a n }中，首项20151=a ，公比21-=q ，记n T 为它的前n 项之积，则n T 最大时，n 的值为（ ）A.9B.11C.12D.1312.已知关于x 的函数()f x =22222log (2)3,(0)x m x m m +++->有唯一的零点，且正实数b a ,满足22a b m +=，且3331(1)a b t a b ++=++，则t 的最小值是（ ）．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知变量x ，y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值为__________.14.已知sin （α+）=，α∈（﹣，0），则sin α=__________.15．若非零向量b a 、满且)23()(b a b a +⊥-，则a 与b 的夹角为__________. 16.若2c =，3C π∠=且ABC ∆是锐角三角形，则ABC ∆周长的取值范围__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 17. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足134n n a a +=+，*()n N ∈且11=a ， （Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列; （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名 学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)， [100,110)，…，[140,150]后得到部分频率分布直方图（如右图所示）．观察图中数据，回答下列问题． （Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率； （Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．19. （本小题满分12分）已知(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）.(Ⅰ)求()f x 的对称轴方程； (Ⅱ)若]2,0[π∈x 时，()f x 的最小值为5，求m 的值.20. （本小题满分12分） 设函数f(x)=a x-(k-1)ax-(a>0,a 1≠)是定义域为R 的奇函数(Ⅰ)若f(1)>0,试求使不等式f ()tx x +2+f ()12+x >0在定义域上恒成立的t 的取值范围(Ⅱ)若f(1)=38,且g(x ）=a x 2+a x2--2mf(x)在[)+∞,1上的最小值为-2,求m 的值.21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1*n n S a n N =-∈． (Ⅰ)试求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设11111n n n c a a +=++-，求证：数列{}n c 的前n 项和125n P n >-．22. （本小题满分10分）在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角． (Ⅰ)求最大角的余弦值；(Ⅱ)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．2015年（春）巫山中学期末考试数学试题(理)答案一、选择题1-5：ACDBC 6-10：CBABD 11-12：CA12.解: ∵()f x 是偶函数，且()f x =22222log (2)3,(0)x m x m m +++->有唯一的零点.∴(0)0f =，解得，1m =或3-，又0m >，∴1m =∴221a b +=令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则332233cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )1(cos sin 1)(cos sin 1)t θθθθθθθθθθθθ+++-++==++++． 令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．于是2323321(1)12322312(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x t x x x x x --++-+--=====-+++++．因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，因此，t 的最小值为2423)2(-=f ． 二、填空题 13、__2_ 14、 15、4π16、(]2+ 三、解答题 17、（Ⅰ）证明：*12363,()22n n n n a a n N a a +++==∈++ ∴{}2n a +是公比为3等比数列. ……………6分 （Ⅱ）1232332n n n n a a a +=∴+=∴=- ………9分13(13)3322132n n n S n n +--=-=--………12分18、（本小题满分12分）（Ⅰ）[120,130)内的频率为1(0.10.150.150.250.05)10.70.3-++++=-=；…5分 （Ⅱ）由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)． ……………………7分∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m 、n ； ……………………8分 在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a 、b 、c 、d ； ……………………9分设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件共有()m n ，，()()()()()()m a m d n a n d a b c d ⋯⋯⋯，，，，，，，，，，，，，，共15种．……10分则事件A 包含的基本事件有()()()()()()()()m n m a m b m c m d n a n b n c ，，，，，，，，，，，，，，，，()n d ，共9种． …………………11分∴()93155P A ==. …………12分19、（Ⅰ）()2cos 222sin(2)26f x x x m x m π=++=++………4分令z k k x ∈+=+,262πππ∴对称轴方程为：z k k x ∈+=,26ππ………6分（Ⅱ）7[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴+∈………8分当ππ6762=+x 时521min )(=+-=m f x 3=∴m ………12分20、（Ⅰ）∵f （x ）是定义域为R 的奇函数，∴f （0）=0，∴1﹣（k ﹣1）=0，∴k=2． 2分∵函数()x xf x a a -=-（a ＞0且a≠1），∵f（1）>0，∴a﹣＞0，又 a ＞0，∴a>1．由于y=x a 单调递增，y=x a -单调递减，故()f x 在R 上单调递增．不等式化为：()()f x tx f x 2+>-2-1．∴x 2+tx ＞－2x ﹣1，即 x 2+（t ＋2）x+1＞0 恒成立，∴△=（t ＋2）2﹣4＜0，解得﹣4＜t ＜0．…………6分 （Ⅱ）∵f（1）=83， 183a a -= ，即3a 2﹣8a ﹣3=0，∴a=3，或 a=﹣13（舍去）． ∴g（x ）=x 23+x -23﹣2m （x 3﹣x -3）=()xx -23-3﹣2m （x x -3-3）+2． 令t=()f x =x x -3-3，由（1）可知k=2，故()f x =x x -3-3，显然是增函数．∵1x ≥，∴()t f ≥1=83， 令222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-（83t ≥） …………………10分若83m ≥，当t=m 时，2min ()()22h t h m m ==-=-，∴m=2 舍去 若83m <，当t=83时， 2min 8816()()()22333h t h m ==-+=-，解得m=2512＜83，综上可知m=2512．………………… 12分21、（Ⅰ）∵()1*n n S a n N =-∈，∴111n n S a ++=-，作差得：()11*2n n a a n N +=∈， 又当1n =时，112a =，故()1*2n n a n N =∈．………4分（Ⅱ）由已知得：当1n =时，11225P =>-，结论成立， 当2n ≥时，12231111111111111n n n P a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1221221121111112112111111311ni n nn i n a a a a a a a =++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 111222422112213412134121i n n ni n i n i i +++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++1+ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()212221221212112341213415n n n n +⎛⎫≥+-++1+>+-++=- ⎪---⎝⎭，结论也成立， 综上知，对*n N ∀∈，125n P n >-都成立．………………12分 22、（Ⅰ）设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大角为θ，则cos θ＝n 2＋(n ＋1)2－(n ＋2)22·n ·(n ＋1)<0，化简得：n 2－2n －3<0⇒－1<n <3. ………3分 ∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2，∴n ＝2. ∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－14.………5分（Ⅱ）设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为： S ＝a (4－a )·sin θ＝154a (4－a )≤15.（基本不等式） 当且仅当a ＝2时，S max ＝15.………10分。
《解析》2014-2015学年重庆一中高一(下)期末数学试卷Word版含解析
2014-2015学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．学校教务处要从某班级学号为1﹣60的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（）A．5，10，15，20，25，30 B．3，13，23，33，43，53C．1，2，3，4，5，6 D．2，4，8，16，32，483．下列命题中错误的是（）A．夹在两个平行平面间的平行线段相等B．过直线l外一点M有且仅有一个平面α与直线l垂直C．垂直于同一条直线的两个平面平行D．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等4．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A．B．C．D．5．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°6．如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A．4+ B．6+ C．4+ D．6+7．已知x＞0，y＞0，且（x+1）（y+1）=9，则x+y的最小值是（）A．4 B．5 C．D．8．的值为（）A．7+ B．9+ C．11+ D．7+9．在△ABC中AC=BC=3，AB=2，P为三角形ABC内切圆圆周上一点，则的最大值与最小值之差为（）A．4 B．2 C．2 D．210．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q是面A1B1C1D1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：①若DP=，则DP在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为6；②若P在面对角线A1C1上，则在棱DD1上存在一点M使得MB1⊥BP；③若P，Q均在面对角线A1C1上，且PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；④若P，Q均在面对角线A1C1上，则四面体BDPQ在底面ABCD﹣A1B1C1D1上的投影恒为凸四边形的充要条件是PQ＞；以上各结论中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11．经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，a）的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a=．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=3，S5=25，则S10=．13．已知B，C是球O的一个小圆O1上的两点，且BC=2，∠BOC=，∠BO1C=，则三棱锥O ﹣O1BC的体积为．14．在星期天晚上的6：30﹣8：10之间，小明准备用连续的40分钟来完成数学作业，已知他选择完成数学作业的时间是随机的，则在7：00时，小明正在做数学作业的概率是．15．已知m≥0，满足条件的目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．某同学对本地岁的爱好阅读的人群随机抽取n人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人．（1）求出n，a的值；（2）从岁的爱好阅读的人群随机抽取n人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人．（1）求出n，a的值；（2）从=b2，∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA，由正弦定理可得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA，∴sinAsinB（sinAcosA﹣sinBcosB）=0，∴sin2A=sin2B，由0＜2A，2B＜2π，可得2A=2B，或2A=π﹣2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．由（1）知C≠，即△ABC是等腰三角形，∵sin﹣cos=＞0，且∈（0，）⇒⇒C∈（，π），∴cosC=﹣=﹣，∴c==．