重庆市七校联考2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。
17．（本小题满分 10 分）
已知两个具有线性相关关系的变量 x, y 的测量数据如下：
x
1
2
3
6
y
2
3
5
6
通过最小二乘法求其线性回归方程，并预报当变量 x 为 14 时，变量 y 的值.
n
xi yi nx y
A．至少有两次中靶
B．三次都中靶
C．只有一次中靶
D．三次都不中靶
3．不等式 4 x 2 的解集是（ ） x2
A． (, 0) (2, 4) B．[0, 2) [4, )
C．[2, 4)
D． (, 2] (4, )
4．如图，执行其程序框图，则输出 S 的值等于（ ）
5
A．15
B．105
C．245
D．945
（
注：线性回归方程 y bx a ，其中 b
i 1 n
xi2
2
nx
,a y bx ）
i 1
18．（本小题 12 分）
设数列{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S3 7 ， 且 a1 3, 3a2 , a3 4 构成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
分）
n 2, n N 恒成立的实数 m 的取值范围为
（12
当 a 3时，不等式的解集为 (2,3) (3, ) ；
当 a 3，不等式的解集为 (2,3) (a, )
（12 分）
20
．
(1)
cos B a2 c2 b2 6c 3 ,a cos B 3
2ac
2ac a
（2 分)
又 b sin A 4, a cos B sin Acos B cos B 3 b sin A sin B sin A sin B 4
2Rn 1 22 2 23 （n 1) 2n n 2n1 Rn 21 22 2n n 2n1 Rn n 2n1 2n1 2
n 2, n N 不等式m(Rn n 1) (n 1)2 恒成立
（4 （6 分）
即 m(n 2n1 2n1 2 n 1) (n 1)2
sin B 4 , cos B 3 ,a 5
（6
5
5
分）
(2) S 10 1 ac sin B 1 5c 4 ,c 5
（8
2
2
5
分）
b2 a2 c2 2ac cos B 20,b 2 5
（10
分）
a2 b2 c2 5
cos C
（12
2ab
5
分）
21．(1) 设事件 A1 :| PA | 1，则动点则沿 B→C→D→E→F 运动均满足题意，
15．对于数列 {an } ，若满足
a1,
a2 a1
,
a3 a2
,
, an , an1
是首项为 1，公比为 2 的等比数
列，则 a9 _________。
16．已知△ ABC 的一个内角为 120°，并且三边长度构成以首项为 3 的等差数列，则 △ ABC 的最小角的正弦值为___________。
2014—2015 学年度第二学期期末七校联考
高 一 数 学 试 题（理科）
命题学校：重庆市合川中学
命题人：丁德志
审题人：朱光玖
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
（1）点 P 是圆 O 上运动的任意一点，试求| PA | 1 的概率；
（2）在 A、B、C、D、E、F 六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为 S，
试求 S 3 和 S 3 的概率。
2
4
22．（本小题满分 12 分）
已知数列{an}为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S1，S2 的等差中项为 S3，若 8(a1 a3 ) 5 .
4x
59 4 3 4 50 4 9
11 14
i 1
a y bx 4 11 3 23 14 14
∴ 其线性回归方程为： y 11 x 23 14 14
分）
当 x 14, y 11 14 23 177
14
14 14
18．(1)
a1 a1
a2 a3 3 a3 4
7
（1）求数列[an]的通项公式；
（2）记
Rn
|
1 a1
|
|
2 a2
|
|
3 a3
|
| n | ，对于任意的 n 2 ， n N ，不等式 an
m(Rn n 1) (n 1)2 恒成立，求实数 m 的取值范围。
2014—2015 学年度第二学期期末七校联考
高一数学(理科)参考答案
1—6 CBADDB
（2）求数列{an log2 an}(n N ) 的前 n 项和 Tn .
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x b 的图象过点（2，1），若不等式 f (x) x2 x 5 的解集为 A， 且 A (, a].
（1）求 a 的取值范围； （2）解不等式 x2 (a 3)x 2a 3 1.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
x y 1 0
13．实数 x, y 满足 x 0 y 2
，则 z y 的最小值为_________。 x4
14．函数 f (x) 由下表定义：
x
2
5
3
1
4
f (x)
1
2
3
4
5
若 a0 1, an1 f (an ), n 0,1, 2, , 则 a2016 __________。
AHale Waihona Puke Baidu
B
C
D
平均亩产
8
8
8
8
量 x(kg)
30
90
90
70
方差 s2
3.