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，求三角函数值要特别注意角范围的确定，属于中档题．21．已知数列{a n}满足，a1=a，n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2，n∈N*，（1）若{a n}为不恒为0的等差数列，求a；（2）若a=，证明：＜1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过对n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2变形、整理可知a n+1=a n+，利用a n=kn+b，计算即得结论；（2）利用a n+1＞a n、放缩可知﹣＞﹣，通过叠加可知﹣＞﹣，利用＜﹣、并项相加可知a n＜1；利用a n＜1放缩可知a n+1＜a n+，进而﹣＜﹣，通过叠加可知﹣＜﹣，利用＞﹣、并项相加可知a n≥．解答：（1）解：∵数列{a n}为不恒为0的等差数列，∴可设a n=kn+b，∵n2S n+1=n2（S n+a n）+a n2，∴n2（S n+1﹣S n）=n2a n+a n2，∴n2a n+1=n2a n+a n2，∴a n+1=a n+，∴k（n+1）+b=kn+b+，整理得：kn2=k2n2+2kbn+b2，∴，解得：k=1、b=0或k=0、b=0（舍），∴a n=n，∴a1=a=1；（2）证明：下面分两部分来证明命题：①证明：a n＜1．易知a n＞0，a n+1﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，∴a n+1=a n+＜a n+，两端同时除以a n a n+1，得：＜+，∴﹣＞﹣，∴﹣＞﹣，…﹣＞﹣，叠加得：﹣＞﹣，又∵＜=﹣，∴﹣＞﹣＞﹣（﹣+﹣+…+﹣+）=﹣（2﹣）=﹣2，又∵a1=a=，∴﹣3＞﹣2，∴＞﹣2+3=1+＞1，∴a n＜1；②证明：a n≥．显然a1=≥，∵a n＜1，∴a n+1=a n+＜a n+，∴a n＞•a n+1，∴a n+1=a n+=a n+•a n＞a n+••a n+1=a n+•a n•a n+1，两端同时除以a n a n+1，得：＞+，∴﹣＜﹣，∴﹣＜﹣，…﹣＜﹣，叠加得：﹣＜﹣，又∵＞=﹣，∴﹣＜﹣＜﹣（﹣+…+1﹣）=﹣（1﹣），∴﹣=﹣3＜﹣（1﹣），∴＜3﹣1+=，∴a n≥；综上所述：＜1．点评：本题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，利用放缩法和裂项是解决本题的关键，难度较大，注意解题方法的积累，属于难题．。
重庆市七校联考高一物理下学期期末考试试题
F A 题2图 2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一物理试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分110分，考试时间100分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。
每小题只有一个选项符合题意）1．关于静电场，下列说法正确的是（ ）A ．沿着电场线方向，场强一定越来越小B ．在复杂电场中的电场线是可以相交的C ．同一电场线上的各点，电势一定相等D ．正电荷沿电场线方向移动时，电势能一定减小2．如题2图所示，一个物体在水平恒力F 的作用下从A 点由静止开始运动到B 点，第一次在光滑的水平面上移动，第二次在粗糙的水平面上移动.下列说法正确的是（ ）A ．第一次F 做功多B ．第二次F 做功多C ．第一次物体到达B 点时的动能大D ．第二次物体到达B 点时的动能大3．如题3图所示，光滑水平面上固定金属小球A ，用原长为L 0的绝缘弹簧将A 与另一个金属小球B 连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为x 1，若两球电荷量各漏掉一半，弹簧伸长量变为x 2，则有（ ）A ．x 2＝12x 1B ．x 2＝14x 1 C ．x 2>14x 1 D ．x 2<14x 1 4．关于人造地球卫星下列说法正确的是（ ）A ．在地球周围作匀速圆周运动的人造卫星的线速度都等于7.9 km/sB ．发射速度大于7.9 km/s 的人造地球卫星进入轨道后的线速度一定大于7.9 km/sC ．由RGM v 可知，离地面越高的卫星其发射速度越小 D ．卫星的轨道半径因某种原因缓慢减小，其线速度将变大题3图题7图题9图 题6图题8图5．“嫦娥二号”绕月球的运动可看做匀速圆周运动.已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、离月面高度、月球半径和万有引力常量.根据以上信息能求出（ ）A ．月球表面重力加速度大小B ．月球到地球的距离C ．月球对“嫦娥二号”万有引力的大小D ．“嫦娥二号”的质量 6．如题6图所示，一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比.若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率v 匀速下降；若两极板间的电势差为U ，经一段时间后，油滴以速率v 匀速上升．若两极板间电势差为－U ，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是（ ）A ．2v 、向下B ．2v 、向上C ．3v 、向下D ．3v 、向上7．如题7图所示，竖直放置在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端(球与弹簧不粘连)，并用力向下压球．稳定后用细线把弹簧拴牢.烧断细线，球将被弹起，脱离弹簧后能继续向上运动，则该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中（ ）A ．球的机械能守恒B ．球的动能先增大后减小，机械能一直增加C ．球脱离弹簧时弹簧的长度小于原长D ．球在刚脱离弹簧时动能最大 8．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度—时间图象如题8图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中的哪一个 （ ）二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。
2014-2015学年度第二学期期末考试高一数学(理)试卷
21.（本小题满分 14 分） 数列{an } 中， a3 1 ， a1 a2 an an1 （ n N * ）. （1）求 a1, a2 ； （2）求数列{an }的前 n 项和 S n ； （3）设 bn log 2 Sn ，存在数列{cn }使得
n
(xi x)( yi y)
2 ∴ D1D⊥面 A1B1C1D1，Rt△ DD1A1，A1D= 5 ，………………5 分
2
在 Rt△ ABD 中，BD= 3 ，
在 Rt△ BA1D 中，A1B= 17 ， 2
∴ cos∠ BA1D= A1D = 85 ………………………………………6 分 A1B 17
(Ⅲ)如图 2，连接 AC，A1C1. 设 AC∩BD 于点 E，
图2 连接 EA1.…………………………………………………………7 分 ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴EC＝ 1 AC.
2 由棱台的定义及 AB＝2AD＝2A1B1 知， A1C1∥EC 且 A1C1＝EC， ∴四边形 A1ECC1 为平行四边形，……………………………8 分 因此 CC1∥EA1. 又∵EA1⊂平面 A1BD，CC1⊄ 平面 A1BD，
考
点
考
场
考
号
考
生
2014——2015 学年度第二学期期末考试
高一数学试卷（理科）答题卡
题型
选择题
填空题
解答题
总分
题号 得分
1~10
11~14 15 16 17 18 19 20 21
第 I 卷（选择题 共 50 分）
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一个是符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
2014-2015年重庆市七校联考高一(下)期中数学试卷(理科)含解析
2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．233．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．554．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．48．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．359．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．611．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010 12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于．三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分）1．（5分）不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（3，+∞）C．（2，3）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，对应的二次方程为：（x﹣2）（3﹣x）=0的解为：x=2，x=3，不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是：（2，3）．故选：C．2．（5分）高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．20B．21C．22D．23【解答】解：∵用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本对应的组距为56÷4=14，∴7+14=21，故样本中还有一个同学的座号是21，故选：B．3．（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=1，i=2满足条件i≤3，S=5，i=3满足条件i≤3，S=14，i=4不满足条件i≤3，退出循环，输出S的值为14．故选：A．4．（5分）根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线方程是（）A．=3x﹣1B．=x+C．=x+2D．=x+【解答】解：∵=4，=5，故回归直线方程必过（4，5）点，故A错误；B正确，C错误，D错误，故选：B．5．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为200米和400米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B 间的距离为（）A．400米B．200米C．200米D．200米【解答】解：作出示意图，如图，则AC=200，BC=400，∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos120°=40000+160000+80000=280000，∴AB==200．故选：D．6．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°故选：B．7．（5分）已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=2y﹣x，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（3，2），此时z的最大值为z=2×2﹣3=4﹣3=1，故选：A．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50B．45C．40D．35【解答】解：依题意可知求得d=﹣1，a1=9∴S n=9n﹣=﹣n2+9n+，∴当n=9时，S n最大，S9=81﹣=45故选：B．9．（5分）下列结论中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0且x≠1时，+≥2C．当x≥3时，x+的最小值是D．当0＜x≤1时，x﹣无最大值【解答】解：选项A，当x＞0且x≠1时，lgx正负不定，故不可得到lgx+≥2，故错误；对于B，x＞0，∴＞0，∴+≥2当且仅当x=1时取等号，故B错误；对于C：令f（x）=x+，f′（x）=1﹣=，∴f（x）在（1，+∞）递增，f（x）min=f（3）=，故C正确；对于D，x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值，故D错误；故选：C．10．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果b+c=2，A=60°，△ABC的面积为，那么a为（）A．B．C．10D．6【解答】解：因为b+c=2，所以b2+c2+2bc=12．△ABC的面积为，所以bcsinA=，所以bc=2，所以b2+c2=8．由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA=8﹣2=6，所以a=．故选：B．11．（5分）已知，则=（）A．﹣2008B．2008C．2010D．﹣2010【解答】解：令a n=∵∴数列共有251项，=﹣8×251=﹣2008故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有a n+1﹣a n ﹣a n≥3×2n成立，则a2015=（）≤2n，a n+2A．22006﹣1B．22006+1C．22015+1D．22015﹣1﹣a n≥3×2n，得【解答】解：由a n+2a n+2﹣a n+1+a n+1﹣a n≥3×2n ①，且，即②，①+②得：a n﹣a n≥2n，+1﹣a n≤2n，又a n+1∴．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+22+21+1==2n﹣1．∴a2015=22015﹣1．故选：D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为84．【解答】解：根据茎叶图，得到6次数学成绩为：78，83，83，85，90，91，中位数是=84，故答案为：84．14．（5分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1），则{a n}的通项公式为a n=3n﹣1．【解答】解：当n≥2时，a n=2S n+1（n≥1），a n=2S n﹣1+1，+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n．∴a n+1当n=1时，a2=2a1+1=3．∴数列{a n}为等比数列．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）若a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：a2﹣a＞x++6（x＜0）恒成立，∴a2﹣a﹣6＞x+（x＜0）恒成立，令g（x）=x+=﹣（﹣x+）≤﹣4，∴a2﹣a﹣6＞﹣4，∴a＞2或a＜﹣1．故a的范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．16．（5分）△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于64．【解答】解：∵S=a2﹣（b﹣c）2，S=bcsinA，且根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∴sinA=2﹣2cosA，即====tan，∴sinA==，又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，则此时面积S的最大值为a2﹣（b﹣c）2=a2=64．故答案为：64三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分）17．（10分）已知{a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，（1）求通项a n（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和S n．【解答】解：（1）由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=2﹣2（n﹣1）=4﹣2n；（2）{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，可得b n﹣a n=1•3n﹣1，即为b n=4﹣2n+3n﹣1；前n项和S n=（2+1）+（0+3）+…+（4﹣2n+3n﹣1）=（2+0+…+4﹣2n）+（1+3+…+3n﹣1）=•（2+4﹣2n）n+=3n﹣n2+．18．（12分）解关于x的不等式＞0（a＞0）【解答】解：＞0等价于（x﹣1）（x﹣）＞0，当a＞2时，解集为{x|x＜，或x＞1}，当a=2时，解集为{x|x≠1}，当0＜a＜2时，解集为{x|x＞，或x＜1}．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a﹣c）=b（a﹣b）…（2分）故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，故，…（4分）故C=60°…（6分）（2）由（1）中a2﹣c2=ab﹣b2，得25﹣49=5b﹣b2，得b2﹣5b﹣24=0，解得b=8或b=﹣3（舍），故b=8．…（9分）所以，△ABC的面积为：．…（12分）20．（12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为p=（0≤x≤8），若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【解答】解：（1）根据题意得100=，所以k=800，故f（x）=+5+6x，0≤x≤8．（6分）（2）因为f（x）=+2（3x+5）﹣5≥80﹣5，当且仅当=2（3x+5）即x=5时f（x）min=75．所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f（x）最小，最小为75万元．（12分）21．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3…（1）证明：数列{﹣1}是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t成等差数列，且a m﹣1，a s﹣1，a t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵a n=，∴，+1∴，又a1=，∴，∴数列{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即，∴．假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有（3s+1）2=（3m+1）（3t+1），即32s+2×3s+1=3m+t+3m+3t+1，∵2s=m+t，∴得3m+3t=2×3s．但是，当且仅当m=t时等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾，∴不存在互不相等的正整数m，s，t满足题给的条件．22．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；＞a n；（2）求证：a n+1（3）求证：．【解答】解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；=f（a n）=a n2+a n，（2）∵a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1∴a n＞a n；+1（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，＞a n，又n≥2时，∴a n+1∴a n≥a3＞1，+1∴，∴．。
重庆高一下学期期末考试数学理试题有答案
时， f ( x) 的最小值为 5，求 m 的值 .
x [0, ]
2
20. ( 本小题满分 12分 )
设函数 f(x)=a x -(k-1)a x (a>0 ， a 1) 是定义域为 R的奇函数 ( Ⅰ) 若 f(1)>0 ，试求使不等式 f x2 tx +f 2 x 1 >0在定义域上恒成立的 t 的取值范围
CP 1 PD ，则 PA PB ( ) 2
A. 3
B.
10
C.
0
D.
4
4
9
10. 设 a
0, b
1 ，若 a
b
2，则 3
1 的最小值为 ( )
a b1
A. 2 3
B.8
C.
43
D.
4 23
11. 等比数列 {a n} 中，首项 a1
2015 ，公比 q
的值为 ( )
1 ，记 Tn 为它的前 n项之积，则 Tn 最大时， n 2
.
17. ( 本小题满分 12分 )
已知数列 { a n} 满足 an 1
3an
4 ， (n
*
N)
且
a1
1，
( Ⅰ ) 求证：数列 an 2 是等比数列；
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( Ⅱ ) 求数列 { a } 的前 n项和 S . n
n
18. ( 本小题满分 12分 ) 某校从参加 2015 年高考的学生中随机抽取 60名 学生，将其数学成绩 ( 均为整数 ) 分成六组
A． ( ﹣ 2，﹣ 1) B ．( ﹣ 1， 0) C ． (0 ， 1) D ． (1 ， 2)
5. 要得到函数
重庆市高级中学七校联考高一数学下学期期末模拟试卷(含解析)
重庆市高级中学七校联考2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷一．选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）sin390°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．8404．（5分）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣5．（5分）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．123 B．105 C．95 D．237．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．8．（5分）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用a n表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a4的值为（）A．324 B．316 C．304 D．3029．（5分）已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=，则M、N、P的大小关系为（）A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M D．P＞N＞M10．（5分）已知平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，且﹣与﹣的夹角为45°，则||的最大值等于（）A．B．2 C．D．1二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．11．（5分）若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B为．12．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则的最大值为．13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．14．（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．15．（5分）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．三．解答题：本大题共有6小题，共75分．解答应写出相应的过程、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中：=w i（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．20．（13分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．21．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．重庆市高级中学七校联考2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）sin390°的值为（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：390°=360°+30°，直接利用诱导公式转化为锐角的三角函数，即可得到结论解答：解：利用诱导公式可得：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=故选D．点评：本题考查诱导公式的运用，根据所求角确定运用诱导公式是关键．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S 的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x 取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°．解答：解：∵，又由正弦定理知，∴sinB=c osB，∵B是三角形的一个内角，∴B=45°，故选B．点评：本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度．6．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．123 B．105 C．95 D．23考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列的性质求得a3，a4，进一步求得公差和首项，代入等差数列的前n项和得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=4，a3+a5=10，得a3=2，a4=5，∴d=a4﹣a3=5﹣2=3，则a1=a3﹣2d=2﹣6=﹣4，∴．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和解答：解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题8．（5分）学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用a n表示第n个星期一选A的人数，如果a1=428，则a4的值为（）A．324 B．316 C．304 D．302考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：设{a n}为第n个星期一选A的人数，{b n}为第n个星期一选B的人数，b n=500﹣a n，根据这星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜；而选B菜的，下星期一会有改选A 菜，可得a n+1=a n+150，运用递推关系式求出前4项，即可．解答：解：根据题意可得：设{a n}为第n个星期一选A的人数，{b n}为第n个星期一选B 的人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有改选A菜，a n+1=a n×+（500﹣a n）×∴a n+1=a n+150，∵a1=428∴a2=364，a3=332，a4=316，故选：B点评：本题考查数列知识在生产实际中的应用，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解是关键．9．（5分）已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=，则M、N、P的大小关系为（）A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M D．P＞N＞M考点：有理数指数幂的化简求值．专题：集合．分析：根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．解答：解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，即M＞N＞P，故选：A点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键10．（5分）已知平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，且﹣与﹣的夹角为45°，则||的最大值等于（）A．B．2 C．D．1考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：由于平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，利用向量的夹角公式可得．由于﹣与﹣的夹角为45°，可得点C在△OAB的外接圆的弦AB 所对的优弧上，因此可得||的最大值为△OAB的外接圆的直径．解答：解：设，，．