3.
2.
6.
5
7
5
0
从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ）
A．A 种子
B．B 种子
C．C 种子
D．D 种子
9 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ， 若
理科
1 2
a 2,b 2,sin B cos B 2 ，则角 A 的大小为（ ）
则
P( A1)
2 2 1 3
2 1
2 3
（6 分）
(2)从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有 C63 20 种不同的选法。
其中 S 3 的为有一个角为 30º 的 RT△ (如△ ADF)，不同的选法种数为 6×2=12 种。 2
P(S 3 ) 12 3
（10
2 20 5
13. 2 3
14. 1
7—12 DCBBCA 15. 236
16. 3 3 14
17. 由图象数据可得：x 3, y 4
（2
分）
4
xi yi 1 2 2 3 3 5 6 6 59
i 1
4
xi2 1 4 9 36 50
i 1
4
b
xi yi 4x y
i 1
4
xi2
2
众数为 85，理科生成绩平均数为 81，则 x·y 的值为（ ）
文科 9
5
A．9
B．20
C．5
D．45
7．由 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位偶数有（ ）
77
08 19
第6 题图
A．720 个
B．600 个
C． 60 个
D．52 个
8．现有 A、B、C、D 四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示
5．在某样本的频率分布直方图中，共有 7 个小长方形，若第三个
小长方形的面积为其他 6 个小长方形的面积和的 1 ，且样本容 4
量为 100，则第三组数据的频数为（ ）
第4 题图
A．25
B．0.2
C．0.25
D．20
6．某中学从文、理科实验班中各选 6 名同学去参加复旦
大学自
主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求的。
1．若 a b 0 ，则（ ）
A． a2 ab b2
B． ac bc
C． 1 1 ab
D．
a c2
b c2
2．一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（ ）
A [4, 2] (, a],a 2 为所求。
（12 分） （4 分）
（2） x2 (a 3)x 2a 3 1
即
x2 (a 2)x 2a 0
f (x)
x3
由（1）知 a 2
（8
分）
当 a 2 时，不等式的解集为 (3, ) ；
当 2 a 3 时，不等式的解集为 (2, a) (3, ) ；
A．60°
B．30°
C．150°
D．45°
10．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被 3 整除的概率为（ ）
A． 1 6
B． 1 3
C． 11 36
D． 5 6
11．对于实数 x 和 y ，定义运算 ： x y x(1 y) ，若对任意 x 2 ，不等式
(x m) x m 2 都成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[1, 7]
B． (,3]
C． (, 7]
D． (, 1] [7, )
12．设数列{an}满足 a1 0 ，且 2an1 1 anan1, bn
1 n
an1 ，记 n
Sn b1 b2 bn ，则 S100 （ ）
A．1 1 101
B. 9 10
C. 99 100
D. 1 1 10 101
即
m
n 1 2n1 1
(n
2,
n
N
)
恒成立
（8
分）
记
f
(n)
n 1 2n1 1 ,
f
(n
1)
f
(n)
n 2n2
1
n 1 2n1 1
(2 n) 2n1 1 (2n2 1) (2n1 1)
0
f (n) 单调递减。
（10
分）
∴
21 1
f
(n)
f
(2)
23
1
7
∴ m 1 7
∴ 不等式 m(Rn n 1) (n 1)2 [1 , ) 7
分）
S 3 的为顶角为 120º 的等腰三角形(如△ ABC)，不同的选法种数为 6 种。 4
P(S 3) 6 3
（12
4 20 10
分）
22．(1)依题意 2S3 S1 S2 8(a1 a3) 5
an
(
1)n (n 2
N)
分）
,可得a1
q
1 2
（2） Rn 1 21 2 22 3 23 n 2n
6a2
又q 1,得a1 1, q 2
an 2n1(n N )
(2) log2 an log2 2n1 n 1
（6 分）
（8 （10 分） （4 分） （6 分） （8 分）
Tn 1 2n n(1 n 1) 2n 1 n2
1 2
2
2
19．(1)依题意，可得 b=3
f (x) x2 x 5即 x 3 x2 x 5,即x2 2x 8 0
f (x)
20．（本小题满分 12 分）
设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 a2 c2 b2 6c, b sin A 4 . （1）求边长 a ；
（2）若△ ABC 的面积 S=10，求 cosC 的值.
21．（本小题满分 12 分）
在以 O 为圆心，1 为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、 F.