∵平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，∴=，∴．∵﹣与﹣的夹角为45°，∴点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．因此||的最大值为△OAB的外接圆的直径．∵==．由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R===．故选：A．点评：本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．11．（5分）若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B为{x|1＜x＜2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中一元二次不等式的解集确定出集合A，根据负数和0没有对数，得到x﹣1大于0，求出x的范围确定出集合B，求出两集合的交集即可．解答：解：由集合A中的不等式x2﹣2x＜0，因式分解得：x（x﹣2）＜0，可化为：或，解得：0＜x＜2，所以集合A={x|0＜x＜2}；由集合B中的函数y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，所以集合B={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}点评：本题属于以一元二次不等式的解集和对数函数的定义域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是2015届高考中常考的题型．12．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则的最大值为3．考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用柯西不等式，即可求出的最大值．解答：解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，∴的最大值为3，故答案为：3．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．解答：解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14．（5分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．考点：几何概型．专题：开放型；概率与统计．分析：由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．解答：解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P==故答案为：点评：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．15．（5分）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．三．解答题：本大题共有6小题，共75分．解答应写出相应的过程、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．解答：解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为=，∴P（A）==0.4096，∴P（）=1﹣P（A）=1﹣0，4096=0.5904，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．点评：本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．18．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中：=w i（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．解答：解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．点评：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{b n}的公比为q，则，从而q=2，故{b n}的前n项和．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和，是中档题．20．（13分）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．21．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+ =﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．。
2014-2015学年重庆市七校联考高一(下)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．a2＜ab＜b2B．ac＜bc C．D．2．（5分）一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（）A．至少有两次中靶 B．三次都中靶C．只有一次中靶D．三次都不中靶3．（5分）不等式的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，4）B．[0，2）∪[4，+∞）C．[2，4） D．（﹣∞，﹣2]∪（4，+∞）4．（5分）如图，执行其程序框图，则输出S的值等于（）A．15 B．105 C．245 D．9455．（5分）在某样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若第三个小长方形的面积为其他6个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则第三组数据的频数为（）A．25 B．0.2 C．0.25 D．206．（5分）某中学从文、理科实验班中各选6名同学去参加复旦大学自主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的众数为85，理科生成绩平均数为81，则x•y的值为（）A．9 B．20 C．5 D．457．（5分）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位偶数有（）A．720个B．600个C．60个D．52个8．（5分）现有A、B、C、D四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示平均亩产量从其中选择一种种子进行量产，最好选择（）A．A种子B．B种子C．C种子D．D种子9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为（）A．60°B．30°C．150° D．45°10．（5分）连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）12．（5分）设数列{a n}满足a1=0，且2a n+1=1+a n a n+1，b n=，记S n=b1+b2+…+b n，则S100=（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．（5分）实数x，y满足，则的最小值为．14．（5分）函数f（x）由下表定义：若a0=1，a n+1=f（a n），n=0，1，2，…，则a2016=．15．（5分）对于数列{a n}，若满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a9=．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC的最小角的正弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两个具有线性相关关系的变量x，y的测量数据如下：通过最小二乘法求其线性回归方程，并预报当变量x为14时，变量y的值．（注：线性回归方程y=bx+a，其中）18．（12分）设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x+b的图象过点（2，1），若不等式f（x）≥x2+x ﹣5的解集为A，且A⊆（﹣∞，a]．（1）求a的取值范围；（2）解不等式＜1．20．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsinA=4．（1）求边长a；（2）若△ABC的面积S=10，求cosC的值．21．（12分）在以O为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、F．（1）点P是圆O上运动的任意一点，试求|PA|≥1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为S，试求S=和S=的概率．22．（12分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，且S1，S2的等差中项为S3，若8（a1+a3）=﹣5．（1）求数列[a n]的通项公式；（2）记R n=||，对于任意的n≥2，n∈N*，不等式m （R n﹣n﹣1）≥（n﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）若a＜b＜0，则（）A．a2＜ab＜b2B．ac＜bc C．D．【解答】解：若a＜b＜0，则a2＞ab，故A错误；若c=0，则ac=bc，故B错误；＜，故D错误，故选：C．2．（5分）一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（）A．至少有两次中靶 B．三次都中靶C．只有一次中靶D．三次都不中靶【解答】解：一个人打靶时连续射击三次，两次中靶时，“至少有两次中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故A不满足条件；“三次都中靶”与“至多有两次中靶”不能同时成立，故B满足条件；一次中靶时，“只有一次中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故C不满足条件；未中靶时，“三次都不中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故D不满足条件；故选：B．3．（5分）不等式的解集是（）A．（﹣∞，0）∪（2，4）B．[0，2）∪[4，+∞）C．[2，4） D．（﹣∞，﹣2]∪（4，+∞）【解答】解：不等式，等价于＜0，用穿根法求得它的解集为{x|x＜0或2＜x＜4}，故选：A．4．（5分）如图，执行其程序框图，则输出S的值等于（）A．15 B．105 C．245 D．945【解答】解：第一次执行循环后，T=3，S=3，i=2不满足退出循环的条件，第二次执行循环后，T=5，S=15，i=3不满足退出循环的条件，第三次执行循环后，T=7，S=105，i=4不满足退出循环的条件，第四次执行循环后，T=9，S=945，i=5满足退出循环的条件，故输出的S值为945，故选：D．5．（5分）在某样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若第三个小长方形的面积为其他6个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则第三组数据的频数为（）A．25 B．0.2 C．0.25 D．20【解答】解：根据题意，设第三个小长方形的面积（频率）为x，则其它6个小长方形的面积和为4x，∴x+4x=1；解得x=，∵样本容量为100，∴第三组的频数为100×=20．故选：D．6．（5分）某中学从文、理科实验班中各选6名同学去参加复旦大学自主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的众数为85，理科生成绩平均数为81，则x•y的值为（）A．9 B．20 C．5 D．45【解答】解：∵文科生的成绩的众数为85，理科生成绩平均数为81，∴y=5，81=（70+x+78+81+80+81+82），∴x=4，∴xy=20．故选：B．7．（5分）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位偶数有（）A．720个B．600个C．60个D．52个【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有=20个；第二类，个位是2或4，有××=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故选：D．8．（5分）现有A、B、C、D四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示平均亩产量从其中选择一种种子进行量产，最好选择（）A．A种子B．B种子C．C种子D．D种子【解答】解：根据亩产量和方差的图表可得：C种子的平均亩产量最高，方差最小，故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为（）A．60°B．30°C．150° D．45°【解答】解：由sinB+cosB=，两边平方可得1+2sinBcosB=2∴2sinBcosB=1即sin2B=1因为0＜B＜π，所以B=45°，又因为a=，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°故选：B．10．（5分）连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷2次，观察向上的点数，共有36种结果，满足条件的事件是点数之和是3的倍数，可以列举出有12种结果，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（5，1），（5，4），（4，2），（4，5），（6，3），（6，6），根据古典概型概率公式得到P==，故选：B．11．（5分）在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，a（x﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，∴a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＞2而f（x）===（x﹣2）++3≥2+3=7，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7．故选：C．12．（5分）设数列{a n}满足a1=0，且2a n+1=1+a n a n+1，b n=，记S n=b1+b2+…+b n，则S100=（）A． B．C． D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=0，且2a n+1=1+a n a n+1，∴2a2=1，解得a2=；同理可得a3=，a4=，…，可得．=1+a n a n+1，满足等式．代入2a n+1∴b n==，记S n=b1+b2+…+b n，则S100=++…+=1﹣．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．（5分）实数x，y满足，则的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．14．（5分）函数f（x）由下表定义：若a0=1，a n+1=f（a n），n=0，1，2，…，则a2016=1．【解答】解：由表格可知：a0=1．a1=f（a0）=f（1）=4，a2=f（a1）=f（4）=5，a3=f（a2）=f（5）=2，a4=f（a3）=f（2）=1，…，=a n．∴a n+4∴a2016=a4×504=a0=1．故答案为：1．15．（5分）对于数列{a n}，若满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a9=236．【解答】解：∵满足是首项为1，公比为2的等比数列，∴=2n﹣1，∴a n=•…•=1×2×22×…×2n﹣1=，∴a9==236．故答案为：236．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长度构成以首项为3的等差数列，则△ABC的最小角的正弦值为．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为3，3+x，3+2x，（x＞0），则cos120°==﹣，化简得：x2+x﹣6=0，解得x=2或﹣3（舍去），∴三角形的3边长分别为：3，5，7．设最小角为θ，则cosθ==，解得：sin=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知两个具有线性相关关系的变量x，y的测量数据如下：通过最小二乘法求其线性回归方程，并预报当变量x为14时，变量y的值．（注：线性回归方程y=bx+a，其中）【解答】解：根据题意，得：数据x的平均数是=（1+2+3+6）=3，（2分）y的平均数是=（2+3+5+6）=4；∴，，∴相关系数，（6分）；∴线性回归方程为：y=x+，（8分）当变量x=14时，变量y=×14+=．（10分）18．（12分）设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可得：．∴．（2），∴a n+log2a n=2n﹣1+（n﹣1）．∴T n=+=2n﹣1+．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x+b的图象过点（2，1），若不等式f（x）≥x2+x ﹣5的解集为A，且A⊆（﹣∞，a]．（1）求a的取值范围；（2）解不等式＜1．【解答】解：（1）依题意，可得b=3f（x）≥x2+x﹣5即﹣x+3≥x2+x﹣5，即x2+2x ﹣8≤0，∴A=[﹣4，2]⊆（﹣∞，a]，∴a≥2∴a的范围为[2，+∞）．（2）即由（1）知a≥2，当a=2时，不等式的解集为（3，+∞）；当2＜a＜3时，不等式的解集为（2，a）∪（3，+∞）；当a=3时，不等式的解集为（2，3）∪（3，+∞）；当a＞3，不等式的解集为（2，3）∪（a，+∞）．20．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsinA=4．（1）求边长a；（2）若△ABC的面积S=10，求cosC的值．【解答】解：（1）∵，∴acosB=3（2分）又bsinA=4，∴，∴，∴a=5（6分）（2），∴c=5（8分）b2=a2+c2﹣2accosB=20，∴（10分）∴（12分）21．（12分）在以O为圆心，1为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、F．（1）点P是圆O上运动的任意一点，试求|PA|≥1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为S，试求S=和S=的概率．【解答】解：（1）设事件A1：|PA|≥1，则动点则沿B→C→D→E→F运动均满足题意，则（6分）（2）从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有种不同的选法．其中的为有一个角为30°的RT△（如△ADF），不同的选法种数为6×2=12种．∴（10分）的为顶角为120°的等腰三角形（如△ABC），不同的选法种数为6种．∴（12分）22．（12分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，且S1，S2的等差中项为S3，若8（a1+a3）=﹣5．（1）求数列[a n]的通项公式；（2）记R n=||，对于任意的n≥2，n∈N*，不等式m （R n﹣n﹣1）≥（n﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，S1，S2的等差中项为S3，可得2S3=S1+S2，即为2（a1+a1q+a1q2）=a1+a1+a1q，又8（a1+a3）=﹣5．即为8（a1+a1q2）=﹣5，解得a1=q=﹣，∴；（2），2R n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，﹣R n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=n•2n+1，即R n=n•2n+1﹣2n+1+2，n≥2，n∈N*，不等式m（R n﹣n﹣1）≥（n﹣1）2恒成即m（n•2n+1﹣2n+1+2﹣n﹣1）≥（n﹣1）2即恒成立，记，∴f（n）单调递减．∴∴，∴n≥2，n∈N*，不等式m（R n﹣n﹣1）≥（n﹣1）2恒成立的实数m的取值范围为．。
2014-2015年重庆市七校联考高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11B．12C．13D．142．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数茎叶图如图所示，若众数为c，则c＝（）A．12B．14C．15D．173．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|3＜x≤4}D．{x|3≤x≤4} 4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．2975．（5分）从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A．B．C．D．无法确定6．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则∠B等于（）A．60°B．30°或150°C．60°D．60°或120°7．（5分）求S＝1+3+5+…+101的程序框图如图所示，其中①应为（）A．A＝101B．A≥101C．A≤101D．A＞1018．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin A+c sin C﹣a sin C＝b sin B．则∠B＝（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）＝（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，19）C．[1，19）D．（﹣1，19] 10．（5分）若f（x）＝x2+kx+1，a n＝f（n），n∈N*，已知数列{a n}是递增数列，则k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）11．（5分）若a，b∈[0，2]，则方程x2+＝0有实数解的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知等差数列{a n}中，a3＝9，a5＝17，记数列的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，把答案写在答题卡上方能得分）13．（5分）某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，各职称人数分别为，，．14．（5分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向在C处追赶上渔船乙，刚好用2小时．则BC＝．15．（5分）数列{a n}满足a1＝2，a n﹣a n﹣1＝，则a n＝．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则的最小值为．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明或演算过程）17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，（1）求A的大小；（2）若a＝3，b+c＝3，求△ABC的面积．20．（12分）某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示．（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：．21．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，且满足：a2•a3＝45，a1+a4＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为S n，令f（n）＝（n∈N*），求f（n）的最大值．22．（10分）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（1）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值，并判断此时△ABC的形状；（2）若A，B，C成等差数列，求sin A+sin C的取值范围．2014-2015学年重庆市七校联考高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}∴a n＝a n﹣1+a n﹣2（n＞3）∴x＝a7＝a5+a6＝5+8＝13故选：C．2．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数茎叶图如图所示，若众数为c，则c＝（）A．12B．14C．15D．17【解答】解：10个数据为：9，10，11，12，12，14，14，14，15，20，∴众数为14，故选：B．3．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|3＜x≤4}D．{x|3≤x≤4}【解答】解：∵不等式x2﹣2x﹣3＜0等价于（x+1）（x﹣3）＜0∴集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，又∵集合B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选：A．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．297【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7＝2a4，a3+a9＝2a6，又∵a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，∴a1+a4+a7＝3a4＝39，a3+a6+a9＝3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9，∴a4+a6＝22，∴数列{a n}前9项的和S9＝＝＝＝99故选：A．5．（5分）从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A．B．C．D．无法确定【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42＝6种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32＝3种结果，∴根据古典概型概率公式得到P＝，故选：B．6．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则∠B等于（）A．60°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：由正弦定理可知＝∴sin B＝b•＝4×＝∵0＜B＜180°∴B＝60°或120°故选：D．7．（5分）求S＝1+3+5+…+101的程序框图如图所示，其中①应为（）A．A＝101B．A≥101C．A≤101D．A＞101【解答】解：∵程序的功能是求S＝1+3+5+…+101的值，且在循环体中，S＝S+A表示，每次累加的是A的值，故当A≤101应满足条件进入循环，A＞101时就不满足条件故条件为：A≤101故选：C．8．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin A+c sin C﹣a sin C＝b sin B．则∠B＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵a sin A+c sin C﹣a sin C＝b sin B由正弦定理可得，由余弦定理可得，cos B＝＝∵0＜B＜π∴故选：B．9．（5分）若函数f（x）＝（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，19）C．[1，19）D．（﹣1，19]【解答】解：f（x）＝（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3的图象恒在x轴上方，即（a2+4a﹣5）x2﹣4（a﹣1）x+3＞0（*）恒成立，（1）当a2+4a﹣5＝0时，可得a＝﹣5或a＝1，若a＝﹣5，（*）式可化为24x+3＞0，不恒成立；若a＝1，（*）式可化为3＞0，恒成立；（2）当a2+4a﹣5≠0时，可得a≠﹣5且a≠1，由题意可得，，即，解得1＜a＜19；综上所述，a的取值范围是：[1，19），故选：C．10．（5分）若f（x）＝x2+kx+1，a n＝f（n），n∈N*，已知数列{a n}是递增数列，则k的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：a n＝f（n）＝n2+nk+1，n∈N*，∵数列{a n}是递增数列，∴a n＜a n+1，即n2+nk+1＜（n+1）2+（n+1）k+1，化为：k＞﹣（2n+1），由于数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴k＞﹣3．则k的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：D．11．