17．（本小题满分 10 分）
已知两个具有线性相关关系的变量 x, y 的测量数据如下：
x
1
2
3
6
y
2
3
5
6
通过最小二乘法求其线性回归方程，并预报当变量 x 为 14 时，变量 y 的值.
n
xi yi nx y
A．至少有两次中靶
B．三次都中靶
C．只有一次中靶
D．三次都不中靶
3．不等式 4 x 2 的解集是（ ） x2
A． (, 0) (2, 4) B．[0, 2) [4, )
C．[2, 4)
D． (, 2] (4, )
4．如图，执行其程序框图，则输出 S 的值等于（ ）
5
A．15
B．105
C．245
D．945
（
注：线性回归方程 y bx a ，其中 b
i 1 n
xi2
2
nx
,a y bx ）
i 1
18．（本小题 12 分）
设数列{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S3 7 ， 且 a1 3, 3a2 , a3 4 构成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
分）
n 2, n N 恒成立的实数 m 的取值范围为
（12
当 a 3时，不等式的解集为 (2,3) (3, ) ；
当 a 3，不等式的解集为 (2,3) (a, )
（12 分）
20
．
(1)
cos B a2 c2 b2 6c 3 ,a cos B 3
2ac
2ac a
（2 分)
又 b sin A 4, a cos B sin Acos B cos B 3 b sin A sin B sin A sin B 4
2Rn 1 22 2 23 （n 1) 2n n 2n1 Rn 21 22 2n n 2n1 Rn n 2n1 2n1 2
n 2, n N 不等式m(Rn n 1) (n 1)2 恒成立
（4 （6 分）
即 m(n 2n1 2n1 2 n 1) (n 1)2
sin B 4 , cos B 3 ,a 5
（6
5
5
分）
(2) S 10 1 ac sin B 1 5c 4 ,c 5
（8
2
2
5
分）
b2 a2 c2 2ac cos B 20,b 2 5
（10
分）
a2 b2 c2 5
cos C
（12
2ab
5
分）
21．(1) 设事件 A1 :| PA | 1，则动点则沿 B→C→D→E→F 运动均满足题意，
15．对于数列 {an } ，若满足
a1,
a2 a1
,
a3 a2
,
, an , an1
是首项为 1，公比为 2 的等比数
列，则 a9 _________。
16．已知△ ABC 的一个内角为 120°，并且三边长度构成以首项为 3 的等差数列，则 △ ABC 的最小角的正弦值为___________。
2014—2015 学年度第二学期期末七校联考
高 一 数 学 试 题（理科）
命题学校：重庆市合川中学
命题人：丁德志
审题人：朱光玖
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.
（1）点 P 是圆 O 上运动的任意一点，试求| PA | 1 的概率；
（2）在 A、B、C、D、E、F 六点中选择不同的三点构成三角形，其面积记为 S，
试求 S 3 和 S 3 的概率。
2
4
22．（本小题满分 12 分）
已知数列{an}为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S1，S2 的等差中项为 S3，若 8(a1 a3 ) 5 .
4x
59 4 3 4 50 4 9
11 14
i 1
a y bx 4 11 3 23 14 14
∴ 其线性回归方程为： y 11 x 23 14 14
分）
当 x 14, y 11 14 23 177
14
14 14
18．(1)
a1 a1
a2 a3 3 a3 4
7
（1）求数列[an]的通项公式；
（2）记
Rn
|
1 a1
|
|
2 a2
|
|
3 a3
|
| n | ，对于任意的 n 2 ， n N ，不等式 an
m(Rn n 1) (n 1)2 恒成立，求实数 m 的取值范围。
2014—2015 学年度第二学期期末七校联考
高一数学(理科)参考答案
1—6 CBADDB
（2）求数列{an log2 an}(n N ) 的前 n 项和 Tn .
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x b 的图象过点（2，1），若不等式 f (x) x2 x 5 的解集为 A， 且 A (, a].
（1）求 a 的取值范围； （2）解不等式 x2 (a 3)x 2a 3 1.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
x y 1 0
13．实数 x, y 满足 x 0 y 2
，则 z y 的最小值为_________。 x4
14．函数 f (x) 由下表定义：
x
2
5
3
1
4
f (x)
1
2
3
4
5
若 a0 1, an1 f (an ), n 0,1, 2, , 则 a2016 __________。
AHale Waihona Puke Baidu
B
C
D
平均亩产
8
8
8
8
量 x(kg)
30
90
90
70
方差 s2
3.
3.