（5分）若a，b∈[0，2]，则方程x2+＝0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：若a，b∈[0，2]，则SΩ＝2×2＝4，记“方程x2+＝0有实数解”为事件A，则事件A：△＝a﹣2b≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示：∴S A＝，故P（A）＝，故选：D．12．（5分）已知等差数列{a n}中，a3＝9，a5＝17，记数列的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝9，a5＝17，∴，解得a1＝1，d＝4．∴a n＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3．∴数列的前n项和为S n＝1++…+．则S2n+1﹣S n＝++…+＝f（n），f（n+1）﹣f（n）＝＜0，∴数列{f（n）}单调递减，∴f（n）≤f（1）＝＝．∵S2n+1﹣S n≤，对任意的n∈N*成立，∴（S2n+1﹣S n）max≤，∴＜，解得m＞，∴整数m的最小值为5．故选：A．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，把答案写在答题卡上方能得分）13．（5分）某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，各职称人数分别为3，9，18．【解答】解：由＝，所以，高级职称人数为15×＝3（人）；中级职称人数为45×＝9（人）；一般职员人数为90×＝18（人）．所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为3，9，18．故答案为：3，9，18．14．（5分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向在C处追赶上渔船乙，刚好用2小时．则BC＝28．【解答】解：依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC＝122+202﹣2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．故答案为：28．15．（5分）数列{a n}满足a1＝2，a n﹣a n﹣1＝，则a n＝．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝2，，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝＝＝；故答案为．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+3b＝2．∴，则＝（）（）＝2+．当且仅当a＝b时上式等号成立．故答案为：．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明或演算过程）17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．∵a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．∴S10＝10+d＝55；b4＝q3＝8；解得：d＝1，q＝2．所以：a n＝n，b n＝2n﹣1．（2）由（1）得a n•b n＝n•2n﹣1，（8分）所以T n＝1+2•21+3•22+…+n•2n﹣1①，（9分）2T n＝2+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n②，（10分）①﹣②得，﹣T n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）•2n﹣1，（12分）故T n＝（n﹣1）•2n+1．（13分）．18．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）＝29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（3分）（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004＝2，设成绩为x、y（5分）成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a、b、c，（6分）若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，（7分）若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，（8分）若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有共有6种情况，所以基本事件总数为10种，（9分）事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种（10分）∴．（12分）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，（1）求A的大小；（2）若a＝3，b+c＝3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴，∴A＝60°．…（5分）（2）∵，…（8分）∴bc＝3，…（10分）∴．…（12分）20．（12分）某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示．（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：．【解答】解：（1）由题意，＝2，，0×5+1×7+2×8+3×11+4×19＝132，＝30，∴＝＝3.2∴10＝3.2×2+a，∴a＝3.6∴回归直线方程为y＝3.2x+3.6（2）把x＝5代入线性回归方程，得到y＝3.2×5+3.6＝19.6（十万）．21．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d＞0，且满足：a2•a3＝45，a1+a4＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为S n，令f（n）＝（n∈N*），求f（n）的最大值．【解答】解：（1）由题设知：，∴，∵d＞0，∴a2＝5，a3＝9．∴a n＝4n﹣3．（2）∵，∴，∴（当n＝2时取＝）．22．（10分）已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（1）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值，并判断此时△ABC的形状；（2）若A，B，C成等差数列，求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴．…（3分）当且仅当a＝c时取“＝”，∴B的最大值是，此时三角ABC是等边三角形．…（5分）（2）∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，∴B＝60°…（6分）∴，…（7分）∵，∴30°＜C＜90°，∴60°＜30°+C＜120°，∴．∴．…（10分）。
2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
2014—2015学年度第二学期期末学业水平监测高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.（不用答题卡的，填在第3页相应的答题栏内）1．以下四个数是数列{})2(+n n 的项的是（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101 2．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则A 为（ ） A ．3π B ．6π C ．3π或π32 D ．π65或6π3．在等差数列}{a n 中，6,242==a a ，则=10a （ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 4．在ABC ∆中，已知bc c b a 2222=--，则角C B +等于（ ）A ．4π B ．43π C ．45π D ．4π或 43π5．不等式01)3(≤+-x x 的解集为（ ）A ．)[3,+∞B ．),3[]1--+∞∞ ，（ C ．)[3,{-1}+∞ D ．]3,1[- 6．某高校有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…， 840 随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间的频数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．147．集合{3,4,5}B {4,5}==，A ，从B A ,中各任意取一个数，则这两个数之和等于8的概率是（ ） A ．32 B ．21C ．31D ．61 8．某单位有职工750人，其中青年职工350，中年职工250人，老年职工150人，为了了解单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（ ） A ．7 B ．15 C ．25 D ．359．若不等式04)3(2)3(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 取值的集合为（ ） A ．)3,(-∞ B ．)3,1(- C ．]3,1[- D ．]3,1(-10．已知第一象限的点),(b a P 在一次函数232+-=x y 图像上运动，则b a 32+的最小值为（ ）A ．38B ．311C ．4D ．62511．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A ．2010B ．－1C ．12D ．2（图1）12．已知nn a )21(=，把数列}{n a 的各项排列成如下的三角形状， 1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a （图2）记),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则A (10,13)=…（ ）A ．93)21(B ．92)21(C ．94)21(D ．112)21(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在题中横线上.13．北京地铁2号线到达时间相隔5分钟，某人在2号线等待时间超过4分钟的概率为P 1，北京地铁2号公路到站时间相隔8分钟，某人在2路车等待时间超过6分钟的概率为P2，则1P 与2P 的大小关系为____________. 14．若关于x 的方程03)2(22=-+-+a x a x 的一根比2小且另一根比2大，则a 的取值范围是____________. 15．在ABC ∆中，若7,532===AC BC B ，π，则ABC ∆的面积=S ______________。
2014-2015年重庆市南开中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．24．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．207．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．3910．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．1812．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．19．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：A（10，1），B（2，y），∴＝（﹣8，y﹣1），向量，∵，∴﹣8+2y﹣2＝0∴y＝5故选：A．2．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．【解答】解：由题意（﹣2，3）在圆外，∴（﹣2﹣a）2+（3﹣2）2＞9，解得a＜﹣2﹣2或a＞﹣2+2，故选：B．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．2【解答】解：若y＝x﹣1＝2，则x＝3，与不满足条件x＞1矛盾；若y＝log2x＝2，则x＝4，满足条件x＞1，符合题意，∴输入的实数x的值是4．故选：C．4．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵b＞0＞a，∴，因此①能推出成立；②∵0＞a＞b，∴ab＞0，∴，∴，因此②能推出成立；③∵a＞0＞b，∴，因此③不能推出；④∵a＞b＞0，∴，∴，因此④能推出成立．综上可知：只有①②④能推出成立．故选：C．5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，∴直线方程为＝，即3x+4y+6＝0，∴点（﹣1，1）的直线l的距离d＝＝，故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：在等差数列中，S9+S21＝+＝×2a5+×2a11＝9a5+21a11＝3（3a5+7a11）＝3×5＝15，故选：C．7．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π【解答】解：由已知可得：以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球与圆柱的组合体，半球的半径和圆柱底面的半径为1，圆柱的高为2，故半球面的面积为：2πr2＝2π，圆柱的底面面积为：πr2＝π，圆柱的侧面积为：2πrh＝4π，故组合体的表面积为：7π，故选：A．8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：因为，，所以＝0，＝0，所以，所以＝2，所以；故选：B．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．39【解答】解：∵a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，∴数列{a n}是以1为首项、3为公比的等比数列，∴a n＝＝1•3n﹣1＝3n﹣1，∴b n＝log3a n＝＝n﹣1，∴数列{b n}是以0为首项、1为公差的等差数列，∴其前10项和为：＝45，故选：B．10．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．【解答】解：设A（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点B（x0，y0）在直线2x+y+3＝0上，∴线段AB的中点（，）在直线x+y﹣2＝0上，由题意得：，∴a+2b＝9，∴+＝+＝++≥+2＝，当且仅当：＝即b＝2a时“＝”成立，故选：C．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．18【解答】解：由＝1，得：xy＝2x+y+6，由条件利用基本不等式可得xy＝2x+y+6≥2+6，令xy＝t2，即t＝＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0可解得t≤﹣，t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，所以xy≥18．故选：D．12．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠ECF为120°，∴在Rt△PEC中，PC＝2．故问题转化为在直线x+2y﹣5＝0上找到一点，使它到点C的距离为2．设P（x0，2.5﹣0.5x0），∵C（1，0），∴|PC|2＝（x0﹣1）2+（2.5﹣0.5x0）2＝4∴x0＝1或．∴点P的横坐标x0的取值范围是[1，]故选：B．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝×2×2＝2，高h＝3，故几何体的体积V＝Sh＝2，故答案为：214．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是1或﹣3．【解答】解：由圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，可得直线AB的方程﹣2x﹣4y+m+1＝0，圆O到直线AB的距离为d＝＝，∵|AB|＝，∴2＝，解得m＝1或﹣3．故答案为：1或﹣3．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，6+2]．【解答】解：由题意，x，y满足的平面区域如图阴影部分，则在阴影部分（包括边界）的点中到原点距离，最小值为原点到直线的距离为：；最大值为＝1+，所以x2+y2的取值范围是[，6+2]．故答案为：[，6+2]．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝（1，1）．【解答】解：∵直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，∴＝，即a n＝3n，∴b n＝23n＝8n，∴S n＝＝•8n+1﹣，∴，即＜，∴＜，∴＜，∴当m＝1时，只需＜成立即可，又∵n＝1是上述不等式的一个解，∴正整数对（1，1）满足条件，故答案为：（1，1）．注：此题答案不唯一．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．【解答】解：（1）记数列{a n}的公差为d，∵S5＝5a1+d＝5（a1+2d）＝10，∴a3＝a1+2d＝2，又∵S6＝15，∴a6＝S6﹣S5＝15﹣10＝5，∴d＝＝＝1，∴a1＝a3﹣2d＝2﹣2＝0，∴数列{a n}的通项a n＝a1+（n﹣1）d＝n﹣1；（2）∵a n＝n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前10项和为：1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．【解答】解：∵直线方程x+y﹣1＝0，∴直线的斜率k＝﹣1，则垂直直线x+y﹣1＝0的斜率k＝1，设所求直线的方程为y＝x+b，∴直线在x轴上的截距为﹣b，在y轴上的截距为b，∵与l垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴S＝|b||﹣b|＝，即b2＝1解得b＝±1，∴所求的直线方程为y＝x+1或y＝x﹣1．（2）所求直线经过点（2，3）和（0，﹣5）的中点或与点（2，3）和（0，﹣5）所在直线平行．①直线经过点A（2，3）和B（0，﹣5）的中点（1，﹣1）时，直线方程为x＝1；②当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，∵k AB＝4，∴y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2＝0或x＝119．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．【解答】（1）证明：设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO＝，∴三棱锥E﹣BDC的体积＝＝．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：因为AE＝AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．因为CD⊂平面ABCD，所以AG⊥CD．（2）存在点M在线段AC上，且＝，使得：GM∥平面ABF．证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，因为＝，所以＝＝，因为BC＝2EF，点G是EF的中点，所以BC＝4GF，又因为EF∥AD，四边形ABCD为正方形，所以GF∥MN，GF＝MN．所以四边形GFNM是平行四边形．所以GM∥FN．又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM∥平面ABF．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于A（2，0）在圆C1上，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），圆C1的圆心到l的距离为d，所以d＝．由点到直线l的距离公式得d＝＝，即k2＝1，解得k＝1或﹣1，所以直线l的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，即x﹣y﹣2＝0，或x+y﹣2＝0；（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b＝k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b＝﹣（x﹣a），∵⊙C1和的半径r1＝2，⊙C2的半径为r1＝1，圆心距O102＝3，直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即＝2×整理得k（a+2b）+2a﹣b﹣6＝0或（2b﹣a）k++2a+b﹣6＝0，∵k的取值有无穷多个，∴或解得或，这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（，）经检验点P1和P2满足题目条件22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【解答】（1）解：∵＝﹣1其中n∈N*，又x0＝﹣1，x1＝1，∴（x n+1，0）•（x n+1﹣1，0）＝﹣1，∴（x n+1）（x n+1﹣1）＝﹣1，化为＝1，∴数列为等差数列，首项为1，公差为1，∴＝1+（n﹣1）＝n，∴x n＝．（2）证明：当a＝2时，＝2﹣1，可得：（x n+1）（x n+1﹣1）＝1，化为x n+1＝＞1，a n+1＝＝＝，（只有n＝1时取等号）．∴a n+1＜…＜＝．∴S n＝a1+a2+…+a n＜＝＜＝．∴S n＜．。
2014—2015学年度第二学期期末考试高一数学参考答案与评分标准
2014— 2015 学年度第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：（1） - （ 12）BACDB ACABA DB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .（13）3（ 14）f ( x) 2 s i n x（15）50（ 16）①③④6三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12 分）解： ( Ⅰ ) tan()1, tan1----------（2 分）33sin(2)cos222 sin cos cos2 2 tan 1 1--------（6分）2 cos2sin 2 4 cos2 2 sin cos4 2 tan10( Ⅱ )∵为钝角，tan 1为锐角， sin()3 ,5 3∴cos310, sin10, cos()4----------（9 分）10105∴ sin sin() sin cos()cos sin()1310 ---（12分）50(18)(本小题满分12 分)解：算法步骤如下：S1i ＝ 1；S2输入一个数据a；3如果 a<6.8 ，则输出 a，否则，执行4；S SS4i ＝ i ＋ 1；S5如果 i>9 ，则结束算法，否则执行S2. ------------（ 6分）程序框图如图：-----------（ 12）(19)( 本小题满分12 分 )解： ( Ⅰ ) 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋ 4＋ 17＋15＋ 9＋ 3＝ 0.08.第二小组频数第二小组频数12又因为第二小组频率＝样本容量，所以样本容量＝ 第二小组频率 ＝ 0.08 ＝150.--------（4 分）( Ⅱ ) 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 17＋ 15＋ 9＋ 32＋ 4＋17＋ 15＋9＋ 3× 100%＝ 88%.-------------- （8 分）( Ⅲ ) 由已知可得各小组的频数依次为6， 12，51， 45， 27， 9，所以前三组的频数之和为 69，前四组的频数之和为 114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．----------------- （12 分）（ 20）（本小题满分 12分）．解：（Ⅰ）∵ a b ，∴ 1( 2) 2x 0 ，即x 1 ．--------------(4 分 )（Ⅱ）∵ x 1 ，∴ a b 1 ( 2)+2 ( 1)= 4 ，且 a 5 ， b5 ．∴向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 cos =a b4 ． ------------------ （8 分 )a b5（Ⅲ）依题意4a b2,8 x ．∵ a(4a b) ，∴ a (4a b) 0 ．即 2 16 2x 0，∴ x9．∴ b ( 2, 9) ．∴ |b |4 81 85 ．-----------------------------(12 分 )（ 21）（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）某员工被抽到的概率为P5 1301545 设有 x 名男员工被抽到，则有45 75 , x 3 ，x 5所以抽到的男员工为 3 人，女员工为 2 人---------------(6 分 )（Ⅱ）把 3 名男员工和 2 名女员工分别记为a, b, c, m, n ，则选取 2 名员工的基本事件有(a,b),( a, c),( a, m),( a, n),( b,c),( b, m),( b, n),( c, m),( c, n),( m, n), (b,a),( c,a),( m, a),(n,a),( c, b),( m,b),( n,b), (m, c),( n, c),( n, m) ，共 20 个基中恰好有一名女员工有(a, m),( a, n),( b, m),( b, n),( c, m),( c, n) ,( m, a),( n, a),( m, b),( n, b),( m, c),( n, c) ，有 12 种选出的两名员工中恰有一名女员工的概率为 123----------------(12分 )P.（ 22）（本小题满分 10 分）205解：（ 1） ab ， 4sin 2 x 1 ，又 x [0,] ，2sin x0 ，即 sin x1x---------------（5 分），26（Ⅱ） f ( x)3 sin x cos x sin 2 x3 sin 2x 1 cos 2x sin(2 x) 1 ，22 6 2x [0,], 2x6,5，所以当 2x6 2 ，即 x 时， f ( x) 最大值为 326 632当2x ,，即 x 0,时， f ( x) 单调递增．66 23所以 f ( x) 的单调递增区间为 0, ．------------（10分）3。
重庆市七校联考14—15学年下学期期中考试数学(理)试题(附答案)
2014—2015学年度第二学期半期七校联考高一数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，把正确答案涂在机读卡上才能得分） 1．不等式(2)(3)0x x -->的解集是（ ） A ．(,2)-∞B ．(3,)+∞C ．（2，3）D ．(,2)(3,)-∞+∞U2．高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取 一个容量为4的样本．已知7号、35号、49号同学在样本中，那么样本 中还有一个同学的座号是（ ） A ．20B ．21C ．22D ．233．阅读右图的程序框图，则输出S=（ ） A ．14B ．20C ．30D ．554．根据三个点（0，2），（4，4），（8，9）的坐标数据，求得的回归直线 方程是（ ）A ．=3x-1B ．=7382x + C ．=x+2 D ．=11033x +5．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为200米和400米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东30°处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ） A ．400米B．C．D．6．在△ABC中，2,a b ==A ＝30°，则角B 等于( )． A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．已知不等式组510x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z y x =-的最大值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣5D ．48．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a ⋅=+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．50B ．40C ．45D ．359．下列结论中正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥ B ．当0x >且1x ≠2≥ C ．当3x ≥时，1x x +的最小值是103 D ．当01x <≤时，1x x-无最大值 10．,,a b c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果60,b c A ABC +==︒∆那么a 为 （ ） ABC ．