2.
6.
5
7
5
0
从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ）
A．A 种子
B．B 种子
C．C 种子
D．D 种子
9 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ， 若
理科
1 2
a 2,b 2,sin B cos B 2 ，则角 A 的大小为（ ）
则
P( A1)
2 2 1 3
2 1
2 3
（6 分）
(2)从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形，共有 C63 20 种不同的选法。
其中 S 3 的为有一个角为 30º 的 RT△ (如△ ADF)，不同的选法种数为 6×2=12 种。 2
P(S 3 ) 12 3
（10
2 20 5
13. 2 3
14. 1
7—12 DCBBCA 15. 236
16. 3 3 14
17. 由图象数据可得：x 3, y 4
（2
分）
4
xi yi 1 2 2 3 3 5 6 6 59
i 1
4
xi2 1 4 9 36 50
i 1
4
b
xi yi 4x y
i 1
4
xi2
2
众数为 85，理科生成绩平均数为 81，则 x·y 的值为（ ）
文科 9
5
A．9
B．20
C．5
D．45
7．由 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位偶数有（ ）
77
08 19
第6 题图
A．720 个
B．600 个
C． 60 个
D．52 个
8．现有 A、B、C、D 四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示
5．在某样本的频率分布直方图中，共有 7 个小长方形，若第三个
小长方形的面积为其他 6 个小长方形的面积和的 1 ，且样本容 4
量为 100，则第三组数据的频数为（ ）
第4 题图
A．25
B．0.2
C．0.25
D．20
6．某中学从文、理科实验班中各选 6 名同学去参加复旦
大学自
主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求的。
1．若 a b 0 ，则（ ）
A． a2 ab b2
B． ac bc
C． 1 1 ab
D．
a c2
b c2
2．一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（ ）
A [4, 2] (, a],a 2 为所求。
（12 分） （4 分）
（2） x2 (a 3)x 2a 3 1
即
x2 (a 2)x 2a 0
f (x)
x3
由（1）知 a 2
（8
分）
当 a 2 时，不等式的解集为 (3, ) ；
当 2 a 3 时，不等式的解集为 (2, a) (3, ) ；
A．60°
B．30°
C．150°
D．45°
10．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被 3 整除的概率为（ ）
A． 1 6
B． 1 3
C． 11 36
D． 5 6
11．对于实数 x 和 y ，定义运算 ： x y x(1 y) ，若对任意 x 2 ，不等式
(x m) x m 2 都成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[1, 7]
B． (,3]
C． (, 7]
D． (, 1] [7, )
12．设数列{an}满足 a1 0 ，且 2an1 1 anan1, bn
1 n
an1 ，记 n
Sn b1 b2 bn ，则 S100 （ ）
A．1 1 101
B. 9 10
C. 99 100
D. 1 1 10 101
即
m
n 1 2n1 1
(n
2,
n
N
)
恒成立
（8
分）
记
f
(n)
n 1 2n1 1 ,
f
(n
1)
f
(n)
n 2n2
1
n 1 2n1 1
(2 n) 2n1 1 (2n2 1) (2n1 1)
0
f (n) 单调递减。
（10
分）
∴
21 1
f
(n)
f
(2)
23
1
7
∴ m 1 7
∴ 不等式 m(Rn n 1) (n 1)2 [1 , ) 7
分）
S 3 的为顶角为 120º 的等腰三角形(如△ ABC)，不同的选法种数为 6 种。 4
P(S 3) 6 3
（12
4 20 10
分）
22．(1)依题意 2S3 S1 S2 8(a1 a3) 5
an
(
1)n (n 2
N)
分）
,可得a1
q
1 2
（2） Rn 1 21 2 22 3 23 n 2n
6a2
又q 1,得a1 1, q 2
an 2n1(n N )
(2) log2 an log2 2n1 n 1
（6 分）
（8 （10 分） （4 分） （6 分） （8 分）
Tn 1 2n n(1 n 1) 2n 1 n2
1 2
2
2
19．(1)依题意，可得 b=3
f (x) x2 x 5即 x 3 x2 x 5,即x2 2x 8 0
f (x)
20．（本小题满分 12 分）
设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 a2 c2 b2 6c, b sin A 4 . （1）求边长 a ；
（2）若△ ABC 的面积 S=10，求 cosC 的值.
21．（本小题满分 12 分）
在以 O 为圆心，1 为半径的圆上均匀、依次分布有六点，分别记为：A、B、C、D、E、 F.