10D ．611．已知a b ad bc c d=-，则=+⋯++20102006200820041814161210684（ ） A ．－2008 B ．－2010 C ．－2014 D ．－201612．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的n N +∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2015a =（ ）A ．201621- B ．201621+C ．201521+ D ．201521-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为____________.14．数列{}n a 的前n 项和记为11,1,2 1 (1)n n n S a a S n +==+≥，则{}n a 的通项公式为__________.15．若246 (0)a a x x x->++<恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 16．△ABC 的三边,,a b c 和面积S 满足:22()S a b c =--,且△ABC 的外接圆的周长为17π，则面积S 的最大值等于 .三、解答题：（共70分，在答题卡上写出必要的求解或证明步骤才能得分） 17．（本小题满分10分）已知{}n a 是首项为2，公差为-2的等差数列， （1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S .18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式20 (0)1ax a x ->>-19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+-． （1）求角C 的大小；（2）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）重庆某食品厂准备在该厂附近建一职工宿舍，若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．21．（本小题满分12分）已知数列{}na 的首项⋯===++3,2,1,,1234311n a a n n n a a（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数,,m s t 成等差数列，且1,1,1---t s m a a a 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的,,m s t ，如果不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{}n a的首项)(,2111n n a f a a ==+. （1）求函数)(x f 的表达式； （2）求证：n n a a >+1；（3）求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++< .2014—2015学年度第二学期半期七校联考高一数学(理科)参考答案一、选择题：1-5CBABD6-10BACCB11-12AD二、填空题： 13． 8414．15．(,1)(2,)-∞-⋃+∞16． 6416题提示：22212sin 2a b c bc bc A --+=∴22211s i n 24b c a A bc +-=- ∴ 1c o s1s i n 4A A =- 故 8sin 1715cos 17A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵ 217R = ∴ 2sin 8a R A ==2222304642c o s 1717b c b c A b c b c b c =+-=+-≥ ∴ 118s i n 1716642217S b c A =≤⨯⨯⨯= 三、解答题：17．答案：（1）24n a n =-+ （4分）（2）23132n n S n n -=-+ （6分）18．答案：2a >，解集为2{|1}x x x a<>或 （4分） 2a =，解集为{|,1}x x R x ∈≠且 （8分）02a <<，解集为2{|1}x x x a<>或 （12分） 19．答案：（1）由已知和正弦定理得：（a+c ）（a-c ）=b （a-b ）故a 2-c 2=ab-b 2，故a 2+b 2-c 2=ab ，故cos C ＝2222a b c ab +-＝12，故C=60°（6分）（2）由（1）中a 2-c 2=ab-b 2，得25-49=5b-b 2，得b 2-5b-24=0，解得b=8或b=-3（舍），故b=8．所以，△ABC 的面积为：S ＝12ab sin C ＝（12分） 20．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800，故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8. （6分）(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时f (x )min ＝75.所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．（12分）21．解：（1）1211211333n n n n a a a a ++==+⋅， …………2分 ∴11111(1)3n n a a +-=-，又134a =，∴11113a -=，∴数列1{1}n a -是以为13首项，13为公比的等比数列． …………6分 （2）由（1）知1111111333n n n a -+-=⋅=，即1131133nn nn a +=+=，∴331nn na =+．……8分 假设存在互不相等的正整数,,m s t 满足条件，则有22(1)(1)(1)s m t m t s a a a +=⎧⎨-=--⎩,所以2333(1)(1)(1)313131s m t s m t -=--+++ 化简得2(31)(31)(31)s m t +=++，即23231331s s m t m t s ++⨯+=+++， …………10分因为2s m t =+，所以得3323m t s+=⨯.但是3323m t s+≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与,,m s t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数,,m s t 满足题给的条件。
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当 a 3时，不等式的解集为 (2,3) (3, ) ；
当 a 3，不等式的解集为 (2,3) (a, )
（12 分）
20
．
(1)
cos B a2 c2 b2 6c 3 ,a cos B 3
2ac
2ac a
（2 分)
又 b sin A 4, a cos B sin Acos B cos B 3 b sin A sin B sin A sin B 4
则
P( A1)
2 2 1 3
2 1
2 3
（6 分）
(2)从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有 C63 20 种不同的选法。
其中 S 3 的为有一个角为 30º 的 RT△ (如△ ADF)，不同的选法种数为 6×2=12 种。 2
P(S 3 ) 12 3
（10
2 20 5
（2）求数列{an log2 an}(n N ) 的前 n 项和 Tn .
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x b 的图象过点（2，1），若不等式 f (x) x2 x 5 的解集为 A， 且 A (, a].
（1）求 a 的取值范围； （2）解不等式 x2 (a 3)x 2a 3 1.
15．对于数列 {an } ，若满足
a1,
a2 a1
,
a3 a2
,
, an , an1
是首项为 1，公比为 2 的等比数
列，则 a9 _________。
16．已知△ ABC 的一个内角为 120°，并且三边长度构成以首项为 3 的等差数列，则 △ ABC 的最小角的正弦值为___________。
2Rn 1 22 2 23 （n 1) 2n n 2n1 Rn 21 22 2n n 2n1 Rn n 2n1 2n1 2
n 2, n N 不等式m(Rn n 1) (n 1)2 恒成立
（4 （6 分）
即 m(n 2n1 2n1 2 n 1) (n 1)2
分）
S 3 的为顶角为 120º 的等腰三角形(如△ ABC)，不同的选法种数为 6 种。 4
P(S 3) 6 3
（12
4 20 10
分）
22．(1)依题意 2S3 S1 S2 8(a1 a3) 5
an
(
1)n (n 2
N)
分）
,可得a1
q
1 2
（2） Rn 1 21 2 22 3 23 n 2n
即
m
n 1 2n1 1
(n
2,
n
N
)
恒成立
（8
分）
记
f
(n)
n 1 2n1 1 ,
f
(n
1)
f
(n)
n 2n2
1
n 1 2n1 1
(2 n) 2n1 1 (2n2 1) (2n1 1)
0
f (n) 单调递减。
（10
分）
∴
21 1
f
(n)
f
(2)
23
1
7
∴ m 1 7
∴ 不等式 m(Rn n 1) (n 1)2 [1 , ) 7
众数为 85，理科生成绩平均数为 81，则 x·y 的值为（ ）
文科 9
5
A．9
B．20
C．5
D．45
7．由 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位偶数有（ ）
77
08 19
第6 题图
A．720 个
B．600 个
C． 60 个
D．52 个
8．现有 A、B、C、D 四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
x y 1 0
13．实数 x, y 满足 x 0 y 2
，则 z y 的最小值为_________。 x4
14．函数 f (x) 由下表定义：
x
2
5
3
1
4
f (x)
1
2
3
4
5
若 a0 1, an1 f (an ), n 0,1, 2, , 则 a2016 __________。
5．在某样本的频率分布直方图中，共有 7 个小长方形，若第三个
小长方形的面积为其他 6 个小长方形的面积和的 1 ，且样本容 4
量为 100，则第三组数据的频数为（ ）
第4 题图
A．25
B．0.2
C．0.25
D．20
6．某中学从文、理科实验班中各选 6 名同学去参加复旦
大学自
主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的
A [4, 2] (, a],a 2 为所求。
（12 分） （4 分）
（2） x2 (a 3)x 2a 3 1
即
x2 (a 2)x 2a 0
f (x)
x3
由（1）知 a 2
（8
分）
当 a 2 时，不等式的解集为 (3, ) ；
当 2 a 3 时，不等式的解集为 (2, a) (3, ) ；
A．[1, 7]
B． (,3]
C． (, 7]
D． (, 1] [7, )
12．设数列{an}满足 a1 0 ，且 2an1 1 anan1, bn
1 n
an1 ，记 n
Sn b1 b2 bn ，则 S100 （ ）
A．1 1 101
B. 9 10
C. 99 100
D. 1 1 10 101
（
注：线性回归方程 y bx a ，其中 b
i 1 n
xi2
2
nx
,a y bx ）
i 1
18．（本小题 12 分）
设数列{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S3 7 ， 且 a1 3, 3a2 , a3 4 构成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
sin B 4 , cos B 3 ,a 5
（6
5
5
分）
(2) S 10 1 ac sin B 1 5c 4 ,c 5
（8
2
2
5
分）
b2 a2 c2 2ac cos B 20,b 2 5
（10
分）
a2 b2 c2 5
cos C
（12
2ab
5
分）
21．(1) 设事件 A1 :| PA | 1，则动点则沿 B→C→D→E→F 运动均满足题意，
A
B
C
D
平均亩产
8
8
8
8
量 x(kg)
30
90
90
70
方差 s2
3.
3.
2.
6.
5
7
5
0
从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ）
A．A 种子
B．B 种子
C．C 种子
D．D 种子
9 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a, bcos B 2 ，则角 A 的大小为（ ）
f (x)
20．（本小题满分 12 分）
设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 a2 c2 b2 6c, b sin A 4 . （1）求边长 a ；
（2）若△ ABC 的面积 S=10，求 cosC 的值.
21．（本小题满分 12 分）
在以 O 为圆心，1 为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、 F.
2014—2015 学年度第二学期期末七校联考
高 一 数 学 试 题（理科）
命题学校：重庆市合川中学
命题人：丁德志
审题人：朱光玖
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
6a2
又q 1,得a1 1, q 2
an 2n1(n N )
(2) log2 an log2 2n1 n 1
（6 分）
（8 （10 分） （4 分） （6 分） （8 分）
Tn 1 2n n(1 n 1) 2n 1 n2
1 2
2
2
19．(1)依题意，可得 b=3
f (x) x2 x 5即 x 3 x2 x 5,即x2 2x 8 0
A．60°
B．30°
C．150°
D．45°
10．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被 3 整除的概率为（ ）
A． 1 6
B． 1 3
C． 11 36
D． 5 6
11．对于实数 x 和 y ，定义运算 ： x y x(1 y) ，若对任意 x 2 ，不等式
(x m) x m 2 都成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
13. 2 3
14. 1
7—12 DCBBCA 15. 236
16. 3 3 14
17. 由图象数据可得：x 3, y 4
（2
分）
4
xi yi 1 2 2 3 3 5 6 6 59
i 1
4
xi2 1 4 9 36 50
i 1
4
b
xi yi 4x y
i 1
4
xi2
2
4x
59 4 3 4 50 4 9
11 14